第13招如何讓求反函數(shù)

1、第13招如何讓求反函數(shù)？如何讓利用反函數(shù)的概念和性質(zhì)解題？反函數(shù)的內(nèi)容在高考中是?？嫉闹R(shí)點(diǎn)，且多以選擇題、填空題的而形式出現(xiàn) 解法指導(dǎo)與經(jīng)典范例(一) 求函數(shù)y=fx的反函數(shù)的方法步驟11. 把原函數(shù)y=f(x)看作是以x為未知數(shù)的方程，解方程求出x= f (y);2. 把x、y互換，得y= f x ,這就是原函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)；3. 寫(xiě)出反函數(shù)的定義域注意：1求函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，要從y=f(x)中解出x，在變形過(guò)程中如果遇到平方、開(kāi)方、去分母等，不能改變?cè)瘮?shù)式中x、y的取值范圍，因此寫(xiě)反函數(shù)的解析式時(shí)必須連同其定義域?qū)懺谝黄?分段函數(shù)的反函數(shù)仍是分段函數(shù)要求分段函數(shù)反函數(shù)，可先分別求

2、出各段函數(shù)的反函數(shù)，然后再合并在一起【例1】2001.全國(guó)、廣東文、理一函數(shù)y=2 x0的反函數(shù)是1a. log2 ,x 1,2x 11,x x 1c. y log21,2解一 x0,數(shù)的反函數(shù)為ylog2 x 1,x解二排除法+特殊值判斷法定義域，排除C、D.又當(dāng)x=1時(shí),Fl12【例2】求函數(shù)b. yD. 1 log2 ,xx 111,xlog22由 2 x1,得 2x1,21,2x log 2 y1,那么原函21,2.因此應(yīng)選y=2 11,A.0, 1y 2x2.區(qū)間1,2是反函數(shù)的31.對(duì)反函數(shù)來(lái)說(shuō),2B被排除因此應(yīng)選A.f(x)= xx 2x的反函數(shù).33時(shí),y應(yīng)等于1.而這時(shí)解 f

3、(x)=當(dāng)x 0時(shí),2x,即卩 x2 2xy 0,解得xJ y.x0,y2x0,因此反函數(shù)為y=-1+、1 x x2x 2x x 02x 2x x 0當(dāng) x<0 時(shí)，由 y=-x 2 2x,即x2 2x y 0解得x 1 . 1 y. x 0時(shí),【例3】函數(shù)解一ay 3x2 y依題意：空解二2x2x0,因此反函數(shù)為y 12x 3竺亠的反函數(shù)是其本身,x aay 2x 3, 21 xx 0那么 a的值是y x ay 3, 當(dāng) y2時(shí):反函數(shù)是yax 32 xan3易見(jiàn)a 2.應(yīng)選a特殊值判斷法當(dāng)x=0時(shí)f(0)=3,由于ya2x 3竺亠的反函數(shù)是其本身,x a233時(shí),y0代入得aa3_a

4、a0,30,a2選 A反函數(shù)概念在解題中的應(yīng)用如求反函數(shù)的定義域、(二)求反函數(shù)的某個(gè)函數(shù)值，求函數(shù)的值域、有關(guān)反函數(shù)的一些問(wèn)題，斷反函數(shù)的奇偶性、 單調(diào)性、作反函數(shù)圖象等問(wèn)題，可以不必把反函數(shù)求出來(lái)，而是利用反 函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化為原函數(shù)的相應(yīng)問(wèn)題來(lái)求解或證明1.求反函數(shù)定義域的方法(1) 直接求，先求出反函數(shù)在求其定義域；2間接求，利用：“反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域的關(guān)系，改為去求原函數(shù)的值域假設(shè)原函數(shù)的值域比擬好求.【例4】1999.上海文理一2函數(shù)f(x)=log 2 x 1 x 4的反函數(shù)f 1 x的定義域是解由 x 4 得 log2X log 2 42, f x lo

5、g2X 13.即 f(x)的值域是 3,反函數(shù)f 1(0) b f(b) a的關(guān)系，改為去解方程f(x)= x0,方程的解就是所求的反函數(shù)的值.【例5】1993.全國(guó)文、理二23設(shè)f X4x2八，那么f 1(0) .解一 令 4x 2x 10,解得 x 1,即 f(1)0,f 1(0) .1解二可求反函數(shù)為f 1(x) log2 1 x 1 2 x 1 .于是有1f 1(0) log2 10 1 21 .ex dax ba 0的分式函數(shù)求值域時(shí)常用此法【例6求函數(shù)y2x1的值域x1解由y2x 1 /曰得2y x y1,當(dāng)yx 1因此原函數(shù)的值域?yàn)閥,22,y 1x 12時(shí)，x.反函數(shù)為y. x

6、 2 ,2 y2 x4. 判斷反函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的方法xxe ey是增函數(shù)，因此它的反函數(shù)是奇函數(shù)，又是增函數(shù)2由于反函數(shù)與原函數(shù)具有相同的單調(diào)性和相同的奇偶性，因此要判斷反函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性時(shí)，不必將反函數(shù)求出，而改為去判斷原函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性注意：由于偶函數(shù)沒(méi)有反函數(shù)，多以反函數(shù)也不能使偶函數(shù)【例7 1992.全國(guó)文理一6函數(shù)yxxe e的反函數(shù)2A.是奇函數(shù)，它在0,上是減函數(shù)B.是偶函數(shù)，它在0,上是減函數(shù)C.是奇函數(shù)，它在0,上是增函數(shù)D.是偶函數(shù)，它在0,上是增函數(shù)解一f Xx exxee exx ex e是 ex是增函數(shù)，22T X , y2x1e x是減函數(shù),e選C.解二

7、特殊值判斷法對(duì)反函數(shù)來(lái)說(shuō)，x1令x1In 2, x2In 2必2ln 2,可得 Y13Y1 In2;x23Y2In 2; X344158158Ya2l n2,可知A、B、D應(yīng)排除.因此選C.注意：此題假設(shè)去求反函數(shù)，運(yùn)算很繁，反函數(shù)的式子也繁，再要判定其奇偶性、增減性, 難度較大.(二) 互為反函數(shù)的函數(shù)圖象的位置關(guān)系在解題中的應(yīng)用1.由于互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，由此可得：假設(shè)點(diǎn)a、b在函數(shù)y=f(x)或yf 1 x的圖象上，那么點(diǎn)b、a再其反函數(shù)y Lx或y f x的圖象上，牽涉到有原函數(shù)和反函數(shù)的圖象時(shí)，要注意利用者性質(zhì)來(lái)解題.2x【例8 2002.全國(guó)文二14函數(shù)y,x

8、 1,圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)1 x為.2x解一由y 2x 得f 1 xyX由1 X解得Xo或X1交點(diǎn)為o,o，1x2 xyX2 xyoy11,1.解二設(shè)兩函數(shù)圖象交點(diǎn)為Xo, yo .Xo,yo在反函數(shù)圖象上，yo2xo1 Xo,解得o或1yo,xo在yf (x)圖象上于是XoXo.交點(diǎn)為o,o,Xo2yoyooyo11 Xo1,1當(dāng)x=- 2時(shí)，【例9】1994.全國(guó)文理一 12設(shè)函數(shù)f(x) 1 v1 X2 , 1 x 0 ,那么函數(shù)y f 1 X的圖象如圖2-11是A.B.解一由yC.D.1 y,1 x22 2 21 y ,xy 11 1 x o.1 1X2得：12 X12 Xo,

9、 y1 12 X1.可見(jiàn)函數(shù)X2 y 1 211 xo, y 1的圖象是以點(diǎn)o,1為圓心，1為半徑,且1 x o,y11的圓弧如圖2 12.它的反函數(shù)圖象41時(shí)關(guān)于直線y=x對(duì)稱的丄圓弧.因此應(yīng)選B.4解二(特殊值判斷法)當(dāng)x=-1時(shí)，f(-1)=1.那么1，-1丨應(yīng)在其反函數(shù)的圖象上，排除A、C.013,那么0.13, 1應(yīng)在其反函數(shù)的圖象上，排2除D.應(yīng)選B.解三特殊值判斷法在各選擇支中作出關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖形，既得y=f(x)的圖象如圖2-13丨.A . B. C. D.令x=-1，得f(-1)=1,從圖2-13可見(jiàn)排除A、C11V3令x= 2,得f21 3 °.13

10、9;排除D'應(yīng)選B.2.函數(shù)圖象關(guān)于直線 y=x對(duì)稱的證明方法要證明兩個(gè)函數(shù) y=f(x)和y=g(x)的圖象關(guān)于直線 y=x對(duì)稱或要證明函數(shù) y=f(x)的圖象關(guān)于直 線y=x對(duì)稱，除可用第16招中所介紹的方法外，還可利用原函數(shù)與反函數(shù)的圖象之間的對(duì) 稱關(guān)系來(lái)證明.其方法如下：1(1)要證函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖像關(guān)于直線 y=x對(duì)稱，只須證f x g xax。1a?兇1ax0x°1 ax° 1ax°1ax0 ax°,可見(jiàn) p' y°,x0也在y的圖象上.ax 1x。, y° 與p' y°

11、,x。關(guān)于直線y=x對(duì)稱函數(shù)yax的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱1自我檢測(cè)131.1991.全國(guó)文一9函數(shù)6x 5R,且x 1 ,那么它的反函數(shù)為6x 5A.y=x 1B. y= x 6x 1C.y=6x 5D.y= xx 52.1988.廣東文一卷一13函數(shù)y=x 2的反函數(shù)).2A. 2 x -1 x 2 B. 2C.2- x 1 2 x 1D. 212身，即只須證f 1 x f x.x 11a a 0且a 1,設(shè)函數(shù)y x R且x ax 1a證明：這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱圖形證一由yx得 ay 1 x y 1.1假設(shè)ay 10,a 0, y1,由1式ax1a1得0=丄1,a1,這與

12、條件矛盾。ay 10,那么 xy1 1 y,yx 1 , 的aay1aax 1反函數(shù)是y=xx 丄，即f x f1 x . f x 與 f1 x的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，ax 1 ax 11函數(shù)yx R且x的圖象關(guān)于直線y=x成軸對(duì)稱圖形ax 1ax0、十 5亠x 1x0 1 十 y0 1證二 設(shè)p xo, yo在y的圖象上，貝U yo .而 0一ax 1ax0 1 ay0 1A. y 2 ln x x 0 B. yIn 2x x 0 C. y1In x x 02D.y -ln 2x x 0 24.2003.天津文9函數(shù)lnjx 11,的反函數(shù)為xe 1a. y x ,xe 10,b. yex

13、 1廠,x0,xe 1C. y ,xe 1,0D. yxe 1 ,xe 1,02x5. 求函數(shù)f(x)=x的反函數(shù).6.1989.全國(guó)文理二15函數(shù)x e y e1的反函數(shù)的定義域是17.2003.上海春文理一1函數(shù) f(x)= x 1,那么 f 1 38.2004. 北京春文一13假設(shè)f 1 x為函數(shù)f (x) ln x 1的反函數(shù)，貝y f 1 x的值域是19.2002.上海文理一12函數(shù)y=f(x)(定義域?yàn)镈，值域?yàn)锳)有反函數(shù)y f x，那么方程f(x)有解x=a，且f(x)>x x D的充要條件是y f 1 x滿足.4、110.2004. 上海春文理一5函數(shù)f(x)= log 3 2 ,那么方程f x 4的解x .x111.函數(shù)y=f(x)是定義在a,b上的減函數(shù)，那么函數(shù)y=-f x ()A.在f(a),f(b)是增函數(shù)f b , f a上是增函數(shù)C.在f a , f b上是減函數(shù)D.在f b , f a上是減函數(shù)x112.2000.上海文理一5f X 2b的反函數(shù)f x的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q 5, 2那么b=.1 113.2003. 上 海文二5在 P 1,