Mathematica完美教程

1、Mathematica 教程第第1章章 Mathematica概述概述第第2章章 Mathematica的基本量的基本量第第3章章 Mathematica的基本運(yùn)算的基本運(yùn)算第第4章章 Mathematica函數(shù)作圖函數(shù)作圖第第5章章 Mathematica微積分的基本操作微積分的基本操作第第6章章 Mathematica微分方程的求解微分方程的求解第第7章章 Mathematica程序設(shè)計(jì)程序設(shè)計(jì)第第1章章 Mathematica概述概述1.1.1 Mathematica的啟動(dòng)和運(yùn)行的啟動(dòng)和運(yùn)行 Mathematica是美國(guó)Wolfram研究公司生產(chǎn)的一種數(shù)學(xué)分析型的軟件，以符號(hào)計(jì)算見長(zhǎng)，也

2、具有高精度的數(shù)值計(jì)算功能和強(qiáng)大的圖形功能。 假設(shè)在Windows環(huán)境下已安裝好Mathematica4.0，啟動(dòng)Windows后，在“開始”菜單的“程序”中單擊 ，就啟動(dòng)了Mathematica4.0，在屏幕上顯示如圖的Notebook窗口，系統(tǒng)暫時(shí)取名Untitled-1，直到用戶保存時(shí)重新命名為止。 輸入1+1，然后按下Shift+Enter鍵，這時(shí)系統(tǒng)開始計(jì)算并輸出計(jì)算結(jié)果，并給輸入和輸出附上次序標(biāo)識(shí)In1和Out1，注意In1是計(jì)算后才出現(xiàn)的；再輸入第二個(gè)表達(dá)式，要求系統(tǒng)將一個(gè)二項(xiàng)式展開，按Shift+Enter輸出計(jì)算結(jié)果后，系統(tǒng)分別將其標(biāo)識(shí)為In2和Out2。如圖 在Mathema

3、tica的Notebook界面下，可以用這種交互方式完成各種運(yùn)算，如函數(shù)作圖，求極限、解方程等，也可以用它編寫像C那樣的結(jié)構(gòu)化程序。 在Mathematica系統(tǒng)中定義了許多功能強(qiáng)大的函數(shù)，我們稱之為內(nèi)建函數(shù)（built-in function）, 直接調(diào)用這些函數(shù)可以取到事半功倍的效果。這些函數(shù)分為兩類： (1) 一類是數(shù)學(xué)意義上的函數(shù)，如：絕對(duì)值函數(shù)Absx，正弦函數(shù)Sinx，余弦函數(shù)Cosx，以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)Logx，以a為底的對(duì)數(shù)函數(shù)Loga,x等； (2) 第二類是命令意義上的函數(shù)，如作函數(shù)圖形的函數(shù)Plotfx,x,xmin,xmax，解方程函數(shù)Solveeqn,x，求導(dǎo)函數(shù)Df

4、x,x等。 Mathematica 嚴(yán)格區(qū)分大小寫。 一般地，內(nèi)建函數(shù)的首寫字母必須大寫，有時(shí)一個(gè)函數(shù)名是由幾個(gè)單詞構(gòu)成，則每個(gè)單詞的首寫字母也必須大寫，如：求局部極小值函數(shù)FindMinimumfx,x,x0等。第二點(diǎn)要注意的是，在Mathematica中，函數(shù)名和自變量之間的分隔符是用方括號(hào)“ ”，而不是一般數(shù)學(xué)書上用的圓括號(hào)“（ ）”，初學(xué)者很容易犯這類錯(cuò)誤。 必須注意的是 如果輸入了不合語法規(guī)則的表達(dá)式，系統(tǒng)會(huì)顯示出錯(cuò)信息，并且不給出計(jì)算結(jié)果。 例如：要畫正弦函數(shù)在區(qū)間-10，10上的圖形，輸入plotSinx,x,-10,10，則系統(tǒng)提示“可能有拼寫錯(cuò)誤， 新符號(hào)plot 很像已經(jīng)存

5、在的符號(hào)Plot”，實(shí)際上，系統(tǒng)作圖命令“Plot”第一個(gè)字母必須大寫，一般地，系統(tǒng)內(nèi)建函數(shù)首寫字母都要大寫。再輸入PlotSinx,x,-10,10 ，系統(tǒng)又提示缺少右方括號(hào)，并且將不配對(duì)的括號(hào)用藍(lán)色顯示，如圖 一個(gè)表達(dá)式只有準(zhǔn)確無誤，方能得出正確結(jié)果。學(xué)會(huì)看系統(tǒng)出錯(cuò)信息能幫助我們較快找出錯(cuò)誤，提高工作效率。1.1.2 表達(dá)式的輸入表達(dá)式的輸入 Mathematica 提供了多種輸入數(shù)學(xué)表達(dá)式的方法。除了用鍵盤輸入外， 還可以使用工具欄或者快捷方式健入運(yùn)算符、矩陣或數(shù)學(xué)表達(dá)式。 1數(shù)學(xué)表達(dá)式二維格式的輸入數(shù)學(xué)表達(dá)式二維格式的輸入 Mathematic擔(dān)提供了兩種格式的數(shù)學(xué)表達(dá)式。形如x/(2

6、+3x)+y*(x-w)的稱為一維格式，形如 的稱為二維格式。 你可以使用快捷方式輸入二維格式，也可用基本輸入工具欄 輸入二維格式。 可從FILE菜單中激活Palettes-Basic Input 工具欄，也可輸入， 并且使用工具欄可輸入更復(fù)雜的數(shù)學(xué)表達(dá)式。 如圖： 2特殊字符的輸入特殊字符的輸入 MathemMatica 還提供了用以輸入各種特殊符號(hào)的工具樣。基本輸入 工具樣包含了常用的特殊字符（上圖），只要單擊這些字符按鈕即可輸入。 若要輸入其它的 特殊字符或運(yùn)算符 號(hào)，必須使用從FILE 菜單中選取Complete Characters工具欄, 如圖： 1.2 Mathematica的聯(lián)

7、機(jī)幫助系統(tǒng)的聯(lián)機(jī)幫助系統(tǒng) 用Mathematica的過程中，常常需要了解一個(gè)命令的詳細(xì)用法，或者想知系統(tǒng)中是否有完成某一計(jì)算的命令，聯(lián)機(jī)幫助系統(tǒng)永遠(yuǎn)是最詳細(xì)、最方便的資料庫 1獲取函數(shù)和命令的幫助獲取函數(shù)和命令的幫助：在Notebook界面下, 用 ？或 ? 可向系統(tǒng)查詢運(yùn)算符、函數(shù)和命令的定義和用法, 獲取簡(jiǎn)單而直接的幫助信息。 例如, 向系統(tǒng)查詢作圖函數(shù)Plot命令的用法？Plot 系統(tǒng)將給出調(diào)用Plot的格式以及Plot命令的功能 (如果用兩個(gè)問號(hào)“?”，則信息會(huì)更詳細(xì)一些)。? Plot* 給出所有以Plot這四個(gè)字母開頭的命令 2 Help菜單：菜單：任何時(shí)候都可以通過按F1鍵或點(diǎn)擊

8、幫助菜單項(xiàng)Help Browser, 調(diào)出幫助菜單, 如下圖所示其中的各按鈕用途如下表所示 如果要查找Mathematica中具有某個(gè)功能的函數(shù)，可以通過幫助菜單中的Mahematica使用手冊(cè)，通過其目錄索引可以快速定位到自己要找的幫助信息。 例如：需要查找Mathematica中有關(guān)解方程的命令，單擊“The Mathematica Book”按鈕，再單擊“Contents”，在目錄中找到有關(guān)解方程的節(jié)次，點(diǎn)擊相應(yīng)的超鏈接，有關(guān)內(nèi)容的詳細(xì)說明就馬上調(diào)出來了。如果知道具體的函數(shù)名，但不知其詳細(xì)使用說明，可以在命令按鈕 Goto 右邊的文本框中鍵入函數(shù)名，按回車鍵后就顯示有關(guān)函數(shù)的定義、例題和

9、相關(guān)聯(lián)的章節(jié)。例如，要查找函數(shù)Plot的用法，只要在文本框中鍵入Plot，按回車鍵后顯示如圖的窗口， 再按回車鍵，則顯示Plot函數(shù)的詳細(xì)用法和例題。如果已經(jīng)確知Mathematica 中有具有某個(gè)功能的函數(shù)，但不知具體函數(shù)名，可以點(diǎn)擊Built-in Functions按鈕，再按功能分類從粗到細(xì)一步一步找到具體的函數(shù)，例如，要找畫一元函數(shù)圖形的函數(shù)，點(diǎn)擊Built-in Functions -Graphics and Sound-2D Plots-Plot，找到Plot的幫助信息。 如果知道具體的函數(shù)名，但不知其詳細(xì)使用說明，可以在命令按鈕 Goto 右邊的文本框中鍵入函數(shù)名，按回車鍵后就顯

10、示有關(guān)函數(shù)的定義、例題和相關(guān)聯(lián)的章節(jié)。例如，要查找函數(shù)Plot的用法，只要在文本框中鍵入Plot，按回車鍵后顯示如圖1-5的窗口，再按回車鍵，則顯示Plot函數(shù)的詳細(xì)用法和例題。 如果已經(jīng)確知Mathematica 中有具有某個(gè)功能的函數(shù)，但不知具體函數(shù)名，可以點(diǎn)擊Built-in Functions按鈕，再按功能分類從粗到細(xì)一步一步找到具體的函數(shù)，例如，要找畫一元函數(shù)圖形的函數(shù)，點(diǎn)擊 Built-in Functions -Graphics and Sound-2D Plots-Plot，找到Plot的幫助信息。第第2章章 Mathematica的基本量的基本量2.1 數(shù)據(jù)類型和常數(shù)數(shù)據(jù)類型

11、和常數(shù) 1數(shù)值類型數(shù)值類型 在在Mathematic中，基本的數(shù)值類型有四種：整數(shù)，中，基本的數(shù)值類型有四種：整數(shù)，有理數(shù)、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)。有理數(shù)、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)。 如果你的計(jì)算機(jī)的內(nèi)存足夠大，如果你的計(jì)算機(jī)的內(nèi)存足夠大，Mathemateic 可以可以表示任意長(zhǎng)度的精確實(shí)數(shù)，而不受所用的計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)表示任意長(zhǎng)度的精確實(shí)數(shù)，而不受所用的計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)的影響。整數(shù)與整數(shù)的計(jì)算結(jié)果仍是精確的整數(shù)或是的影響。整數(shù)與整數(shù)的計(jì)算結(jié)果仍是精確的整數(shù)或是有理數(shù)。有理數(shù)。 例如：例如：2的的100次方是一個(gè)次方是一個(gè)31位的整數(shù)：位的整數(shù)： ln1:=2100 Out1=12676506002282282294014967

12、03205376 在Mathematica中允許使用分?jǐn)?shù)，也就是用有理數(shù)表示化簡(jiǎn)過的分?jǐn)?shù)。當(dāng)兩個(gè)整數(shù)相除而又不能整除時(shí)，系統(tǒng)就用有理數(shù)來表示，即有理數(shù)是由兩個(gè)整數(shù)的比來組成如： In2:=12345/5555 Out2=2469/1111 實(shí)數(shù)是用浮點(diǎn)數(shù)表示的，實(shí)數(shù)是用浮點(diǎn)數(shù)表示的，Mathematica實(shí)數(shù)的有實(shí)數(shù)的有效位可取任意位數(shù)，是一種具有任意精確度的近效位可取任意位數(shù)，是一種具有任意精確度的近似實(shí)數(shù)，當(dāng)然在計(jì)算的時(shí)候也可以控制實(shí)數(shù)的精似實(shí)數(shù)，當(dāng)然在計(jì)算的時(shí)候也可以控制實(shí)數(shù)的精度。實(shí)數(shù)有兩種表示方法：一種是小數(shù)點(diǎn)另外一度。實(shí)數(shù)有兩種表示方法：一種是小數(shù)點(diǎn)另外一種是用指數(shù)方法表示的。如：

13、種是用指數(shù)方法表示的。如： ln3:=0.239998 Out3=0.23998 ln4:=0.12*1011 Out4=0.12*1011 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)也可以與整數(shù)，有理數(shù)進(jìn)行混合運(yùn)算結(jié)果還也可以與整數(shù)，有理數(shù)進(jìn)行混合運(yùn)算結(jié)果還是一個(gè)實(shí)數(shù)。是一個(gè)實(shí)數(shù)。 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)是由實(shí)部和虛部組成。實(shí)部和虛部可以用整數(shù)，實(shí)數(shù)，有理數(shù)表示。在Mathematica中，用I表示虛數(shù)單位如： In6:=3+0.7I Out6:=3+0.7I 2.不同類型數(shù)的轉(zhuǎn)換不同類型數(shù)的轉(zhuǎn)換 在Mathematica的不同應(yīng)用中，通常對(duì)數(shù)字的類型要求是不同的。例如在公式推導(dǎo)中的數(shù)字常用整數(shù)或有理數(shù)表示，而在數(shù)值計(jì)算中的數(shù)字常用實(shí)數(shù)表

14、示。在一般情況下在輸出行Outn中，系統(tǒng)根據(jù)輸入行l(wèi)nn的數(shù)字類型對(duì)計(jì)算結(jié)果做出相應(yīng)的處理。如果有一些特殊的要求，就要進(jìn)行數(shù)據(jù)類型轉(zhuǎn)換。 在Mathematica中的提供以下幾個(gè)函數(shù)達(dá)到轉(zhuǎn)換的目的： 舉例舉例 ln1=N5/3,20 Out1=1.66666666666666666667 ln2:=N%,10 Out2=1.66666667 二行輸出是把上面計(jì)算的結(jié)果變?yōu)槎休敵鍪前焉厦嬗?jì)算的結(jié)果變?yōu)?0位精度位精度的數(shù)字。表示上一輸出結(jié)果。的數(shù)字。表示上一輸出結(jié)果。 In3=Rationalize% Out3=5/3 3.數(shù)學(xué)常數(shù)數(shù)學(xué)常數(shù) Mathematica 中定義了一些常見的數(shù)學(xué)常數(shù)，

15、這中定義了一些常見的數(shù)學(xué)常數(shù)，這些數(shù)學(xué)常數(shù)都是精確數(shù)，例如表示圓周率。些數(shù)學(xué)常數(shù)都是精確數(shù)，例如表示圓周率。 數(shù)學(xué)常數(shù)可用在公式推導(dǎo)和數(shù)值計(jì)算中。數(shù)學(xué)常數(shù)可用在公式推導(dǎo)和數(shù)值計(jì)算中。在數(shù)值計(jì)算中表示精確值在數(shù)值計(jì)算中表示精確值,如：如： In1:=Pi2 Out1= ln2:=Pi2/N Out2=9.8696124.數(shù)的輸出形式數(shù)的輸出形式 在數(shù)的輸出中可以使用轉(zhuǎn)換函數(shù)進(jìn)行不同數(shù)據(jù)類在數(shù)的輸出中可以使用轉(zhuǎn)換函數(shù)進(jìn)行不同數(shù)據(jù)類型和精度的轉(zhuǎn)換。另外對(duì)一些特殊要求的格式還型和精度的轉(zhuǎn)換。另外對(duì)一些特殊要求的格式還可以使用如下的格式函數(shù)：可以使用如下的格式函數(shù)： 例如：例如： ln1:=NPi30,

16、30 Out1= ln2:=NumberForm%,10 Out2/NumberForm= 下面的函數(shù)輸出冪值可被下面的函數(shù)輸出冪值可被3整除的實(shí)數(shù)整除的實(shí)數(shù) In3=EngineeringForm% Out3/EngineeringForm=8.2128933040274958158650358543410148.2128933041014821.28933040274958158650358543410122.2 變量變量 1變量的命名變量的命名 Mathematica中內(nèi)部函數(shù)和命令都是以大寫字母開始的標(biāo)示符。為了不會(huì)與它門混淆，我們自定義的變量應(yīng)該是以小寫字母開始，后跟數(shù)字和字母的組合

17、，長(zhǎng)度不限。 例如：a12,ast,aST都是合法的，而12a，z*a是非法的。另外在Mathematica中的變量是區(qū)分大小寫的 在Mathematica中，變量不僅可以存放一個(gè)數(shù)值，還可以存放表達(dá)式或復(fù)雜的算式。 2給變量賦值給變量賦值 在Mathmatica中用等號(hào)為變量賦值。同一個(gè)變量可以表示一個(gè)數(shù)值，一個(gè)數(shù)組，一個(gè)表達(dá)式，甚至一個(gè)圖形。如：如： In1:=x=3 Out1=3 In2:=x2+2x Out2=15 In3:=x=%+1 Out3=16 對(duì)不同的變量可同時(shí)賦不同的值, 例如： In4:=u,v,w=1,2,3 Out4=1,2,3 In5:=2u+3v+w Out5=1

18、1 對(duì)于已定義的變量，當(dāng)你不再使用它時(shí)，為防止變量值的混淆，可以隨時(shí)用.清除它的值，如果變量本身也要清除用函數(shù)Clearx 例如例如 ln6:=u=. ln7:=2u+v Out7=2+2u3.變量的替換變量的替換 在給定一個(gè)表達(dá)式時(shí)其中的變量可能取不在給定一個(gè)表達(dá)式時(shí)其中的變量可能取不同的值，這是可用變量替換來計(jì)算表達(dá)式同的值，這是可用變量替換來計(jì)算表達(dá)式的不同值。方法為用的不同值。方法為用expr/.例如：例如： In1:=f=x/2+1 Out1= In2:=f/.x-1 Out2= In3:=f/.x-2 Out3=31x232 如果表達(dá)式中有多個(gè)變量也可以同時(shí)替換方法為例如有兩個(gè)：

19、expr/.x-xval,y-val In4:=(x+y)(x-y)2/.x-3,y-1-a Out4= (4 - a) (2 + a)22.3 函數(shù)函數(shù) 1系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù) 在Mathmatic中定義了大量的數(shù)學(xué)函數(shù)可以直接調(diào)用，這些函數(shù)其名稱一般表達(dá)了一定的意義，可以幫助我們理解。下面是幾個(gè)常用的函數(shù)： Mathematica中的函數(shù)與數(shù)學(xué)上的函數(shù)有些不同的地方，Mathematica中函數(shù)是一個(gè)具有獨(dú)立功能的程序模塊，可以直接被調(diào)用。同時(shí)每一函數(shù)也可以包括一個(gè)，或多個(gè)參數(shù)，也可以沒有參數(shù)。參數(shù)的的數(shù)據(jù)類型也比較復(fù)雜。更加詳細(xì)的可以參看系統(tǒng)的幫助，了解各個(gè)函數(shù)的功能和使用方法是學(xué)習(xí)Math

20、ematica軟件的基礎(chǔ) 2函數(shù)的定義函數(shù)的定義 （1）函數(shù)的立即定義）函數(shù)的立即定義 立即定義函數(shù)的語法如下立即定義函數(shù)的語法如下 fx_=expr 函數(shù)名為函數(shù)名為f,自變量為自變量為x，expr是表達(dá)式。在執(zhí)行時(shí)是表達(dá)式。在執(zhí)行時(shí)會(huì)會(huì)把把expr 中的中的x都換為都換為f的自變量的自變量x(不是不是x_)。函。函數(shù)的自變量具有局部性，只對(duì)所在的函數(shù)起作用。數(shù)的自變量具有局部性，只對(duì)所在的函數(shù)起作用。函數(shù)執(zhí)行結(jié)束后也就沒有了，不會(huì)改變其它全局函數(shù)執(zhí)行結(jié)束后也就沒有了，不會(huì)改變其它全局定義的同名變量的值。請(qǐng)看下面的例子定義的同名變量的值。請(qǐng)看下面的例子 定義函數(shù)定義函數(shù) fx_=x*Sinx

21、+x2 對(duì)定義的函數(shù)我們可對(duì)定義的函數(shù)我們可以求函數(shù)值，也可繪制它的圖形。以求函數(shù)值，也可繪制它的圖形。 對(duì)于定義的函數(shù)我們可以使用命令Clearf清除掉而Removef則從系統(tǒng)中刪除該函數(shù)。 （2）多變量函數(shù)的定義多變量函數(shù)的定義 也可以定義多個(gè)變量的函數(shù)，格式為fx_,y_,z_,=expr 自變量為x,y,z.,相應(yīng)的expr中的自變量 會(huì)被替換。 例如定義函數(shù) f(x,y)=xy+ycosx （3）延遲定義函數(shù)）延遲定義函數(shù) 延遲定義函數(shù)從定義方法上與即時(shí)定義的區(qū)別為“=”與“：=”延遲定義的格式為fx_：=expr其他操作基本相同。那么延遲定義和即時(shí)定義的主要區(qū)別是什么？即時(shí)定義函數(shù)

22、在輸入函數(shù)后立即定義函數(shù)并存放在內(nèi)存中并可直接調(diào)用。延時(shí)定義只是在調(diào)用函數(shù)時(shí)才真正定義函數(shù)。（4）使用）使用If命令定義函數(shù)命令定義函數(shù) 如果要定義如： 這樣的分段函數(shù)可以用If語句來定義。 If語句的格式為If條件，值1，值2如果條件成立取“值1”，否則取“值2”，下面用If語句的定義結(jié)果 這里使用了兩個(gè)If嵌套 2.4 表表 將一些相互關(guān)聯(lián)的元素放在一起，使它們成為一個(gè)整體。既可以對(duì)整體操作，也可以對(duì)整體中的一個(gè)元素單獨(dú)進(jìn)行操作。在Mathematica中這樣的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)就稱作表（List）。表主要有三個(gè)用法：表a,b,c可以表示一個(gè)向量；表a,b,c,d可表示一個(gè)矩陣。 1建建 表表 在表

23、中元素較少時(shí)，可以采取直接列表的方式列出表中的元素，如1,2,3.請(qǐng)看下面的操作 In1:=1,2,3 Out1=1,2,3 下面是符號(hào)表達(dá)式的列表下面是符號(hào)表達(dá)式的列表 In2:=1+%x+x% Out2=1+2x,1+2x+x2,1+3x+x2 下面是對(duì)列表中的表達(dá)式對(duì)x求導(dǎo) In3:=D%,x Out3=2,2+2x,3+3x2 In4:=%/.x-1 Out4=2,4,6 如果表中的元素較多時(shí)，可以用建表函數(shù)進(jìn)行建表。 下面給出x乘i的值的表，i的變化范圍為2,6: In1:=Tablex*i,i,2,6 Out1=2x,3x,4x,5x,6x In2:=Tablex2,4 Out2=

24、x2,x2,x2,x2 用用Range函數(shù)生成一個(gè)序列數(shù)函數(shù)生成一個(gè)序列數(shù) In3:=Range10 Out3=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 下面這個(gè)序列是以步長(zhǎng)為下面這個(gè)序列是以步長(zhǎng)為2，范圍從，范圍從8到到20 In4:=Range8,20,2 Out4=8,10,12,14,16,18,20 上面的參數(shù)變化都是只有一個(gè)，也可制成包括多個(gè)參數(shù)的表，下面生成一個(gè)多維表： In5:=Table2i+j,i,1,3,j,3,5 Out5=5,6,7,7,8,9,9,10,11 使用函數(shù)TableForm可以以表格的方式輸出 In6:=%/TableForm Out6/TableFor

25、m=5 6 7 7 8 9 9 10 112表的元素的操作表的元素的操作 當(dāng)當(dāng)t表示一個(gè)表時(shí)，表示一個(gè)表時(shí)，ti或者或者 Partt,i 表示表示t中的第中的第i個(gè)子表。如果個(gè)子表。如果t=1,2,a,b, 那么那么t3表示表示“a”。 如：如： ln1:=t=TableI+2,jI,1,3,j,3,5 Out1=7,9,11,8,10,12,9,11,13 ln2:=t2 Out2=8,10,12表的操作表的操作 1、制表函數(shù)、制表函數(shù) 2、元素操作、元素操作 3 3、表的操作、表的操作 2.5 表達(dá)式表達(dá)式 1. 表達(dá)式的含義表達(dá)式的含義 Mathematica 能處理數(shù)學(xué)公式，表以及圖能

26、處理數(shù)學(xué)公式，表以及圖形等多多種數(shù)據(jù)形式。盡管他們從形式上形等多多種數(shù)據(jù)形式。盡管他們從形式上看起來不一樣，但在看起來不一樣，但在Mathematica內(nèi)部都內(nèi)部都被看成同種類型，即都把他們當(dāng)作表達(dá)式被看成同種類型，即都把他們當(dāng)作表達(dá)式的形式。的形式。Mathematica 中的表達(dá)式是由常中的表達(dá)式是由常量、變量、函數(shù)、命令、運(yùn)算符和括號(hào)等量、變量、函數(shù)、命令、運(yùn)算符和括號(hào)等組成，他最典型的形式是組成，他最典型的形式是fx,y2表達(dá)式的表示形式表達(dá)式的表示形式 在顯示表達(dá)式時(shí)，由于需要的不同，有時(shí)我們?cè)陲@示表達(dá)式時(shí)，由于需要的不同，有時(shí)我們需要表達(dá)式的展開形式，有時(shí)又需要其因子乘需要表達(dá)式的

27、展開形式，有時(shí)又需要其因子乘積的形式。在我們計(jì)算過程中可能得到很復(fù)雜積的形式。在我們計(jì)算過程中可能得到很復(fù)雜的表達(dá)式，這時(shí)我們又需要對(duì)它們進(jìn)行化簡(jiǎn)。的表達(dá)式，這時(shí)我們又需要對(duì)它們進(jìn)行化簡(jiǎn)。常用的處理這種情況的函數(shù)。變換表達(dá)式表示常用的處理這種情況的函數(shù)。變換表達(dá)式表示形式函數(shù)形式函數(shù) 表達(dá)式(x+y)4 (x+y2) 展開： 還原上面的表達(dá)式為因子乘積的形式： 3關(guān)系表達(dá)式與邏輯表達(dá)式關(guān)系表達(dá)式與邏輯表達(dá)式 我們已經(jīng)知道“”表示給變量賦值。現(xiàn)在我們來學(xué)習(xí)一些其它的邏輯與關(guān)系算子。關(guān)系表達(dá)式是最簡(jiǎn)單的邏輯表達(dá)式，我們常用關(guān)系表達(dá)式表示一個(gè)判別條件。例如：x0, y=0。關(guān)系表達(dá)式的一般形式是：表

28、達(dá)式關(guān)系算子表達(dá)式。其中表達(dá)式可為數(shù)字表達(dá)式、字符表達(dá)式或意義更廣泛的表達(dá)式，如一個(gè)圖形表達(dá)式等。在我們實(shí)際運(yùn)用中，這兒的表達(dá)式常常是數(shù)字表達(dá)式或字符表達(dá)式。 下面出Mathematica中的各種關(guān)系算子。 給變量x,y賦值，輸出后以變量的值，如： In1:=x=2;y=9 Out1=9; In2:=xy Out2=False 下面是比較兩個(gè)表達(dá)式的大小 In3:=32y+1 Out3=True 用一個(gè)關(guān)系式只能表示一個(gè)判定條件，要表示幾個(gè)判定條件胡組合，必須用邏輯運(yùn)算符將關(guān)系表達(dá)式組織在一起，我們稱表示判定條件的表達(dá)式為邏輯表達(dá)式。 下面是常用的邏輯運(yùn)算和它們的意義 ?。悍?、 &：并

29、、|：或、 Xor：異或、If：條件 例如下面的例子說明它們的應(yīng)用 In4:=3x2value 在指定區(qū)間上按選項(xiàng)定義值畫出函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的圖形. Plotf1,f2,f3, x,xmin,xmax,option-value 在指定區(qū)間上在指定區(qū)間上按選項(xiàng)定義值同時(shí)畫按選項(xiàng)定義值同時(shí)畫出多個(gè)函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的圖形出多個(gè)函數(shù)在直角坐標(biāo)系中的圖形 Mathematica繪圖時(shí)允許用戶設(shè)置選項(xiàng)值對(duì)繪制圖形的細(xì)節(jié)提出各種要求。例如：要設(shè)置圖形的高寬比，給圖形加標(biāo)題等。每個(gè)選項(xiàng)都有一個(gè)確定的名字，以“選項(xiàng)名-選項(xiàng)值”的形式放在Plot中的最右邊位置，一次可設(shè)置多個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng)依次排列，用逗號(hào)隔開，也

30、可以不設(shè)置選項(xiàng)，采用系統(tǒng)的默認(rèn)值。 1.舉例 (1)例如繪制 的圖形。 (2)如果要取消刻度可以使用Ticks選項(xiàng) (3)如果要標(biāo)注坐標(biāo)名稱x 軸為“Time”,y軸為 “Height” (4)將坐標(biāo)交點(diǎn)(3，0)，并標(biāo)注圖形名稱。 (5)修改x方向的刻度，y軸方向的刻度則用默認(rèn)值。 (6)定義y軸的繪圖范圍 (7) 另外我們也可以將圖形結(jié)果定義給變量， 但不顯示圖形，后用Show命令顯示。 2.數(shù)據(jù)集合的圖形數(shù)據(jù)集合的圖形 Mathematica用于繪數(shù)字集合的圖形的命令與前而介紹的繪函數(shù)圖形的命令是相似的。如下:(1)下面舉例說明下面是一個(gè)離散數(shù)據(jù)的集合的圖形 3.二維參數(shù)作圖二維參數(shù)作圖

31、 前面我們使用Plot命令可以繪出直角坐標(biāo)系下的函數(shù)圖形，使用ParametrecPlot可以繪制參數(shù)曲線下面給出ParametricPlot的常用形式(1).繪制參數(shù)方程 的圖形 (2)下面將一個(gè)圓與上面參數(shù)繪在同一個(gè)坐標(biāo)下，并保證圖形的形狀正確。 4.3 圖形的樣式 下面給出選項(xiàng)用于設(shè)置圖形樣式。 1.圖形顏色的設(shè)置 在Mathematicaa提供各種圖形指令中，對(duì)圖形元素顏色的設(shè)置是一個(gè)很重要的設(shè)置。 下面給出三條不同顏色的正弦曲線. 下面用不同的色調(diào)對(duì)三個(gè)菱形進(jìn)行著色。 2.圖形大小圖形大小 下面是一些點(diǎn)，注意點(diǎn)大小的控制。 下面的點(diǎn)的控制是用絕對(duì)單位 3.線段的控制線段的控制 下面的

32、例子是控制線段的寬度，使用的是絕對(duì)控制。4.4 圖形的重繪和組合圖形的重繪和組合 每次繪制圖形后，Mathematica保存了圖形的所有信息，所以用戶可以重繪 這些圖形。下面是常用重繪圖形的函數(shù)。 1.使用Show顯示圖形 下面繪制函數(shù)Sinx2 的圖形。 重繪圖形時(shí)，可以改變命令的設(shè)置，下面改變y的比例同時(shí)給 圖邊框 2.使用使用Show命令進(jìn)行組合命令進(jìn)行組合 也可使用Show進(jìn)行圖形組合。圖形組合與圖形是否有相同的比例無關(guān)，這時(shí)Mathematica會(huì)自動(dòng)選擇新的比例來繪制圖形。下面繪制函數(shù)-xsin(2x+Pi)的圖形和xcos(2x) 然后繪制在一張圖時(shí)。3將多個(gè)圖形組合為一個(gè)圖形將

33、多個(gè)圖形組合為一個(gè)圖形 我們也可把圖形組合為一個(gè)圖形，我們還 可以用GraphicsArray把多個(gè)圖形繪制在一個(gè)圖形矩陣中如下圖。4.5 基本三維圖形基本三維圖形 繪制函數(shù)繪制函數(shù)f(x，y)在平面區(qū)域上的三維立體圖形的在平面區(qū)域上的三維立體圖形的基本命令是基本命令是Plot3D，Plot3D和和Plot的工作方式和的工作方式和選項(xiàng)基本相同。選項(xiàng)基本相同。ListPlot3D可以用來繪制三維數(shù)可以用來繪制三維數(shù)字集合的三維圖形，其用法也類似于字集合的三維圖形，其用法也類似于ListPlot，下面給出這兩個(gè)函數(shù)的常用形式。下面給出這兩個(gè)函數(shù)的常用形式。 Plot3Df ,(x,xmin,xma

34、x)，(y,ymin,ymax) 繪制繪制以以x和和y為變量的三維函數(shù)為變量的三維函數(shù)f的圖形的圖形 ListPlot3DZ11,Z12,，Z21,Z22,. 繪繪出高度為出高度為Zvx數(shù)組的三維圖形數(shù)組的三維圖形1.三維繪圖舉例三維繪圖舉例 (1)函數(shù)Sin(x+y)Cos(x+y)的立體圖 用PlotRange設(shè)定曲線的表面的變化范圍 (3)圖形軸上加上標(biāo)記，且在每個(gè)平面上畫上網(wǎng)格。 (4)視圖的改變 2. 用數(shù)據(jù)來進(jìn)行繪圖用數(shù)據(jù)來進(jìn)行繪圖 三維圖形也可用數(shù)據(jù)來進(jìn)行繪圖。下面給出數(shù)據(jù)矩陣，因其較大未表示其結(jié)果。3. 三維空間的參數(shù)方程繪圖 三維空間中的參數(shù)繪圖函數(shù)ParametricPlo

35、t3Dfx,fv,fz,t,tmin,tmax和二維空間中的ParametricPlot很相仿。在這種情況下，Mathematica實(shí)際上都是根據(jù)參數(shù)t來產(chǎn)生系列胡點(diǎn)，然后再連接起來。 三維參數(shù)作圖的基本形式為：三維參數(shù)作圖的基本形式為： ParametricPlot3Dfx,fv,fz,t,tmin,tmax，u,umin,umax 產(chǎn)生一個(gè)空間曲面而不是一條曲線，曲面是由四邊形組成。 5.1 極限極限 Mathematica計(jì)算極限的命令是Limit它的使用方法主要有趨向的點(diǎn)可以是常數(shù)，也可以是趨向的點(diǎn)可以是常數(shù)，也可以是+，- 例如例如 1求求 2求求 5.2 微分微分 1.函數(shù)的微分函

36、數(shù)的微分 在Mathematica 中，計(jì)算函數(shù)的微分或是非常方便的，命令為Df,x,表示對(duì)x求函數(shù)f的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)。該函數(shù)的常用格式有以下幾種例如 1.求函數(shù)Sinx的導(dǎo)數(shù)2.2.求函數(shù)求函數(shù)e ex xSinxSinx的的2 2階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) 3.3.假設(shè)假設(shè)a a是常數(shù)可以對(duì)是常數(shù)可以對(duì)SinaxSinax求導(dǎo)求導(dǎo) 4.如果對(duì)二元函數(shù)如果對(duì)二元函數(shù)f(x,y)=x2*y+y2求對(duì)求對(duì)x,y 求一階和二階偏導(dǎo)求一階和二階偏導(dǎo) Mathematica可以求函數(shù)式未知的函數(shù)微分，通常結(jié)果使用數(shù)學(xué)上的表示法例如： 對(duì)鏈導(dǎo)法則同樣可用對(duì)鏈導(dǎo)法則同樣可用 如果要得到函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值可以把這點(diǎn)代入導(dǎo)

37、數(shù)如如果要得到函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值可以把這點(diǎn)代入導(dǎo)數(shù)如： 2.全微分 在Mathematica中，Df,x給出f的偏導(dǎo)數(shù)，其中假定f中的其他變量與x無關(guān)。當(dāng)f為單變量時(shí)，Df,x計(jì)算f對(duì)x的導(dǎo)數(shù)。函數(shù)Dtf,x給出f的全微分形式，并假定f中所有變量依賴于x.下面是Dt命令的常用形及意義 下面我們求x2+y2的偏微分和全微分 可以看出第一種情況y與x沒有關(guān)系，第二種情況y是x的函數(shù)。再看下列求多項(xiàng)式 x2+xy3+yz 的全微分并假定z保持不變是常數(shù) 如果y是x的函數(shù)，y被看成是常數(shù) 5.3 計(jì)算積分計(jì)算積分 1.不定積分不定積分 在在MathematicaMathematica中計(jì)算不定積分命

38、令為中計(jì)算不定積分命令為 Integeratef,xIntegeratef,x。當(dāng)然并不是所有的不定積分都能。當(dāng)然并不是所有的不定積分都能求出來。例如若求求出來。例如若求 MathematicaMathematica就無能為就無能為力。力。 但對(duì)于一些手工計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜的不定積分，但對(duì)于一些手工計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜的不定積分，MatheMatica還是能輕易求得，例如求還是能輕易求得，例如求 2.定積分定積分 定積分的求解主要命令也是用Integrate只是要在命令中加入積分限Integratef,x,min,max例如求 顯然這條命令也可以求廣義積分例如：顯然這條命令也可以求廣義積分例如：求求 求無窮

39、積也可以求無窮積也可以例如例如 3. 數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分 數(shù)值積分是解決求定積分的另一種有效的方法，它可以給出一個(gè)近似解。特別是對(duì)于用Integrate命令無法求出的定積分，數(shù)值積分更是可以發(fā)揮巨大作用。 它的命令格式為它的命令格式為 下面我們求下面我們求SinsinxSinsinx在在0,Pi0,Pi上的積分值，由于上的積分值，由于這個(gè)函數(shù)的不定積分求不出，因此使用這個(gè)函數(shù)的不定積分求不出，因此使用IntegrateIntegrate命令無法得到具體結(jié)果，但可以用數(shù)命令無法得到具體結(jié)果，但可以用數(shù)值積分求值積分求如果積分函數(shù)存在不連續(xù)點(diǎn)，或存在奇點(diǎn)我們可對(duì)如果積分函數(shù)存在不連續(xù)點(diǎn)，或存在奇點(diǎn)我

40、們可對(duì)積分進(jìn)行分段求解。例如函數(shù)積分進(jìn)行分段求解。例如函數(shù) 在在-1，11上，上，顯然顯然x=0 x=0點(diǎn)是一個(gè)無窮間斷點(diǎn)。因此若要求其數(shù)值點(diǎn)是一個(gè)無窮間斷點(diǎn)。因此若要求其數(shù)值積分，必須在其中插入點(diǎn)積分，必須在其中插入點(diǎn)0 0 5.4 多變量函數(shù)的微分多變量函數(shù)的微分 下面是計(jì)算多變量函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及全微分的命令與單變量基本相同 ( I ) Df,x1,x2,.,xn 計(jì)算偏導(dǎo)數(shù) 下面是實(shí)際的例子: 6.1 微分方程解微分方程解 在Mathematica中使用Dsolove 可以求解線性和非線性微分方程，以及聯(lián)立的微分分方程組。在沒有給定方程的初值條件下，我們所得到的解包括C1,C2是待定系數(shù)。

41、求解微分方程就是尋找未知的函數(shù)的表達(dá)式，在Mathematica中，未穩(wěn)中有降函數(shù)用yx表示，其微分用yx,yx等表示。 下面給 出微分方程(組)的求解函數(shù)。 1用用Dsolve求解微分方程求解微分方程yx 解yx僅適合其本身，并不適合于yx的其它形式，如yx，y0等，也就是說yx不是函數(shù)，例如我們?nèi)绻腥缦虏僮?，yx,y0并沒有發(fā)生變化. 2解的純函數(shù)形式解的純函數(shù)形式 使用Dsolve命令可以給出解的純函數(shù)形式，即y,請(qǐng)分析下面的例子 這里y適合y的所有情況下面的例子可以說明這一點(diǎn) 3求微分方程組求微分方程組例子4帶初始條件的微分方程的解 當(dāng)給定一個(gè)微分方程的初始條件可以確定一個(gè)待定系數(shù)。

42、例子6.2 微分方程的數(shù)值解微分方程的數(shù)值解 在Mathematica中用函數(shù)DSolve得到微分方程的準(zhǔn)確解，用函數(shù)NDSolve得到微分方程的數(shù)值解，當(dāng)然在此處要給出求解區(qū)間(x,xmin,xmax)。 NDSolve也是既能計(jì)算單個(gè)的微分方程，也能計(jì)算聯(lián)立微分方程組。它能對(duì)大多數(shù)的常微分方程和部分偏微分方程求解。在常微分可能有一些未知函數(shù)yi，但這些未知函數(shù)都依賴于一個(gè)單變量x。 NDSolveeqn1,eqn2,y,x,xmin,xmax求函數(shù)y的數(shù)值解，x屬于xmin,xmax NDSolveeqnl,eqn2,，y1,y2,x,xmin,xmax求多個(gè)函數(shù)yi的數(shù)值解 使用Mathematica頁可以很容易的得到解的圖形。這兒給出如何觀察微商的逆函數(shù)的近似值圖形。我們使用命令Evaluate代替InterpolatingFunction能夠節(jié)省時(shí)間。 例如： 7.1 模塊模塊 下面定義有初值的變量t, Mathematica默認(rèn)它為全局變量: ln1:=t=10 Out1=10 模塊中的模塊中的t為局部變量為局部變量,因此它獨(dú)立于全局變因此它獨(dú)立于全局變量量t ln2:=Modulet, t=8; Printt 全局變量t的值仍為10: ln3=t=10 Out3=10 全局變量t的值仍為10: ln6:=t=10 Out6=10 Mathematica 中的模塊