同濟(jì)版大一高數(shù)第十一章第三節(jié)格林公式

1、1高等數(shù)學(xué) 第二十二講2第三節(jié)一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的 等價(jià)條件等價(jià)條件格林公式及其應(yīng)用 第十一章 3引例：引例：計(jì)算ydxexdyeIyxLyx33積分路徑沿著圓周1:22 yxL的正向。解法：解法：應(yīng)用格林公式由于二重積分和平面的曲線那么它們兩者之間能否通過定積分而聯(lián)系起來？本節(jié)介紹格林公式將指出，二重積分可以化為沿區(qū)域 D 的邊界曲線 L 正向的曲線積分，在平面閉區(qū)域 D 上的這就溝通了曲線積分和二重積分之間的聯(lián)系。x0y積分都是化為定積分來計(jì)算的，4LD區(qū)域 D 分類單連通區(qū)域 ( 無“洞”區(qū)域 )多連通區(qū)域 ( 有“洞”區(qū)

2、域 )域 D 邊界L 的正向正向: 域的內(nèi)部靠左域的內(nèi)部靠左定理定理1. 設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線 L 圍成,則有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),一、一、 格林公式格林公式證明證明：即要證DydxdxQDydxdyPLxdPLydQ5證明證明:bxaxyxD)()(:21則d dDPx yybaxxxPd) )(,(2)()(21dxxyyPbaxxxPd) )(,(1baxddcyxoECBAbaDDydxdyPLxdPLxdPACBBEAPdxPdx dxxxPdxxxPabba21,baxxxP

3、d) )(,(1baxxxPd) )(,(26即yxxQDddLydyxQ),(同理可證yxyPDddLxdyxP),(、兩式相加得:LDyQxPyxyPxQdddd7yxoL2) 若D不滿足以上條件, 則可通過加輔助線將其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd為有限個(gè)上述形式的區(qū)域 , 如圖)(的正向邊界表示kkDD證畢8引例：引例：計(jì)算ydxexdyeIyxLyx33積分路徑沿著圓周1:22 yxL的正向。解法解法：應(yīng)用格林公式D3,xeyxQyx23yeyPyx23xexQyxydxdyxD223201033rdrd23x0y11

4、3,yeyxPyxLDQPIdxd yxy9例例1：利用格林公式計(jì)算LydyxdyxI22L由曲線的正向邊界曲線。所圍成的區(qū)域直線和Dxyxy230 xDy1 , 1M解：解：畫出閉曲線及其所圍成的區(qū)域D。22yQyxP02xQxyPDydxdxI210232xxydxdx10322xdxxx44141113104311xxxy 32xy 1. 1. 簡(jiǎn)化曲線積分簡(jiǎn)化曲線積分簡(jiǎn)單應(yīng)用簡(jiǎn)單應(yīng)用10例例2 計(jì)算：LyxydexxdeyI11其中L 為折線 OABO, O(0,0) A(1,0) B(1,2).xAy0B解：解：,xyPQeeyxydeexdxxy)(1020102)21(xdxee

5、xx7212eDxyLdee)(xyOB2:11,)()(22222dyxexdxxeyIyLy計(jì)算.4)2(22的正向?yàn)殚]曲線其中yxL:解22222),(,),(xexyxQxeyyxPyy所以由格林公式 yxyPxQ22 DdxdyyxI)22(cos40220cos4drrd 16Ddxdyx2204cos3644d例例3AX2422 164D2x0y12例例4 4. 設(shè) L 是一條分段光滑的閉曲線, 證明0dd22yxxyxL證證: 令,22xQyxP則yPxQ利用格林公式 , 得yxxyxLdd22022xxDyxdd0013例例5. 計(jì)算,dd22Lyxxyyx其中L為一無重點(diǎn)且

6、不過原點(diǎn)的分段光滑正向閉曲線.解解: 令,022時(shí)則當(dāng) yx22222)(yxxyxQ設(shè) L 所圍區(qū)域?yàn)镈,)0 , 0(時(shí)當(dāng)D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxoL.:條件應(yīng)用格林公式要注意其注意142222220cossind2,)0 , 0(時(shí)當(dāng)D在D 內(nèi)作圓周222:,l xy取逆時(shí)針方向,1D, 對(duì)區(qū)域1D應(yīng)用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dloyx記 L 和 l 所圍的區(qū)域?yàn)榱止?, 得15 計(jì)算計(jì)算 Lyxydxxdy22, , 則則當(dāng)當(dāng)

7、022 yx 時(shí)時(shí), , 記L所圍成的閉區(qū)域?yàn)镈, 解解令令 2222,yxxQyxyP , .1) 1() 1() 1 (22的正向?yàn)閳A周yxL.1)2(的正向?yàn)檎叫?yxL例例6有有 yPyxxyxQ 22222)(. 由格林公式知由格林公式知 Lyxydxxdy022.1) 1() 1() 1 (22的正向?yàn)閳A周yxL16作位于D內(nèi)圓周 222ayxl:, 記1D由L和 l所圍成, 應(yīng)應(yīng)用用格格林林公公式式, ,得得 .1)2(的正向?yàn)檎叫?yxLLyxydxxdy22lLyxydxxdy22lyxydxxdy22202sinsin)cos(cosdtatatatata20dt2統(tǒng)一

8、變量化成定積分lyxydxxdy22取順時(shí)針方向。17DyaLxo,d)2cos(d)2sin(LxxyyexyyeI其中L為上半圓周222(),0,0,xayaay解解: :L OAOAI(sin2 )dxOAeyyx20DdA2a沿逆時(shí)針方向.例例7 計(jì)算2cosyeyPxyexQxcos()DQPdxy18例例82009年考研年考研計(jì)算曲線積分是曲線解解 取輔助線 由格林公式2sin22(1),LIxdxxydyLsinyx(0,0)( ,0)其中L上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段。1:0, 0,Lyx11L LLI1001sin2cos202Lxdxx4DIxyd sin004xxdxydy 202s

9、inxxdx 20sin xdx 220(sin )xfx dx0(sin )2fx dxyLxo19格格林林公公式式: : LDQdyPdxdxdyyPxQ)( 取取 ,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2閉閉區(qū)區(qū)域域D的的面面積積 LydxxdyA21. 取取, 0 xQP 得得 LxdyA 2. 2. 計(jì)算平面面積計(jì)算平面面積取取, 0, QyP 得得 LydxA 20推論推論: 正向閉曲線 L 所圍區(qū)域 D 的面積LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 橢圓20,sincos:byaxL所圍面積LxyyxAdd212022d)sincos(

10、21ababab21例例9：用兩種方法計(jì)算LydxxdyI220 xyxy1L由曲線nAB解法解法122:1AnBxy其中101:xxyBA2033cossintdtt10221xdxx323234AnBBAI 20sincosttytx2211xyxy圍時(shí)針。和所成的逆方向(0,0).xy22例例9 用兩種方法計(jì)算LydxxdyI22L由曲線解法解法222xQyPyxyPxQ2DydxdyxI2Dydxdx432421110 xxydxdx)4(Dydxdy輪換對(duì)稱法D0 xyxy1AB2211xyxy圍時(shí)針。和所成的逆方向(0,0).xy23例例11. 計(jì)算yxo,dd22yxxyxL其中

11、L為(1) 拋物線 ; 10:,:2xxyL(2) 拋物線 ;10:,:2yyxL(3) 有向折線 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式y(tǒng)yy222yy d5104(3) 原式1)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)41110d0 x10dy此題的特點(diǎn)：22xQyxPxQxyP224二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價(jià)條件定理定理2. 設(shè)D 是單連通域 ,),(),(yxQyxP在D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(2) 沿D 中任意光滑閉曲線 L , 有.0ddLyQxP(3) 對(duì)D 中任

12、一分段光滑曲線 L, 曲線積分(4)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(dLyQxPdd與路徑無關(guān), 只與起止點(diǎn)有關(guān). 函數(shù)則以下四個(gè)條件等價(jià):在 D 內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即 (1) 在 D 內(nèi)每一點(diǎn)都有.xQyP25證明證明 (1) (2)設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,DD (如圖) ,上因此在DxQyP利用格林公式格林公式 , 得yxyPxQyQxPLDdd)(ddDDL0所圍區(qū)域?yàn)樽C畢26說明說明: 積分與路徑無關(guān)時(shí), 曲線積分可記為 證明證明 (2) (3)設(shè)21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1dd

13、LyQxP為D 內(nèi)任意兩條由A 到B 的有向分段光滑曲線, 則(根據(jù)條件(2)BAyQxPddAByQxPddydQxPdLL2127證明證明 (3) (4)在D內(nèi)取定點(diǎn)),(00yxA因曲線積分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux則),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可證yu),(yxQ因此有yQxPuddd和任一點(diǎn)B( x, y ),與路徑無關(guān),),(yxxC),(yxB),(00yxA有函數(shù) 28證明證明 (4) (1)設(shè)存在函數(shù) u ( x ,

14、 y ) 使得yQxPuddd則),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),xyuyxu22所以從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有xQyPxyuxQyxuyP22,29yx說明說明: 根據(jù)定理2 , 若在某區(qū)域內(nèi),xQyP則2) 求曲線積分時(shí), 可利用格林公式簡(jiǎn)化計(jì)算,3) 可用積分法求d u = P dx + Q dy在域 D 內(nèi)的原函數(shù):Dyx),(00及動(dòng)點(diǎn),),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x則原函數(shù)為yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若積分路徑不

15、是閉曲線, 可添加輔助線;取定點(diǎn)1) 計(jì)算曲線積分時(shí), 可選擇方便的積分路徑;30yA xoL例例1. 計(jì)算,d)(d)3(22yxyxyxIL其中L 為上半24xxy從 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解:,AOD它與LyxyxyxIAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圓周所圍區(qū)域?yàn)镈 , 則431yPxQ0:yOA為了使用格林公式, 添加輔助線段648331,)()(22LyxdyyxdxyxI計(jì)算.)0 , 1 ()0 , 1(222的弧其中L是曲線BAxy到從上解：解：因?yàn)?22),(yxyxyxP22),(yxyxyxQyPyx

16、xyyxxQ22222)(2)0 , 0(),(yx即不含原點(diǎn)的單連通域，積分與路徑無關(guān)。 取新路徑 的上半單位圓弧到為從)0 , 1 ()0 , 1(*BAL122 yx例例2x0y)0 , 1(A)0 , 1 (B232其參數(shù)方程為 tytxsincos）（LyxdyyxdxyxI22)(dttttttt0cos)sin(cos)sin)(sin(cos0dt,)()(22LyxdyyxdxyxI計(jì)算x0y)0 , 1(A)0 , 1 (B2:0.t例例2.)0 , 1 ()0 , 1(222的弧其中L是曲線BAxy到從上122 yx33例例3：計(jì)算ydxexxdyexIyLy22421

17、, 1:2，到由BAxyL解：解：yeyPy2xexQy2ydexxdexIyLyydxxdyL2221II xQyPI中1CBACI121412)(ydexdexy1:yAC2:xCBee232421342)2(xdxxI積分與路徑無關(guān)5313103724ee統(tǒng)一變量化成定積分12，C0 xy 11，A42，B34例例4. 驗(yàn)證yyxxyxdd22是某個(gè)函數(shù)的全微分, 并求出這個(gè)函數(shù). 證證: 設(shè),22yxQyxP則xQyxyP2由定理2 可知, 存在函數(shù) u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(。),(yx)0

18、,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx35例例5： 驗(yàn)證ydyyxxdyxx)23()23(2232在整個(gè)yx0平面內(nèi)是全微分式，并求出它的一個(gè)原函數(shù)。解：解：232232,32PxxyQx yyxQxyyP26在整個(gè)xoy平面上都成立則所給出的微分式是全微分式。 利用公式：),(),(223200)23()23(),(yxyxydyyxxdxyxyxu取000,yxM0 , 0O為起點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)為yxM,0 xyyxM,)0 ,(xBxyydyyxxdxx022032)23()023(方法方法1yxu,2323yyxx36方法方法20 xyyxM,), 0(yAyxu,232

19、3yyxx例例6： 驗(yàn)證ydyyxxdyxx)23()23(2232在整個(gè)yx0平面內(nèi)是全微分式，并求出它的一個(gè)原函數(shù)。yxxdyxxydyy003222)23()230(37方法方法3 取 000,yxM1 , 10Mxyydyyxxdxx122132)23()123(32323yyxxyxu,注：注：積分的起點(diǎn)不同，結(jié)果相差一個(gè)常數(shù)。應(yīng)該選擇某些特殊的點(diǎn)方便計(jì)算。例例5 驗(yàn)證ydyyxxdyxx)23()23(2232yx0平面內(nèi)是全微分式，并求出它的一個(gè)原函數(shù)。383223,yxxPxuyxu滿足xxxdxyxyxu0)23(),(32 yyxx323 yyxyu223Qyyx2322

20、cyy2cyyxxyxu2323,方法方法4 例例5 驗(yàn)證ydyyxxdyxx)23()23(2232在整個(gè)yx0平面內(nèi)是全微分式，并求出它的一個(gè)原函數(shù)。39例例6. 驗(yàn)證22ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在原函數(shù) , 并求出它. 證證: 令2222,yxxQyxyP則)0()(22222xyQyxxyxP由定理定理 2 可知存在原函數(shù)),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yx40oxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx),()0 , 1 (22dd),(yxyxx

21、yyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy412. 設(shè), )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu).,(yxu求提示提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422),(yxuyox),(yx)0 ,(xxxxd04yyyxyd)56(0422C551x322yxCy 5xxyxd)4(34yyyxd)56(422),()0 , 0(yxC42例例7. 設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)作用下沿曲線 L :xycos2由)2, 0(A移動(dòng)到, )0,2(B求力場(chǎng)所作的功W解解:21( dd )Lky xx yr令22,yxPQrr 則有22224(0)PxyxyyrxQ可見, 在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān). )(22yxr其中LBAyox),(2xyrkFsFWLd43:AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2思考思考: 積分路徑是否可以取?OBAO取圓弧LBAyox為什么？注意： 本題只在不含原點(diǎn)的單連通區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān) !44D例例8. 質(zhì)點(diǎn)M 沿著以AB為直徑的半圓