《電動力學(xué)》教案 第五章

1、第五章 電磁波的輻射51 把麥克斯韋方程組的所有矢量都分解為無旋的（縱場）和無散的（橫場）二部分，寫出和的二部分在真空中所滿足的方程式，并證明電場的無旋部分對應(yīng)于庫侖場。解：令，下角標(biāo)L表示縱場即無旋場，T表示橫場即無散場：于是從麥克斯韋方程組得： 方程組（3）的前二個方程表明，時變電場的縱向分量由電荷激發(fā)，它與靜電場（庫侖場）一樣是有散無旋場，故對應(yīng)于庫侖場；第三個方程表示的時變率與電流的縱向分量有關(guān)，這方程其實(shí)與電流連續(xù)性方程關(guān)聯(lián)，只要對其二邊求散度，并利用第一個方程，即得電流連續(xù)性方程，方程組（4）表示， 變化的磁場（橫場）激發(fā)電場的橫向分量。 方程組（5）表示，磁場的縱向分量是一個與空

2、間從標(biāo)和時間都無關(guān)的任意常矢量，只能有。事實(shí)上，郵于迄今仍未發(fā)現(xiàn)磁單極子，磁場為無散場，它不可能有縱向分量。方程組（6）正是表明，電流的橫向分量，和變化電場的橫向不分量激發(fā)的磁場都是橫場。 52 證明：在線性各向同性均勻的非導(dǎo)電介質(zhì)中，若，則和完全可同了矢勢決定，若取，這時滿足哪二個方程？ 證明 對于單色波，線性各向同性均勻介質(zhì)內(nèi)，若，場方程為：將：代入場方程（1），并選擇洛倫茲規(guī)范得A和（）均尊從齊次波動方程：將角頻率為的單色波代入（3）式，并求梯度，得于是由（2），可知和完全，由矢勢確定：若取，則（3）式變成，此時滿足的二個方程為：由給定的邊界條件，從這二個方程解出，便可給出53 證明沿z

3、軸方向傳播的平面電磁波可用矢勢表示，其中，垂直于z軸方向。 證 在洛倫茲規(guī)范下，齊次達(dá)朗貝爾方程的平面波解為由于，即為橫場，于是由洛倫茲規(guī)范，得而波矢量，故矢勢為其中，這平面波的電磁場用矢勢表示為54 設(shè)真空中矢勢可用復(fù)數(shù)傅里葉展開為，其中是的復(fù)共軛。 （1）證明滿足諧振子方程； （2）當(dāng)選取規(guī)范時，證明； （3）把和有（）和（）表示出來。 證 在洛倫茲規(guī)范 下，真空中的齊次波動方程為這是一個線性方程，儲何頻率的單色平面波是它的解，由各種不同頻北的單色波線性疊加而成的任何電磁波，都是它的解，故一般地可將這方程的解表為級數(shù)：矢量代表角頻北為的單色波，是其波矢量，是其復(fù)共軛。將（3）代入方程（2）

4、，可得即每一個單色波及其復(fù)共軛都滿足諧振子方程。若選擇，洛倫茲規(guī)范（1）即變成，將（3）式代入此條件，得即每個單色波都是橫波。按上述規(guī)范條件，得由于每個單色波都是橫波，即有，是每個單色波傳播波方向上的單位矢量，故（7）式實(shí)際上是5。5 設(shè)和是滿足洛倫茲規(guī)范的矢勢和標(biāo)勢。 （1）引入一矢量函數(shù)（即赫芝勢），使，證明。 （2）若令，證明Z滿足方程，并寫出它在真空中的推遲解。 （3）證明和可通過Z用下列公式表出證 在洛倫茲規(guī)范，下,和遵從達(dá)朗貝爾方程：將代入（1）式，得因（1）式對任意點(diǎn)任意時刻都成立，故方程（4）對任意點(diǎn)任意時刻也成立，因此括號內(nèi)二個矢量最多只相差一個無散場，令其為零，便有若令（與

5、介質(zhì)中比較，此處也有極化強(qiáng)度的含義，但一般地包括自由電荷與極化電荷密度，故在只有自郵電荷 的區(qū)域，如等離子體內(nèi)，同樣可引入極化強(qiáng)度概念），由電流連續(xù)性方程，便有將（3）式和（6）式代入（2）式的第二式，或?qū)ⅲ?）式和（7）式代入（2）的第一式，均可得這方程與的達(dá)朗貝爾方程有完全相同的形式，因此它也有推遲解：只要給定V內(nèi)的電荷密度，由（6）式可求出P，進(jìn)而由（9）式便可找到赫芝勢。將（3）式和（5）式代入（公式），并利用方程（8），得在電荷 分布區(qū)域外，和完全由赫芝勢Z描寫。5。6 二個質(zhì)量，電荷都相等的粒子相向面行發(fā)生碰撞，證明電偶極輻射和磁偶極輻射都不會發(fā)生。證明 由于二粒子相向碰撞且質(zhì)量m

6、相等，因此系統(tǒng)的總動量為零：由此可知二個粒子的動運(yùn)速度和位置矢量等值反向，即。又因?yàn)槎€粒子的電荷 q相等，這系統(tǒng)的電偶極矩和磁偶極矩均為零：因此不會發(fā)生電偶極和磁偶極輻射。5。7 設(shè)有一個球?qū)ΨQ的電荷分布，以角頻率沿徑向作簡諧運(yùn)動，求輻射場，并對結(jié)果給以物理解釋。 解 不地發(fā)生輻射，因?yàn)殡姾汕驅(qū)ΨQ分布意味著電荷密度,只是的函數(shù)而與坐標(biāo)，無關(guān)，設(shè)在平衡狀態(tài)下，球內(nèi)任一點(diǎn)源的位矢為。當(dāng)電荷沿徑向振動時其位矢和速度分別為于是球內(nèi)任意一點(diǎn)上的電流密度為 顯然在任意一條球徑上，由于二個對稱點(diǎn)上電荷密度相等，而位矢則等值，反向，因而等值反向而互相抵消，故推遲勢必定為零：5。8 一個飛輪半徑為R，并有電荷

7、 均勻分布在其邊緣上，總電量為q，設(shè)此飛輪以恒定的角速度旋轉(zhuǎn)，求輻射場。 解 輪緣的電荷線密度為，因旋轉(zhuǎn)角速度恒定，由些形成的電流是穩(wěn)恒的。穩(wěn)定的電荷 和電流分布只能產(chǎn)生穩(wěn)定的電場與磁場，而不會發(fā)生輻射。5。9 利用電荷 守恒定律驗(yàn)證和的推遲勢滿足洛倫茲條件。 證 和的推遲勢為 其中，由，以用算符代換關(guān)系，有因此第二步中，右方第一項(xiàng)化為面積分，部可以取積分面大于電流分布區(qū)域的界面，因而積分面上電流密度，故此項(xiàng)為零，而于是由電荷守恒定律：得A和（）滿足洛倫茲條件：5。10 半徑為的均勻永磁體小球，磁化強(qiáng)度為，球以恒定角速度繞通過球心而垂直于的四旋轉(zhuǎn)，設(shè)，求輻射場和輻射能流。 解 此球的磁矩振幅為

8、，條件，即輻射波長，因此遠(yuǎn)處的輻射場只需考慮磁偶極場。如圖5。1 ，以z軸為旋轉(zhuǎn)軸，則與xy平面平行，將它分解為二個獨(dú)立的振動：并寫成復(fù)數(shù)形式，：由直角坐標(biāo)革矢量與球坐標(biāo)基矢量的變換： 有輻射場和平均輻射能流密度為5。11 帶電粒子e 作半徑為a 的非相對論性賀周運(yùn)動，回旋角頻率為，求遠(yuǎn)處的輻射電磁場和輻射能流。 解 設(shè)粒子在xy平面運(yùn)動，如圖5。2 。其電偶極矩振幅為，將電矩矢量寫成復(fù)數(shù)形式，有將和，變換到球坐標(biāo)基矢，得電偶極輻射場及其平均輻射能流密度：這粒子的運(yùn)動還形成磁偶極矩和電四極矩：但因其速度，即（波長），磁偶極和電四極輻射強(qiáng)度比電偶極輻射低數(shù)量級，因此主要是電偶極輻射。5。12 設(shè)

9、有一電矩振幅為，振動角頻率為的電偶極子距理想導(dǎo)體表面為a/2處，平行于導(dǎo)體平面。設(shè)，求在處的電磁場及平均輻射能流。 解 電偶極子的場作用于理想導(dǎo)體，經(jīng)起導(dǎo)體出現(xiàn)表面電流，導(dǎo)體外的場是的場與表面電流產(chǎn)生的場之疊加。由于，故導(dǎo)體表面附近的場為似穩(wěn)穩(wěn)場，可近似作為靜止，設(shè)導(dǎo)體表面為z=0的平面，并設(shè)其電勢為零，即 如圖5。3 。令，以的像產(chǎn)生的場代替導(dǎo)體表面電流產(chǎn)生的場，要保證上述邊界條條件滿足，應(yīng)使 方法一由于與等值反向,因此這系統(tǒng)總電偶極矩為零,但包含著磁偶極矩和電四極矩:由基矢量變換得磁偶極和電四極矩輻射的磁場：可見和有相同的當(dāng)數(shù)量級?？傒椛鋱鰹椋浩骄椛淠芰髅芏葹椋悍椒ǘ椛鋮^(qū)的磁場是和的磁場之疊加，令和分別是和到場點(diǎn)的距離，在遠(yuǎn)處故和產(chǎn)生的輻射磁場分別為：其中輻射區(qū)的磁場為這與磁偶極和電四極磁場輻射疊加所得結(jié)果是一致的。5。13 設(shè)有偏振平面波照射到一個絕緣介質(zhì)球上（在z方向），引起介質(zhì)球極化，極化矢量是隨時間變化的，因而產(chǎn)生輻射。設(shè)平面波的波長遠(yuǎn)大于球半徑，求介質(zhì)球所產(chǎn)生的輻射場和能流。解：由于波長，介質(zhì)球及其表面附近的