第三章 復(fù)習(xí)用-概率與概率分布

1、隨機(jī)變量的概率分布 (probability distribution) 離散型變量(discrete random variable) 連續(xù)型變量(continuous random variable)二項(xiàng)分布泊松分布正態(tài)分布變量幾種常見(jiàn)的理論分布一、正態(tài)分布一、正態(tài)分布（一）正態(tài)分布的概率函數(shù)（一）正態(tài)分布的概率函數(shù)一個(gè)正態(tài)分布常用它的概率密度函數(shù)作定義，其公式為：一個(gè)正態(tài)分布常用它的概率密度函數(shù)作定義，其公式為：)()(21)(222xxxfef(x) 為正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，表示某一定為正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，表示某一定x值出現(xiàn)的概率值出現(xiàn)的概率密度函數(shù)值。密度函數(shù)值?？傮w平均數(shù)總體

2、平均數(shù) 總體標(biāo)準(zhǔn)差總體標(biāo)準(zhǔn)差 圓周率圓周率3.14159e為自然對(duì)數(shù)底為自然對(duì)數(shù)底2.71828 正態(tài)分布概率密度函數(shù)的圖像，稱(chēng)為正態(tài)分布概率密度函數(shù)的圖像，稱(chēng)為正態(tài)分布正態(tài)分布曲線曲線，簡(jiǎn)稱(chēng)，簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線正態(tài)曲線。 若一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量若一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量x取取值于區(qū)間值于區(qū)間a,b，其概率為，其概率為badxxfbxaP)()(ab（二）正態(tài)分布的特征（二）正態(tài)分布的特征12確定正態(tài)分布曲線在確定正態(tài)分布曲線在x軸上的中心位置。軸上的中心位置。決定正態(tài)曲線的展開(kāi)度。決定正態(tài)曲線的展開(kāi)度。 越大，曲線展開(kāi)度越大越大，曲線展開(kāi)度越大,數(shù)數(shù)據(jù)越分散；據(jù)越分散； 越小，曲線展開(kāi)度越小，數(shù)據(jù)分布越集

3、越小，曲線展開(kāi)度越小，數(shù)據(jù)分布越集中。中。 正態(tài)分布是依賴(lài)于參數(shù)正態(tài)分布是依賴(lài)于參數(shù)(，2 2) )的一個(gè)曲線系，正態(tài)曲線的的一個(gè)曲線系，正態(tài)曲線的位置及形態(tài)隨位置及形態(tài)隨(，2 2) )的不同而不同的不同而不同。（三）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（三）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布X N (，2)uN(0，1)()(21)(222xxxfexuu u表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差（表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)離差（standard normal deviate)standard normal deviate)，它表示離開(kāi)平均數(shù)它表示離開(kāi)平均數(shù)有幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差有幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。euuf22121)(f(u)稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(standard nor

4、mal distribution)或或u分布方程。分布方程。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率累積函數(shù)記作標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率累積函數(shù)記作F(u)，它是，它是變量變量u小于某一定值的概率。小于某一定值的概率。iuiiduufuuPuF)()()(ui 為了計(jì)算方便，對(duì)于不同的為了計(jì)算方便，對(duì)于不同的u值，計(jì)算出不同的值，計(jì)算出不同的F(u)，編成函數(shù)表，稱(chēng)為正態(tài)分布表，從中可以查到編成函數(shù)表，稱(chēng)為正態(tài)分布表，從中可以查到u任意一個(gè)任意一個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率。區(qū)間內(nèi)取值的概率。uiP(-1u1)=u1)=P(-2u2)=u2)=P(-3u3)=u3)=P(-1.96u1.96)=u1.96)=P(-2.58u2.

5、58)=u2.58)=1 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算F(1) F(-1)=0.8413-0.1587F(-1)=0.8413-0.1587=0.68260.95450.99730.990.952 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的臨界值（1）上側(cè)臨界值）上側(cè)臨界值 曲線右側(cè)尾區(qū)一定面積曲線右側(cè)尾區(qū)一定面積a下，所對(duì)應(yīng)的下，所對(duì)應(yīng)的u值記為值記為ua，稱(chēng)之為稱(chēng)之為a的上側(cè)的上側(cè)臨界值，滿足臨界值，滿足P(u ua)=a。ua值可從附表值可從附表3查出。查出。 （2）下側(cè)臨界值）下側(cè)臨界值 曲線左側(cè)尾區(qū)一定面積曲線左側(cè)尾區(qū)一定面積 a 下，所對(duì)應(yīng)的下，所對(duì)應(yīng)的u值記為值記為-ua

6、 ，稱(chēng)之為，稱(chēng)之為a的下側(cè)的下側(cè)臨界值，滿足臨界值，滿足P(u- ua)= a 。（3）雙側(cè)臨界值）雙側(cè)臨界值 若將一定的曲線下面積若將一定的曲線下面積a平分到兩側(cè)尾區(qū)，則每一尾區(qū)的平分到兩側(cè)尾區(qū)，則每一尾區(qū)的曲線下面積只有曲線下面積只有a/2 ，滿足，滿足222uuPuuPuuP這時(shí)的這時(shí)的ua /2稱(chēng)為稱(chēng)為a的雙側(cè)臨界值。的雙側(cè)臨界值。提示：今后，一律用提示：今后，一律用“ua”表示表示a的的上側(cè)臨界值；上側(cè)臨界值；“-ua”表示的表示的a下側(cè)臨下側(cè)臨界值；界值；“ua/2”或或“ua(雙側(cè)雙側(cè))”表示表示a的雙的雙側(cè)臨界值。側(cè)臨界值。（四）一般正態(tài)分布的概率計(jì)算（四）一般正態(tài)分布的概率計(jì)

7、算若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(,2 2) )，則，則x x的取值落的取值落在區(qū)間在區(qū)間xx1 1,x,x2 2 的概率，記作的概率，記作P(xP(x1 1xxxx2 2) )。 21222)(2121)(xxxdxexxxP三、正態(tài)分布三、正態(tài)分布 一般情況下，隨機(jī)變量一般情況下，隨機(jī)變量X服從平均數(shù)為服從平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正的正態(tài)分布，即態(tài)分布，即X N ( , 2 )。若要計(jì)算。若要計(jì)算X在某一區(qū)間取值的概率，在某一區(qū)間取值的概率，首先對(duì)首先對(duì)X進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，使其變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，使其變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量u，然后再，然后再借助附表計(jì)算。借助附表計(jì)

8、算。)()()(212121uuuPxxxPxxxP)()(211221212uFuFdueuuu三、正態(tài)分布三、正態(tài)分布P(-P(- x+x+) )P(-2x+2)P(-2x+2)P(-3x+3)P(-3x+3)= =P(-1u1)u1)=0.6826=0.6826= = P(-2u2)u2)=0.9545=0.9545= = P(-3u3)u3)=0.9973=0.9973離散型隨機(jī)變量的分布哺乳動(dòng)物種子穗子生物個(gè)體雄性雌性發(fā)芽不發(fā)芽有芒無(wú)芒成活死亡對(duì)立事件二、二項(xiàng)分布的概率函數(shù)二、二項(xiàng)分布的概率函數(shù) 在在n次實(shí)驗(yàn)中有次實(shí)驗(yàn)中有x (0 xn)次發(fā)生事件次發(fā)生事件A的概率是多少？的概率是多

9、少？xnxxnqpCxP)(x=0,1,2，n 把把P(x)稱(chēng)為隨機(jī)變量稱(chēng)為隨機(jī)變量x服從參數(shù)為服從參數(shù)為n和和p的的二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布(binomial distribution)，也稱(chēng)為貝努里分布，記作，也稱(chēng)為貝努里分布，記作B(n,p)。這種。這種“非此即彼非此即彼”的事件所構(gòu)成的總體稱(chēng)為的事件所構(gòu)成的總體稱(chēng)為二項(xiàng)總體二項(xiàng)總體。二項(xiàng)分布概率函數(shù)二項(xiàng)分布概率函數(shù)（二）二項(xiàng)分布的形狀和參數(shù)（二）二項(xiàng)分布的形狀和參數(shù)(1)(1)當(dāng)當(dāng)p p值較小且值較小且n n不大時(shí)，分布是不大時(shí)，分布是偏倚的。隨偏倚的。隨n n的增大，分布趨于對(duì)的增大，分布趨于對(duì)稱(chēng)；稱(chēng)；二項(xiàng)分布的二項(xiàng)分布的形狀形狀由由n n和

10、和p p兩個(gè)參數(shù)決定。兩個(gè)參數(shù)決定。（2 2）當(dāng)）當(dāng)p p值趨于值趨于0.50.5時(shí)，分布趨于時(shí)，分布趨于對(duì)稱(chēng)。對(duì)稱(chēng)。三、泊松分布三、泊松分布 在二項(xiàng)分布中，若某事件出現(xiàn)的概率很小在二項(xiàng)分布中，若某事件出現(xiàn)的概率很小(P0) ，而樣本，而樣本含量含量n又很大又很大( n)，這時(shí)的二項(xiàng)分布稱(chēng)為泊松分布，這時(shí)的二項(xiàng)分布稱(chēng)為泊松分布(Poisson distribution) ?？梢?jiàn)，泊松分布是二項(xiàng)分布的一種極限分布。可見(jiàn)，泊松分布是二項(xiàng)分布的一種極限分布。泊松分布的概率函數(shù)泊松分布的概率函數(shù) 可由二項(xiàng)分布概率函數(shù)推導(dǎo)出來(lái)可由二項(xiàng)分布概率函數(shù)推導(dǎo)出來(lái)!)(xexPl l - x1)(xp為參數(shù)，為參

11、數(shù)，= =npnp x = ,1,2,p(x) Cnxpx(1-p)n-x!)(xexPl l - x=2 2 = =lP( )p(x) Cnxpx(1-p)n-x n p )1 (pnp 2 2=np(1-p)=np(1-p)= np =np =P( )的形狀由的形狀由確定確定 較小時(shí)，泊松分布偏倚。較小時(shí)，泊松分布偏倚。 增大時(shí)，泊松分布趨于對(duì)稱(chēng)。增大時(shí)，泊松分布趨于對(duì)稱(chēng)。 無(wú)限增大時(shí)，泊松分布接近正態(tài)分布。無(wú)限增大時(shí)，泊松分布接近正態(tài)分布。形狀形狀形狀形狀形狀形狀二、泊松分布二、泊松分布對(duì)于小概率事件，可用泊松分布描述其概率分布。對(duì)于小概率事件，可用泊松分布描述其概率分布。二項(xiàng)分布當(dāng)二項(xiàng)

12、分布當(dāng)p0.1和和np30n30 xsxu),(/2Nnsx當(dāng)當(dāng)2 2未知，未知，且且n30n30時(shí)，其曲線接近正態(tài)分布曲線，時(shí)，其曲線接近正態(tài)分布曲線，df 時(shí)則和正態(tài)分布曲時(shí)則和正態(tài)分布曲線重合。線重合。xSxxS（4）t 分布曲線與橫軸所圍成的面積為分布曲線與橫軸所圍成的面積為1。同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線一樣，統(tǒng)計(jì)應(yīng)用中最為關(guān)心的是同標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線一樣，統(tǒng)計(jì)應(yīng)用中最為關(guān)心的是 t 分布曲線下的面積（即概率分布曲線下的面積（即概率）與橫軸）與橫軸 t 值間關(guān)系。值間關(guān)系。為使用方便，統(tǒng)計(jì)學(xué)家編制不同自由度為使用方便，統(tǒng)計(jì)學(xué)家編制不同自由度 df 下的下的 t 值表值表。t df,表示什么表示什

13、么?雙尾概率雙尾概率 t 10, 0.05= 2.228表示具有自由度表示具有自由度df 的的t分布上的第分布上的第100的的百分位點(diǎn)（統(tǒng)計(jì)學(xué)稱(chēng)為臨界值）。百分位點(diǎn)（統(tǒng)計(jì)學(xué)稱(chēng)為臨界值）。單尾概率單尾概率 t 10, 0.05= 1.812在相同的自由度在相同的自由度 df 時(shí)，時(shí)，t 值越大，概率值越大，概率 P 越小。越小。在相同在相同 t 值時(shí)，雙尾概率值時(shí)，雙尾概率 P 為單尾概率為單尾概率 P 的兩倍。的兩倍。12df 增大，增大，t 分布接近正態(tài)分布，即分布接近正態(tài)分布，即 t 值接近值接近u值。值。3四、四、x2 分布分布 從方差為從方差為2 2的的正態(tài)總體中，隨機(jī)抽取正態(tài)總體中，

14、隨機(jī)抽取k個(gè)獨(dú)立樣本，個(gè)獨(dú)立樣本，計(jì)算出樣本方差計(jì)算出樣本方差S2 2，研究其樣本方差的分布。，研究其樣本方差的分布。則則 服從自由度為服從自由度為df=k -1的卡方分布。這個(gè)分布常被記為的卡方分布。這個(gè)分布常被記為 。2 如果從如果從uN(0，1)總體中隨機(jī)抽取總體中隨機(jī)抽取k個(gè)獨(dú)立樣本，就可個(gè)獨(dú)立樣本，就可以得到以得到u1、 u2、 u3、 uk，則定義它們的和為則定義它們的和為 ，即，即22n2222211222322212)()(.dfsxxuuuuukkiikdf = k-122121222)2(2)()(edffdfdf)()()(20222dfF概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)概率累積

15、函數(shù)概率累積函數(shù) 分布的平均數(shù)分布的平均數(shù)t t和方差和方差t t2 2nnx2nnx2222n 分布與分布與 t 分布一樣，是具有參數(shù)（自由度）的一類(lèi)分分布一樣，是具有參數(shù)（自由度）的一類(lèi)分布。不同于布。不同于 t 分布的是，它不是對(duì)稱(chēng)分布，區(qū)間分布的是，它不是對(duì)稱(chēng)分布，區(qū)間0,+ ）即只有正值，并且呈反即只有正值，并且呈反J型的偏斜分布。型的偏斜分布。1 分布的偏斜度隨自由度降低而增大，當(dāng)自由度分布的偏斜度隨自由度降低而增大，當(dāng)自由度df=1時(shí)，時(shí)，曲線以縱軸為漸近線。曲線以縱軸為漸近線。2隨自由度隨自由度df的增大，的增大， 2 2分布曲線漸趨左右對(duì)稱(chēng)，當(dāng)分布曲線漸趨左右對(duì)稱(chēng)，當(dāng)df30

16、時(shí)，卡方分布已接近正態(tài)分布。時(shí)，卡方分布已接近正態(tài)分布。32n2n表示具有自由度表示具有自由度n 的卡分布上的第的卡分布上的第100的百分位點(diǎn)（統(tǒng)計(jì)學(xué)稱(chēng)為臨界的百分位點(diǎn)（統(tǒng)計(jì)學(xué)稱(chēng)為臨界值）。值）。2,nP P（2 2 5.995.99）0.050.05P P（2 2 0.100.10）0.950.9599.5205.0,210.0295.0,2五、五、F 分布分布 設(shè)從一正態(tài)總體設(shè)從一正態(tài)總體N(,N(,2 2) ) 中隨機(jī)抽取樣本容量為中隨機(jī)抽取樣本容量為n1、n2的的兩個(gè)獨(dú)立樣本，其樣本方差為兩個(gè)獨(dú)立樣本，其樣本方差為s12、 s22，則定義其比值：，則定義其比值：此值具有此值具有s12的

17、自由度的自由度df1=n1-1和和s22的自由度的自由度df2=n2-1。2221ssF 如果對(duì)一正態(tài)總體在特定的如果對(duì)一正態(tài)總體在特定的dfdf1 1和和dfdf2 2進(jìn)行一系列隨機(jī)獨(dú)立抽進(jìn)行一系列隨機(jī)獨(dú)立抽樣，則所有可能的樣，則所有可能的值就構(gòu)成一個(gè)值就構(gòu)成一個(gè)分布。分布。分布的概率密度函數(shù)是兩個(gè)獨(dú)立分布的概率密度函數(shù)是兩個(gè)獨(dú)立2 2變量的概率密度所構(gòu)成的變量的概率密度所構(gòu)成的聯(lián)合概率密度。聯(lián)合概率密度。221122221212121121)()2()2()2()(dfdfdfdfdfdfFdfFdfdfdfdfdfdfFf分布是隨自由度分布是隨自由度dfdf1 1和和dfdf2 2進(jìn)行變化的一組曲線。進(jìn)行變化的一組曲線。分布的平均數(shù)分布的平均數(shù)F F=1 =1 ，的取值區(qū)間為，的取值區(qū)間為0,+0,+）分布曲線的形狀僅決定于分布曲線的形狀僅決定于dfdf1 1和和dfdf2 2。在。在dfdf1 11 1