小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)方法講義40講

1、第一講 觀察法第二講 嘗試法第三講 列舉法第四講 綜合法第五講 分析法第六講 分析-綜合法第七講 歸一法第八講 歸總法第九講 分解法第十講 分組法第十一講 份數(shù)法第十二講 消元法第十三講 比較法第十四講 演示法第十五講 列表法第十六講 倍比法第十七講 逆推法第十八講 圖解法第十九講 對應(yīng)法第二十講 集合法第二十一講 守恒法第二十二講 兩差法第二十三講 比例法第二十四講 轉(zhuǎn)換法第二十五講 假設(shè)法第二十六講 設(shè)數(shù)法第二十七講 代數(shù)法第二十八講 聯(lián)想法第二十九講 直接法第三十講 四方陣法第三十一講 分解質(zhì)因數(shù)法第三十二講 最大公約數(shù)法第三十三講 最小公倍數(shù)法第三十四講 解平均數(shù)問題的方法第三十五講

2、解行程問題的方法第三十六講 解工程問題的方法第三十七講 解流水問題的方法第三十八講 解植樹問題的方法第三十九講 解時鐘問題的方法第四十講 幾何變換法第一講 觀察法(返回目錄 下一講)在解答數(shù)學(xué)題時，第一步是觀察。觀察是基礎(chǔ)，是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的首要步驟。小學(xué)數(shù)學(xué)教材，特別重視培養(yǎng)觀察力，把培養(yǎng)觀察力作為開發(fā)與培養(yǎng)學(xué)生智力的第一步。觀察法，是通過觀察題目中數(shù)字的變化規(guī)律及位置特點，條件與結(jié)論之間的關(guān)系，題目的結(jié)構(gòu)特點及圖形的特征，從而發(fā)現(xiàn)題目中的數(shù)量關(guān)系，把題目解答出來的一種解題方法。觀察要有次序，要看得仔細(xì)、看得真切，在觀察中要動腦，要想出道理、找出規(guī)律。*例1（適于一年級程度）此題是九年義

3、務(wù)教育六年制小學(xué)教科書數(shù)學(xué)第二冊，第11頁中的一道思考題。書中除圖1-1的圖形外沒有文字說明。這道題旨在引導(dǎo)兒童觀察、思考，初步培養(yǎng)他們的觀察能力。這時兒童已經(jīng)學(xué)過20以內(nèi)的加減法，基于他們已有的知識，能夠判斷本題的意思是：在右邊大正方形內(nèi)的小方格中填入數(shù)字后，使大正方形中的每一橫行，每一豎列，以及兩條對角線上三個數(shù)字的和，都等于左邊小正方形中的數(shù)字18。實質(zhì)上，這是一種幻方，或者說是一種方陣。解：現(xiàn)在通過觀察、思考，看小方格中應(yīng)填入什么數(shù)字。從橫中行10+6+=18會想到，18-10-6=2，在橫中行右面的小方格中應(yīng)填入2（圖1-2）。從豎右列7+2+=18（圖1-2）會想到，18-7-2=

4、9，在豎右列下面的小方格中應(yīng)填入9（圖1-3）。             從正方形對角線上的9+6+=18（圖1-3）會想到，18-9-6=3，在大正方形左上角的小方格中應(yīng)填入3（圖1-4）。從正方形對角線上的7+6+=18（圖1-3）會想到，18-7-6=5，在大正方形左下角的小方格中應(yīng)填入5（圖1-4）。              &

5、#160; 從橫上行3+7=18（圖1-4）會想到，18-3-7=8，在橫上行中間的小方格中應(yīng)填入8（圖1-5）。又從橫下行5+9=18（圖1-4）會想到，18-5-9=4，在橫下行中間的小方格中應(yīng)填入4（圖1-5）。圖1-5是填完數(shù)字后的幻方。例2 看每一行的前三個數(shù)，想一想接下去應(yīng)該填什么數(shù)。（適于二年級程度）6、16、26、_、_、_、_。9、18、27、_、_、_、_。80、73、66、_、_、_、_。解：觀察6、16、26這三個數(shù)可發(fā)現(xiàn)，6、16、26的排列規(guī)律是：16比6大10，26比16大10，即后面的每一個數(shù)都比它前面的那個數(shù)大10。觀察9、18、27這三個數(shù)可發(fā)現(xiàn)，9、18、

6、27的排列規(guī)律是：18比9大9，27比18大9，即后面的每一個數(shù)都比它前面的那個數(shù)大9。觀察80、73、66這三個數(shù)可發(fā)現(xiàn)，80、73、66的排列規(guī)律是：73比80小7，66比73小7，即后面的每一個數(shù)都比它前面的那個數(shù)小7。這樣可得到本題的答案是：6、16、26、36、46、56、66。9、18、27、36、45、54、63。80、73、66、59、52、45、38。例3 將19這九個數(shù)字填入圖1-6的方框中，使圖中所有的不等號均成立。（適于三年級程度）解：仔細(xì)觀察圖中不等號及方框的排列規(guī)律可發(fā)現(xiàn)：只有中心的那個方框中的數(shù)小于周圍的四個數(shù)，看來在中心的方框中應(yīng)填入最小的數(shù)1。再看它周圍的方框

7、和不等號，只有左下角的那個方框中的數(shù)大于相鄰的兩個方框中的數(shù)，其它方框中的數(shù)都是一個比一個大，而且方框中的數(shù)是按順時針方向排列越來越小。所以，在左下角的那個方框中應(yīng)填9，在它右鄰的方框中應(yīng)填2，在2右面的方框中填3，在3上面的方框中填4，以后依次填5、6、7、8。圖1-7是填完數(shù)字的圖形。          例4 從一個長方形上剪去一個角后，它還剩下幾個角？（適于三年級程度）解：此題不少學(xué)生不加思考就回答：“一個長方形有四個角，剪去一個角剩下三個角?！蔽覀冋J(rèn)真觀察一下，從一個長方形的紙上剪去一個角，都怎么

8、剪？都是什么情況？（1）從一個角的頂點向?qū)堑捻旤c剪去一個角，剩下三個角（圖1-8）。（2）從一個角的頂點向?qū)吷先我庖稽c剪去一個角，剩下四個角（圖1-9）。（3）從一個邊上任意一點向鄰邊上任意一點剪去一個角，               剩下五個角（圖1-10）。例5 甲、乙兩個人面對面地坐著，兩個人中間放著一個三位數(shù)。這個三位數(shù)的每個數(shù)字都相同，并且兩人中一個人看到的這個數(shù)比另一個人看到的這個數(shù)大一半，這個數(shù)是多少？（適于三年級程度）解：首先要確定這個三位數(shù)一定

9、是用阿拉伯?dāng)?shù)字表示的，不然就沒法考慮了。甲看到的數(shù)與乙看到的數(shù)不同，這就是說，這個三位數(shù)正看、倒看都表示數(shù)。在阿拉伯?dāng)?shù)字中，只有0、1、6、8、9這五個數(shù)字正看、倒看都表示數(shù)。這個三位數(shù)在正看、倒看時，表示的數(shù)值不同，顯然這個三位數(shù)不能是000，也不能是111和888，只可能是666或999。如果這個數(shù)是666，當(dāng)其中一個人看到的是666時，另一個人看到的一定是999，999-666=333，333正好是666的一半。所以這個數(shù)是666，也可以是999。*例6 1966、1976、1986、1996、2006這五個數(shù)的總和是多少？（適于三年級程度）解：這道題可以有多種解法，把五個數(shù)直接相加，雖

10、然可以求出正確答案，但因數(shù)字大，計算起來容易出錯。如果仔細(xì)觀察這五個數(shù)可發(fā)現(xiàn)，第一個數(shù)是1966，第二個數(shù)比它大10，第三個數(shù)比它大20，第四個數(shù)比它大30，第五個數(shù)比它大40。因此，這道題可以用下面的方法計算：1966+1976+1986+1996+2006=1966×5+10×（1+2+3+4）=9830+100=9930這五個數(shù)還有另一個特點：中間的數(shù)是1986，第一個數(shù)1966比中間的數(shù)1986小20，最后一個數(shù)2006比中間的數(shù)1986大20，1966和2006這兩個數(shù)的平均數(shù)是1986。1976和1996的平均數(shù)也是1986。這樣，中間的數(shù)1986是這五個數(shù)的平

11、均數(shù)。所以，這道題還可以用下面的方法計算：1966+1976+1986+1996+2006=1986×5=9930例7 你能從400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16中得到啟發(fā)，很快算出（1）600÷25（2）900÷25（3）1400÷25（4）1800÷25（5）7250÷25的得數(shù)嗎？（適于四年級程度）解：我們仔細(xì)觀察一下算式：400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷

12、100=16不難看出，原來的被除數(shù)和除數(shù)都乘以4，目的是將除數(shù)變成1后面帶有0的整百數(shù)。這樣做的根據(jù)是“被除數(shù)和除數(shù)都乘以一個相同的數(shù)（零除外），商不變”。進(jìn)行這種變化的好處就是當(dāng)除數(shù)變成了1后面帶有0的整百數(shù)以后，就可以很快求出商。按照這個規(guī)律，可迅速算出下列除法的商。（1）600÷25                  （2）900÷25=（600×4）÷（25×4）

13、60;      =（900×4）÷（25×4）=600×4÷100                   =900×4÷100=24              

14、                =36（3）1400÷25                  （4）1800÷25=（1400×4）÷（25×4）      =（1800×

15、;4）÷（25×4）=1400×4÷100                  =1800×4÷100=56                      

16、        =72（5）7250÷25=（7250×4）÷（25×4）=29000÷100=290*例8 把11000的數(shù)字如圖1-11那樣排列，再如圖中那樣用一個長方形框框出六個數(shù)，這六個數(shù)的和是87。如果用同樣的方法（橫著三個數(shù)，豎著兩個數(shù)）框出的六個數(shù)的和是837，這六個數(shù)都是多少？（適于五年級程度）解：（1）觀察框內(nèi)的六個數(shù)可知：第二個數(shù)比第一個數(shù)大1，第三個數(shù)比第一個數(shù)大2，第四個數(shù)比第一個數(shù)大7，第五個數(shù)比第一個數(shù)大8，第六個數(shù)比第一個數(shù)大9。假定不知道這幾個

17、數(shù)，而知道上面觀察的結(jié)果，以及框內(nèi)六個數(shù)的和是87，要求出這幾個數(shù)，就要先求出六個數(shù)中的第一個數(shù)：（87-1-2-7-8-9）÷660÷6=10求出第一個數(shù)是10，往下的各數(shù)也就不難求了。因為用同樣的方法框出的六個數(shù)之和是837，這六個數(shù)之中后面的五個數(shù)也一定分別比第一個數(shù)大1、2、7、8、9，所以，這六個數(shù)中的第一個數(shù)是：（837-1-2-7-8-9）÷6810÷6=135第二個數(shù)是：135+1=136第三個數(shù)是：135+2=137第四個數(shù)是：135+7=142第五個數(shù)是：135+8=143第六個數(shù)是：135+9=144答略。（2）觀察框內(nèi)的六個數(shù)可知

18、：上、下兩數(shù)之差都是7；方框中間堅行的11和18，分別是上橫行與下橫行三個數(shù)的中間數(shù)。11=（10+11+12）÷318=（17+18+19）÷3所以上橫行與下橫行兩個中間數(shù)的和是：87÷329由此可得，和是837的六個數(shù)中，橫向排列的上、下兩行兩個中間數(shù)的和是：837÷3279因為上、下兩個數(shù)之差是7，所以假定上面的數(shù)是x，則下面的數(shù)是x+7。x+（x+7）=2792x+7=2792x=279-7=272x=272÷2=136x+7=136+7=143因為上一橫行中間的數(shù)是136，所以，第一個數(shù)是：136-1=135第三個數(shù)是：135+2=1

19、37因為下一橫行中間的數(shù)是143，所以，第四個數(shù)是：143-1=142第六個數(shù)是：142+2=144答略。*例9 有一個長方體木塊，鋸去一個頂點后還有幾個頂點？（適于五年級程度）解：（1）鋸去一個頂點（圖1-12），因為正方體原來有8個頂點，鋸去一個頂點后，增加了三個頂點，所以，8-1+3=10即鋸去一個頂點后還有10個頂點。              （2）如果鋸開的截面通過長方體的一個頂點，則剩下的頂點是8-1+2=9（個）（圖1-13）。（3）如果鋸開的截面通

20、過長方體的兩個頂點，則剩下的頂點是8-1+1=8（個）（圖1-14）。              （4）如果鋸開的截面通過長方體的三個頂點，則剩下的頂點是8-1=7（個）（圖1-15）。例10 將高都是1米，底面半徑分別是1.5米、1米和0.5米的三個圓柱組成一個物體（圖1-16），求這個物體的表面積S。（適于六年級程度）解：我們知道，底面半徑為，高為h的圓柱體的表面積是22+2h。       

21、            本題的物體由三個圓柱組成。如果分別求出三個圓柱的表面積，再把三個圓柱的表面積加在一起，然后減去重疊部分的面積，才能得到這個物體的表面積，這種計算方法很麻煩。這是以一般的觀察方法去解題。如果我們改變觀察的方法，從這個物體的正上方向下俯視這個物體，會看到這個物體上面的面積就像圖1-17那樣。這三個圓的面積，就是底面半徑是1.5米的那個圓柱的底面積。所以，這個物體的表面積，就等于一個大圓柱的表面積加上中、小圓柱的側(cè)面積。（2×1.52+2×1.5&

22、#215;1）+（2×1×1）+（2×0.5×1）=（4.5+3）+2+=7.5+3=10.5=10.5×3.14=32.97（平方米）答略。*例11 如圖1-18所示，某鑄件的橫截面是扇形，半徑是15厘米，圓心角是72°，鑄件長20厘米。求它的表面積和體積。（適于六年級程度）解：遇到這樣的題目，不但要注意計算的技巧，還要注意觀察的全面性，不可漏掉某一側(cè)面。圖1-18表面積中的一個長方形和一個扇形就容易被漏掉，因而在解題時要仔細(xì)。求表面積的方法1：3.14×45×2+600+120×3.14=3.14&#

23、215;90+3.14×120+600=3.14×（90+120）+600=659.4+600=1259.4（平方厘米）求表面積的方法2：=3.14×210+600=659.4+600=1259.4（平方厘米）鑄件的體積：=3.14×225×4=3.14×900=2826（立方厘米）答略。(返回目錄 下一講)第二講 嘗試法(返回目錄 下一講 上一講)解應(yīng)用題時，按照自己認(rèn)為可能的想法，通過嘗試，探索規(guī)律，從而獲得解題方法，叫做嘗試法。嘗試法也叫“嘗試探索法”。一般來說，在嘗試時可以提出假設(shè)、猜想，無論是假設(shè)或猜想，都要目的明確，盡可能

24、恰當(dāng)、合理，都要知道在假設(shè)、猜想和嘗試過程中得到的結(jié)果是什么，從而減少嘗試的次數(shù)，提高解題的效率。例1 把數(shù)字3、4、6、7填在圖2-1的空格里，使圖中橫行、堅列三個數(shù)相加都等于14。（適于一年級程度）解：七八歲的兒童，觀察、總結(jié)、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力薄弱，做這種填空練習(xí)，一般都感到困難?？上葐l(fā)他們認(rèn)識解此題的關(guān)鍵在于試填中間的一格。中間一格的數(shù)確定后，下面一格的數(shù)便可由豎列三個數(shù)之和等于14來確定，剩下的兩個數(shù)自然應(yīng)填入左右兩格了。中間一格應(yīng)填什么數(shù)呢？先看一個日常生活中的例子。如果我們要從一種月刊全年的合訂本中找到第六期的第23頁，我們一定要從合訂本大約一半的地方打開。要是翻到第五期，就要再往

25、后翻；要是翻到第七期、第八期，就要往前翻。找到第六期后，再往接近第23頁的地方翻，這樣反復(fù)試探幾次，步步逼近，最后就能找到這一頁。這就是在用“嘗試法”解決問題。本題的試數(shù)范圍是3、4、6、7四個數(shù)，可由小至大，或由大至小依次填在中間的格中，按“橫行、豎列三個數(shù)相加都得14”的要求來逐個嘗試。                          如果中間的格中填

26、3，則豎列下面的一格應(yīng)填多少呢？因為14-5-3=6，所以豎列下面的一格中應(yīng)填6（圖2-2）。下面就要把剩下的4、7，分別填入橫行左右的兩個格中（圖2-3）。把橫行格中的4、3、7三個數(shù)加起來，得14，合乎題目要求。如果中間一格填4、或填6、7都不合乎題目的要求。所以本題的答案是圖2-3或圖2-4。例2 把1、2、311各數(shù)填在圖2-5的方格里，使每一橫行、每一豎行的數(shù)相加都等于18。（教科書第四冊第57頁的思考題，適于二年級程度）解：圖2-5中有11個格，正好每一格填寫一個數(shù)。圖2-6中寫有A、B、C的三個格中的三個數(shù)，既要參加橫向的運算，又要參加縱向的運算，就是說這三個數(shù)都要被用兩次。因此

27、，確定A、B、C這三個數(shù)是解此題的關(guān)鍵。                     因為111之中中間的三個數(shù)是5、6、7，所以，我們以A、B、C分別為5、6、7開始嘗試（圖2-7）。以6為中心嘗試，看6上、下兩個格中應(yīng)填什么數(shù)。因為18-6=12，所以6上、下兩格中數(shù)字的和應(yīng)是12?？紤]6已是111之中中間的數(shù)，那么6上、下兩格中的數(shù)應(yīng)是111之中兩頭的數(shù)。再考慮6上面的數(shù)還要與5相加，6下面的數(shù)

28、還要與7相加，5比7小，題中要求是三個數(shù)相加都等于18，所以在6上面的格中填11，在6下面的格中填1（圖2-8）。6+11+1=18看圖2-8。6上面的數(shù)是11，11左鄰的數(shù)是5，18-11-5=2，所以5左鄰的數(shù)是2（圖2-9）。再看圖2-8。6下面的數(shù)是1，1右鄰的數(shù)是7，18-1-7=10，所以7右鄰的數(shù)是10（圖2-9）?，F(xiàn)在111之中只剩下3、4、8、9這四個數(shù)，圖2-9中也只剩下四個空格。在5的上、下，在7的上、下都應(yīng)填什么數(shù)呢？             

29、0;       因為18-5=13，所以5上、下兩格中數(shù)字的和應(yīng)是13，3、4、8、9這四個數(shù)中，只有4+9=13，所以在5的上、下兩格中應(yīng)填9與4（圖2-10）?？磮D2-10。因為6左鄰的數(shù)是4，18-4-6=8，所以6右鄰的數(shù)是8。因為18-7-8=3，并且1-11的數(shù)中，只剩下3沒有填上，所以在7下面的格中應(yīng)填上3。圖2-10是填完數(shù)字的圖形。*例3 在9只規(guī)格相同的手鐲中混有1只較重的假手鐲。在一架沒有砝碼的天平上，最多只能稱兩次，你能把假手鐲找出來嗎？（適于三年級程度）解：先把9只手鐲分成A、B、C三組，每組3只。把A、B

30、兩組放在天平左右兩邊的秤盤上，如果平衡，則假的1只在C組里；若不平衡，則哪組較重，假的就在哪組里。再把有假手鐲的那組中的兩只分別放在天平的左右秤盤上。如果平衡，余下的1只是假的；若不平衡，較重的那只是假的。*例4 在下面的15個8之間的任何位置上，添上+、-、×、÷符號，使得下面的算式成立。（適于三年級程度）8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1986解：先找一個接近1986的數(shù)，如：8888÷8+888=1999。1999比1986大13。往下要用剩下的7個8經(jīng)過怎樣的運算得出一個等于13的算式呢？88÷8=11，11與13接近

31、，只差2。往下就要看用剩下的4個8經(jīng)過怎樣的運算等于2。8÷8+8÷8=2。把上面的思路組合在一起，得到下面的算式：8888÷8+888-88÷8-8÷8-8÷8=1986例5 三個連續(xù)自然數(shù)的積是120，求這三個數(shù)。（適于四年級程度）解：假設(shè)這三個數(shù)是2、3、4，則：2×3×4=2424120，這三個數(shù)不是2、3、4；假設(shè)這三個數(shù)是3、4、5，則：3×4×56060120，這三個數(shù)不是3、4、5；假設(shè)這三個數(shù)是4、5、6，則：4×5×6=1204、5、6的積正好是120，這

32、三個數(shù)是4、5、6。例6 在下面式子里的適當(dāng)位置上加上括號，使它們的得數(shù)分別是47、75、23、35。（適于四年級程度）（1）7×9+12÷3-247（2）7×9+12÷3-2=75（3）7×9+12÷3-2=23（4）7×9+12÷3-2=35解：本題按原式的計算順序是先做第二級運算，再做第一級運算，即先做乘除法而后做加減法，結(jié)果是：7×9+12÷3-2=63+4-2=65“加上括號”的目的在于改變原來的計算順序。由于此題加中括號還是加小括號均未限制，因此解本題的關(guān)鍵在于加寫括號的位置?？梢詮?/p>

33、加寫一個小括號想起，然后再考慮加寫中括號。如：（1）7×7=49，再減2就是47。這里的第一個數(shù)7是原算式中的7，要減去的2是原算式等號前的數(shù)，所以下面應(yīng)考慮能否把9+12÷3通過加括號后改成得7的算式。經(jīng)過加括號，（9+12）÷3=7，因此：7×（9+12）÷3-2=47因為一個數(shù)乘以兩個數(shù)的商，可以用這個數(shù)乘以被除數(shù)再除以除數(shù)，所以本題也可以寫成：7×（9+12）÷3-2=47（2）7×11=77，再減2就得75。這里的7是原算式中的第一個數(shù)，要減去的2是等號前面的數(shù)。下面要看9+12÷3能不能改寫成

34、得11的算式。經(jīng)嘗試9+12÷3不能改寫成得11的算式，所以不能沿用上一道題的解法。7×9+12得75，這里的7、9、12就是原式中的前三個數(shù)，所以只要把3-2用小括號括起來，使7×9+12之和除以1，問題就可解決。由此得到：（7×9+12）÷（3-2）=75因為（3-2）的差是1，所以根據(jù)“兩個數(shù)的和除以一個數(shù)，可以先把兩個加數(shù)分別除以這個數(shù)，然后把兩個商相加”這一運算規(guī)則，上面的算式又可以寫成：7×9+12÷（3-2）=75在上面的這個算式中，本應(yīng)在7×9的后面寫上“÷（3-2）”，因為任何數(shù)除以1等

35、于這個數(shù)本身，為了適應(yīng)題目的要求，不在7×9的后寫出“÷（3-2）”。（3）25-2=23，這個算式中，只有2是原算式等號前的數(shù)，只要把7×9+12÷3改寫成得25的算式，問題就可解決。又因為7×9+12=75，75÷3=25，所以只要把7×9+12用小括號括起來，就得到題中所求了。（7×9+12）÷3-2=23（4）7×5=35， 7是原算式中的第一個數(shù)，原算式中的 9+12÷3-2能否改寫成得5的算式呢？因為 7-2=5，要是9+12÷3能改寫成得7的算式就好了。經(jīng)改寫為

36、（9+12）÷3=7，因此問題得到解決。題中要求的算式是：7×（9+12）÷3-2=35*例7 王明和李平一起剪羊毛，王明剪的天數(shù)比李平少。王明每天剪20只羊的羊毛，李平每天剪12只羊的羊毛。他倆共剪了112只羊的羊毛，兩人平均每天剪14只羊的羊毛。李平剪了幾天羊毛？（適于四年級程度）解：王明、李平合在一起，按平均每天剪14只羊的羊毛計算，一共剪的天數(shù)是：112÷14=8（天）因為王明每天剪20只，李平每天剪12只，一共剪了112只，兩人合起來共剪了8天，并且李平剪的天數(shù)多，所以假定李平剪了5天。則：12×5+20×（8-5）=120

37、（只）120112，李平不是剪了5天，而是剪的天數(shù)多于5天。假定李平剪了6天，則：12×6+20×（8-6）=112（只）所以按李平剪6天計算，正滿足題中條件。答：李平剪了6天。*例8 一名學(xué)生讀一本書，用一天讀80頁的速度，需要5天讀完，用一天讀90頁的速度，需要4天讀完?，F(xiàn)在要使每天讀的頁數(shù)跟能讀完這本書的天數(shù)相等，每天應(yīng)該讀多少頁？（適于五年級程度）解：解這道題的關(guān)鍵是要求出一本書的總頁數(shù)。因為每天讀的頁數(shù)乘以讀的天數(shù)等于一本書的總頁數(shù)，又因為每天讀的頁數(shù)與讀完此書的天數(shù)相等，所以知道了總頁數(shù)就可以解題了。根據(jù)“用一天讀80頁的速度，需要5天讀完”，是否能夠認(rèn)為總頁數(shù)

38、就是 80×5=400（頁）呢？不能。因為5天不一定每天都讀80頁，所以只能理解為：每天讀80頁，讀了4天還有余下的，留到第五天才讀完。這也就是說，這本書超過了80×4=320（頁），最多不會超過：90×4=360（頁）根據(jù)以上分析，可知這本書的頁數(shù)在321360頁之間。知道總頁數(shù)在這個范圍之內(nèi)，往下就不難想到什么數(shù)自身相乘，積在321360之間。因為17×17=289，18×18=324，19×19=361，324在321360之間，所以只有每天讀18頁才符合題意，18天看完，全書324頁。答：每天應(yīng)該讀18頁。*例9 一個數(shù)是5個

39、2，3個3，2個5，1個7的連乘積。這個數(shù)有許多約數(shù)是兩位數(shù)。這些兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是幾？（適于六年級程度）解：兩位數(shù)按從大到小的順序排列為：99、98、97、9611、10以上兩位數(shù)分解后，它的質(zhì)因數(shù)只能是2、3、5、7，并且在它的質(zhì)因數(shù)分解中2的個數(shù)不超過5，3的個數(shù)不超過3，5的個數(shù)不超過2，7的個數(shù)不超過1。經(jīng)嘗試，99不符合要求，因為它有質(zhì)因數(shù)11；98的分解式中有兩個7，也不符合要求；質(zhì)數(shù)97當(dāng)然更不會符合要求。而，96=2×2×2×2×2×3所以在這些兩位數(shù)的約數(shù)中，最大的是96。答略。*例10 從一個油罐里要稱出6千克油來，

40、但現(xiàn)在只有兩個桶，一個能容4千克，另一個能容9千克。求怎樣才能稱出這6千克油？（適于六年級程度）解：這道題單靠計算不行，我們嘗試一些做法，看能不能把問題解決。已知大桶可裝9千克油，要稱出6千克油，先把能容9千克油的桶倒?jié)M，再設(shè)法倒出9千克油中的3千克，為達(dá)到這一目的，我們應(yīng)使小桶中正好有1千克油。怎樣才能使小桶里裝1千克油呢？（1）把能容9千克油的大桶倒?jié)M油。（2）把大桶里的油往小桶里倒，倒?jié)M小桶，則大桶里剩5千克油，小桶里有4千克油。（3）把小桶中的4千克油倒回油罐。（4）把大桶中剩下的油再往小桶里倒，倒?jié)M小桶，則大桶里剩下1千克油。（5）把小桶中現(xiàn)存的4千克油倒回油罐。此時油罐外，只有大桶

41、里有1千克油。（6）把大桶中的1千克油倒入小桶。（7）往大桶倒?jié)M油。（8）從大桶里往有1千克油的小桶里倒油，倒?jié)M。（9）大桶里剩下6千克油。(返回目錄 下一講 上一講)第三講 列舉法(返回目錄 下一講 上一講)解應(yīng)用題時，為了解題的方便，把問題分為不重復(fù)、不遺漏的有限情況，一一列舉出來加以分析、解決，最終達(dá)到解決整個問題的目的。這種分析、解決問題的方法叫做列舉法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。 用列舉法解應(yīng)用題時，往往把題中的條件以列表的形式排列起來，有時也要畫圖。例1 一本書共100頁，在排頁碼時要用多少個數(shù)字是6的鉛字？（適于三年級程度）解：把個位是6和十位是6的數(shù)一個一個地列舉出來，數(shù)一數(shù)。

42、個位是6的數(shù)字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10個。十位是6的數(shù)字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10個。10+10=20（個）答：在排頁碼時要用20個數(shù)字是6的鉛字。*例2 從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經(jīng)過B市到C市有幾種走法？（適于三年級程度）解：作圖3-1，然后把每一種走法一一列舉出來。第一種走法：A B C第二種走法：A B C第三種走法：A B C第四種走法：A B C第五種走法：A B C第六種走法：A B C答：從A市經(jīng)過B市到C市共有6種走法。*例3 9137=1001425=把+、-、&

43、#215;、÷四種運算符號分別填在適當(dāng)?shù)膱A圈中（每種運算符號只能用一次），并在長方形中填上適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使上面的兩個等式都成立。這時長方形中的數(shù)是幾？（適于四年級程度）解：把+、-、×、÷四種運算符號填在四個圓圈里，有許多不同的填法，要是逐一討論怎樣填會特別麻煩。如果用些簡單的推理，排除不可能的填法，就能使問題得到簡捷的解答。先看第一個式子：9137=100如果在兩個圓圈內(nèi)填上“÷”號，等式右端就要出現(xiàn)小于100的分?jǐn)?shù)；如果在兩個圓圈內(nèi)僅填“+”、“-”號，等式右端得出的數(shù)也小于100，所以在兩個圓圈內(nèi)不能同時填“÷”號，也不能同時填“+”、“-

44、”號。要是在等式的一個圓圈中填入“×”號，另一個圓圈中填入適當(dāng)?shù)姆柧腿菀资沟仁接叶说贸?00。9×13-7=117-7=110，未湊出100。如果在兩個圈中分別填入“+”和“×”號，就會湊出100了。9+13×7=100再看第二個式子：1425=上面已經(jīng)用過四個運算符號中的兩個，只剩下“÷”號和“-”號了。如果在第一個圓圈內(nèi)填上“÷”號， 14÷2得到整數(shù)，所以：14÷2-5=2即長方形中的數(shù)是2。*例4   印刷工人在排印一本書的頁碼時共用1890個數(shù)碼，這本書有多少頁？（適于四年級程度）解

45、：（1）數(shù)碼一共有10個：0、1、28、9。0不能用于表示頁碼，所以頁碼是一位數(shù)的頁有9頁，用數(shù)碼9個。（2）頁碼是兩位數(shù)的從第10頁到第99頁。因為99-9=90，所以，頁碼是兩位數(shù)的頁有90頁，用數(shù)碼：2×90=180（個）（3）還剩下的數(shù)碼：1890-9-180=1701（個）（4）因為頁碼是三位數(shù)的頁，每頁用3個數(shù)碼，100頁到999頁，999-99=900，而剩下的1701個數(shù)碼除以3時，商不足600，即商小于900。所以頁碼最高是3位數(shù)，不必考慮是4位數(shù)了。往下要看1701個數(shù)碼可以排多少頁。1701÷3=567（頁）（5）這本書的頁數(shù)：9+90+567=666

46、（頁）答略。*例5 用一根80厘米長的鐵絲圍成一個長方形，長和寬都要是5的倍數(shù)。哪一種方法圍成的長方形面積最大？（適于四年級程度）解：要知道哪種方法所圍成的面積最大，應(yīng)將符合條件的圍法一一列舉出來，然后加以比較。因為長方形的周長是80厘米，所以長與寬的和是40厘米。列表3-1：表3-1表3-1中，長、寬的數(shù)字都是5的倍數(shù)。因為題目要求的是哪一種圍法的長方形面積最大，第四種圍法圍出的是正方形，所以第四種圍法應(yīng)舍去。前三種圍法的長方形面積分別是：35×5=175（平方厘米）30×10=300（平方厘米）25×15=375（平方厘米）答：當(dāng)長方形的長是25厘米，寬是15

47、厘米時，長方形的面積最大。例6 如圖3-2，有三張卡片，每一張上寫有一個數(shù)字1、2、3，從中抽出一張、兩張、三張，按任意次序排列起來，可以得到不同的一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)。請將其中的質(zhì)數(shù)都寫出來。（適于五年級程度）(返回目錄 下一講 上一講)解：任意抽一張，可得到三個一位數(shù)：1、2、3，其中2和3是質(zhì)數(shù)；任意抽兩張排列，一共可得到六個不同的兩位數(shù)：12、13、21、23、31、32，其中 13、23和 31是質(zhì)數(shù)；三張卡片可排列成六個不同的三位數(shù)，但每個三位數(shù)數(shù)碼的和都是1+2+3=6，即它們都是3的倍數(shù)，所以都不是質(zhì)數(shù)。綜上所說，所能得到的質(zhì)數(shù)是2、3、13、23、31，共五個。*例7 在一

48、條筆直的公路上，每隔10千米建有一個糧站。一號糧站存有10噸糧食，2號糧站存有20噸糧食，3號糧站存有30噸糧食，4號糧站是空的，5號糧站存有40噸糧食。現(xiàn)在要把全部糧食集中放在一個糧站里，如果每噸1千米的運費是0.5元，那么糧食集中到第幾號糧站所用的運費最少（圖3-3）？（適于五年級程度）解：看圖3-3，可以斷定糧食不能集中在1號和2號糧站。下面將運到3號、4號、5號糧站時所用的運費一一列舉，并比較。（1）如果運到3號糧站，所用運費是：0.5×10×（10+10）+0.5×20×10+0.5×40×（10+10）=100+100+4

49、00=600（元）（2）如果運到4號糧站，所用運費是：0.5×10×（10+10+10）+0.5×20×（10+10）+0.5×30×10+0.5×40×10=150+200+150+200=700（元）（3）如果運到5號糧站，所用費用是：0.5×10×（10+10+10+10）+0.5×20×（10+10+10）+0.5×30×（10+10）=200+300+300=800（元）800700600答：集中到第三號糧站所用運費最少。*例8 小明有10個1分

50、硬幣，5個2分硬幣，2個5分硬幣。要拿出1角錢買1支鉛筆，問可以有幾種拿法？用算式表達(dá)出來。（適于五年級程度）解：（1）只拿出一種硬幣的方法：全拿1分的：1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1（角）全拿2分的：2+2+2+2+2=1（角）全拿5分的：5+5=1（角）只拿出一種硬幣，有3種方法。（2）只拿兩種硬幣的方法：拿8枚1分的，1枚2分的：1+1+1+1+1+1+1+1+2=1（角）拿6枚1分的，2枚2分的：1+1+1+1+1+1+2+2=1（角）拿4枚1分的，3枚2分的：1+1+1+1+2+2+2=1（角）拿2枚1分的，4枚2分的：1+1+2+2+2+2=1（角）拿5枚1分的，1枚5

51、分的：1+1+1+1+1+5=1（角）只拿出兩種硬幣，有5種方法。（3）拿三種硬幣的方法：拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：1+1+1+2+5=1（角）拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：1+2+2+5=1（角）拿出三種硬幣，有2種方法。共有：3+5+2=10（種）答：共有10種拿法。*例9 甲、乙、丙、丁與小強五位同學(xué)一起比賽象棋，每兩人都要比賽一盤。到現(xiàn)在為止，甲賽了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤。問小強賽了幾盤？（適于五年級程度）解：作表3-2。表3-2 甲已經(jīng)賽了4盤，就是甲與乙、丙、丁、小強各賽了一盤，在甲與乙、丙、丁、小強相交的那些格里都打上；乙賽的盤數(shù)，就是除了與甲賽的那

52、一盤，又與丙和小強各賽一盤，在乙與丙、小強相交的那兩個格中都打上；丙賽了兩盤，就是丙與甲、乙各賽一盤，打上；丁與甲賽的那一盤也打上。丁未與乙、丙、小強賽過，在丁與乙、丙與小強相交的格中都畫上圈。根據(jù)條件分析，填完表格以后，可明顯地看出，小強與甲、乙各賽一盤，未與丙、丁賽，共賽2盤。答：小強賽了2盤。*例10 商店出售餅干，現(xiàn)存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的，一位顧客要買9千克餅干，為了便于攜帶要求不開箱。營業(yè)員有多少種發(fā)貨方式？（適于五年級程度）解：作表3-3列舉發(fā)貨方式。表3-3答：不開箱有7種發(fā)貨方式。*例11 運輸隊有30輛汽車，按130的編號順序橫排停在院子里。第一次

53、陸續(xù)開走的全部是單號車，以后幾次都由余下的第一輛車開始隔一輛開走一輛。到第幾次時汽車全部開走？最后開走的是第幾號車？（適于五年級程度）解：按題意畫出表3-4列舉各次哪些車開走。表3-4從表3-4中看得出，第三次開走后剩下的是第8號、16號、24號車。按題意，第四次8號、24號車開走。到第五次時汽車全部開走，最后開走的是第16號車。答：到第五次時汽車全部開走，最后開走的是第16號車。*例12 在甲、乙兩個倉庫存放大米，甲倉存90袋，乙倉存50袋，甲倉每次運出12袋，乙倉每次運出4袋。運出幾次后，兩倉庫剩下大米的袋數(shù)相等？（適于五年級程度）解：根據(jù)題意列表3-5。表3-5從表3-5可以看出，原來甲

54、乙兩倉庫所存大米相差40袋；第一次運走后，兩倉剩下的大米相差78-46=32（袋）；第二次運走后，兩倉剩下的大米相差66-42=24（袋）；第三次運走后，兩倉剩下的大米相差54-38=16（袋）；第四次運走后，兩倉剩下的大米相差42-34=8（袋）；第五次運走后，兩倉剩下的大米袋數(shù)相等。40-32=832-24=824-16=8從這里可以看出，每運走一次，兩倉庫剩下大米袋數(shù)的相差數(shù)就減少8袋。由此可以看出，兩倉庫原存大米袋數(shù)的差，除以每次運出的袋數(shù)差就得出運幾次后兩個倉庫剩下大米的袋數(shù)相等。（90-50）÷（12-4）=5（次）答：運出5次后兩個倉庫剩下大米的袋數(shù)相等。*例13 有三

55、組小朋友共72人，第一次從第一組里把與第二組同樣多的人數(shù)并入第二組；第二次從第二組里把與第三組同樣多的人數(shù)并入第三組；第三次從第三組里把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組。這時，三組的人數(shù)一樣多。問原來各組有多少個小朋友？（適于五年級程度）解：三個小組共72人，第三次并入后三個小組人數(shù)相等，都是72÷3=24（人）。在這以前，即第三組未把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組時，第一組應(yīng)是24÷2=12（人），第三組應(yīng)是（24+12）=36（人），第二組人數(shù)仍為24人；在第二次第二組未把與第三組同樣多的人數(shù)并入第三組之前，第三組應(yīng)為36÷2=18（人），第二組應(yīng)為（24+18

56、）=42（人），第一組人數(shù)仍是12人；在第一次第一組未把與第二組同樣多的人數(shù)并入第二組之前，第二組的人數(shù)應(yīng)為42÷2=21（人），第一組人數(shù)應(yīng)為12+21=33（人），第三組應(yīng)為18人。這33人、21人、18人分別為第一、二、三組原有的人數(shù)，列表3-6。表3-6答：第一、二、三組原有小朋友分別是33人、21人、 18人第四講 綜合法(返回目錄 下一講 上一講)從已知數(shù)量與已知數(shù)量的關(guān)系入手，逐步分析已知數(shù)量與未知數(shù)量的關(guān)系，一直到求出未知數(shù)量的解題方法叫做綜合法。 以綜合法解應(yīng)用題時，先選擇兩個已知數(shù)量，并通過這兩個已知數(shù)量解出一個問題，然后將這個解出的問題作為一個新的已知條件，與其

57、它已知條件配合，再解出一個問題一直到解出應(yīng)用題所求解的未知數(shù)量。運用綜合法解應(yīng)用題時，應(yīng)明確通過兩個已知條件可以解決什么問題，然后才能從已知逐步推到未知，使問題得到解決。這種思考方法適用于已知條件比較少，數(shù)量關(guān)系比較簡單的應(yīng)用題。例1 甲、乙兩個土建工程隊共同挖一條長300米的水渠，4天完成任務(wù)。甲隊每天挖40米，乙隊每天挖多少米？（適于三年級程度）解：根據(jù)“甲、乙兩個土建工程隊共同挖一條長300米的水渠”和“4天完成任務(wù)”這兩個已知條件，可以求出甲乙兩隊每天共挖水渠多少米（圖4-1）。300÷4=75（米）根據(jù)“甲、乙兩隊每天共挖水渠75米”和“甲隊每天挖40米”這兩個條件，可以求

58、出乙隊每天挖多少米（圖4-1）。75-40=35（米）綜合算式：300÷4-40=75-40=35（米）答：乙隊每天挖35米。例2 兩個工人排一本39500字的書稿。甲每小時排3500字，乙每小時排3000字，兩人合排5小時后，還有多少字沒有排？（適于四年級程度）解：根據(jù)甲每小時排3500字，乙每小時排3000字，可求出兩人每小時排多少字（圖4-2）。3500+3000=6500（字）根據(jù)兩個人每小時排6500字，兩人合排5小時，可求出兩人5小時已排多少字（圖4-2）。6500×5=32500（字）根據(jù)書稿是39500字，兩人已排32500字，可求出還有多少字沒有排（圖4-

59、2）。39500-32500=7000（字）綜合算式：39500-（3500+3000）×5=39500-6500×5=39500-32500=7000（字）答略。例3 客車、貨車同時由甲、乙兩地出發(fā)，相向而行?？蛙嚸啃r行60千米，貨車每小時行40千米，5小時后客車和貨車相遇。求甲、乙兩地之間的路程。（適于四年級程度）解：根據(jù)“客車每小時行60千米”和“貨車每小時行40千米”這兩個條件，可求出兩車一小時共行多少千米（圖4-3）。60+40=100（千米）根據(jù)“兩車一小時共行100千米”和兩車5小時后相遇，便可求出甲、乙兩地間的路程是多少千米（圖4-3）。100×

60、5=500（千米）綜合算式：（60+40）×5=100×5=500（千米）答：甲、乙兩地間的路程是500千米。例4 一個服裝廠計劃做660套衣服，已經(jīng)做了5天，平均每天做75套。剩下的要3天做完，問平均每天要做多少套？（適于四年級程度）解：根據(jù)“已經(jīng)做了5天，平均每天做75套”這兩個條件可求出已做了多少套（圖4-4）。75×5=375（套）根據(jù)“計劃做660套”和“已經(jīng)做了375套”這兩個條件，可以求出還剩下多少套（圖4-4）。660-375=285（套）再根據(jù)“剩下285套”和“剩下的要3天做完”，便可求出平均每天要做多少套（圖4-4）。285÷3=9

61、5（套）綜合算式：（660-75×5）÷3=285÷3=95（套）答略。例5 某裝配車間，甲班有20人，平均每人每天可做72個零件；乙班有24人，平均每人每天可做68個零件。如果裝一臺機器需要12個零件，那么甲、乙兩班每天生產(chǎn)的零件可以裝多少臺機器？（適于四年級程度）解：根據(jù)“甲班有20人，平均每人每天可做72個零件”這兩個條件可求出甲班一天生產(chǎn)多少個零件（圖4-5）。72×20=1440（個）根據(jù)“乙班有24人，平均每天每人可做68個零件”這兩個條件可求出乙班一天生產(chǎn)多少個零件（圖4-5）。68×24=1632（個）根據(jù)甲、乙兩個班每天分別生

62、產(chǎn)1440個、1632個零件，可以求出甲、乙兩個班一天共生產(chǎn)多少個零件（圖4-5）。1440+1632=3072（個）再根據(jù)兩個班一天共做零件3072個和裝一臺機器需要12個零件這兩條件，可求出兩個班一天生產(chǎn)的零件可以裝多少臺機器。3072÷12=256（臺）綜合算式：（72×20+68×24）÷12=（1440+1632）÷12=3072÷12=256（臺）答略。例6 一個服裝廠計劃加工2480套服裝，每天加工100套，工作20天后，每天多加工20套。提高工作效率后，還要加工多少天才能完成任務(wù)？（適于四年級程度）解：根據(jù)每天加工10

63、0套，加工20天，可求出已經(jīng)加工多少套（圖4-6）。100×20=2000（套）根據(jù)計劃加工2480套和加工了2000套，可求出還要加工多少套（圖4-6）。2480-2000=480（套）根據(jù)原來每天加工100套，現(xiàn)在每天多加工20套，可求出現(xiàn)在每天加工多少套（圖4-6）。100+20=120（套）根據(jù)還要加工480套，現(xiàn)在每天加工120套，可求出還要加工多少天（圖4-6）。48O÷120=4（天）綜合算式：（2480-100×20）÷（100+20）=480÷120=4（天）答略。剛開始學(xué)習(xí)以綜合法解應(yīng)用題時，一定要畫思路圖，當(dāng)對綜合法的解題方法已經(jīng)很熟悉時，就可以不再畫思路圖，而直接解答應(yīng)用題了。解：此題先后出現(xiàn)了兩個標(biāo)準(zhǔn)量：“第一桶的重量”和“第二桶的重量”。=