特征函數(shù)和矩母函數(shù)

1、一、矩母函數(shù)一、矩母函數(shù) 矩母函數(shù)和特征函數(shù)矩母函數(shù)和特征函數(shù) 1定義定義 稱稱 的數(shù)學期望的數(shù)學期望 為隨機變量為隨機變量X的矩母函數(shù)。的矩母函數(shù)。2原點原點矩的求法矩的求法 tXe)(tXeEt 利用矩母函數(shù)可求得利用矩母函數(shù)可求得X的各階矩，即對的各階矩，即對 逐次求導，并計算在逐次求導，并計算在 點的點的值：值： )(t0t)(tXXeEt )()tXnneXEt （)0()nnXE（3和的矩母函數(shù)和的矩母函數(shù) 定理定理1 設(shè)相互獨立的隨機變量設(shè)相互獨立的隨機變量 的的矩母函數(shù)分別為矩母函數(shù)分別為 ， ， ， 則其和則其和 的矩母函數(shù)為的矩母函數(shù)為 rXXX，21)(1t)(2t)(t

2、rrXXXY21)(tY)(1t)(2t)(tr 4. 母函數(shù)母函數(shù)設(shè)設(shè)X是是非負整數(shù)值隨機變量非負整數(shù)值隨機變量，分布律，分布律 PX=k=pk，k=0,1, 則稱則稱為為X的的母函數(shù)母函數(shù)。0)()(kkkXspsEsP(1)非負整數(shù)值隨機變量的分布律非負整數(shù)值隨機變量的分布律pk由其母由其母函數(shù)函數(shù)P(s)唯一確定唯一確定(2)設(shè)設(shè)P(s)是是X的的母母函數(shù)，函數(shù)，若若EX存在，則存在，則EX=P (1)若若DX存在，則存在，則DX= P (1) +P (1)- - P (1)2, 2 , 1 , 0,!)0()(kkPpkk(3)獨立隨機變量之和的獨立隨機變量之和的母函數(shù)等于母函母函數(shù)

3、等于母函數(shù)之積。數(shù)之積。(4)若若X1,X2,是相互獨立同分布的非負整是相互獨立同分布的非負整數(shù)值隨機變量，數(shù)值隨機變量，N是與是與X1,X2,獨立的非獨立的非負整數(shù)值隨機變量，則負整數(shù)值隨機變量，則的的母函數(shù)母函數(shù)H(s)=G(P(s) , EY=ENEX1其中其中G(s),P(s)分別是分別是N, X1的母函數(shù)。的母函數(shù)。NkkXY1(1)，故故則則令令1 , 0!)0(!)0(, 0) 1() 1(!)(, 1 , 0,)()()(1)(100nnPppnPsspnkkkpnsPnspspspsPnnnnnknkknnnkkknkkkkkk2222211212211110)1 () 1

4、() 1 ( )() 1 ()( ) 1() 1() 1 () 1()() 1 ()()(,)(PPPEXEXPEXEXDXEXEXkppkpkkpkkPspkksPPkpXEskpsPspsPkkkkkkkkkkkkkkkkkkk (2)設(shè)離散型非負整數(shù)隨機變量設(shè)離散型非負整數(shù)隨機變量X,Y的分布律的分布律分別為分別為PX=k=pk，PY=k=qk，k=0,1, ，則則Z=X+Y的分布律為的分布律為PZ=k=ck,其中其中 ck= p0 qk +p1qk- -1 + + pk q0 設(shè)設(shè)X,Y,Z的母函數(shù)分別為的母函數(shù)分別為PX(s), PY(s), PZ(s)，即有，即有000)()(,)

5、(kkkZkkkYkkkXscsPsqsPspsP(3)()()(0000,00sPscsqpsqpsqspsPsPZrrrrrrkkrklklklklllkkkYX (4)000000000,)(kklklkklkkklkkskYPlNPslNPkYPslNkYPslNkYPskYPsH 001001010( ) ( )( ( )lkjlkjlkjlkjlljllP NlPXk sP NlP Xk sP NlP sP NlP sG P s ) 1) 1 ( ) 1 () 1 () 1 ()1 ()() 1 (111PEXENPGPPGdsdPdPdGdssPdGHEYss注注歐拉公式： 二、

6、特征函數(shù)二、特征函數(shù) 1 .特征函數(shù)特征函數(shù) 設(shè)設(shè)X為隨機變量，稱復隨機變量為隨機變量，稱復隨機變量 的數(shù)學期望的數(shù)學期望itXe)(tXitXeE為為X的特征函數(shù)，其中的特征函數(shù)，其中t是實數(shù)。是實數(shù)。還可寫成還可寫成 )(tXsincostXiEtXEcossiniei()( )XXtit分布律為分布律為P(X=xk)=pk（k=1,2,）的離散的離散型隨機變量型隨機變量X，特征函數(shù)為特征函數(shù)為概率密度為概率密度為f(x)的連續(xù)型隨機變量的連續(xù)型隨機變量X，特征特征函數(shù)為函數(shù)為( )( )ditxtef xx1( )kitxkktep對于對于n維隨機向量維隨機向量X=(X1, X2, ,

7、Xn)，特，特征函數(shù)為征函數(shù)為121( )( , ,)expnitXnkkktt ttEeEit X(1) 。(2) 在（在（- - ， ）上一致連續(xù)。）上一致連續(xù)。(3)若隨機變量若隨機變量X的的n階矩階矩EXn存在，則存在，則 , k n 當當k=1時，時，EX = ； 當當k=2時，時，DX = 。(0)1,( )1,()( )ttt( ) t( )(0)kkki EX(1)(0)/i(2)(1)2(0)(0)/ ) i(4) 是非負定函數(shù)。是非負定函數(shù)。(5)若若X1, X2, , Xn是相互獨立的隨機變量，是相互獨立的隨機變量，則則X=X1+X2+Xn的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為 (6)

8、隨機變量的分布函數(shù)與特征函數(shù)是一一對隨機變量的分布函數(shù)與特征函數(shù)是一一對應(yīng)且相互唯一確定。應(yīng)且相互唯一確定。( ) t12( )( )( )( )ntttt 如果隨機變量如果隨機變量X為連續(xù)型，且其特征函為連續(xù)型，且其特征函數(shù)絕對可積，則有數(shù)絕對可積，則有反演公式反演公式：1( )( )2itxf xet dt( )( )itxtef x dx（相差一個負號的傅立葉逆變換）（相差一個負號的傅立葉逆變換）（相差一個負號的傅立葉變換）（相差一個負號的傅立葉變換）例例1 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布，的泊松分布，求求X的特征函數(shù)。的特征函數(shù)。解解 由于由于 所以所以 ekk

9、XPk?。?(tXekekkitk！0！keekitk)(0iteee)1(itee麥克勞林公式例例2 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X服從服從a，b上的均勻分布，求上的均勻分布，求X的的特征函數(shù)。特征函數(shù)。 解解 X的概率密度為的概率密度為 所以所以 其它01)(bxaabxfdxabetbaitxX1)()(abiteeitaitb 設(shè)設(shè)X服從二項分布服從二項分布B(n, p)，求，求X的特的特征函數(shù)征函數(shù)g(t)及及EX、EX2、DX。knkknqpC00( )nnknitkkkn kkitn kitnnkkg te C p qCpeqpeq X的分布律為的分布律為P(X=k)= ， q=1-p

10、，k=0,1,2,n0(0)nittdEXigipeqnpdt 22DXEXEXnpq22222202(0)nittdEXigipeqnpqn pdt 設(shè)設(shè)XN(0,1)，求，求X的特征函數(shù)。的特征函數(shù)。 221( )2xitxg te edx22221( )22xxitxitxig tixe edxe de21g( )( )0,ln( )2dgttg ttdtg ttCg 2222( ),22xxitxitxitee edxtg t 221122( ),(0)1,0( )tCtg tegCg te由得，從而設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為gX(t) ，Y=aX+b，其中其中a,

11、 b為任意實數(shù)為任意實數(shù)，證明證明Y的的特征函數(shù)特征函數(shù)gY(t)為為 。)()(atgetgXitbY()( )it aXbYgtE e()()i at Xitbitbi at XE eee E e()itbXe gat設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量YN( , 2) ，求，求Y的特征的特征函數(shù)為函數(shù)為gY(t)。22)(tXetg( )()i tYXgtegtXN(0 , 1) ，X的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為設(shè)設(shè)Y= X + ，則，則YN( , 2) ，Y的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為2 22 222tti ti te ee 三、常見隨機變量的數(shù)學期望、方差、特征三、常見隨機變量的數(shù)學期望、方差、特征函數(shù)和母函數(shù)函數(shù)和母函數(shù)分布分布期望期望方差方差特征函數(shù)特征函數(shù)母函數(shù)母函數(shù)0-1分布分布ppqq + ps二項分布二項分布npnpq(q +ps