梁的變形與剛度設計

1、一。一。 彎曲變形概念彎曲變形概念 , ,v 受載荷作用后，梁的軸線將彎曲成為一受載荷作用后，梁的軸線將彎曲成為一條光滑的連續(xù)曲線條光滑的連續(xù)曲線,在平面彎曲的情況下，在平面彎曲的情況下，這是一條位于載荷所在平面內平面曲線。這是一條位于載荷所在平面內平面曲線。梁彎曲后的軸線稱為梁彎曲后的軸線稱為撓曲線撓曲線。相對于原截面轉過的角位移相對于原截面轉過的角位移，稱為轉角，稱為轉角 撓曲線是一條連續(xù)光滑平面曲線，其方程是撓曲線是一條連續(xù)光滑平面曲線，其方程是)(xfv 撓度撓度v截面形心在坐標截面形心在坐標y方向上的位移，其正負號與方向上的位移，其正負號與y坐標軸正負相符；坐標軸正負相符；轉角轉角橫

2、截面繞中性軸轉過的角度，其正負號，逆時針為正，順時針為負，橫截面繞中性軸轉過的角度，其正負號，逆時針為正，順時針為負，)( xfvdxdvtg O OPyx梁截面有沿垂直方向的線位移梁截面有沿垂直方向的線位移v，稱為撓度；，稱為撓度；在小變形情況下，有：在小變形情況下，有：二。二。 撓曲線的近似微分方程撓曲線的近似微分方程EIxMx)()(1對梁，有：對梁，有：對平面曲線，有關系式：對平面曲線，有關系式：232)1 ( )(1vvxEIxMvxv)( )(11)1 (232由上兩式可得：由上兩式可得：考慮到彎矩考慮到彎矩M的符號與撓曲線凸向之間的關系的符號與撓曲線凸向之間的關系 M M00v

3、v00 x xy yM M00v v0b時，最大撓度發(fā)生在時，最大撓度發(fā)生在AC段，可求得段，可求得則最大撓度為則最大撓度為RABARBPCablyxx1x2四。計算彎曲變形的疊加法四。計算彎曲變形的疊加法 小變形情況下，幾個載荷共同作用下所引起的某一物理量，等小變形情況下，幾個載荷共同作用下所引起的某一物理量，等于各載荷單獨作用時所引起的物理量的總和（代數和或矢量和）。于各載荷單獨作用時所引起的物理量的總和（代數和或矢量和）。疊加原理：疊加原理：a aBACa aq qa aM M=qa=qa2 2P P=qa=qaBACaaaP=qa(1)BACaqaa(3)BACaaaM=qa2(2)E

4、IPafPC63EIPaPA42EIqLfqC2454EIqaqA33qqPP=+AAABBB CaaEIPafPC63EIPaPA42EIqLfqC2454EIqaqA33qqPP=+AAABBB CaaqAPAA)43(122qaPEIaEIPaEIqafC624534PBCaAaPBCaAa懸臂梁懸臂梁AB、BC段抗彎剛度分別為段抗彎剛度分別為EI1、 EI2，求，求A處的撓度。處的撓度。四。計算彎曲變形的疊加法四。計算彎曲變形的疊加法 小變形情況下，幾個載荷共同作用下所引起的某一物理量，等于各載荷單獨作用時所小變形情況下，幾個載荷共同作用下所引起的某一物理量，等于各載荷單獨作用時所引起

5、的物理量的總和（代數和或矢量和）。引起的物理量的總和（代數和或矢量和）。用疊加法求圖示外伸梁的用疊加法求圖示外伸梁的C和和vC，梁的抗彎剛度是，梁的抗彎剛度是EI。a aBACa aq qa aM M=qa=qa2 2P P=qa=qa (a) 將梁上的載荷分解為三種簡單載荷單獨作用的情形。將梁上的載荷分解為三種簡單載荷單獨作用的情形。)3()2() 1 ()3()2() 1 (CCCCCCCCvvvv疊加原理：疊加原理：解解 應用疊加法求轉角和撓度應用疊加法求轉角和撓度BACaaaP=qa(1)BACaqaa(3)BACaaaM=qa2(2)BACaaaP=qa(1)BACaaaM=qa2(

6、2)EIqaavvEIqaEIaqaPAPCCPAPCC4416)2 ()(4)()() 1 (32)()() 1 (，EIqaavvEIqaEIaqaMAMCCMAMCC3362)(4)()() 2(32)()() 2(，(b) 而第三種情形又可分解為如下二種載荷單獨作用的情形。而第三種情形又可分解為如下二種載荷單獨作用的情形。(32)BACaaaqaqa2/2(3)BACaqaaqa(31)BACaaaq)32()31()3()32()31()3(CCCCCCvvv將將AC剛化剛化將將AB剛化剛化EIqaaEIqavEIqaEIaqaEIqavEIqaCCCC33 , 332)21(8 ,

7、 643)32(32)32(4)31(3)31(b) 而第三種情形又可分解為如下二種載荷單獨作用的情形。而第三種情形又可分解為如下二種載荷單獨作用的情形。(32)BACaaaqaqa2/2(3)BACaqaaqa(31)BACaaaq)32()31()3()32()31()3(CCCCCCvvv將將AC剛化剛化將將AB剛化剛化EIqaEIqaEIqavvvEIqaEIqaEIqaCCCCCC241138 236444)32()31()3(333)32()31()3(，(d) 應用疊加法，將三種情形下轉角和撓度疊加。應用疊加法，將三種情形下轉角和撓度疊加。EIqaEIqaEIqaEIqavvvv

8、EIqaEIqaEIqaEIqaCCCCCCCC24132411341272344444)3()2()1(3333)3()2()1(BACaaaP=qa(1)BACaqaa(3)BACaaaM=qa2(2)五。梁的剛度條件與合理剛度設計五。梁的剛度條件與合理剛度設計 1.梁的剛度條件梁的剛度條件指梁的最大撓度和最大轉角不能超過許可值，即指梁的最大撓度和最大轉角不能超過許可值，即 ffmaxmax 彎曲構件的剛度條件。彎曲構件的剛度條件。2 剛度的合理設計剛度的合理設計 對于主要承受彎曲的零件和構件，剛度設計就是根據對零件和構件的不同要求，將最對于主要承受彎曲的零件和構件，剛度設計就是根據對零件

9、和構件的不同要求，將最大撓度和轉角限制在一定范圍內，即滿足彎曲剛度條件。大撓度和轉角限制在一定范圍內，即滿足彎曲剛度條件。 BAP=3.5 kNC500500q=1.035 kNm 簡化電機軸的尺寸和載荷如圖所示，已知簡化電機軸的尺寸和載荷如圖所示，已知E=200GPa，d=130 mm，定子與轉，定子與轉子的許用間隙子的許用間隙=0.35mm；校核軸的剛度。；校核軸的剛度。mqlPldEEIqlEIPlvfC 10031.0384110035.15481105.313.01020064384548643845483434943443maxmmf 031. 0max解解 (a) 用疊加法求梁的

10、最大撓度用疊加法求梁的最大撓度(b ) 剛度校核剛度校核軸的剛度足夠。軸的剛度足夠。3 提高梁的彎曲剛度的措施提高梁的彎曲剛度的措施 梁的彎曲變形與彎矩梁的彎曲變形與彎矩M（x）及抗彎剛度有關，而影響梁彎矩的因素又包括載荷、支）及抗彎剛度有關，而影響梁彎矩的因素又包括載荷、支承情況及梁的有關長度。因此，為提高梁的剛度，可采用如下一些措施：承情況及梁的有關長度。因此，為提高梁的剛度，可采用如下一些措施：由梁的撓曲線近似微分方程由梁的撓曲線近似微分方程:EIxMdxvdv)( 22可見可見 1）. 選擇合理的梁截面，從而增大截面的慣性矩選擇合理的梁截面，從而增大截面的慣性矩I； 2）. 調整加載方

11、式，改善梁結構，以減小彎矩：使受力部位盡可能靠近支座；或使調整加載方式，改善梁結構，以減小彎矩：使受力部位盡可能靠近支座；或使集中力分散成分布力；集中力分散成分布力； 3）. 減小梁的跨度；增加支承約束；減小梁的跨度；增加支承約束；其中第三種措施的效果最為顯著，因為梁的跨長或有關長度是以其乘方影響梁的撓度和其中第三種措施的效果最為顯著，因為梁的跨長或有關長度是以其乘方影響梁的撓度和轉角的。轉角的。六。六。 簡單靜不定梁簡單靜不定梁 解除多余約束解除多余約束(個數與靜不定次數相同個數與靜不定次數相同)，代之以約束力，代之以約束力,C CB BA AP PC CB BA AP PR RC C 其次

12、，建立多余約束處的變形協(xié)調條件，其次，建立多余約束處的變形協(xié)調條件， yc=0得到靜不定梁的靜定基。得到靜不定梁的靜定基。 依此建立補充方程，依此建立補充方程， 0ccRcpyy聯立求解補充方程和平衡方程，得出所有約束力聯立求解補充方程和平衡方程，得出所有約束力 。 圖示桿系中，圖示桿系中，AB和和CD梁的抗彎為梁的抗彎為EI，BD桿的拉壓剛度是桿的拉壓剛度是EA，不計剪切變形，不計剪切變形的影響，求的影響，求BD桿的內力。桿的內力。解解(a) 去除去除D處的多余約束處的多余約束(b) 變形幾何關系變形幾何關系:21DDvvlCl/2BDAC CB BD DA AR RD DRRD DD D(1)(1)(2)(2)(c) 物理關系物理關系EIlREIqlvEAlEIlREAlREIlRvDDDDDD382323342331(d) 補充方程補充方程EAlEIlEIqlRREIlREIqlEAlEIlRDDDD2328382333343C CB BD DA AR RD DRRD DD D(1