多元函數微分法及其應用

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上目前，獲得人們的偏好、支付意愿或接受賠償的意愿的途徑主要有以下三類：從直接受到影響的物品的相關市場信息中獲得；從其他事物中所蘊含的有關信息間接獲得；通過直接調查個人的支付意愿或接受賠償的意愿獲得。（四）安全預評價內容環(huán)境，是指影響人類生存和發(fā)展的各種天然的和經過人工改造的自然因素的總體。表二：項目地理位置示意圖和平面布置示意圖；1.環(huán)境的概念（1）規(guī)劃和建設項目環(huán)境影響評價。（五）規(guī)劃環(huán)境影響評價的跟蹤評價環(huán)境影響的經濟損益分析，也稱環(huán)境影響的經濟評價，即估算某一項目、規(guī)劃或政策所引起的環(huán)境影響的經濟價值，并將環(huán)境影響的經濟價值納入項目、規(guī)劃或政策的經濟費用效益分析中

2、去，以判斷這些環(huán)境影響對該項目：規(guī)劃或政策的可行性會產生多大的影響。對負面的環(huán)境影響估算出的是環(huán)境費用，對正面的環(huán)境影響估算出的是環(huán)境效益。（二）安全評價的基本原則（1）規(guī)劃和建設項目環(huán)境影響評價。第八章 多元函數微分法及其應用一、多元函數的基本概念1、平面點集，平面點集的內點、外點、邊界點、聚點，多元函數的定義等概念2、多元函數的極限 （或）的定義 掌握判定多元函數極限不存在的方法：（1）令沿趨向，若極限值與k有關，則可斷言函數極限不存在；（2）找兩種不同趨近方式，若存在，但兩者不相等，此時也可斷言極限不存在。 多元函數的極限的運算法則（包括和差積商，連續(xù)函數的和差積商，等價無窮小替換，夾逼

3、法則等）與一元類似：例1用定義證明例2（03年期末考試 三、1，5分）當時，函數的極限是否存在？證明你的結論。例3 設，討論是否存在？例4（07年期末考試 一、2，3分）設，討論是否存在？例5求3、多元函數的連續(xù)性 一切多元初等函數在其定義區(qū)域內都是連續(xù)的，定義區(qū)域是指包含在定義域內的區(qū)域或閉區(qū)域。 在定義區(qū)域內的連續(xù)點求極限可用“代入法”例1 討論函數在（0，0）處的連續(xù)性。例2 （06年期末考試 十一，4分）試證在點(0,0)不連續(xù)，但存在一階偏導數。例3求 例44、了解閉區(qū)域上商連續(xù)函數的性質：有界性，最值定理，介值定理二、多元函數的偏導數1、 二元函數關于的一階偏導數的定義（二元以上類

4、似定義）如果極限存在，則有（相當于把y看成常數！所以求偏導數本質是求一元函數的導數。）如果極限存在，則有對于分段函數，在分界點的偏導數要用定義求。例1（08年期末考試 一、3，4分）已知，則 例2 （06年期末考試 十一，4分）試證在點(0,0)不連續(xù)，但存在一階偏導數。例3 設，求。例4 設，求。 例5（03年期末考試，一、2，3分） 設，則在(1,2)的值為（ ）。2、 二元函數關于的高階偏導數（二元以上類似定義）, 定理：若兩個混合二階偏導數在區(qū)域D內連續(xù)，則有。例1設，其中為常數，求：。例2設，求。3、在點偏導數存在在點連續(xù)（07年，04年，02年等）4、偏導數的幾何意義：表示曲線在點

5、處的切線與x軸正向的夾角。三、全微分1、在點可微分的判定方法若，則可判定在點可微分。其中例1（08年期末考試 十二、6分）證明函數在（0，0）處可微，但偏導數在（0，0）處不連續(xù)。例2 （07年期末考試 七、6分），證明：（1）函數在（0，0）處偏導數存在；（2）函數在（0，0）處不可微。2、全微分的計算方法若在可微，則有其中的求法可以結合復合函數或者隱函數求導。例1（08年期末考試，一，1，4分） 設，則 例2（07，04年期末考試，二，1，3分）設求。例3 （06年期末考試，二、2，3分）設，則 例4 （03年期末考試，二、2，3分）函數在點(1,0,1)處的全微分為 例5設，求函數：對變

6、量的全微分。3、多元函數的全微分與連續(xù)，可偏導之間的關系（07年，04年，02年等） 一階偏導數在連續(xù)在可微 在連續(xù)在有極限 在可微在的一階偏導數存在 在可微在的方向導數存在四、多元復合函數求導法則1、鏈式求導法則：變量樹狀圖 法則(1) 專心-專注-專業(yè)(2) zuxyxy(3) 例1 （08年期末考試，七，7分）設，具有連續(xù)二階偏導數，求。例2 （08年期末考試，十一，6分）設是由方程所確定的函數，其中可導，求。例3 （07年期末考試，八，7分）設，具有連續(xù)二階偏導數，求。例4 （06年期末考試，一、1，3分）設，可導，則（ ）。例5 （04年期末考試，三、1，8分）設可微，方程，其中確定

7、了是的二元可微隱函數，試證明。例6 （03年期末考試，三、2，5分）設具有連續(xù)偏導數，證明方程所確定的函數滿足。例7 記，具有連續(xù)二階偏導數，求，。例8 設，而，求和。例9 設，而，則。例10 設，又具有連續(xù)的二階偏導數，求。2一階全微分形式不變性：設，則不管是自變量還是中間變量，都有 通過全微分求所有的一階偏導數，有時比鏈式求導法則顯得靈活。 當復合函數中復合的層次較多，結構較為復雜時，用一階全微分形式不變性求出一階偏導數或者全導數比較方便。例1設其中都可微，求。五、隱函數的求導法則1、，求 方法1（直接代公式）：，其中：，相當于把F看成自變量x，y的函數而對x求偏導數。 方法2：直接對方程

8、兩邊同時關于x求偏導（記?。?，求方法1（直接代公式）：方法2：直接對方程兩邊同時關于x（y）求偏導（記?。?，3建議采用直接推導法：即方程兩邊同時關于x求偏導，通過解關于未知數的二元方程組，得到。同理可求得。例1設，其中是由確定的隱函數，求。例2設有隱函數，其中F的偏導數連續(xù)，求。例3（04年期末考試，三、1，8分）設可微，方程，其中確定了是的二元可微隱函數，試證明六、多元函數微分學的幾何應用1、空間曲線的切線與法平面方程（三種形式）參數形式，兩柱面交線，兩曲面交線切線向量切線向量 切線向量3、 曲面的切平面與法線方程（兩種形式）隱函數，顯示函數法線向量法線向量，規(guī)定法向量的方向是向上的，

9、即使得它與z軸的正向所成的角是銳角，在法向量的方向余弦為：例1（08年期末考試，一、2，4分）曲線在點(a,0,0)的切線方程 例2（08年期末考試，十、7分）在曲面上求出切平面，使得切平面與平面平行。例3（07年期末考試，二、5，3分）曲面在點(1,2,0)處的法線方程。例4（07年期末考試，十、8分）在第一卦限內作橢圓的切平面，使該切平面與三個坐標平面圍成的四面體的體積最小，求切點的坐標。例5（06年期末考試，二、3，3分）曲面在點(0,a,-a)處的切平面方程。例6（04年期末考試，三、3，7分）在球面上求一點，使得過該點的切平面與已知平面平行。例7. 在曲線，上求點，使該點處曲線的切線

10、平行平面。例8設具有一階連續(xù)偏導數，且，對任意實數有，試證明曲面上任意一點處的法線與直線相垂直。例9 由曲線繞y軸旋轉一周得到的旋轉面在點（0，）處指向外側的單位法向量，七、方向導數與梯度1、方向導數的概念和計算公式在沿方向的方向導數為： 設為上一點，則 設的方向余弦為：，則可微方向導數存在，但方向導數存在與偏導數存在之間沒有確定的關系2、梯度的概念和計算公式 在沿什么方向的方向導數最大？沿梯度方向的方向導數最大，最大值為梯度的模例1求函數在點沿曲線在點 處的切線方向的方向導數。例2求函數在點（2，1）沿方向的方向導數例3設函數，（1）求出f在點P（2，0）處沿P到Q（1/2，2）方向的變化率；（2）f在P（2，0）沿什么方向具有最大的增長率，最大增長率為多少？ 例4 （08年期末考試，一、4，4分）函數在點處沿從到點方向的方向導數。例5（07年期末考試，二、4，3分）函數在點處沿方向的方向導數。例6（06年期末考試，四、7分）函數在點處的梯度及沿梯度方向的方向導數。八、多元函數的極值及其求法1、掌握極值的必要條件、充分條件2、掌握求極值的一般步驟3、掌握求條件極值的一般方法拉格朗日乘數法例1求函數的極值。例2（04年期末考試，三、3，6分）設長方體過同一頂點的三條棱長之和為3a，問這三條棱長各取什么值時，長方體的表面積最大？例3 求旋轉拋物面與平面之間的最短距離。