剛體的角動量守恒定律

1、 53 剛體的角動量守恒定律剛體的角動量守恒定律一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量剛體上的一個質(zhì)元剛體上的一個質(zhì)元, ,繞固定軸做圓周運動角動量為繞固定軸做圓周運動角動量為：2iiirmL 所以剛體繞此軸的角動量為：所以剛體繞此軸的角動量為：)(2iiiiirmLL剛體對固定轉(zhuǎn)動軸的角動量剛體對固定轉(zhuǎn)動軸的角動量L,等于它對該軸的轉(zhuǎn)動慣等于它對該軸的轉(zhuǎn)動慣量量J 和角速度和角速度 的乘積。的乘積。 JL miooLrivi二、轉(zhuǎn)動定律二、轉(zhuǎn)動定律1、一個質(zhì)點的情況、一個質(zhì)點的情況法向力法向力 Fn=man，通過轉(zhuǎn)軸，力矩為零，通過轉(zhuǎn)軸，力矩為零切向力切向力 Ft=mat=mr對轉(zhuǎn)

2、軸的力矩為對轉(zhuǎn)軸的力矩為 M= Ft r= mr2質(zhì)點的角加速度與質(zhì)點所受的力矩成正比質(zhì)點的角加速度與質(zhì)點所受的力矩成正比2、內(nèi)力矩、內(nèi)力矩dff 剛體內(nèi)任意兩點之間的相互作用力，大剛體內(nèi)任意兩點之間的相互作用力，大小相等，方向相反，在同一條直線上。小相等，方向相反，在同一條直線上。兩力的力臂相等，因而兩力的力矩相等，兩力的力臂相等，因而兩力的力矩相等，方向相反。方向相反。故兩個內(nèi)力的合力矩為故兩個內(nèi)力的合力矩為零。零。推廣：推廣：剛體的內(nèi)力力矩之和為零。剛體的內(nèi)力力矩之和為零。FnFt3、剛體的情況、剛體的情況把剛體看成是由許多質(zhì)點所組把剛體看成是由許多質(zhì)點所組成的，對于質(zhì)點成的，對于質(zhì)點i

3、，假設(shè)它的質(zhì)，假設(shè)它的質(zhì)量為量為mi，所受的外力為，所受的外力為Fi，內(nèi)力為內(nèi)力為f i，則，則 2iiirmM 其中其中Mi為外力矩和內(nèi)力矩之和。為外力矩和內(nèi)力矩之和。 2iiirmM 合力矩外力矩之和內(nèi)力矩之和合力矩外力矩之和內(nèi)力矩之和=外力矩之和外力矩之和=M 22iiiirmrm 2iirmJ定義轉(zhuǎn)動慣量定義轉(zhuǎn)動慣量 JM 轉(zhuǎn)動定律：轉(zhuǎn)動定律：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，剛體的角加速度與它所受剛體繞定軸轉(zhuǎn)動時，剛體的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比。的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比。說明：說明：1)合外力矩和轉(zhuǎn)動慣量都是相對于同一轉(zhuǎn)軸而言的；合外力矩和轉(zhuǎn)動慣量都是

4、相對于同一轉(zhuǎn)軸而言的；2)轉(zhuǎn)動定律的地位與質(zhì)點動力學(xué)中牛頓第二定律相當，是轉(zhuǎn)動定律的地位與質(zhì)點動力學(xué)中牛頓第二定律相當，是解決剛體定軸轉(zhuǎn)動問題的基本方程。解決剛體定軸轉(zhuǎn)動問題的基本方程。三、轉(zhuǎn)動慣量三、轉(zhuǎn)動慣量1、定義、定義 剛體的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體上剛體的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體上各質(zhì)點的質(zhì)量與各質(zhì)點到轉(zhuǎn)各質(zhì)點的質(zhì)量與各質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸距離平方的乘積之和。軸距離平方的乘積之和。2、說明、說明 轉(zhuǎn)動慣量是標量；轉(zhuǎn)動慣量是標量； 轉(zhuǎn)動慣量有可加性；轉(zhuǎn)動慣量有可加性； 單位：單位：kgm2 3、轉(zhuǎn)動慣量的計算、轉(zhuǎn)動慣量的計算若質(zhì)量連續(xù)分布若質(zhì)量連續(xù)分布dmrJ2 iiirmJ2若質(zhì)量離散分布若質(zhì)量離散分布 y r

5、ix z yi xi mi 例例1 1、求長為、求長為L、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻細棒對圖中不同軸的均勻細棒對圖中不同軸的轉(zhuǎn)動慣量。的轉(zhuǎn)動慣量。ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標，解：取如圖坐標，d dm= = d dx222LLCdxxJLAdxxJ023/2mL12/2mL例例2 2、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。RO解：解：222mRdmRdmRJdmROdm例例2 2、求質(zhì)量為、求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R、厚為、厚為l 的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。軸與盤平

6、面垂直并通過盤心。軸與盤平面垂直并通過盤心。解：取半徑為解：取半徑為r寬為寬為d dr的薄圓環(huán)的薄圓環(huán), ,lrdrdm 2drlrdmrdJ322 lRdrlrdJJR403212 可見，轉(zhuǎn)動慣量與可見，轉(zhuǎn)動慣量與l無關(guān)。所以，實心圓柱對其軸的轉(zhuǎn)動慣量無關(guān)。所以，實心圓柱對其軸的轉(zhuǎn)動慣量也是也是mR2/2。2221mRJlRm Rrdr4、影響剛體轉(zhuǎn)動慣量的因素、影響剛體轉(zhuǎn)動慣量的因素剛體的總質(zhì)量：剛體的總質(zhì)量：形狀、大小和轉(zhuǎn)軸都相同的勻質(zhì)剛體，形狀、大小和轉(zhuǎn)軸都相同的勻質(zhì)剛體，總質(zhì)量越大，則轉(zhuǎn)動慣量越大；總質(zhì)量越大，則轉(zhuǎn)動慣量越大；剛體的質(zhì)量分布：剛體的質(zhì)量分布：形狀、大小和轉(zhuǎn)軸都相同的剛

7、體，形狀、大小和轉(zhuǎn)軸都相同的剛體，質(zhì)量分布離軸越遠，轉(zhuǎn)動慣量越大；質(zhì)量分布離軸越遠，轉(zhuǎn)動慣量越大；轉(zhuǎn)軸位置：轉(zhuǎn)軸位置：同一剛體，對不同位置的轉(zhuǎn)軸，其轉(zhuǎn)動慣同一剛體，對不同位置的轉(zhuǎn)軸，其轉(zhuǎn)動慣量是不同的。量是不同的。四、平行軸定理四、平行軸定理兩軸平行，相距兩軸平行，相距L/2。可見：?？梢姡?2 LmJJCAABLXABL/2L/2CX231mLJA例例1中，中，通過棒端通過棒端A的軸的轉(zhuǎn)的軸的轉(zhuǎn)動慣量動慣量2241121mLmL 若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為相距為d，剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為，剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為J，則有則有平行軸定理平行軸定理 JJCm d 2。說

8、明：說明：1)通過質(zhì)心的軸線的轉(zhuǎn)動慣量最小；通過質(zhì)心的軸線的轉(zhuǎn)動慣量最?。?)平行軸定理可以用來計算剛體的轉(zhuǎn)平行軸定理可以用來計算剛體的轉(zhuǎn)動慣量。動慣量。ccodJJco推廣上述結(jié)論推廣上述結(jié)論*垂直軸定理垂直軸定理 對于薄板剛體，若建立坐標對于薄板剛體，若建立坐標系系Oxyz，其中，其中z軸與薄板垂直，軸與薄板垂直，Oxy平面在薄板內(nèi)，則薄板剛平面在薄板內(nèi)，則薄板剛體對體對z 軸的轉(zhuǎn)動慣量等于對軸的轉(zhuǎn)動慣量等于對x 軸的轉(zhuǎn)動慣量和對軸的轉(zhuǎn)動慣量和對y 軸的轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量之和慣量之和 yxzJJJ yx z 圓盤圓盤 R C m幾種均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量幾種均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量2121mlJ ml

9、細直桿細直桿 ml細直桿細直桿 231mlJ mR薄圓環(huán)薄圓環(huán)或薄圓筒或薄圓筒 2mRJ mR圓盤圓盤或圓柱體或圓柱體 221mRJ 三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和轉(zhuǎn)動定理轉(zhuǎn)動定理由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律 dtLdM 得得LddtM 積分得積分得000LLLddtMLLtt 當轉(zhuǎn)動慣量一定時當轉(zhuǎn)動慣量一定時0 0 JJdtMtt 當轉(zhuǎn)動慣量變化時當轉(zhuǎn)動慣量變化時00 0 JJdtMtt 剛體的角動量定理：剛體的角動量定理：當轉(zhuǎn)軸給定時，作用在剛體當轉(zhuǎn)軸給定時，作用在剛體上的沖量矩等于剛體角動量的增量。上的沖量矩等于剛體角動量的增量。五、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用五、

10、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用題目類型題目類型1.已知轉(zhuǎn)動慣量和力矩，求角加速度；已知轉(zhuǎn)動慣量和力矩，求角加速度；2.已知轉(zhuǎn)動慣量和角加速度，求力矩；已知轉(zhuǎn)動慣量和角加速度，求力矩；3.已知力矩和角加速度，求轉(zhuǎn)動慣量。已知力矩和角加速度，求轉(zhuǎn)動慣量。解題步驟解題步驟1.確定研究對象；確定研究對象；2.受力分析；受力分析；3.選擇參考系與坐標系；選擇參考系與坐標系；4.列運動方程；列運動方程；5.解方程；解方程；6.必要時進行討論。必要時進行討論。注意注意以下幾點：以下幾點：1.力矩與轉(zhuǎn)動慣量必須對力矩與轉(zhuǎn)動慣量必須對同一轉(zhuǎn)軸同一轉(zhuǎn)軸而言的；而言的；2.要選定轉(zhuǎn)軸的正方向，以便確定已知力矩或角加要

11、選定轉(zhuǎn)軸的正方向，以便確定已知力矩或角加速度、角速度的正負；速度、角速度的正負；3.當系統(tǒng)中既有轉(zhuǎn)動物體又有平動物體時，則對轉(zhuǎn)當系統(tǒng)中既有轉(zhuǎn)動物體又有平動物體時，則對轉(zhuǎn)動物體按轉(zhuǎn)動定律建立方程，對于平動物體按牛頓動物體按轉(zhuǎn)動定律建立方程，對于平動物體按牛頓定律建立方程。定律建立方程。例、例、一個質(zhì)量為一個質(zhì)量為M、半徑為、半徑為R的定滑輪的定滑輪（當作均勻圓盤）上面繞有細繩，繩的一（當作均勻圓盤）上面繞有細繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為m的的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體m由靜由靜止下落高度止下落高度h時的速度和

12、此時滑輪的角速度。時的速度和此時滑輪的角速度。解：解： RamaTmgm :1對對2121 MRJJRTMM：對對 MmmghRRv 241 242Mmmghahv gMmma2 解解方方程程得得：定軸定軸ORthmv0=0繩繩例例2、一根長為一根長為l、質(zhì)量為、質(zhì)量為m 的均勻細直棒，其一端有一固定的的均勻細直棒，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在水平光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺位置，求它由此下擺 角時的角加速度和角速度。角時的角加速度和角速度。解：棒下擺為加速過程，外解：棒下擺為加速過程，外力矩為重力對力矩為重力對

13、O O 的力矩。的力矩。 棒棒上取質(zhì)元上取質(zhì)元dm,當棒處在下擺當棒處在下擺 角時角時，重力矩為：重力矩為： xdmggxdmM XOdmgdmxCmgxM 據(jù)質(zhì)心定義據(jù)質(zhì)心定義cmxxdm cos21lxc cos21mglM lgmlmglJM2cos331cos212 dddtddddtd ddlg cos23 00cos23ddlg221sin23 lglg sin3 dd 再求角速度再求角速度例例3勻質(zhì)圓盤的質(zhì)量為勻質(zhì)圓盤的質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R，在水平，在水平桌面上繞其中心旋轉(zhuǎn)，如圖所示。設(shè)圓盤與桌桌面上繞其中心旋轉(zhuǎn)，如圖所示。設(shè)圓盤與桌面之間的摩擦系數(shù)為面之間的摩擦系數(shù)為，求

14、圓盤從以角速度，求圓盤從以角速度0旋轉(zhuǎn)到靜止需要多少時間？旋轉(zhuǎn)到靜止需要多少時間？ 解：以圓盤為研究對象，它受重力、桌面的支解：以圓盤為研究對象，它受重力、桌面的支持力和摩擦力，前兩個力對中心軸的力矩為零。持力和摩擦力，前兩個力對中心軸的力矩為零。 在圓盤上任取一個細圓環(huán)，半徑為在圓盤上任取一個細圓環(huán)，半徑為r，寬度為，寬度為dr，整個圓環(huán)所受摩，整個圓環(huán)所受摩擦力矩等于圓環(huán)上各質(zhì)點所受摩擦力矩之和。由于圓環(huán)上各個質(zhì)點擦力矩等于圓環(huán)上各質(zhì)點所受摩擦力矩之和。由于圓環(huán)上各個質(zhì)點所受摩擦力矩的力臂都相等，力矩的方向都相同，若取所受摩擦力矩的力臂都相等，力矩的方向都相同，若取0的方向為的方向為正方向

15、，則整個圓環(huán)所受的力矩為正方向，則整個圓環(huán)所受的力矩為 grdmdM 2222RmrdrrdrRmdSdm drRrmgdM222 整個圓盤所受的力矩為整個圓盤所受的力矩為 mgRdrRrmgMR 322022 根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，得根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，得 RgmRmgRJM3421322 角加速度為常量，且與角加速度為常量，且與0的方向相反，表明圓盤作勻減速轉(zhuǎn)動的方向相反，表明圓盤作勻減速轉(zhuǎn)動t 0當圓盤停止轉(zhuǎn)動時，當圓盤停止轉(zhuǎn)動時，=0，則得，則得 gRt 4300 四、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律四、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律若剛體所受的合外力矩為零，即若剛體所受的合外力矩為零，即M=0恒恒矢矢量

16、量 J角動量守恒定律：角動量守恒定律：當剛體所受的的合外力矩為零，或當剛體所受的的合外力矩為零，或者不受合外力的作用，則剛體的角動量保持不變。者不受合外力的作用，則剛體的角動量保持不變。討論：討論：分兩種情況：分兩種情況：1) 如果轉(zhuǎn)動慣量不變，剛體作勻速轉(zhuǎn)動；如果轉(zhuǎn)動慣量不變，剛體作勻速轉(zhuǎn)動；2) 如果轉(zhuǎn)動慣量發(fā)生改變，則剛體的角速度隨轉(zhuǎn)動慣如果轉(zhuǎn)動慣量發(fā)生改變，則剛體的角速度隨轉(zhuǎn)動慣量也發(fā)生變化，但二者的乘積不變。當轉(zhuǎn)動慣量變大量也發(fā)生變化，但二者的乘積不變。當轉(zhuǎn)動慣量變大時，角速度變??；當轉(zhuǎn)動慣量變小時，角速度變大。時，角速度變??；當轉(zhuǎn)動慣量變小時，角速度變大。跳水運動員跳水運動員茹可夫

17、斯基凳茹可夫斯基凳花樣滑冰運動員的旋轉(zhuǎn)表演花樣滑冰運動員的旋轉(zhuǎn)表演慣性導(dǎo)航儀（陀螺）慣性導(dǎo)航儀（陀螺） 角動量守恒定律在技術(shù)中的應(yīng)用角動量守恒定律在技術(shù)中的應(yīng)用 直升飛機的螺旋槳直升飛機的螺旋槳自然界中存在多種守恒定律自然界中存在多種守恒定律2 動量守恒定律動量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角動量守恒定律角動量守恒定律2電荷守恒定律電荷守恒定律2質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律2宇稱守恒定律等宇稱守恒定律等例例1 1、如圖所示如圖所示, ,一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的子彈以水平速度射入一靜止懸于的子彈以水平速度射入一靜止懸于頂端長棒的下端頂端長棒的下端, ,穿出后速度損失穿出后速度損失3/4,3/4,求

18、子彈穿出后棒的角速求子彈穿出后棒的角速度度 。已知棒長為。已知棒長為l, ,質(zhì)量為質(zhì)量為M 。v0vmM解解: :以以f 代表棒對子彈的阻力代表棒對子彈的阻力, ,對子彈有對子彈有: :0043)(mvvvmfdt 子彈對棒的反作用力對棒的沖量子彈對棒的反作用力對棒的沖量矩為：矩為： Jdtflldtf因因 f = - f由兩式得由兩式得200314943MlJMlmvJlmv 這這里里 例例2 2、如圖所示，將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點，如圖所示，將單擺和一等長的勻質(zhì)直桿懸掛在同一點，桿的質(zhì)量桿的質(zhì)量m與單擺的擺錘相等。開始時直桿自然下垂，將單擺與單擺的擺錘相等。開始時直桿自然下垂，將單擺的擺錘拉到高度的擺錘拉到高度h0 0，令它自靜止狀態(tài)下垂，令它自靜止狀態(tài)下垂, ,于鉛垂位置和直桿于鉛垂位置和直桿作彈性碰撞。求碰撞后直桿下端達到的高度作彈性碰撞。求碰撞后直桿下端達到的高度h。chchh=3h0/2