方案設(shè)計型專題

1、學(xué)習(xí)方法報社 全新課標(biāo)理念，優(yōu)質(zhì)課程資源 方案設(shè)計型專題 一、利用方程（組）、不等式組設(shè)計方案例1（2012年龍巖市）已知：用2輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨11噸某物流公司現(xiàn)有31噸貨物，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿貨物根據(jù)以上信息，解答下列問題： 1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？ 請你幫該物流公司設(shè)計租車方案； 若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次請選出最省錢的租車方案，并求出最少租車費 分析：根據(jù)“2輛A型車和1輛B型車運(yùn)貨10噸，1輛型A車和2輛B

2、型車運(yùn)貨11噸”列二元一次方程組，求得1輛A型車和1輛B型車各自的運(yùn)貨量；31噸貨物同時租用兩種車，并用問題的結(jié)論可列二元一次方程，然后根據(jù)車輛數(shù)是正整數(shù)即可求解租車方案；根據(jù)問題的結(jié)論，分別計算出每種方案的租金，選出最省錢的租車方案 解：設(shè)1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨x噸、y噸，根據(jù)題意，得，解得. 故1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨3噸、4噸 根據(jù)題意可得3a+4b=31，所以因為租車數(shù)a，b都是自然數(shù)，所以有a=1，b=7；或a=5，b=4；或a=9，b=1三種情況. 所以租車方案分別為：A型車1輛，B型車7輛；A型車5 輛，B型車4輛；A型車9輛，B型車

3、1輛 方案需租金100×1+120×7=940（元）；方案需租金100×5+120×4=980（元）；方案需租金100×9+120×1=1020（元） 故方案最省錢，即租用A型車1輛，B型車7輛 點評：一個二元一次方程有無數(shù)組解，但與實際問題相關(guān)時，往往受到實際問題中“車輛數(shù)”、“人數(shù)”、“帳篷數(shù)”等的限制，只能取自然數(shù)解，由此得出有限個方案 例2 （2012年銅仁市）為了抓住梵凈山文化藝術(shù)節(jié)的商機(jī)，某商店決定購進(jìn)A，B兩種藝術(shù)節(jié)紀(jì)念品若購進(jìn)A種紀(jì)念品8件，B種紀(jì)念品3件，需要950元；若購進(jìn)A種紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品6件，需要800

4、元 （1）求購進(jìn)A，B兩種紀(jì)念品每件各需多少元？ （2）若該商店決定購進(jìn)這兩種紀(jì)念品共100件，考慮市場需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購買這100件紀(jì)念品的資金不少于7500元，但不超過7650元，那么該商店共有幾種進(jìn)貨方案？ （3）若銷售每件A種紀(jì)念品可獲利潤20元，每件B種紀(jì)念品可獲利潤30元，在第（2）問的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少元？ 分析：（1）本題的等量關(guān)系為：8件A種紀(jì)念品的錢數(shù)+3件B種紀(jì)念品的錢數(shù)=950；5件A種紀(jì)念品的錢數(shù)+6件B種紀(jì)念品的錢數(shù)=800，據(jù)此列出方程組求解可得A，B兩種紀(jì)念品的單價；（2）根據(jù)購買100件紀(jì)念品的資金列出不等式組并求解，然后結(jié)

5、合實際問題得出進(jìn)貨方案；（3）計算出每種方案下的利潤，進(jìn)行比較即可解決；也可以根據(jù)B商品比A商品單件利潤最大，從而要獲得最大利潤則B商品取最大值來確定方案. 解：（1）設(shè)該商店購進(jìn)一件A種紀(jì)念品需要a元，購進(jìn)一件B種紀(jì)念品需要b元, 根據(jù)題意，得，解得. 所以購進(jìn)一件A種紀(jì)念品需要100元，購進(jìn)一件B種紀(jì)念品需要50元 （2）設(shè)該商店購進(jìn)A種紀(jì)念品x件，則購進(jìn)B種紀(jì)念品有（100x）件. 由題意，得 ，解得50x53. 因為 x 為正整數(shù)，所以x可取 50，51，52，53. 即有四種進(jìn)貨方案:第一種方案：購A種紀(jì)念品50件，B種紀(jì)念品50件； 第二種方案：購A種紀(jì)念品51件，B種紀(jì)念品49件

6、； 第三種方案：購A種紀(jì)念品52件，B種紀(jì)念品48件； 第四種方案：購A種紀(jì)念品53件，B種紀(jì)念品47件 （3）方法1：因為第一種方案：總利潤為50×2050×30=2500（元）；第二種方案：總利潤為51×2049×30=2490（元）；第三種方案：總利潤為52×2048×30=2480（元）；第四種方案：總利潤為53×2047×30=2470（元） 所以當(dāng)購進(jìn)A種紀(jì)念品50件，B種紀(jì)念品50件時，可獲最大利潤，最大利潤是2500元 方法2：因為B種紀(jì)念品的單件利潤高，所以要獲得最大利潤，B種商品應(yīng)取最大值.所以

7、當(dāng)購進(jìn)A種紀(jì)念品50件，B種紀(jì)念品50件時，可獲最大利潤，最大利潤是2500元點評：本題是一道很典型的利用一元一次不等式組進(jìn)行方案設(shè)計的中考題.這類題目通常利用不等式組得到未知數(shù)的取值范圍，然后根據(jù)實際問題的需要，得出不同的方案.技法指導(dǎo)利用方程（組）、不等式（組）設(shè)計方案這類問題的解決往往需要從問題背景中抽取出方程（組）或不等式（組），然后解方程（組）或不等式（組）得到未知數(shù)的取值范圍，再結(jié)合實際問題確定滿足條件的方案.跟蹤訓(xùn)練 1. （2012年玉林市）一工地計劃租用甲、乙兩輛車清理淤泥.從運(yùn)輸量來估算：若租兩車合運(yùn)，10天可以完成任務(wù)；若單獨租用乙車完成任務(wù)比單獨租用甲車完成任務(wù)多用15

8、天.（1）甲、乙兩車單獨完成任務(wù)分別需要多少天？（2）已知兩車合運(yùn)共需租金65 000元，甲車每天的租金比乙車每天的租金多1500元.試問：租甲乙兩車、單獨租甲車、單獨租乙車這三種租車方案中，哪一種租金最少？請說明理由。 2.（2012年常德市）某工廠生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品共50件，其生產(chǎn)成本與利潤如下表：A種產(chǎn)品B種產(chǎn)品成本(萬元/件) 06 09利潤(萬元/件) 02 04 若該廠計劃投入資金不超過40萬元，且希望獲利超過16萬元，問工廠有哪幾種生產(chǎn)方案？哪種生產(chǎn)方案獲利最大？最大利潤是多少？二、利用函數(shù)設(shè)計方案 例1 （2012年德州市）現(xiàn)從A，B向甲、乙兩地運(yùn)送蔬菜，A，B兩個蔬菜市場各有

9、蔬菜14噸，其中甲地需要蔬菜15噸，乙地需要蔬菜13噸，從A到甲地運(yùn)費50元/噸，到乙地30元/噸；從B地到甲運(yùn)費60元/噸，到乙地45元/噸（1）設(shè)A地到甲地運(yùn)送蔬菜噸，請完成下表：運(yùn)往甲地(單位：噸)運(yùn)往乙地(單位：噸)AxB（2）設(shè)總運(yùn)費為W元，請寫出W與的函數(shù)關(guān)系式（3）怎樣調(diào)運(yùn)蔬菜才能使運(yùn)費最少？ 分析：（1）根據(jù)A、B兩地的蔬菜量和甲、乙兩地的蔬菜需求量完成表格；（2）根據(jù)“總運(yùn)費等于各段運(yùn)費之和，各段運(yùn)費=運(yùn)貨量×每噸的費用”建立函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)“運(yùn)貨量是非負(fù)數(shù)”確定自變量的取值范圍，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)確定運(yùn)費最小時自變量的值，從而設(shè)計出解決問題的方案. 解：

10、（1） 運(yùn)往甲地(單位：噸)運(yùn)往乙地(單位：噸)AxB （2）由題意，得 =5x+1275. （3）A，B到甲、乙兩地運(yùn)送的蔬菜為非負(fù)數(shù)， 解得. 在中，隨增大而增大， 當(dāng)x最小為1時，有最小值 1280元 從A地調(diào)運(yùn)1噸蔬菜往甲地，調(diào)運(yùn)13噸蔬菜給乙地；B地14噸蔬菜全部運(yùn)往甲地，這樣才能使運(yùn)費最少. 點評：調(diào)運(yùn)問題通常設(shè)出一段上的運(yùn)貨量為x，表示出其他三段上的運(yùn)貨量，從而建立一次函數(shù)模型.本題易想當(dāng)然地認(rèn)為自變量的最小值為0，而導(dǎo)致找不到解決問題的方案. 例2（2012年畢節(jié)市）某商品的進(jìn)價為每件20元，售價為每件30元，每個月可賣出180件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月就會少賣

11、出10件，但每件售價不能高于35元，設(shè)每件商品的售價上漲元（為整數(shù)），每個月的銷售利潤為元（1）求與的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；（2）每件商品的售價為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大利潤是多少？ (3)每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰好是1920元？ 分析：（1）銷售利潤每件商品的利潤×銷售的商品數(shù)量.根據(jù)每件售價不能高于35元且每件商品的售價不低于現(xiàn)在的售價，可得自變量的取值范圍；（2）利用配方法或者公式法結(jié)合（1）得到的函數(shù)解析式可得二次函數(shù)的最值，結(jié)合實際意義，求得整數(shù)解；（3）讓（1）中的y1920，得到對應(yīng)的一元二次方程，求得合適的x的解 解：（

12、1）y（3020x）（18010x）10x280x1800（0x5，且x為整數(shù)）；（2）,y=10x280x1800=-10（x-4）2+1960，當(dāng)x4時，y最大1960元，所以每件商品的售價為34元答：每件商品的售價為34元時，商品的利潤最大，為1960元.（3）由題意，得10x280x1800=1920，即x28x120.解得x2或x6.0x5，x2，售價為32元時，利潤為1920元 技法指導(dǎo) 函數(shù)中的方案設(shè)計題一般是利用一次函數(shù)或者二次函數(shù)設(shè)計商家最大利潤或者商家最少成本的問題.解決問題的辦法：首先認(rèn)真讀題，尋找變量與變量之間函數(shù)的關(guān)系，用一個變量表示出另一個變量，然后根據(jù)題意將數(shù)學(xué)問

13、題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)圖象或性質(zhì)確定解決問題的方案.解題過程中注意函數(shù)的解必須使實際問題有意義. 跟蹤訓(xùn)練 1. （2012年佳木斯市）國務(wù)院總理溫家寶2011年11月16日主持召開國務(wù)院常務(wù)會議，會議決定建立青海三江源國家生態(tài)保護(hù)綜合實驗區(qū)現(xiàn)要把228噸物資從某地運(yùn)往青海甲、乙兩地，用大、小兩種貨車共18輛，恰好能一次性運(yùn)完這批物資已知這兩種貨車的載重量分別為16噸/輛和10噸/輛，運(yùn)往甲、乙兩地的運(yùn)費如下表： 運(yùn)往地車 型甲 地（元/輛）乙 地（元/輛）大貨車720800小貨車500650（1）求這兩種貨車各用多少輛？（2）如果安排9輛貨車前往甲地，其余貨車前往乙地，設(shè)前往甲地的大貨車

14、為a輛，前往甲、乙兩地的總運(yùn)費為w元，求出w與a的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍）；（3）在（2）的條件下，若運(yùn)往甲地的物資不少于120噸，請你設(shè)計出使總運(yùn)費最少的貨車調(diào)配方案，并求出最少總運(yùn)費 2 . （2012年聊城市）某電子廠商投產(chǎn)一種新型電子廠品，每件制造成本為18元，試銷過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系可以近似地看作一次函數(shù)y=2x+100（利潤=售價制造成本）（1）寫出每月的利潤z（萬元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價為多少元時，廠商每月能獲得3502萬元的利潤？當(dāng)銷售單價為多少元時，廠商每月能獲得最大利潤？最大利潤是多少？（3）

15、根據(jù)相關(guān)部門規(guī)定，這種電子產(chǎn)品的銷售單價不能高于32元，如果廠商要獲得每月不低于350萬元的利潤，那么制造出這種產(chǎn)品每月的最低制造成本需要多少萬元？ 三、圖形方案設(shè)計 例 在一塊長16 m，寬12 m的矩形荒地上，要建造一個花園，要求花園面積是荒地面積的一半，下面分別是小華與小芳的設(shè)計方案圖1圖2（1）同學(xué)們都認(rèn)為小華的方案是正確的，但對小芳方案是否符合條件有不同意見，你認(rèn)為小芳的方案符合條件嗎？若不符合，請用方程的方法說明理由；（2）你還有其他的設(shè)計方案嗎？請在圖3中畫出你所設(shè)計的草圖，將花園部分涂上陰影，并加以說明 分析：（1）利用“花園的長×花園的寬=荒地面積的一半”得路的寬度

16、，從而判斷小芳的設(shè)計是否合理；（2）將花園的面積設(shè)計三角形或者n邊形都可以，不過要保證陰影部分的面積等于荒地面積的一半 解：（1）不符合 設(shè)小路寬度均為x m，根據(jù)題意，得（162x）（122x）=×16×12. 解得x1=2，x2=12 但x2=12不符合題意，應(yīng)舍去，所以x=2 所以小芳的方案不符合條件，小路的寬度均為2 m （2）答案不唯一 如： 點評：雖然設(shè)計的圖形只要滿足“花園的面積等于荒地面積的一半”即可，但是在考場上，應(yīng)該學(xué)會用最短的時間去解決問題，因此在沒有特殊說明的情況下，設(shè)計的圖形越容易計算和畫圖越好.技法指導(dǎo)圖形的方案設(shè)計一般分為：1. 測量計算型.

17、這類題通常要求先測量然后再計算，常用到銳角三角函數(shù)的定義與解直角三角形等知識. 2.圖案設(shè)計型.這類題通常要求設(shè)計具有某種對稱性或有特殊要求的圖形，需要應(yīng)用工具作圖，主要考查圓、平行四邊形、梯形、特殊三角形等圖形的性質(zhì)和判定. 3.綜合應(yīng)用型.這類題需要先進(jìn)行必要的轉(zhuǎn)化，然后才能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法解決，通常涉及幾何作圖、圖形的認(rèn)識和代數(shù)計算等多個層次和環(huán)節(jié). 跟蹤訓(xùn)練 1. （2012年哈爾濱市）圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的方格紙，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，點A、B在小正方形的頂點上. （1）在圖1中畫出ABC（點C在小正方形的頂點上），使ABC為直角三角形（畫一個即可）.

18、（2）在圖2中畫出ABD（點D在小正方形的頂點上），使ABD為等腰三角形（畫一個即可）.2. 如圖，飛機(jī)沿水平方向（A、B兩點所在直線）飛行，前方有一座高山，為了避免飛機(jī)飛行過低，就必須測量山頂M到飛行路線AB的距離MN.飛機(jī)能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和飛行的距離（因安全因素，飛機(jī)不能飛到山頂?shù)恼戏絅處才測飛行距離），請設(shè)計一個距離MN的方案，要求：(1)指出需要測量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；(2)用測出的數(shù)據(jù)寫出求距離MN的步驟.參考答案： 一、 1. 解：（1）設(shè)甲車單獨完成任務(wù)需天，則乙車單獨完成任務(wù)需天.由題意，得，解得經(jīng)檢驗：是所列方程的解，且符合題意.答：甲車單獨完成任務(wù)需天

19、，乙車單獨完成任務(wù)需天.（2）設(shè)甲車每天租金元，則乙車每天租金元，由題意，得,解得m=4000，m1500=2500.所以租甲乙兩車租金為65 000元；單獨租甲車租金為，單獨租乙車租金為.單獨租甲車租金最少. 2. 解:（1）設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品有x件，則生產(chǎn)B種產(chǎn)品為(50x)，根據(jù)題意，得解得x<20因為x取正整數(shù)，所以x可取17，18，19所以有三種生產(chǎn)方案方案一：生產(chǎn)A種產(chǎn)品17件，生產(chǎn)B種產(chǎn)品33件；方案二：生產(chǎn)A種產(chǎn)品18件，生產(chǎn)B種產(chǎn)品32件；方案三：生產(chǎn)A種產(chǎn)品19件，生產(chǎn)B種產(chǎn)品31件（2）因為B種產(chǎn)品每件獲得的利潤多，所以應(yīng)多生產(chǎn)B種產(chǎn)品即生產(chǎn)A種產(chǎn)品有17件，生產(chǎn)B種產(chǎn)品33件獲利最大，最大利潤是17×0.233×0.416.6（萬元）二、1 .解：（1）設(shè)大貨車用x輛，則小貨車用(18-x)輛，根據(jù)題意，得16x10(18x)=228，解得x=8.所以18x=18-8=10(輛).答：大貨車用8輛，小貨車用10輛（2）w=720a+800(8a)+500(9-a)+65010(9a)=70a11 550，w=70a11 550(0a8且a為整數(shù))（3）16a10(9a)120，解得a5又0a8，5a8且a為整數(shù)w=70a11550，k=700，w隨a的增大而增大， 當(dāng)a=5時，w最小，最