定積分的背景_教學(xué)設(shè)計省優(yōu)質(zhì)課

1、-定積分的背景數(shù)學(xué) 王乃雪 高安二中 382317596qq.【教學(xué)目標(biāo)】1.知識目標(biāo)通過曲邊梯形的面積問題、變速直線運動物體的路程問題、變力做功問題理解定積分概念的形成的根本思想，初步了解、感受定積分的實際背景。2.能力目標(biāo)通過探索求曲邊梯形的面積的過程，了解用“分割、近似代替、求和、取極限的步驟分析問題的方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力；體會“以直代曲，“逼近的思想，理解用極限的思想方法思考與處理問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識。3. .情感目標(biāo)對不同背景下的問題中蘊含的統(tǒng)一數(shù)學(xué)涵的過程的提醒，認(rèn)識到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系和數(shù)學(xué)在實用性方面的巨大力量，進(jìn)而對數(shù)學(xué)中蘊含的理性美產(chǎn)生發(fā)自心的欣賞情感?！?/p>

2、教學(xué)重難點】1.教學(xué)重點了解以直代曲、逼近的數(shù)學(xué)思想，初步掌握求曲邊梯形面積的步驟。2.教學(xué)難點曲邊梯形的缺乏近似和過剩近似兩種近似面積的求法?！窘虒W(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課介紹我國晉時期的數(shù)學(xué)家徽以及他的“割圓術(shù)：徽(約公元225年295年)，臨淄人，晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基者之一。他的杰作?九章算術(shù)?，是中國最珍貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)，影響、支配中國古代數(shù)學(xué)的開展1000余年，是數(shù)學(xué)的典之一，與希臘歐幾里得的?幾何原本?所代表的古代西方數(shù)學(xué)交相輝映。他對數(shù)學(xué)的主要奉獻(xiàn)是創(chuàng)造十進(jìn)小數(shù)、證了有關(guān)勾股定理與解勾股形的計算原理；定義許多重要數(shù)學(xué)概念解決了多種幾何形、幾何體的面積、體積計

3、算問題；創(chuàng)造了割圓術(shù)，運用極限觀念計算圓面積和圓周率。在右圖中的圓作接正多邊形，通過變量來改變正多邊形的邊數(shù)，用正多邊形面積來近似估計圓的面積。提問：1.可以用正六邊形的面積來表示圓的面積嗎.可以用正12邊形來表示嗎.2.要使用多邊形的面積近似表示圓的面積更準(zhǔn)確，應(yīng)該怎么辦.3.用接正多邊形的面積來表示圓的面積，怎么計算圓周率.割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體無所失矣。 徽二、新課講授曲邊梯形的概念：由三條直線*軸、*=a、*=b和一條曲線圍成的封閉圖形，就叫做曲邊梯形。提問：我們知道多邊形、圓形、扇形等規(guī)則圖形的面積求法，那怎么求曲邊梯形的面積.探究一、求曲邊梯形的面積問

4、題1：求由*軸、直線*=1和曲線圍成圖形的面積（一） 分割為了計算曲邊梯形的面積S，將它分割成許多小曲邊梯形，如以下圖所示。（二） 近似代替提問：1.我們將曲邊梯形分割后，可以用圖1或者圖2中的小矩形的面積和來代替由*軸、*=a、*=b和曲線圍成的圖形的面積嗎.2.如果還有比較大的誤差，我們可以怎么做使誤差變小.3.將區(qū)間0,1分的越細(xì)，誤差越小嗎.在圖1和圖2中不斷增加小矩形的數(shù)量，得到的陰影局部的面積會越來越接近由*軸、直線*=1和曲線圍成的面積，而圖3中的面積會越來越小，直至無限接近于0.因此，只要區(qū)間分的夠細(xì)小，我們就可以用圖1或者圖2中的矩形的面積來近似代替由*軸、*=a、*=b和曲

5、線圍成的圖形的面積。下面以圖1為例求缺乏近似的面積。把區(qū)間0，1等分成n個小區(qū)間：；每個區(qū)間長度為，第個小矩形的高度為，所以第個小矩形的面積為。（三） 求和（四） 逼近(求極限)當(dāng)分割無限變細(xì)，即時，所以所求曲邊梯形的面積為。練習(xí)1：仿照上面求缺乏近似面積的方法求圖2中由*軸、直線*=1和曲線圍成的圖形的過剩近似面積探究二、變速運動的路程問題提問: 1.勻速直線運動路程公式是什么.2.假設(shè)以時間為橫坐標(biāo)，速度為縱坐標(biāo)建立坐標(biāo)系，則路程可以用什么表示.3.如果是變速直線運動，路程怎么求.問題2：一輛汽車的司機猛踩剎車，汽車滑行5s后停下，在這一過程中汽車的速度v是時間t的函數(shù)：,請估計汽車在剎車

6、過程中滑行的距離s。用橫坐標(biāo)表示時間，縱坐標(biāo)表示速度，可以得到速度關(guān)于時間的函數(shù)圖象如右圖所示。提問:1. 仿照問題1中的近似方法將時間區(qū)間0,55等分，得到的缺乏近似面積和過剩近似面積分別怎么計算.將區(qū)間0,510等分呢.2. 哪種分法得到的面積誤差較小.，如果還要使誤差更小，怎么辦.首先將滑行時間5等分，假設(shè)用近似表示各時間區(qū)間的平均速度，得到滑行距離是；假設(shè)用近似表示各時間區(qū)間的平均速度，得到滑行距離是。為了使誤差更小，將滑行時間10等分，用類似的方法求得過剩近似值為；缺乏近似值為。按照這樣的思路繼續(xù)將時間分細(xì)，我們就會得到更準(zhǔn)確的估計值，當(dāng)小時間間隔長度趨于0時，這兩種估計值就都趨于汽車滑行的路程。方法歸納總結(jié):求曲邊梯形的面積分為以下幾個步驟1. 將區(qū)間分割；2. 近似代替(一般用缺乏近似和過剩近似兩種代替方法)；3. 求近似面積和；4. 求極限，讓，得到準(zhǔn)確面積。練習(xí)2：由直線*=1,y=0和曲線圍成一個曲邊梯形，將區(qū)間0,14等分，則曲邊梯形面積的近似值(過剩近似)是( ).A. B. C. D. 三、小結(jié)求曲邊梯形面積四步曲：1. 分割化整為零2. 近似代替以直代曲3. 求和積零為整4. 逼近刨光磨平四、作業(yè)：思考題一根彈性系數(shù)為0.4N/cm的彈簧，其拉力隨著彈簧拉伸的長度*的和變化而不斷變化，根據(jù)