計算方法-數(shù)值積分b

1、5.3 復(fù)合求積復(fù)合求積 /* Composite Quadrature */高次插值有高次插值有Runge 現(xiàn)象現(xiàn)象，故采用分段低次插值，故采用分段低次插值 分段低次合成的分段低次合成的 Newton-Cotes 復(fù)合復(fù)合求積公式。求積公式。 復(fù)合梯形公式復(fù)合梯形公式在每個在每個 上用梯形公式：上用梯形公式：,1kkxx mkxfxfxxdxxfkkkxkxkk,., 1,)()(2)(11111)()(2)(2mkkbfxfafhbamkkkxfxfhdxxf11)()(2)(= Tm將將 a, b區(qū)間區(qū)間m等分，等分，步長步長h=(b-a)/m，分點分點xk=a+kh, k=0,1, m

2、。用。用低階低階牛頓牛頓柯特斯公式求柯特斯公式求子區(qū)間子區(qū)間xk, xk+1上的積分值，再累加得到積分的近似值。上的積分值，再累加得到積分的近似值。思思路路復(fù)合公式的余項復(fù)合公式的余項？5.3 Composite Quadrature 復(fù)化復(fù)化 Simpson 公式公式)()(4)(6)(1211 kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21 kx1 kx44444 )()(2)(4)(6)(1020121mkmkkkbabfxfxfafhdxxf= Sm327)(7)()(12)(32)(90)(14/32/14/11kkkkknxnxxfxfxfxfxfhxf 復(fù)化復(fù)化 Cotes 公式公

3、式327)()(32)(12)()(14904/32/111104/1bfxfxfxfxff(a)hkkmkmkkkCm 若若f(x)在積分區(qū)間在積分區(qū)間a, b上分別具有二階、四階和六上分別具有二階、四階和六階階連續(xù)導(dǎo)數(shù)連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則復(fù)化積分公式的，則復(fù)化積分公式的余項余項分別是分別是 定理定理)(fhabCdx)x(f)(fhabSdx)x(f)(fhabTdx)x(f)(mba)(mbamba 66442)2(9452)2(18012其中，其中，a,b，且當(dāng)，且當(dāng)h充分小時，又有充分小時，又有)2(9452)2(180112155642)a(f)b(fhCdx)x(f)a(f)b(fhSd

4、x)x(f)a(f)b(fhTdx)x(f)()(mbambamba 5.3 Composite Quadrature證證 這里考察這里考察復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式的余項的余項公式，其余由同學(xué)們自己完成。公式，其余由同學(xué)們自己完成。因此因此 )()()(112)()()(121)(212213mmmbafffmhabfffhTdxxf )(12)(2fhabTdxxfmba )(122fhab 中值定理中值定理)()(121121 1211020afbfdx)x(fh)(flimhTdx)x(flimbamkkhmbah 另有另有)x(f 由于由于 在在a, b上連續(xù)，故每個上連續(xù)，故每個小區(qū)

5、間小區(qū)間上的積分使用梯形公上的積分使用梯形公式時，有誤差為式時，有誤差為 kkkkxxfh,),(12113 )()(121)(2afbfhTdxxfmba5.3 Composite Quadrature 收斂速度與誤差估計：收斂速度與誤差估計： 若一個積分公式的誤差滿足若一個積分公式的誤差滿足 且且C 0，則，則稱該公式是稱該公式是 p 階收斂階收斂的。的。 ChfRphlim0)(,)(,)(642hOChOShOTnnn例：例：計算計算dxx 10142 解：解： )1()(2)0(161718fxffTkk8kxk 其中其中= 3.138988494)1(24)0(2413102/14

6、fxfxffSkkkk)()(34kxk其中其中= 3.141592502運算量基本運算量基本相同相同定義定義5.3 Composite QuadratureQ: 給定精度給定精度 ，如何取，如何取 m ?例如：要求例如：要求 ，如何判斷，如何判斷 m = ？|mTI)()(122afbfhfR上例上例中若要求中若要求 ，則，則610|mTI622106| )0() 1 (|12| |hffhfRm00244949.0 h即：取即：取 m = 409通常采取將區(qū)間通常采取將區(qū)間不斷二分不斷二分的方法，即取的方法，即取 m = 2k2/)()(,0hbfafTabh,a,binput 01TT

7、2/)()()(, 2/111hbfxfafThhmkk10TT 1 Toutput需計算導(dǎo)數(shù)需計算導(dǎo)數(shù)不實用不實用重復(fù)計算函重復(fù)計算函數(shù)值不經(jīng)濟數(shù)值不經(jīng)濟5.3 Composite Quadrature5.4 龍貝格龍貝格積分積分 /* Romberg Integration */ 梯形法的遞推化梯形法的遞推化11101)()(22)()(2mkkmkkkmbfxff(a)hxfxfhT積分區(qū)間積分區(qū)間a, b m等分的復(fù)化梯形公式是等分的復(fù)化梯形公式是 如果把區(qū)間如果把區(qū)間2m等分，即在原來的小等分，即在原來的小區(qū)間區(qū)間xk, xk+1上增加分點上增加分點xk+1/2=(xk +xk+1)

8、/2，變?yōu)閮蓚€小區(qū)間。于是有，變?yōu)閮蓚€小區(qū)間。于是有 )()(2)(4)(12/11kkkkxkxxfxfxfhdxxf102/11011012/12)(2)()(4)()(2)(4mkkmkkkmkkkkmxfhxfxfhxfxfxfhTmabhxfhTTmkkmm ,102/12)(221把把(T(T2m2m- T- Tm m)/3)/3作為誤差的作為誤差的修正值修正值加到加到T T2m2m上去，得到上去，得到 龍貝格算法龍貝格算法5.4 Romberg Integration 322mmmTTTI )4(3132222mmmmmmTTTTTT 上式的精度上式的精度完全有可能完全有可能比比

9、T T2m2m好。好。412 mmTITI考察考察例：例：計算，檢驗上述論斷。計算，檢驗上述論斷。 dxx 10142 mhTmTmSm113.13.133333320.53.13117653.13333333.141568640.253.13898853.14156863.141592580.1253.14094163.1415925306253.14142993.14159265S Sm m T T2m2m)(mmTT2431= =?T2m2m1012/1)()(2)(4mkkkkxfxfxfh1011012/12)()(6)()(2)(3)4(31mkkkmkk

10、kkmmxfxfhxfxfxfhTT證明證明)4(312mmmTTS 1012/1)()(4)(6mkkkkxfxfxfh101)()(2mkkkxfxfhTm m= = Sm m同理，考察同理，考察1612 mmSISI1522mmmSSSI )6(mmmmmmSSSSSS2222115115= = Cm m因此還有因此還有)46(6312mmmCCR Romberg 公式公式)(6hOCm)(4hOSm6412mmCICI5.4 Romberg Integration mmmSTT1442mmmCSS144222mmmRCC144323 Romberg 算法：算法： R4 T1 T8 T4

11、 T2 S1 S2 C1 R1 C2 S4 mabh)x(fhTTmk/kmm ,2211021211 T16 14 R2 13 C4 12 S8 梯梯形形遞遞推推化化公公式式Romberg公式公式m2mRR 5.4 Romberg Integration 5.5 高斯型高斯型積分積分 /* Gaussian Quadrature */bankkkxfAdxxf0)()(用用n+1個節(jié)點構(gòu)造具有個節(jié)點構(gòu)造具有2n+1次代數(shù)精度的求積公式次代數(shù)精度的求積公式將節(jié)點將節(jié)點 x0 xn 以及系數(shù)以及系數(shù) A0 An 都作為待定系數(shù)。都作為待定系數(shù)。令令 f (x) = 1, x, x2, , x2n

12、+1 代入可求解，得到的公式代入可求解，得到的公式具有具有2n+1 次代數(shù)精度。這樣的節(jié)點稱為次代數(shù)精度。這樣的節(jié)點稱為Gauss 點點，公式稱為公式稱為Gauss 型求積公式型求積公式。例：例：求求 的的 2 點點 求積求積 公式公式11)(dxxf有有 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。)x(fA)x(fAdx)x(f110011 解：解：限定求積節(jié)點限定求積節(jié)點x0=-1, x1=1，得到，得到插值型求積公式插值型求積公式)(f)(fdx)x(f1111 1用解非線性方程用解非線性方程組求高斯點的方組求高斯點的方法很困難！法很困難！如果設(shè)如果設(shè) ，我們對式中的系數(shù)，我們對式中的系數(shù)A0, A1和節(jié)

13、點和節(jié)點x0, x1不事先加以限制，而是適當(dāng)?shù)剡x其值，可使所不事先加以限制，而是適當(dāng)?shù)剡x其值，可使所得的公式有得的公式有 3 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 1-11100)()()(xfAxfAdxxf代入代入 f (x) = 1, x, x2, x3,要求準確成立，得到要求準確成立，得到 5.5 Gaussian Quadrature 03202311300211200110010 xAxA/xAxAxAxAAA31322020102021/)(xxAAxx從而有從而有)(f)(fdx)x(f333311 稱之為稱之為2點點Gauss公式公式，具有，具有3次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 bankkkx

14、fAdxxf0)()(構(gòu)造具有構(gòu)造具有2n+1次代數(shù)精度的次代數(shù)精度的n+1點點Gauss公式公式?133331010AAxx/如果式中如果式中x0 xn 為為 Gauss 點點, 則公式則公式 至少有至少有 2n+1 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。bankkkxfAdxxf0)()(對任意次數(shù)對任意次數(shù)不大于不大于n 的多項式的多項式 P(x)， P(x) w(x)的次數(shù)的次數(shù)不不大于大于2n+1，則代入公式應(yīng)則代入公式應(yīng)精確成立精確成立：nkkkkbaxwxPAdxxwxP0)()()()(0= 0 x0 xn 為為 Gauss 點的充要條件是點的充要條件是 與與任意次數(shù)不大于任意次數(shù)不大于n

15、的多項式的多項式 P(x) 正交正交，即成立，即成立 nkkxxxw0)()(定理定理利用區(qū)間利用區(qū)間a, b上的上的n+1次正交多項式次正交多項式確定確定Gauss點點；然后；然后利用利用代數(shù)精度代數(shù)精度確定確定求積系數(shù)求積系數(shù)。作一個作一個n+1次的多項式次的多項式 )()()()(100nnkkxxxxxxxxxw0)()(badxxwxP求求 Gauss 點點 求求w(x)5.5 Gaussian Quadrature 高斯高斯勒讓德求積公式勒讓德求積公式/*Gauss-Legendre 公式公式Legendre 多項式族：多項式族： 定義在定義在 1, 1上上nnnnnxdxdnxP

16、)1(!21)(2)33035(81)()35(21)()13(21)()(1)(244232210 xxxPxxxPxxPxxPxP遞推公式遞推公式 )x(nP)x(xP)n()x(P)n(nnn11121 Legendre多項式多項式Pn(x)對于任意對于任意n-1次的多項式在次的多項式在-1, 1上上正交正交。 定理定理5.5 Gaussian QuadraturennnnnxdxdnxP)1(!21)(2 Legendre多項式多項式Pn(x)對于任意對于任意n-1次的多項式在次的多項式在-1, 1上上正交正交。 定理定理證明證明： 令令n)x()x(g12 有有110 01 n,.,

17、k,)x(gx)k(11)(11)()(!21)()(dxxgxQndxxQxPnnn11)1(11)1()()()()(!21dxxgxQxgxQnnnn11)1()()(!21dxxgxQnnn 11)2(11)2()()()()(!21dxxgxQxgxQnnnn11)()()(!2)1(dxxgxQnnnn00= 0k次勒讓德多項次勒讓德多項式式的的k個零點個零點就就是是k k個高斯點個高斯點，用來構(gòu)造用來構(gòu)造k k點高點高斯斯勒讓德求積勒讓德求積公式公式。 詳見教詳見教材材P.140P.140表表5.15.1若若Q(x)是次數(shù)小于是次數(shù)小于n的多的多項式，則恒有項式，則恒有Q(n)(

18、x)=05.5 Gaussian Quadrature高斯高斯勒讓德求積公勒讓德求積公式式nnkkkGxfAdxxf110)()(n=0: 一點公式一點公式011)0(2)(Gfdxxf中矩形公式中矩形公式badxxf)()(knkktababfAab2220?9460831. 02121sin21sin3010kkkkttAdxxx9460831. 0sin21sin21sin301110kkkkxxAdxxxdxxx解解：作變量替換：作變量替換 x=1/2+t/2本題可以不作變量替換本題可以不作變量替換: : 10dxxxsin例例 用用四點四點高斯高斯勒讓德公式計算勒讓德公式計算(I=0.9460831)n=1: 兩點公式兩點公式n=3: 四點公式四點公式)33998104. 0()33998104. 0(65214515. 0)86113631. 0()86113631. 0(34785485. 03ffffG )