水塔水流量估計(jì)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上實(shí)驗(yàn) 水塔水流量的估計(jì) 實(shí)驗(yàn)?zāi)康谋敬螌?shí)驗(yàn)的主要目的是讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行插值計(jì)算并解決一些具體的實(shí)際問(wèn)題。介紹一些經(jīng)典的插值方法，包括拉格朗日插值法、埃爾米特插值法、分段插值法、三次樣條插值法等等。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1實(shí)驗(yàn)問(wèn)題 美國(guó)某州的各用水管理機(jī)構(gòu)要求各社區(qū)提供以每小時(shí)多少加侖計(jì)的用水率以及每天所用的總水量。許多社區(qū)沒(méi)有測(cè)量流入或流出水塔的水量裝置,他們只能代之以每小時(shí)測(cè)量水塔中的水位,其誤差不超過(guò)5%。更重要的是,當(dāng)水塔中的水位下降到最低水位L時(shí)水泵就啟動(dòng)向水塔輸水直到最高水位H,期間不能測(cè)量水泵的供水量。因此,當(dāng)水泵正在輸水時(shí)不容易建立水塔中水位和用水量之間的關(guān)系。水

2、泵每天輸水一次或兩次,每次約二小時(shí)。試估計(jì)任何時(shí)刻(包括水泵正在輸水時(shí)間)從水塔流出的水流量f(t),并估計(jì)一天的總用水量。已知該水塔是一個(gè)高為40英尺（ft），直徑為57英尺(ft)的正圓柱，表12.1給出了某個(gè)小鎮(zhèn)一天水塔水位的真實(shí)數(shù)據(jù)，水位降至約27.00ft水泵開(kāi)始工作,水位升到35.50ft停止工作。(注：1英尺（ft）=0.3024米（m）)表12-1 某小鎮(zhèn)某天水塔水位時(shí)間/s水位/0.01ft時(shí)間/s水位/0.01ft031754663633503316311049953326066353054539363167106192994572543087139372947605743

3、01217921289264554292721240285068535284225223279571854276728543275275021269732284269779254水泵開(kāi)動(dòng)35932水泵開(kāi)動(dòng)82649水泵開(kāi)動(dòng)39332水泵開(kāi)動(dòng)8596834753943535508995333974331834459327033402 問(wèn)題分析 流量是單位時(shí)間內(nèi)流出水的體積,由于水塔是正圓柱形,橫截面積是常數(shù),所以在水泵不工作時(shí)段,流量很容易根據(jù)水位相對(duì)時(shí)間的變化率算出。問(wèn)題的難點(diǎn)在于如何估計(jì)水泵供水時(shí)段的流量。 水泵供水時(shí)段的流量只能靠供水時(shí)段前后的流量經(jīng)插值或擬合得到。作為用于插值或擬合的原始

4、數(shù)據(jù),我們希望水泵不工作時(shí)段的流量越準(zhǔn)確越好。這些流量大體上可由兩種方法計(jì)算,一是直接對(duì)表12.1中的水量用數(shù)值微分算出各時(shí)段的流量,用它們擬合其它時(shí)刻或連續(xù)時(shí)間的流量;二是先用表中數(shù)據(jù)擬合水位時(shí)間函數(shù),求導(dǎo)數(shù)即可得到連續(xù)時(shí)間的流量。有了任何時(shí)刻的流量,就不難計(jì)算一天的總用水量。其實(shí),水泵不工作時(shí)段的用水量可以由測(cè)量記錄直接得到,由表12.1中下降水位乘以水塔的截面積就是這一時(shí)段的量這個(gè)數(shù)值可以用來(lái)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)插值或擬合的結(jié)果。模型建立為了表示方便,我們將問(wèn)題中所給表12-1中的數(shù)據(jù)全部化為國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)單位（表12-5）,時(shí)間用小時(shí)(h),高度用米(m):表12-5 一天內(nèi)水塔水位記錄時(shí)間(h)水位(

5、m)時(shí)間(h)水位(m)09.6812.9510.210.929.4513.889.941.849.3114.989.652.959.1315.909.413.878.9816.839.184.988.8117.938.925.908.6919.048.667.008.5219.968.437.938.3920.848.228.978.2222.02水泵開(kāi)動(dòng)9.98水泵開(kāi)動(dòng)22.96水泵開(kāi)動(dòng)10.93水泵開(kāi)動(dòng)23.8810.5910.9510.8224.9910.3512.0310.5025.9110.18模型假設(shè)(1) 流量只取決于水位差,與水位本身無(wú)關(guān)，故由物理學(xué)中Torricelli定律

6、：從小孔流出的液體的流速正比于水面高度的平方根。題目給出水塔的最低和最高水位分別是8.1648m（27×0.3024）和10.7352m（35.50×0.3024 ）(設(shè)出口的水位為零)，因?yàn)閟qrt(10.7352/8.1648)1.1467，約為1,所以可忽略水位對(duì)流速的影響。（2） 將流量看作是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，為計(jì)算簡(jiǎn)單,不妨將流量定義成單位時(shí)間流出水的高度,即水位對(duì)時(shí)間變化率的絕對(duì)值(水位是下降的), 水塔截面積為S=(57*0.3048)2*/4=237.8(m2).得到結(jié)果后乘以S即可。流量估計(jì)方法首先依照表12-5所給數(shù)據(jù),用MATLAB作出時(shí)間水位散點(diǎn)圖12

7、.7。 Fig.12.7下面我們來(lái)計(jì)算水箱流量與時(shí)間的關(guān)系。根據(jù)表12-5中數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖12.7，一種簡(jiǎn)單的處理方法為先將表12-5中的數(shù)據(jù)分為三段，然后對(duì)每一段的數(shù)據(jù)做如下處理：設(shè)某段數(shù)據(jù)為，相鄰數(shù)據(jù)中點(diǎn)的平均流速用下面的公式(流速=（左端點(diǎn)的水位-右端點(diǎn)的水位）/區(qū)間長(zhǎng)度)：，每段數(shù)據(jù)首尾點(diǎn)的流速用下面的公式計(jì)算：，用以上公式求得時(shí)間與流速之間的數(shù)據(jù)表12-6如下: 表12-6時(shí)間(h)流速(cm/h)時(shí)間(h)流速(cm/h)029.8912.4931.520.4621.7413.4229.031.3818.4814.4326.362.39516.2215.4426.093.4116.30

8、16.3724.734.42515.3217.3823.645.4413.0418.4923.426.4515.4519.5025.007.46513.9820.4023.868.4516.3520.8422.178.9719.2922.02水泵開(kāi)動(dòng)9.98水泵開(kāi)動(dòng)22.96水泵開(kāi)動(dòng)10.93水泵開(kāi)動(dòng)23.8827.0910.9533.5024.4321.6211.4929.6325.4518.4825.9113.30由表12-6作出時(shí)間-流速散點(diǎn)圖如下: Fig.12.8 (1) 插值法由表12-6,對(duì)水泵不工作時(shí)段1,2采取插值方法,可以得到任意時(shí)刻的流速,從而可以知道任意時(shí)刻的流量.我們

9、分別采取拉格朗日插值法,分段線性插值法及三次樣條插值法；對(duì)于水泵工作時(shí)段1應(yīng)用前后時(shí)期的流速進(jìn)行插值，由于最后一段水泵不工作時(shí)段數(shù)據(jù)太少，我們將它與水泵工作時(shí)段2合并一同進(jìn)行插值處理(該段簡(jiǎn)稱混合時(shí)段)。我們總共需要對(duì)四段數(shù)據(jù)（第1，2未供水時(shí)段，第1供水時(shí)段，混合時(shí)段）進(jìn)行插值處理,下面以第1未供水時(shí)段數(shù)據(jù)為例分別用三種方法算出流量函數(shù)和用水量（用水高度）。下面是實(shí)現(xiàn)該過(guò)程的MATLAB程序。t=0,0.46,1.38,2.395,3.41,4.425,5.44,6.45,7.465,8.45,8.97;v=29.89,21.74,18.48,16.22,16.30,15.32,13.04,

10、15.45,13.98,16.35,19.27;t0=0:0.1:8.97;lglr=lglrcz(t,v,t0); /*注:lglrcz為一函數(shù),程序同lglrcz.m*/ lglrjf=0.1*trapz(lglr)fdxx=interp1(t,v,t0);fdxxjf=0.1*trapz(fdxx)scyt=interp1(t,v,t0,'spline');sancytjf=0.1*trapz(scyt)plot(t,v,'*',t0,lglr,'r',t0,fdxx,'g',t0,scyt,'b')gtex

11、t('lglr')gtext('fdxx')gtext('scyt')運(yùn)行結(jié)果為 lglrjf=145.6231 fdxxjf=147.1430 sancytjf=145.6870圖12.9是對(duì)第1未供水段數(shù)據(jù)用三種不同方法得到的插值函數(shù)圖，圖中曲線lglr、fdxx和scyt分別表示用拉格朗日插值法,分段線性插值法及三次樣條插值法得到的曲線。 Fig.12.9由表12-5知，第1未供水時(shí)段的總用水高度為146（=968-822），可見(jiàn)上述三種插值方法計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際值（146）相比都比較接近?？紤]到三次樣條插值方法具有更加良好的性質(zhì)，建議采取該

12、方法。其它三段的處理方法與第1未供水時(shí)段的處理方法類似，這里不再詳細(xì)敘述，只給出數(shù)值結(jié)果和函數(shù)圖象，圖中曲線標(biāo)記同F(xiàn)ig.12.9。表12-7 各時(shí)段及一天的總用水量(用水高度)第1未供水段第2未供水段第1供水段混合時(shí)段全天拉格朗日插值法145.6231258.866454.068992.1337550.6921分段線性插值法147.1430258.969749.605176.4688532.1866三次樣條插值法145.6870258.654753.333481.7699539.4450Fig.12.10 (第一供水段時(shí)間-流速示意圖)Fig.12.11(第2未供水段時(shí)間-流速示意圖)Fig

13、.12.12(混合時(shí)段段時(shí)間-流速示意圖)下圖12.13是用分段線性及三次樣條插值方法得到的整個(gè)過(guò)程的時(shí)間-流速函數(shù)示意圖。Fig.12.13下表是對(duì)一天中任取的4個(gè)時(shí)刻分別用三種方法得到的水塔水流量近似值。表12-86.8810.8815.8822.88拉格朗日15.51433.46325.47734.694分段插值14.03432.62725.49525.84三次樣條15.82033.25925.42329.551(2) 擬合法1) 擬合水位-時(shí)間函數(shù)從表12-5中測(cè)量記錄看，一天有兩次供水時(shí)段和三次未供水時(shí)段，分別對(duì)第1,2未供水時(shí)段的測(cè)量數(shù)據(jù)直接作多項(xiàng)式擬合，可得到水位函數(shù)（注意，根據(jù)

14、多項(xiàng)式擬合的特點(diǎn)，此處擬合多項(xiàng)式的次數(shù)不宜過(guò)高，一般以3-6次為宜）。對(duì)第3未供水時(shí)段來(lái)說(shuō),數(shù)據(jù)過(guò)少不能得到很好的擬和。設(shè)t,h分別為已輸入的時(shí)刻和水位測(cè)量記錄(由表12-5提供，水泵啟動(dòng)的4個(gè)時(shí)刻不輸入)，這樣第1未供水時(shí)段各時(shí)刻的水位可由如下MATLAB程序完成：t=0,0.92,1.84,2.95,3.87,4.98,5.90,7.00,7.93,8.97,10.95,12.03,12.95,13.88,14.98,15.90,16.83,17.93,19.04,19.96,20.84,23.88,24.99,25.66h=9.68,9.48,9.31,9.13,8.98,8.81,8.

15、69,8.52,8.39,8.22,10.82,10.50,10.21,9.94,9.65,9.41,9.18,8.92,8.66,8.43,8.22,10.59,10.35,10.18;c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3);tp1=0:0.1:8.9;x1=polyval(c1,tp1);plot(tp1,x1)下圖給出的是第1未供水時(shí)段的時(shí)間-水位擬合函數(shù)圖形。Fig.12.14變量x1中存放了以0.1為步長(zhǎng)算出的各個(gè)時(shí)刻的水位高度。 同樣地，第2未供水時(shí)段時(shí)間-水位圖可由如下MATLAB程序完成，讀者可自己上機(jī)運(yùn)行查看。 c2=polyfit(t(11:21),h(

16、11:21),3); tp2=10.9:0.1:20.9; x2=-polyval(c2,tp2);plot(tp2,x2)2) 確定流量時(shí)間函數(shù)對(duì)于第1,2未供水時(shí)段的流量可直接對(duì)水位函數(shù)求導(dǎo)，程序如下：c1=polyfit(t(1:10),h(1:10),3);c2=polyfit(t(11:21),h(11:21),3);a1=polyder(c1);a2=polyder(c2);tp1=0:0.01:8.97;tp2=10.95:0.01:20.84;x13=-polyval(a1,tp1);x113=-polyval(a1,0:0.01:8.97);wgsysl1=100*trapz

17、(tp1,x113); */該語(yǔ)句計(jì)算第1未供水時(shí)段的總用水量*/x14=-polyval(a1,7.93,8.97); */該語(yǔ)句僅為下面的程序準(zhǔn)備數(shù)據(jù)*/x23=-polyval(a2,tp2);x114=-polyval(a2,10.95:0.01:20.84);wgsysl2=100*trapz(tp2,x114); */該語(yǔ)句計(jì)算第2未供水時(shí)段的總用水量*/x24=-polyval(a2,10.95,12.03); */該語(yǔ)句僅為下面的程序準(zhǔn)備數(shù)據(jù)*/x25=-polyval(a2,19.96,20.84); */該語(yǔ)句僅為下面的程序準(zhǔn)備數(shù)據(jù)*/subplot(1,2,1)plot(

18、tp1,x13*100) */與Fig.12.13單位保持一致*/subplot(1,2,2)plot(tp2,x23*100) */與Fig.12.13單位保持一致*/程序運(yùn)行得到第1,2未供水時(shí)段的-時(shí)間流量圖如下，可以看到與Fig.12.13中用插值給出的曲線比較吻合。Fig.12.15如果用5次多項(xiàng)式擬合則得下面的圖形，顯然較3次擬合的效果好。Fig.12.16而第1供水時(shí)段的流量則用前后時(shí)期的流量進(jìn)行擬合得到。為使流量函數(shù)在t=9和t=11連續(xù)，我們只取4個(gè)點(diǎn)，用3次多項(xiàng)式擬合得到第1供水時(shí)段的時(shí)間-流量圖形如下，可以看到與Fig.12.13中的相應(yīng)部分比較吻合。 dygsdsj=

19、7.93,8.97, 10.95,12.03;dygsdls=x14, x24; nhjg=polyfit(dygsdsj, dygsdls,3); nhsj=7.93:0.1:12.03; nhlsjg=polyval(nhjg ,nhsj); gssj1=8.97:0.01:10.95;gs1=polyval(nhjg,8.97:0.01:10.95);gsysl1=100*trapz(gssj1,gs1); */該語(yǔ)句計(jì)算第1供水時(shí)段的總用水量*/plot(nhsj, 100*nhlsjg)Fig.12.17在第2供水時(shí)段之前取t=19.96,20.84兩點(diǎn)的流量，用第三未供水時(shí)段的3個(gè)

20、記錄做差分得到兩個(gè)流量數(shù)據(jù)21.62,18.48，然后用這4個(gè)數(shù)據(jù)做3次多項(xiàng)式擬合得到第2供水時(shí)段與第3為供水時(shí)段的時(shí)間-流量圖如下，可以看到與Fig.12.13中的相應(yīng)部分也比較吻合。t3=19.96,20.84,t(22),t(23); ls3=x25*100,21.62,18.48; nhhddxsxs=polyfit(t3,ls3,3); tp3=19.96:0.01:25.91; xx3=polyval(nhhddxsxs, tp3);gssj2=20.84:0.01:24;gs2=polyval(nhhddxsxs, 20.84:0.01:24);gsysl2=trapz(gssj

21、2,gs2); */該語(yǔ)句計(jì)算第2供水時(shí)段的總用水量*/ plot(tp3,xx3)Fig.12.183) 一天總用水量的估計(jì)分別對(duì)供水的兩個(gè)時(shí)段和不供水的兩個(gè)時(shí)段積分(流量對(duì)時(shí)間)并求和得到一天的總用水量約為526.8935(此數(shù)據(jù)是總用水高度cm)。下表列出各段用水量，與插值法算得的表12-7相比，二者較為吻合。表12-9 時(shí)段第1未供水段第2未供水段第1供水段第2供水段全天用水用水高度145.67260.6646.6073.9635526.89354） 流量及總用水量的檢驗(yàn)計(jì)算出各時(shí)刻的流量可用水位記錄的數(shù)值微分來(lái)檢驗(yàn)，各時(shí)段的用水高度可以用實(shí)際記錄的水位下降高度來(lái)檢驗(yàn)。例如，算得第1未供水段的用水量高度是145.67，而實(shí)際記錄的水位下降高度為968-822=146，兩者是吻合的；同樣地，算得第2未供水段的用水量高度是260.66，而實(shí)際記錄的水位下降高度為1082-822=260，兩者也是吻合的。從算法設(shè)計(jì)和分析可知,計(jì)算結(jié)果與各時(shí)段所用的擬合多項(xiàng)式的次數(shù)有關(guān)。下表給出的是對(duì)第1,2未供水時(shí)段分別用5、6次