第二章 流變學(xué)基本概念

1、第二章 流變學(xué)的基本概念制造學(xué)院課程內(nèi)容l流體形變的基本類型l標(biāo)量、矢量和笛卡爾張量的定義l應(yīng)力張量和應(yīng)變張量l本構(gòu)方程和材料函數(shù)流體形變的基本類型 流體所有的流變現(xiàn)象都是力學(xué)行為應(yīng)力與應(yīng)變應(yīng)力與應(yīng)變速率流動(dòng)變形時(shí)流體形變的基本類型.拉伸和單向膨脹 流體元在拉伸方向的長度增加而在另外兩個(gè)方向上的長度則縮短。簡單拉伸示意圖流體形變的基本類型.各向同性的壓縮和膨脹 在各向同性膨脹中，任何形狀的流體元都變?yōu)閹缀涡螤钕嗨频叽缱兇蟮牧黧w元。各向同性膨脹實(shí)驗(yàn)示意圖流體形變的基本類型.簡單剪切和簡單剪切流 在簡單剪切實(shí)驗(yàn)中，流體元的頂面相對(duì)于底面發(fā)生位移，而高度保持不變，使得原來與底面垂直的一邊在變形后與

2、其原來位置構(gòu)成一定的角度?？梢杂?來表示簡單剪切形變示意圖標(biāo)量、矢量和笛卡爾張量的定義 標(biāo)量、矢量和張量是用數(shù)學(xué)方法處理流體流動(dòng)與變形時(shí)，常用的物理量。 1）標(biāo)量 在選定了測(cè)量單位后，僅有數(shù)值大小決定的物理量。 2）矢量 同上條件，由數(shù)值大小和空間決定的物理量。 3）張量 是矢量的推廣，是在一點(diǎn)處不同方向上有不同量值的物理量。標(biāo)量、矢量和笛卡爾張量的定義.數(shù)學(xué)定義 不同坐標(biāo)變換，不同的集合滿足不同轉(zhuǎn)換關(guān)系：標(biāo)量：123123(,)(,)x xxx xx矢量： 123123123123(,)(,)(,)(,)ikkiikikF x xxF x xxF x xxF x xx張量： 12312312

3、3123(,)(,)(,)(,)mijijminjmnimjntx xxtx xxtx xxtx xx 例1：例2：例3：標(biāo)量、矢量和笛卡爾張量的定義.張量的運(yùn)算1）單位張量（克羅內(nèi)克算子）100010001ijI標(biāo)量、矢量和笛卡爾張量的定義2）對(duì)稱張量 張量的分量滿足 ，則稱這樣的張量為對(duì)稱張量。ijji111213111213212223222331323333標(biāo)量、矢量和笛卡爾張量的定義3）并矢張量 將矢量A和矢量B按以下形式排成數(shù)組：111213212223313233ABABABA BA BA BA BA BA B 并矢張量或兩矢量的矢并積是二階張量的特殊形式，數(shù)組內(nèi)的各元素是矢量的

4、分量之積。標(biāo)量、矢量和笛卡爾張量的定義4）張量相等 在同一坐標(biāo)系中，如兩張量的各個(gè)分量全部對(duì)應(yīng)相等，則兩張量相等。5）張量的加減 按矩陣方法，兩張量對(duì)應(yīng)分量相加減。PQTPQ標(biāo)量、矢量和笛卡爾張量的定義6）張量與標(biāo)量的乘（除） 即把張量的各個(gè)分量分別乘以標(biāo)量111213111213212223212223313233313233PPPPPPTPPPPPPPPPPPPP標(biāo)量、矢量和笛卡爾張量的定義7）向量和張量的乘積 向量與張量點(diǎn)乘，其積均為一個(gè)矢量。8）張量與張量乘積 張量與張量單點(diǎn)積得一張量：TP Q標(biāo)量、矢量和笛卡爾張量的定義.張量的重要性 在一個(gè)坐標(biāo)系中，笛卡爾張量所有分量都等于零，在所

5、有笛卡爾坐標(biāo)系中也為零。 兩個(gè)同階笛卡爾兒張量的和或差仍是同階張量，于是同階張量的任何線性組合仍是同階張量。 如果某個(gè)張量方程在一個(gè)坐標(biāo)系中能夠成立，那么對(duì)于允許變換所能得到的所有坐標(biāo)系，也一定成立。應(yīng)力張量和應(yīng)變張量物體受力的類型： 1）外力 作用在物體上的非接觸力，也稱為長程力。 2）表面力 施加在物體外表面的接觸力。 3）內(nèi)部應(yīng)力 是由毗鄰的流體質(zhì)點(diǎn)直接施加給所研究的微元體表面的接觸力，又稱為近程力。應(yīng)力張量和應(yīng)變張量0SFSdF dS 當(dāng)時(shí)，比值趨于一個(gè)確定的極限dFTdST極限向量可寫為： 極限向量 稱為面力，或稱為應(yīng)力向量，即代表作用在面上的單位面積的力；應(yīng)力張量和應(yīng)變張量.應(yīng)力張

6、量 在笛卡爾坐標(biāo)系中，可以將某點(diǎn)的作用力分解在該點(diǎn)附近的三個(gè)互相垂直的微分面上，微分面的方向與選擇的坐標(biāo)方向相同。將各個(gè)面的分力除以微體積元對(duì)應(yīng)的表面積，得到相關(guān)的應(yīng)力，再沿坐標(biāo)方向進(jìn)行分解，得到的分量形式為:123(,)(,)(,)xxxyxzyxyyyzzxzyzzTTTTTTTTTTTT,第一個(gè)下標(biāo)表示該應(yīng)力的作用面。第二個(gè)下標(biāo)表示該應(yīng)力的方向。應(yīng)力張量和應(yīng)變張量 在笛卡爾坐標(biāo)系中，只需在三個(gè)面上的應(yīng)力分量，就能完整描述材料的受力情況?？沙梢韵戮仃囆问剑簒xxyxzyxyyyzzxzyzzTTTTTTTTTTijTT稱為應(yīng)力張量，而則稱為應(yīng)力張量分量。應(yīng)力張量和應(yīng)變張量 通常將應(yīng)力張量分

7、解為兩部分： 流體形變有關(guān)的動(dòng)力學(xué)應(yīng)力，偏應(yīng)力張量； 張量的各向同性部分；-TP-ijijijTP應(yīng)力張量和應(yīng)變張量稱為單位張量，可定義為以下形式：100= 010001ij當(dāng)時(shí)，應(yīng)力分量就是法向應(yīng)力，其他分量稱為剪切應(yīng)力應(yīng)力張量和應(yīng)變張量簡單流變實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)力張量拉伸實(shí)驗(yàn) 在矩形斷面上施加一個(gè)與端面垂直的力。00000000 xxTT應(yīng)力張量和應(yīng)變張量各向同性壓縮 應(yīng)力矢量總是與分隔面垂直，且在某給定點(diǎn)上的大小與分割面方向無關(guān)。nTnP 流體靜止時(shí)（完全流體無論何時(shí)）內(nèi)部的接觸力就屬于這種性質(zhì)，因此各向同性的應(yīng)力也稱為流體靜壓力。應(yīng)力張量和應(yīng)變張量 在各向同性壓縮實(shí)驗(yàn)中，應(yīng)力在任何方向都與作用

8、面垂直且大小相同。即在笛卡爾坐標(biāo)中：xxyyzzTTTP000000 xxyyzzTTTT剪切應(yīng)力分量均為零，則應(yīng)力張量為：應(yīng)力張量和應(yīng)變張量簡單剪切 在實(shí)驗(yàn)中，應(yīng)力與作用面平行?？偭貫椋?yxxydLT dxdydzT dxdydz 為了保持平衡，在施加一個(gè)剪切應(yīng)力的同時(shí)，必須施加相應(yīng)的另一個(gè)剪切應(yīng)力。0000000 xyyxTTT應(yīng)力張量和應(yīng)變張量.應(yīng)變張量 變形前兩點(diǎn)的相對(duì)位置可用下列矢量表示：12(,)PPdx dy dz變形后的兩點(diǎn)相對(duì)位置用下列矢量表示：12(,)xyzP Pdxdu dydudzdu應(yīng)力張量和應(yīng)變張量變形前的距離為：(,)dsdx dy dz變形后產(chǎn)生的相對(duì)位移

9、：(,)xyzdudu dudu應(yīng)力張量和應(yīng)變張量 變形前后兩點(diǎn)的相對(duì)位置發(fā)生變化，其變化量分別為相對(duì)位移在坐標(biāo)軸上的分量，其矩陣形式為:xxxyyyzzzuuuxyzuuududsxyzuuuxyz 無窮小位移梯度張量,yxzuuuxyz和分別表示各坐標(biāo)軸方向上的單位伸長，即變形對(duì)各坐標(biāo)的變化率。應(yīng)力張量和應(yīng)變張量 根據(jù)矩陣運(yùn)算法則，無窮小位移梯度張量可分解為兩部分：11+2211+2211+22110-2211-2212yxxxzyyyxzyxzzzyxxzyyyxzuuuuuxyxzxuuuuududsxyyzyuuuuuxzyzzuuuuyxzxuuuuuxyyzy（） （）（）（）（

10、） （）（） （）（）（）（=E+W1-2yxzzzuuuuuxzyzz） （）應(yīng)變張量反對(duì)稱二階張量應(yīng)力張量和應(yīng)變張量應(yīng)變張量可簡為：xxxyxzijyxyyyzzxzyzzeeeEeeeeeee可得到：,yxzxxyyzzuuueeexyz1+2yxxyyxuueeyx（）1+2xzxzzxuueezx（）1+2yzyzzyuueeyz（）應(yīng)力張量和應(yīng)變張量第一不變量：1xxyyzzIeee第二不變量：2( , , )ijjiijIe ei jx y z第三不變量：3000000 xxxyxzxyxyyyzyzxzyzzzeeeeIeeeeeeee應(yīng)力張量和應(yīng)變張量.各向同性壓縮 設(shè)笛卡爾

11、坐標(biāo)的原點(diǎn)在試樣的角上，各邊與坐標(biāo)軸一致。(1)xx(1)yy(1)zz應(yīng)力張量和應(yīng)變張量.拉伸實(shí)驗(yàn) 笛卡爾坐標(biāo)的原點(diǎn)在物體的中心，各邊與坐標(biāo)軸平行。(1)xx(1)yy(1)zz應(yīng)力張量和應(yīng)變張量.簡單剪切xxyyyzz應(yīng)力張量和應(yīng)變張量描述流動(dòng)會(huì)涉及應(yīng)變速率張量，則為11()()2211()()2211()()22yxxxzyyyxzyxzzzxyxzxvxyyzyxzzyz應(yīng)力張量和應(yīng)變張量如果 ，則流體無體積變化11I 如果 ，則流體體積膨脹11I 如果 ，則流體體積壓縮11I 本構(gòu)方程和材料函數(shù)本構(gòu)方程：（constitutive equation） 是一類聯(lián)系應(yīng)力張量和應(yīng)變張量或應(yīng)變速率張量