第四章 邊界層理論

1、粘性流體的兩種流態(tài)粘性流體的兩種流態(tài)1.1.雷諾實(shí)驗(yàn)（雷諾實(shí)驗(yàn)（1883年）年）（a a）層流）層流（b b）臨界狀態(tài)）臨界狀態(tài)（c c）紊流）紊流下臨界流速下臨界流速vc臨界流速臨界流速上臨界流速上臨界流速vcccvv 2.2.雷諾數(shù)雷諾數(shù)dvcdvccRedvdvcccReRec臨界雷諾數(shù)（臨界雷諾數(shù)（2000左右）左右）Re=vd/雷諾數(shù)（無量綱）雷諾數(shù)（無量綱）ReRec紊流（包括層流向紊流的臨界區(qū)紊流（包括層流向紊流的臨界區(qū)20004000）結(jié)論：用雷諾數(shù)判斷流態(tài)結(jié)論：用雷諾數(shù)判斷流態(tài)3.3.用量綱分析說明雷諾數(shù)的物理意義用量綱分析說明雷諾數(shù)的物理意義 Lv dndvAam粘性力慣性

2、力 LvLLvL223Re慣性力與粘性力作用之比慣性力與粘性力作用之比判斷流態(tài)判斷流態(tài) 粘性繞流的流動特征與粘性阻力，粘性繞流的流動特征與粘性阻力，阻力產(chǎn)生與減阻。阻力產(chǎn)生與減阻。Ludwig Prandtl（18751953） 普朗特是現(xiàn)代力學(xué)的奠基人之普朗特是現(xiàn)代力學(xué)的奠基人之一，創(chuàng)立了邊界層理論、薄翼一，創(chuàng)立了邊界層理論、薄翼理論、升力線理論，研究了超理論、升力線理論，研究了超聲速流動。聲速流動。 。 Large Reynolds Number Flow低速飛機(jī)：低速飛機(jī)：L30m， v=100m/s，n n =1. 510-5m2/s 85102105130100.Re高速船舶：高速船

3、舶： v=50kn25m/s:861066101413025.ReRe1Re1 流動意味著粘性力相對于慣性力很小，流動意味著粘性力相對于慣性力很小，忽略粘性？忽略粘性？但但是由理想流體得出的速度場在靠近壁面處與真實(shí)情況不符。是由理想流體得出的速度場在靠近壁面處與真實(shí)情況不符。 DAlembert paradox實(shí)際流體是有粘性的。實(shí)際流體是有粘性的。按照按照Newton內(nèi)摩擦定律，當(dāng)流場中流體之間存在速度梯度內(nèi)摩擦定律，當(dāng)流場中流體之間存在速度梯度時(shí)，粘性就以內(nèi)摩擦的形式出現(xiàn)。其特點(diǎn)是使低速流體加速，時(shí)，粘性就以內(nèi)摩擦的形式出現(xiàn)。其特點(diǎn)是使低速流體加速，使高速流體減速。速度梯度越大，粘性力也就

4、越大。使高速流體減速。速度梯度越大，粘性力也就越大。這樣，這樣，在近靠壁面的層中，粘性力和慣性力相比是不能忽略在近靠壁面的層中，粘性力和慣性力相比是不能忽略的的。真實(shí)情況下，緊貼物體表面的流體與物體之間是沒有相。真實(shí)情況下，緊貼物體表面的流體與物體之間是沒有相對流動的，這樣在緊靠物體表面附近的一層流體區(qū)域中，有對流動的，這樣在緊靠物體表面附近的一層流體區(qū)域中，有很大的速度梯度。很大的速度梯度。 Prandtl在在1904年提出了邊界層的概念，他認(rèn)為流動可以年提出了邊界層的概念，他認(rèn)為流動可以分兩個(gè)區(qū)域來研究：在物體表面處有一個(gè)薄層，在這個(gè)薄層分兩個(gè)區(qū)域來研究：在物體表面處有一個(gè)薄層，在這個(gè)薄層

5、中必須考慮粘性力的作用，這個(gè)薄層稱為邊界層。在邊界層中必須考慮粘性力的作用，這個(gè)薄層稱為邊界層。在邊界層外的區(qū)域中，流體可以當(dāng)作理想的。外的區(qū)域中，流體可以當(dāng)作理想的。 邊界層概念的作用：將粘性力的作用限制在很薄的一層邊界層概念的作用：將粘性力的作用限制在很薄的一層中，對于薄層外部的大部分流域，則可按理想流體的處理方中，對于薄層外部的大部分流域，則可按理想流體的處理方法，極大地簡化粘性流體分析，而且所得的結(jié)果與實(shí)際的情法，極大地簡化粘性流體分析，而且所得的結(jié)果與實(shí)際的情況也相符。況也相符。 從邊界層厚度很小這個(gè)前提出發(fā)，從邊界層厚度很小這個(gè)前提出發(fā)，Prandtl率先建立了邊率先建立了邊界層內(nèi)

6、粘性流體運(yùn)動的簡化方程，開創(chuàng)了近代流體力學(xué)的一界層內(nèi)粘性流體運(yùn)動的簡化方程，開創(chuàng)了近代流體力學(xué)的一個(gè)分支個(gè)分支邊界層理論邊界層理論。速度梯度很大的薄層。粘性在該薄層內(nèi)起作用速度梯度很大的薄層。粘性在該薄層內(nèi)起作用。 全流場分成二個(gè)流動區(qū)域（全流場分成二個(gè)流動區(qū)域（Plandtl BL Model） y 可略去粘性可略去粘性的作用，的作用，無粘流無粘流。 速度梯度大，考慮速度梯度大，考慮粘性粘性。 d(x)xyo圖4.1.1 平壁面繞流的邊界層0.99LvvvRe1尾渦區(qū)外部勢流邊界層流圖4.1.2 大Re數(shù)繞流流場劃分s uvv（1）邊界層很薄：）邊界層很薄： ，邊界層的厚度沿流向增加。，邊界

7、層的厚度沿流向增加。（2）邊界層內(nèi)速度梯度很大，粘性不可忽略：）邊界層內(nèi)速度梯度很大，粘性不可忽略：（3）邊界層內(nèi)也會出現(xiàn)層流及紊流狀態(tài)，故有層流邊界層和）邊界層內(nèi)也會出現(xiàn)層流及紊流狀態(tài)，故有層流邊界層和紊流邊界層紊流邊界層（4）邊界層外表面不是流面，有質(zhì)量、動量和能量由外流區(qū)）邊界層外表面不是流面，有質(zhì)量、動量和能量由外流區(qū)流入邊界層內(nèi)。流入邊界層內(nèi)。1Re1LLd1xvy 粘性不可壓縮流體，不計(jì)質(zhì)量力，定常流過小曲率物體，粘性不可壓縮流體，不計(jì)質(zhì)量力，定常流過小曲率物體，物體表面可近似當(dāng)作平面。物體表面可近似當(dāng)作平面。 取物面法線為軸。在大取物面法線為軸。在大Re數(shù)情況下的邊界層流動有下數(shù)

8、情況下的邊界層流動有下面兩個(gè)主要性質(zhì)：面兩個(gè)主要性質(zhì)： 1) 邊界層厚度較物體特征長度小得多，即邊界層厚度較物體特征長度小得多，即 2)邊界層內(nèi)粘性力和慣性力具有相同的數(shù)量級邊界層內(nèi)粘性力和慣性力具有相同的數(shù)量級 1Ldd 以此作為基本假定，將以此作為基本假定，將N-S方程（二維）化簡：方程（二維）化簡：222222221()1()xxxxxyyyyyxyvvvvpvvxyxxyvvvvpvvxyyxynn 連續(xù)性方程連續(xù)性方程0yxvvxy*2,yxxyvvxypxyvvpLvVvd 引進(jìn)特征長度、特征速度引進(jìn)特征長度、特征速度V，將方程中的各物理量無量，將方程中的各物理量無量綱化：綱化：

9、這些無量綱量除了這些無量綱量除了p*外都具有外都具有1的量綱。的量綱。將其代入質(zhì)量方程，整理后得：將其代入質(zhì)量方程，整理后得：*110yxvvvVLxyd左邊兩項(xiàng)應(yīng)具有同一量級，因此左邊兩項(xiàng)應(yīng)具有同一量級，因此vVLdy方向的特征速度方向的特征速度V的量級應(yīng)是的量級應(yīng)是VvvLd*2*2*2222*11111Re1()( )1 111Rexxxxxyvvvvpvvaxyxxy 將運(yùn)動方程無量綱化后得到將運(yùn)動方程無量綱化后得到Rev Ln通過比較方程左右兩邊的量級，可以發(fā)現(xiàn)通過比較方程左右兩邊的量級，可以發(fā)現(xiàn)2111ReReLd*1px(*2*2*2*2*2222()11(1Re1e)Ryyyy

10、xyvvvvpvvbxyyxy 通過比較方程左右兩邊的量級，可以發(fā)現(xiàn)慣性項(xiàng)通過比較方程左右兩邊的量級，可以發(fā)現(xiàn)慣性項(xiàng)和粘性項(xiàng)都是和粘性項(xiàng)都是2 的量級，因此的量級，因此*2*py與與 相比較，相比較， 是高階小量，是高階小量，可認(rèn)為可認(rèn)為 *1px*0py*2py*2*2*2*01Re0yxxxxxyvvxyvvvpvvxyxypy 粘性不可壓流定常邊界層微分方程可寫為粘性不可壓流定常邊界層微分方程可寫為22010yxxxxxyvvxyvvvpvvxyxxpyn 邊界條件：邊界條件：00 xyxyvvyvvd討論：討論：說明了什么？說明了什么？Prandtl邊界層方程中邊界層方程中0pyp1p

11、2p3p1= p2 = p3第一步第一步 求位流解求位流解 略去邊界層與尾跡，利用第三章求解理想位流繞流問題的略去邊界層與尾跡，利用第三章求解理想位流繞流問題的方法，求得物體表面的速度分布（需預(yù)先對表面作動量厚度方法，求得物體表面的速度分布（需預(yù)先對表面作動量厚度修正）。求得的速度分布可視為邊界層外邊界上的切向速度修正）。求得的速度分布可視為邊界層外邊界上的切向速度分布。即在任一坐標(biāo)分布。即在任一坐標(biāo)x處處,y=時(shí)時(shí)vx=v (x)。沿邊界層外邊界，伯努利方程成立：沿邊界層外邊界，伯努利方程成立：xvvxpdd1常數(shù)221dvp因此，邊界層內(nèi)的壓強(qiáng)分布通過位流解得到了，即因此，邊界層內(nèi)的壓強(qiáng)分

12、布通過位流解得到了，即dp/ /dx是是一個(gè)已知函數(shù)。一個(gè)已知函數(shù)。 ( (非定常時(shí)有歐拉方程成立非定常時(shí)有歐拉方程成立) )第二步，第二步，求解邊界層方程組求解邊界層方程組 0122yvxvyvdxdpyvvxvvyxxxyxxn, 0, 0, 0yxvvy0)(,nxnxyvxvvy，dd物面：物面： 邊界層外緣：邊界層外緣：由于由于dp/ /dx是已知函數(shù)，所以這兩個(gè)方程式中只有兩個(gè)未知數(shù)是已知函數(shù)，所以這兩個(gè)方程式中只有兩個(gè)未知數(shù)(yxvyxvyx,故問題是可解的。求解的邊界條件是：故問題是可解的。求解的邊界條件是： xvvyvyxddn022在上述邊界條件之下求解邊界層方程組，可得到

13、邊界層內(nèi)在上述邊界條件之下求解邊界層方程組，可得到邊界層內(nèi)速度分布。后面的速度分布。后面的布拉休斯解布拉休斯解就是一個(gè)求解的范例。就是一個(gè)求解的范例。第三步，第三步，確定物體所受的摩擦阻力確定物體所受的摩擦阻力假設(shè)已經(jīng)解出了邊界層內(nèi)速度分布：假設(shè)已經(jīng)解出了邊界層內(nèi)速度分布：),(yxvvxx則物體表面的摩擦應(yīng)力則物體表面的摩擦應(yīng)力 0(x)可自下式求出（層流）：可自下式求出（層流）：有了表面摩擦應(yīng)力分布有了表面摩擦應(yīng)力分布0(x)之后，再通過積分就不難求出物之后，再通過積分就不難求出物體所受的總的摩擦阻力了。體所受的總的摩擦阻力了。00)(yxyvxd(x)x yvoLv0.99vv1908年

14、年，Prandtl的學(xué)生的學(xué)生Blasius利用邊界層速度分布的相似利用邊界層速度分布的相似性求解了平板層流邊界層方程。性求解了平板層流邊界層方程。二維定常不可壓縮層流邊界層，邊界層方程為：二維定常不可壓縮層流邊界層，邊界層方程為：0122yvxvyvdxdpyvvxvvyxxxyxxn相應(yīng)的邊界條件為：相應(yīng)的邊界條件為：vvyvvyxyx 0 0 0由于上述方程為非線性偏微分方程，求解很難，勃拉休斯引入流函數(shù)（由連續(xù)方程）(x,y) 以簡化方程： yxvxvy332221yvxpyxyxy二維定常層流邊界層的求解問題，就化為在給定的邊界條件下求函數(shù)問題。根據(jù)定常層流邊界層問題解法概述根據(jù)定常

15、層流邊界層問題解法概述，首先求解位流速度分布，首先求解位流速度分布1.求解速度分布的位流解求解速度分布的位流解平板繞流的位流速度分布很簡單平板繞流的位流速度分布很簡單cvxvxv)()(d0dvdpvdxdxdd 22323vyx yxyy 邊界條件為邊界條件為(000 xyxyyyvvyxyvvy ，假定在距離平板前緣不同位置處，邊界層內(nèi)速度是假定在距離平板前緣不同位置處，邊界層內(nèi)速度是“相似相似”的。所謂速度分布的。所謂速度分布“相似相似”是指如果對是指如果對vx和和y選用適當(dāng)?shù)谋壤x用適當(dāng)?shù)谋壤?，就可以使用不同位置處的速度分布函?shù)寫成同一形式：尺，就可以使用不同位置處的速度分布函數(shù)寫成

16、同一形式：( )xvyVLvvxn對于平板層流邊界層的研究表明，平板層流邊界層的厚度對于平板層流邊界層的研究表明，平板層流邊界層的厚度與前緣距離的平方根成正比，可以選用與前緣距離的平方根成正比，可以選用 和和 分別作為分別作為速度比例尺和長度比例尺。速度分布函數(shù)可寫成速度比例尺和長度比例尺。速度分布函數(shù)可寫成( )xvv vxyn根據(jù)流函數(shù)定義可得根據(jù)流函數(shù)定義可得( ( xv dyvdyx vd n ( xv fn5.3、平板層流邊界層的數(shù)值解xUfUyun)( )( 2)( 2)( nfxUfxUxyUxfUxu)( )( nnfUxUfxUyyuxUxfxfxUfxUxxvnnn)()(

17、)(21ffxUn )( 222fxUxUfxUUyunnn從而從而可將可將 u、v 及其相關(guān)導(dǎo)數(shù)化為函數(shù)及其相關(guān)導(dǎo)數(shù)化為函數(shù) f 關(guān)于關(guān)于 的導(dǎo)數(shù)：的導(dǎo)數(shù)：5.3、平板層流邊界層的數(shù)值解代入邊界層微分方程，化簡后變?yōu)椋哼吔鐥l件變?yōu)椋悍匠瘫缓喕闪顺Ｎ⒎址匠?，但仍然是非線性的求解還是很難，只好設(shè)它的解為一個(gè)級數(shù)。Blasius 假設(shè)：其中， 為待定系數(shù)。1.0 , ; 0, 0, 0fffnnnAAAAAf! 3! 2)(332210nAAAA,210用用 0 0 處邊界條件，立刻可以確定：處邊界條件，立刻可以確定：A A0 0 = A= A1 1= 0= 00 2 fff2332( )2!3

18、!nnAAAfn223( )(2)!nnAfAAn22534( )2!(3)!nnAAfAAn將以上諸式代入微分方程將以上諸式代入微分方程得：得： 0 2 fff2235323422!2!3!AAAAA0! 3! 252432AAAA5.35.3、平板層流邊界層的數(shù)值解、平板層流邊界層的數(shù)值解從而：從而：233425236222422!3!AAAAA AA246! 473424AAAA021511! 5843525AAAAA因?yàn)樯鲜綄θ魏我驗(yàn)樯鲜綄θ魏?值均須滿足，故各系數(shù)必須分別等于零：值均須滿足，故各系數(shù)必須分別等于零：2, 0, 022543AAAA.,411211, 0, 032528

19、76AAAAAA如此繼續(xù)做下去，所有諸不等于零之系數(shù)如此繼續(xù)做下去，所有諸不等于零之系數(shù) A 均可以均可以 A2 來表示。來表示。而而 A2 則是一個(gè)待定常數(shù)。令則是一個(gè)待定常數(shù)。令 aA 25.35.3、平板層流邊界層的數(shù)值解、平板層流邊界層的數(shù)值解整理后得：整理后得：22A0231)!23(21)(nnnnnnaCf11, 1, 1210CCC.,137,817, 3,27897,375543CCC則待求級數(shù)可表為一個(gè)所有系數(shù)都含則待求級數(shù)可表為一個(gè)所有系數(shù)都含 A2 a 的無窮級數(shù)：的無窮級數(shù)：f()就是我們要求的解就是我們要求的解，但其中尚有一常數(shù)但其中尚有一常數(shù)a待定。此常數(shù)可待定。

20、此常數(shù)可用以下用以下邊界條件來確定邊界條件來確定:1)(limf布拉休斯用數(shù)值方法定得：布拉休斯用數(shù)值方法定得： a=0.332從而所求的解完全確定。從而所求的解完全確定。 5.35.3、平板層流邊界層的數(shù)值解、平板層流邊界層的數(shù)值解 由所確定的級數(shù)解確定了流函數(shù)，也就確定了速度分布，從而就確定了與此相關(guān)的其他量，如邊界層厚度、剪應(yīng)力、摩阻系數(shù)等。 各x位置處的速度型不同，但f()表示的速度型是一樣的。我們稱這樣的速度分布是相似的（相似解）。 當(dāng)當(dāng) = 5.0 時(shí)，時(shí)，u /U =0.9916，已十分接近于已十分接近于1，從而可將此，從而可將此 對應(yīng)對應(yīng)的的 y 坐標(biāo)確定為邊界層厚度坐標(biāo)確定為

21、邊界層厚度 。5.35.3、平板層流邊界層的數(shù)值解、平板層流邊界層的數(shù)值解12345678000.20.40.60.81.01.2)( fUuxUyn 由上解確定的速度分布曲線如圖所示，實(shí)驗(yàn)值與數(shù)值解符合很好。5.3、平板層流邊界層的數(shù)值解 由此（1）邊界層厚度 （ ）（2）邊界層位移厚度 （3）邊界層動量損失厚度 0 . 5,9916. 0/UuxxRe5d(xxdfUxdyUuRe7208. 111001ddnd(xxdffUxdyUuUuRe664. 011002ddnd2183ddd得：由：,xUyn5.3、平板層流邊界層的數(shù)值解（4）壁面切應(yīng)力（5）壁面摩擦阻力系數(shù) （6）平均壁面摩

22、擦總阻力系數(shù) 郭永懷（1953年）對平板前緣點(diǎn)的修正，得到 適用范圍： 65103103ReLxyUxUfUyuRe1332. 0)( 2000nxfUCRe1664. 05 . 020LfLfFLCdxCLCRe1328. 1)(210LLFCRe10. 4Re328. 1(1908)0)()(dFfd(x)u(x,y)x yUoU0.99UUL 將將 f() 在在=0 的鄰域內(nèi)展開成冪的鄰域內(nèi)展開成冪級數(shù)級數(shù)； 由邊界條件確定各系數(shù)。由邊界條件確定各系數(shù)。 后來后來L.Howarth(1938)給出更精確的數(shù)值結(jié)果。給出更精確的數(shù)值結(jié)果。 （nonlinear）)(dFyFUu 1,0,

23、0, 002ffff ffd(x)u(x,y)xyUoU圖9.1.1 平壁面繞流的邊界層0.99UeULxxUxRe92. 492. 4ndxxUxRe74. 174. 1*ndxxUxRe664. 0664. 0n )(fUu)()(21nffUxUv01234567890.40.200.81.00.6nUUvUu1Re11xUxuvnd(x)u(x,y)xyUoU0.99UeULxxfUCRe664. 0Re)0(22210 )0(00fxUUyuy nLffLUDCRe328. 1221ULUdxDLfn200664.0 LLfCRe12. 4Re328. 1)105Re100(5L)1

24、05Re1 (5Ld(x)u(x,y)xyUoU0.99UeUL5. 關(guān)于關(guān)于Blasius相似性解的幾點(diǎn)說明：相似性解的幾點(diǎn)說明：正確性（正確性（Validation）：有限長平板用無限長解近似，有限長平板用無限長解近似，Nikuradse(1942)風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。LffLUDCRe328. 1221應(yīng)用（應(yīng)用（Application）： 摩擦阻力計(jì)算（估算）；摩擦阻力計(jì)算（估算）； 校準(zhǔn)邊界層測速裝置的探頭；校準(zhǔn)邊界層測速裝置的探頭； 邊界層數(shù)值計(jì)算方法與程序的校核；邊界層數(shù)值計(jì)算方法與程序的校核； 計(jì)算湍流邊界層時(shí)，物體前緣附近層流段解析表達(dá)。計(jì)算湍流邊界層時(shí)，物體前緣附近

25、層流段解析表達(dá)。 4.4 4.4 卡門卡門動量積分方程式動量積分方程式( (Von Karman,1921) ) (Karman Momentum Integral BL Equation) 航空大師航空大師 T. von Krmn （1881-1963）美國西岸加州理工學(xué)院古根海姆航空實(shí)驗(yàn)室美國西岸加州理工學(xué)院古根海姆航空實(shí)驗(yàn)室GALIT)國際空氣動力學(xué)研究中心。國際空氣動力學(xué)研究中心。匈牙利籍美國著名空氣動力學(xué)家。匈牙利籍美國著名空氣動力學(xué)家。師從現(xiàn)代流體師從現(xiàn)代流體力學(xué)開拓者之一的力學(xué)開拓者之一的路德維希路德維希普朗特普朗特教授，但未教授，但未及獲得學(xué)位便去了及獲得學(xué)位便去了巴黎大學(xué)巴黎

26、大學(xué)。1908獲得哥廷根大獲得哥廷根大學(xué)博士學(xué)位，留校任教學(xué)博士學(xué)位，留校任教4年。年。1912至至1930年在年在亞亞琛工業(yè)大學(xué)琛工業(yè)大學(xué)從事研究，之后到了從事研究，之后到了加州理工學(xué)院加州理工學(xué)院。開創(chuàng)了數(shù)學(xué)、力學(xué)在航空航天領(lǐng)域的應(yīng)用，為近開創(chuàng)了數(shù)學(xué)、力學(xué)在航空航天領(lǐng)域的應(yīng)用，為近代力學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。我國著名科學(xué)家錢學(xué)代力學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。我國著名科學(xué)家錢學(xué)森、錢偉長、郭永懷是他的學(xué)生。森、錢偉長、郭永懷是他的學(xué)生。 雖然邊界層微分方程比雖然邊界層微分方程比N-S方程要簡單得多，但求解問方程要簡單得多，但求解問題仍有很大困難，因此題仍有很大困難，因此,發(fā)展求解邊界層問題的近似方法便發(fā)

27、展求解邊界層問題的近似方法便具有很大的理論與實(shí)際意義。具有很大的理論與實(shí)際意義。 Karman動量積分方程方程，就是一種近似求解邊界層動量積分方程方程，就是一種近似求解邊界層問題的方法。動量積分關(guān)系式的基本思想在于：不要求邊界問題的方法。動量積分關(guān)系式的基本思想在于：不要求邊界層中每一點(diǎn)都滿足邊界層方程，而只要求滿足沿邊界層厚度層中每一點(diǎn)都滿足邊界層方程，而只要求滿足沿邊界層厚度方向，積分方向，積分Prandtl邊界層方程得到的動量積分關(guān)系式。物邊界層方程得到的動量積分關(guān)系式。物面條件和邊界層外邊界處的條件仍要求得到滿足。面條件和邊界層外邊界處的條件仍要求得到滿足。一、一、 排擠厚度排擠厚度

28、的物理意義的物理意義d理想流動中理想流動中處的流線應(yīng)平行于平板處的流線應(yīng)平行于平板連續(xù)方程：虧損流量連續(xù)方程：虧損流量= =補(bǔ)償流量補(bǔ)償流量 代表理想流體的流線在邊界層外邊界上由于粘性的作用代表理想流體的流線在邊界層外邊界上由于粘性的作用向外偏移的距離向外偏移的距離 損失的流量被排向主流，使主流的流線外移損失的流量被排向主流，使主流的流線外移d d *。相當(dāng)于。相當(dāng)于位位流中物體增加了流中物體增加了d * (x)厚度厚度。 因邊界層的存在，通過單位寬度、厚度為因邊界層的存在，通過單位寬度、厚度為的截面上的質(zhì)量的截面上的質(zhì)量流量虧損為：流量虧損為：(ddd00dyvvdyvvxx(dd0*dyv

29、vvxdd0*1dyvvx二、動量損失厚度二、動量損失厚度d d *的物理意義的物理意義 、兩截面的質(zhì)量流量保持連續(xù)，但是由于粘性的作用，兩截面的質(zhì)量流量保持連續(xù)，但是由于粘性的作用，通過通過的動量會產(chǎn)生動量損失。的動量會產(chǎn)生動量損失。損失掉的動量相當(dāng)于理想流體流過某層厚度為損失掉的動量相當(dāng)于理想流體流過某層厚度為d d * 的截面的截面的流體動量的流體動量這一動量損失為：這一動量損失為：2*0()xxvvvvdydd*2001()(1)xxxxvvvdyvvvdyvvddd(dddd002*22dyvvvdyvvvKKxxxIII為計(jì)算的方便，有時(shí)將積分上限由為計(jì)算的方便，有時(shí)將積分上限由變

30、為變?yōu)?，即：，即?(1)xvdyvdd*0(1)xxvvdyvvdd邊界層的三個(gè)厚度：邊界層的三個(gè)厚度：名義厚度名義厚度，位移厚度位移厚度 *和和動量損失厚度動量損失厚度 * *它們都是流它們都是流向位置向位置x的函數(shù)，隨的函數(shù)，隨x的增加而增厚。的增加而增厚。 4.4.2 4.4.2 邊界層動量積分方程邊界層動量積分方程 應(yīng)用動量定理來研究邊界層內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)沿方向的動量應(yīng)用動量定理來研究邊界層內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)沿方向的動量變化和外力之間的關(guān)系。變化和外力之間的關(guān)系。設(shè)流動定常設(shè)流動定常控制體邊界控制體邊界ABCDABCD單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過面流入的質(zhì)量和動量分別為：單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過面流入的質(zhì)量和動量分別

31、為：單位時(shí)間內(nèi)流出單位時(shí)間內(nèi)流出面的質(zhì)量和動量分別為：面的質(zhì)量和動量分別為：(220000CDxxCDxxddmv dyv dy dxKv dyv dy dxdxdxdddd對不可壓縮流體，必然有質(zhì)量和動量從邊界層外邊界對不可壓縮流體，必然有質(zhì)量和動量從邊界層外邊界D流入：流入： 0CDABxdmmdxvdydxd單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)沿單位時(shí)間內(nèi)控制體內(nèi)沿方向動量變化：方向動量變化：dd0dyvdxddxvKxACddd002dyvdxdvdyvdxddxKKKxxADABCDd0dyvmxABd02dyvKxABA,DA,D兩點(diǎn)的平均壓力兩點(diǎn)的平均壓力CD作用在該控制體上沿作用在該控制體上沿方

32、向外力：方向外力：作用在該控制體上沿作用在該控制體上沿方向外力：方向外力：AB面面:CD面面:AD面面:C面上作用在流體上的總切應(yīng)力為：面上作用在流體上的總切應(yīng)力為：BC面面:該控制體上沿該控制體上沿x方向諸外力之和為：方向諸外力之和為：1()()()2wwdpdpppdx dpdxddxdxdxdpdxdxdxddddd (ddddddxdppFddxdxdppFpFADCDAB21dxFwBD200 xxwdddpvdyvv dydxdxdxdddd 可得到定常流動條件下卡門動量積分方程式：可得到定常流動條件下卡門動量積分方程式：這就是邊界層動量積分方程，對層流和湍流邊界層都能適用。這就是

33、邊界層動量積分方程，對層流和湍流邊界層都能適用。對不可壓流，密度對不可壓流，密度是常數(shù)，是常數(shù)， 200wxxdddpv dyvv dydxdxdxdddd 000 xxxdvddvv dyv v dyv dydxdxdxdddddd2012dvdpdpvvdxdxdxdddddd(00wxxxdvdvvvdyvvdydxdxddddd或或2000wxxxdvdvddv dyv v dyv dyvdxdxdxdxdddddddd可寫成可寫成00211xxwxvvvdydyvvvdvdvvdxdxdddddddd(*2wdvdvvdxdxddddd*2*2wdvdvdvvvdxdxdxddddd

34、ddd(*22wdvdHdxdx vvddddd引入符號引入符號*Hdd這就是卡門動量積分關(guān)系式的最終形式。這就是卡門動量積分關(guān)系式的最終形式。 層流、湍流、不可壓、可壓邊界層。層流、湍流、不可壓、可壓邊界層。 *01xxvvdyvvdddd*01xvdyvddd(1)(2)方程方程 3個(gè)未知數(shù)個(gè)未知數(shù)*，*，w (*22wdvdHdxdx vvddddd方程不封閉。但它們都和速度分布相關(guān)，即方程不封閉。但它們都和速度分布相關(guān)，即0yxwdydvStep 1. 假定速度分布假定速度分布2012( )nxnvyyyfaaaavdddStep 2. 由邊界層邊界條件確定由邊界層邊界條件確定(3)的

35、系數(shù)；的系數(shù)；Step 3. 將將(3)代入代入(1)、(2)求邊界層各參數(shù)。求邊界層各參數(shù)。 (3)d(x)v(x,y)xyv oL平板很薄，不影響邊界層外部的流平板很薄，不影響邊界層外部的流動，則邊界層外邊界上速度處處為動，則邊界層外邊界上速度處處為v=v 0dvdxd因此因此0dvdpvdxdxdd 則邊界層動量積分方程簡化為：則邊界層動量積分方程簡化為：*2wdd xvd不可壓縮流體平板邊界層動量積分方程，層、湍流邊界層均不可壓縮流體平板邊界層動量積分方程，層、湍流邊界層均適用。適用。0yxwdydvv 0.99v v (*22wdvdHdxdx vvddddd系數(shù)由以下邊界條件確定。

36、系數(shù)由以下邊界條件確定。假設(shè)平板層流邊界層內(nèi)速度分布為：假設(shè)平板層流邊界層內(nèi)速度分布為：22000 xxvyvy0 xxvyvvydd物面條件物面條件:邊界層邊界處的條件邊界層邊界處的條件: ，由由4個(gè)邊界條件確定的個(gè)邊界條件確定的4個(gè)系數(shù)為個(gè)系數(shù)為0123310022AAAA 因此速度型為因此速度型為33122xvyyvdd332210dddyAyAyAAvvx根據(jù)牛頓粘性定律根據(jù)牛頓粘性定律032xwyvvyd代入卡門動量積分關(guān)系式，得微分方程代入卡門動量積分關(guān)系式，得微分方程代入動量損失厚度得代入動量損失厚度得:*0391280 xxvvdyvvddd13140ddxvd d利用邊界條件

37、利用邊界條件 積分，得邊界層厚度沿板長積分，得邊界層厚度沿板長的變化規(guī)律的變化規(guī)律0,0 xd4.644.64RexxxvndRexv xn201.2962ReLfwLvDbdxs平板總阻力：平板總阻力：式中式中b為平板寬度，為平板寬度，L為平板長度，為平板長度，S為平板面積。為平板面積。平板的摩擦阻力系數(shù)為平板的摩擦阻力系數(shù)為:2121.296RefLDfvSC1.328RefLC與與Blasius精確解接近精確解接近隨隨ReRe的增加而減的增加而減小小直勻流平行流過平板，假設(shè)從前緣開始就是紊流邊界層。采直勻流平行流過平板，假設(shè)從前緣開始就是紊流邊界層。采用卡門動量積分關(guān)系式，得到的方程和層

38、流完全一樣。用卡門動量積分關(guān)系式，得到的方程和層流完全一樣。*2wddxvd求紊流邊界層，仍需補(bǔ)充兩個(gè)條件：求紊流邊界層，仍需補(bǔ)充兩個(gè)條件：（1）湍流邊界層內(nèi)速度分布，它取決于）湍流邊界層內(nèi)速度分布，它取決于Re，采用，采用1/n次次方定律：方定律：6778810Re102 107Re3 103 108Re2 10109nnn 層流過渡區(qū)湍流Unxyvv1d（2）壁面摩擦切應(yīng)力：）壁面摩擦切應(yīng)力：根據(jù)實(shí)驗(yàn)可用下式來表示：根據(jù)實(shí)驗(yàn)可用下式來表示：1 420.0225wvvnd7Re2 10動量損失厚度：動量損失厚度：*07172xxvvdyvvddd*2wddxvd1/470.022572ddx

39、vdnd0|0 xd1/51/50.370.37Rexxxv xnd(1/51/5271440.057620.37172725Re2wfxdcdxv xvdn紊(2001/52240.057625llwFfvXb dxbcdxvblv ln 紊紊(1/520.0721Re2FFxXCv S紊紊流邊界層厚度分布為紊流邊界層厚度分布為 平板紊流附面層的當(dāng)?shù)啬Σ料禂?shù)平板紊流附面層的當(dāng)?shù)啬Σ料禂?shù) 平板一個(gè)表面所受的摩擦阻力平板一個(gè)表面所受的摩擦阻力 紊流平板摩阻系數(shù)紊流平板摩阻系數(shù) 隨隨x、n 增加而增加而增厚。增厚。1/50.072RefLC 5/4RexUnd2/1RexUnd5/1ReLfC2/1ReLfC 較瘦較瘦 豐滿豐滿LfCRe46. 1610Re 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，層流邊界層的摩阻系數(shù)為時(shí)，層流邊界層的摩阻系數(shù)為0.001328，紊流