函數(shù)的單調(diào)性179870

1、課題：2.3.1函數(shù)的單調(diào)性1教學(xué)目的：（1）了解單調(diào)函數(shù)、單調(diào)區(qū)間的概念：能說(shuō)出單調(diào)函數(shù)、單調(diào)區(qū)間這兩個(gè)概念的大致意思（2）理解函數(shù)單調(diào)性的概念：能用自已的語(yǔ)言表述概念；并能根據(jù)函數(shù)的圖象指出單調(diào)性、寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間（3）掌握運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性定義解決一類(lèi)具體問(wèn)題：能運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性定義證明簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性的概念；教學(xué)難點(diǎn)：利用函數(shù)單調(diào)的定義證明具體函數(shù)的單調(diào)性授課類(lèi)型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教材分析：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)眾多性質(zhì)中的重要性質(zhì)之一，函數(shù)的單調(diào)性一節(jié)中的知識(shí)是今后研究具體函數(shù)的單調(diào)性理論基礎(chǔ)；在解決函數(shù)值域、定義域、不等式、比較兩數(shù)大小等

2、具體問(wèn)題中均需用到函數(shù)的單調(diào)性；在歷年的高考中對(duì)函數(shù)的單調(diào)性考查每年都有涉及；同時(shí)在這一節(jié)中利用函數(shù)圖象來(lái)研究函數(shù)性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合思想將貫穿于我們整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)在本節(jié)課中的教學(xué)中以函數(shù)的單調(diào)性的概念為線，它始終貫穿于整個(gè)課堂教學(xué)過(guò)程；利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明具體函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的深層理解，且在“作差、變形、定號(hào)”過(guò)程學(xué)生不易掌握按現(xiàn)行新教材結(jié)構(gòu)體系，學(xué)生只學(xué)過(guò)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、正比例函數(shù)、二次函數(shù)，所以對(duì)函數(shù)的單調(diào)性研究也只能限于這幾種函數(shù)學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中能根據(jù)函數(shù)的圖象觀察出“隨著自變量的增大函數(shù)值增大”等變化趨勢(shì)，所以在教學(xué)中要充分利用好函數(shù)圖象的直觀性、發(fā)揮好多媒

3、體教學(xué)的優(yōu)勢(shì)；由于學(xué)生在概念的掌握上缺少系統(tǒng)性、嚴(yán)謹(jǐn)性，在教學(xué)中須加強(qiáng)根據(jù)以上分析本節(jié)課教學(xué)方法以在多媒體輔助下的啟發(fā)式教學(xué)為主；同時(shí)，本節(jié)課在教學(xué)過(guò)程中對(duì)教材中的函數(shù)的圖象進(jìn)行了刪除，教學(xué)中始終以、等函數(shù)為例子進(jìn)行討論研究教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入： 復(fù)習(xí)：我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)圖象的畫(huà)法.為了研究函數(shù)的性質(zhì)，我們按照列表、描點(diǎn)、連線等步驟先分別畫(huà)函數(shù)和的圖象. 的圖象如圖1，的圖象如圖2. 引入：從函數(shù)的圖象（圖1）看到：圖象在軸的右側(cè)部分是上升的，也就是說(shuō)，當(dāng)在區(qū)間0，+)上取值時(shí)，隨著的增大,相應(yīng)的值也隨著增大，即如果取0，+)，得到=,=,那么當(dāng)<時(shí)，有<.這時(shí)我們就說(shuō)函數(shù)

4、=在0,+ )上是增函數(shù).圖象在軸的左側(cè)部分是下降的，也就是說(shuō)，當(dāng)在區(qū)間（-，0）上取值時(shí)，隨著的增大，相應(yīng)的值反而隨著減小，即如果取（-，0），得到=,=,那么當(dāng)<時(shí)，有>.這時(shí)我們就說(shuō)函數(shù)=在(-,0)上是減函數(shù).函數(shù)的這兩個(gè)性質(zhì)，就是今天我們要學(xué)習(xí)討論的.二、講解新課： 增函數(shù)與減函數(shù)定義：對(duì)于函數(shù)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值，若當(dāng)<時(shí)，都有<,則說(shuō)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（如圖3）；若當(dāng)<時(shí)，都有>,則說(shuō)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)（如圖4）.說(shuō)明：函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)，是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的.有的函數(shù)在一些區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一些區(qū)間上不

5、是增函數(shù).例如函數(shù)（圖1），當(dāng)0,+)時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)(-,0)時(shí)是減函數(shù). 單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間若函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，則就說(shuō)函數(shù)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.此時(shí)也說(shuō)函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù).在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的.說(shuō)明：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集；應(yīng)是該區(qū)間內(nèi)任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)，忽略需要任意取值這個(gè)條件，就不能保證函數(shù)是增函數(shù)（或減函數(shù)），例如，圖5中，在那樣的特定位置上，雖然使得>，但顯然此圖象表示的函數(shù)不是一個(gè)單調(diào)函數(shù)；除了嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)外，還有不嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，它的定義類(lèi)似上述的定義，只要將上述定義

6、中的“<或>,”改為“或,”即可；定義的內(nèi)涵與外延：內(nèi)涵是用自變量的大小變化來(lái)刻劃函數(shù)值的變化情況；外延一般規(guī)律：自變量的變化與函數(shù)值的變化一致時(shí)是單調(diào)遞增，自變量的變化與函數(shù)值的變化相對(duì)時(shí)是單調(diào)遞減. 幾何特征：在自變量取值區(qū)間上，若單調(diào)函數(shù)的圖象上升，則為增函數(shù)，圖象下降則為減函數(shù).三、講解例題：例1如圖6是定義在閉區(qū)間-5，5上的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象說(shuō)出的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù). 解：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有-5，-2)，-2，1)，1，3)，3，5，其中在區(qū)間-5，-2)，1，3)上是減函數(shù)，在區(qū)間-2，1)，3，5上是增函數(shù).說(shuō)明：函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)

7、某個(gè)區(qū)間而言的，對(duì)于單獨(dú)的一點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒(méi)有增減變化，所以不存在單調(diào)性問(wèn)題；另外，中學(xué)階段研究的主要是連續(xù)函數(shù)或分段連續(xù)函數(shù)，對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)來(lái)說(shuō)，只要在開(kāi)區(qū)間上單調(diào)，它在閉區(qū)間上也就單調(diào)，因此，在考慮它的單調(diào)區(qū)間時(shí)，包括不包括端點(diǎn)都可以；還要注意，對(duì)于在某些點(diǎn)上不連續(xù)的函數(shù)，單調(diào)區(qū)間不包括不連續(xù)點(diǎn).例2 證明函數(shù)在R上是增函數(shù).證明：設(shè)是R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且<，則=(3+2)-(3+2)=3(), 由<x,得<0 ,于是<0,即<.在R上是增函數(shù).例3 證明函數(shù)在(0,+)上是減函數(shù).證明：設(shè),是(0,+)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且

8、<，則=, 由,(0,+ )，得>0,又由<,得>0 ,于是>0,即>在(0,+ )上是減函數(shù).例4討論函數(shù)在(-2,2)內(nèi)的單調(diào)性.解：，對(duì)稱(chēng)軸若,則在(-2,2)內(nèi)是增函數(shù)；若則在(-2,a)內(nèi)是減函數(shù),在a,2內(nèi)是增函數(shù)若,則在(-2,2)內(nèi)是減函數(shù).四、練習(xí)：1：課本P59練習(xí)：1，2答案：的單調(diào)區(qū)間有-2,-1，-1,0，0,1，1,2；在區(qū)間-2,-1，0,1上是增函數(shù)，在區(qū)間-1,0，1,2上是減函數(shù).的單調(diào)區(qū)間有-,-，-,，,；在區(qū)間-,-，上是減函數(shù)，在區(qū)間-，上是增函數(shù).說(shuō)明：要了解函數(shù)在某一區(qū)間是否具有單調(diào)性，從圖象上進(jìn)行觀察是一種常

9、用而又較為粗略的方法，嚴(yán)格地說(shuō)，它需要根據(jù)增（減）函數(shù)的定義進(jìn)行證明，下面舉例說(shuō)明.2判斷函數(shù)在R上是增函數(shù)還是減函數(shù)？并證明你的結(jié)論.解：設(shè),R，且<，=(-3+2)-(-3+2)=3(-), 又<,>0,即>.在R上是減函數(shù).3判斷函數(shù)=在(-,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)并證明你的結(jié)論.解：設(shè),(-，0)，且<，=,由,(-，0)，得>0,又由<,得>0 ,于是>0,即>.=在(0,+ )上是減函數(shù).能否說(shuō)函數(shù)=在(-，+)上是減函數(shù)？答：不能. 因?yàn)?0不屬于=的定義域.說(shuō)明：通過(guò)觀察圖象，對(duì)函數(shù)是否具有某種性質(zhì)，作出猜想，然后通

10、過(guò)推理的辦法，證明這種猜想的正確性，是發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題的一種常用數(shù)學(xué)方法.4 判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由. 課本P60練習(xí)：4.解：設(shè),R，且<,則=(k+b)-(k+b)=k(-).若k>0，又<,<0,即<.在R上是增函數(shù).若k<0，又<,>0,即>.在R上是減函數(shù).設(shè),(0,+)，且<，=(+1)-(+1)=-=(+)(-)0<<,+>0，-<0，<0,即<，=+1在(0,+)上是增函數(shù).五、小結(jié)討論函數(shù)的單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進(jìn)行,即函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集,因此討論函數(shù)的單調(diào)性,必須先確定函數(shù)的定義域;根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟是：設(shè),是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且<；作差，并將此差式變形（要注意變形的程度）；判斷的正負(fù)（要注意說(shuō)理的充分性）；根據(jù)的符號(hào)確定其增減性.六、課后作業(yè)：課本第60習(xí)題2.3：1，2，3補(bǔ)充：=是以(,)為頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸平行于y軸、開(kāi)口向上的拋物線（如圖）;它的單調(diào)區(qū)間是(-,與,+ );它在(-,上是減函數(shù)，在,+ )上是增函數(shù).證明：設(shè)<,則=-5(-)=(+-5)(-) <,+<5，-<0，>0,即>.=-5+6在(-,上是減函數(shù).類(lèi)似地，可以證明在,+)上是增函數(shù).=-+9的圖象是