雙曲線綜合題含答案

1、雙曲線綜合題(含答案)x y一、p x0 y0 x0a 是雙曲線 E: 1 a 0,b 0 上一點，M,N分a b1別是雙曲線E的左、右頂點，直線PM,PN勺斜率之積為-. 5(1)求雙曲線的離心率；(2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A,B兩點，。為 坐標原點，c為雙曲線上一點，滿足oC oA oB,求的值.22解：(1)點P(x0,y0)(x0a)在雙曲線xy七 1上,a b22有4當1由題意又有s 1,a bx0 a x0 a 5可得 a2 5b2 ,c2 a2 b2 6b2,貝1Je - 立0 a 5“、x2 5y2 5b2 /口22(2)聯(lián)立，得4x10cx 35b0,

2、設 A(x1,y1), B(x2,y2)y x c5cX x2 一,則；(1)35bx 4設oC (xi,y)oCoA oB,即 x3x1 x2y3yi V2又C為雙曲線上一點，即x2 5y2 5,有(Xi X2)2 5( y1 3 5b2化簡彳3：2(x2 5y2) (x2 5y1) 2 5小w)5b2 ( 2)222222又 A(xi, yi), B(x2, y2)在雙曲線上，所以 x1 5y 5b ,用 5y2 5b由(1)式又有得：2 40,解出 0,或 4.二、已知以原點O為中心，F(xiàn)芯0為右焦點的雙曲線C的離心率e 旦。2(I)求雙曲線C的標準方程及其漸近線方程；(II ) 如題(2

3、0)圖，已知過點 M %,%的直線li：xix 4y1y 4與過點N x2,y2 (其中x2 x)的直線l2：x2x 4y2y 4的交點E在雙曲 線C上，直線MNf兩條漸近線分別交與 G H兩點，求 OGH的 面積。22解：(I)設C的標準方程為得y i(a 0, b 0),則由題意 a bc而又e a拿 因此 a 2,b Jc2 a2 1,2C的標準方程為土 y2 1. 4C的漸近線方程為y 工x,即x 2y 0和x 2y 0. 2(II)解法一：如答(20)圖，由題意點E(Xe.e)在直線li：xix 4yy 4和l2：x2x4y2y4 上，因止匕有x1xE4ylyE4,x2xE4y2yE

4、4.故點M N均在直線xEx 4yEy 4上,因此直線MN勺方程為XeX4yEy4.42xe，XexR4y22.解法二：設E(Xee),由方程組xix 4yiy 4,X2X 4y2y 4,解彳3xE因X2Xi ,則直線MN的斜率kyXex2 xi4yE4( y yi) w xi X2 ，yExy2 X2yi xy2 X2yi故直線MN勺方程為y y1生(x x1),4yE注意到x1xE 4ylyE 4 ,因此直線 MN勺方程為xEx 4yEy 4.下同解法一.三、已知定點A(-1, 0) , F(2 , 0),定直線l ： x= q ,不在x軸上的動點P 與點F的距離是它到直線l的距離的2倍.

5、設點P的軌跡為E,過點F的直線 交E于R C兩點，直線AR AC分別交l于點M N(I )求E的方程；(n )試判斷以線段MN直徑的圓是否過點F,并說明理由.解：(1)設P(x, y), 則.(x 2)2 y22|x 1化簡得x2-2L=1(yw0) 4分3當直線BCW x軸不垂直時，設BC的方程為y=k(x 2)( kw0)與雙曲線 x2- 2=1 聯(lián)立消去 y 得(3k)2x2+4k2x(4k2+3) =0 3由題意知 3k2w0 且40設 B(x1,y。，qx2,y2),XiX24k2k2 3X1X24k2 3k2 3yiy2= k2(Xi2)( X2 2) = k2XiX2 2(Xi+

6、X2)+4,2_22,2, 4k 3 8k 一、 9kk ( 2 -2 + 4)=-因為 Xi、X2W 1k2 3k2 3 k2 3所以直線AB的方程為y=（X+I）因此M點的坐標為（1,3y1）33yi .一,)2 2(Xi i)Xi i2 2（Xi i）同理可得 fN ( 3, 3y2 ) 因此2 2d i)8ik29yy2_4k2 32(Xi i)(X2 i) 9 4k2 34k2i)k2 3k2 3當直線BC與x軸垂直時，起方程為x = 2,則 B(2,3), C(2, -3)AB的方程為y = x+i,因此M點的坐標為（L3）,2 2同理可得FN ( 3, 3)22因此32=0,即F

7、MFN 故以線段MNW直徑的圓經(jīng)過點F i2分四、已知Fi( 2, 0), F2Q, 0)，點P滿足| PFi | | PF2 | 2 ,記點P的軌跡為E .(I )求軌跡E的方程;(n )若直線l過點F2且與軌跡E交于P、Q兩點.(i )設點M (m, 0),問：是否存在實數(shù)m ,使得直線l繞點F2無論怎樣轉動，都有MP mQ0成立若存在，求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由.(ii )過P、Q作直線1 一x -的垂線PA、QB ,垂足分別為 2的取值范圍.解：(I )由 | PF1 | |PF2|2 IF1F2 |知，點P的軌跡E是以Fi、F2為焦點的雙曲線右支，由c2,2a 2 ,b2

8、3 3 ,故軌跡E的方程為(n)當直線1的斜率存在時，設直線1方程為y k(x 2),與雙曲線方程聯(lián)立消y得(k23)x24k2x 4k23 0 ,設 P(。yj、Q(x2, y2),k2X24k2XiX2k4kk2 3k2 3 (5 分)(i) : mP MQ (xi m)(x2 m) yAy2-2m2(7分)3 (4 m 5)k k2 3假設存在實數(shù)m ,使得0,故得3(1 m2)k2(m2 4m 5)0對任意的k2 3包成立,1 m2 02m 4m 5 01.當 m 1 時，MP MQ 0.當直線l的斜率不存在時，由P(2,3),Q(2, 3)及M( 1,0)知結論也成立,綜 上mP M

9、q 0.(8分)， 1(ii ); a 1,c 2 ,直線x 1是雙曲線的右準2線，(9分)111由雙曲線止乂得：|PA| |PF2| |PF2 b |QB| 1 |QF2 b e22|PQ|2| AB|1 k2|x2 21y2 y1 |K |-1 k | X2K |21k（X2 x，|1 k22m112（10 分）k2C 1102k23（11 分）1注意到直線的斜率不存在時，| PQ | | AB |,此時 -， 212分） 五、設四點A、B、C、D均在雙曲線X2 y2 1的右支上。（1）若AB= CD （實數(shù) 0）,證明：OA OB OC OD （O是坐標原點）；P分別作該雙曲線的兩條漸（

10、2）若| AB | =2, P是線段AB的中點，過點近線的垂線，垂足為M、N ,求四邊形OMPN的面積的最大值。解：（1） AB = CD ,AB / CD直線AB的斜率不存在時，設方程為x m ( m 1),設 A ( m,y1),則B(m, y1)且 m2 - y12 =1 . OA OB =m2- y12 =1 同理 OC ODOA OB =OC OD直線AB斜率存在時，設方程為y kx b與 x2 y2 1 聯(lián)立得(1 k2)x2 2kbx b2 1 0設 A(x, yj B(x2, y2)則 x12 kbx2=2 ，1 k2b 1xx2= 2一k2 1則 OA OB = x1x2 +

11、y1 y2 = x1 x2 +( kx b )(kx2 b )=(1 k2) x1x2+kb(x1x2)+b2 = W k2v AB / CD 直線CD與直線AB斜率相等，同理OC ODk2 1k2 1. OA OB =OC OD 綜上，OA OB =OC OD2(2) AB 斜率存在時，4 AB =(1 k2) (xx2)2 4x1x2由（1 ）得b22k2(k2 1)1 k2: x1 x2 0k2 1 ,P(xo,y。)，則x01/2(x1 x2)kb1 k2ykx。c |xo yo| |x yo|1 b2 d 1S = 1222 k2 11k2o1k2 1S0,b0）的左、右焦點，O為坐標原點，P八、若Fi,F2為雙曲線24a2b2