第8章_采樣控制系統(tǒng)2

1、1、線性離散系統(tǒng)的分析方法，2、討論信號的采樣和保持的數(shù)學(xué)描述，3、介紹Z變換理論和方法以及數(shù)學(xué)模型的離散 化。然后介紹脈沖傳遞函數(shù)。4、介紹線性離散系統(tǒng)性能分析，包括系統(tǒng)的穩(wěn) 定性、穩(wěn)態(tài)特性、動態(tài)特性。本章主要講述 圖圖8-1計算機控制系統(tǒng)原理圖計算機控制系統(tǒng)原理圖 如圖8-1所示，它的輸入信號是一個數(shù)字序列，如數(shù)字仿真系統(tǒng)。由于被控量是一個物理量，而計算機只能處理數(shù)字的離散信號，因此采用模數(shù)轉(zhuǎn)換器（A/D）將連續(xù)信號轉(zhuǎn)換為離散信號（數(shù)字量）送給計算機，計算機按某種控制算法進行計算，輸出的控制量為數(shù)字信號，然后再經(jīng)過數(shù)模轉(zhuǎn)換器（D/A）將離散信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)的模擬量來控制被控對象。 采樣控制系

2、統(tǒng)包括了采樣數(shù)字信號和數(shù)字信號，如圖8-2所示。將計算機控制系統(tǒng)中的A/D換成采樣開關(guān)，D/A換成保持器，那么計算機控制系統(tǒng)則變成了采樣控制系統(tǒng)。 圖圖8-2 采樣控制系統(tǒng)采樣控制系統(tǒng) 采樣過程：按一定的時間間隔對連續(xù)信號進行 采樣 ，將其轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的脈沖序列的 過程稱為采樣過程。采樣器 ：把連續(xù)信號變?yōu)槊}沖序列或數(shù)字序列 的裝置稱為采樣器，又稱采樣開關(guān)。 采樣開關(guān)的采樣過程可以用一個周期閉合的開關(guān)K來表示，如圖8-3所示。t e(t) K es(t) （a）采樣 （b）連續(xù)輸入信號 （c）實際采樣的輸出 （d）理想采樣器的輸出 圖圖8-3模擬信號的采樣過程模擬信號的采樣過程采樣過程可以看成是

3、一個脈沖幅值調(diào)制過程。理想的采樣開關(guān)相當(dāng)于一個單位理想脈沖序列發(fā)生器，它能夠產(chǎn)生一系列單位脈沖。單位脈沖序列的數(shù)學(xué)表達式為：( )()TnttnT (8-1)式中：T為采樣周期，n為整數(shù)；它由周期為 的一系列寬度為零、幅值為無窮大、而面積為1的單位理想脈沖所組成（圖8-4所示）。 T圖圖8-4 單位脈沖序列單位脈沖序列因此，單位脈沖序列 可以看成是脈沖調(diào)制器的載波信號如圖8-5所示。( )Tt 圖圖8-5 8-5 采樣信號的調(diào)制過程采樣信號的調(diào)制過程 理想的采樣過程可以看成是單位理想脈沖序列發(fā)生器的脈沖對輸入信號 的調(diào)制過程，理想的采樣器就像一個載波為 的幅值調(diào)制器。( )et( )Tt圖8-

4、6（b）是理想脈沖發(fā)生器的脈沖序列( )Tt圖8-6（c）是理想采樣器的輸出*( )et (a) (b) (c) 圖圖8-6 8-6 理想的采樣過程理想的采樣過程 ()et圖8-6（a）所示的是輸入的連續(xù)信號 。二、采樣過程的數(shù)學(xué)描述二、采樣過程的數(shù)學(xué)描述 10()00ttt (8-2) 理想的采樣開關(guān)相當(dāng)于一個單位理想脈沖序列發(fā)生器。單位脈沖函數(shù)的定義單位脈沖函數(shù)的定義：對函數(shù)進行積分： 函數(shù)與其它函數(shù)的關(guān)系：( ) t (8-3) ( )d1tt( ) t (8-4) ( ) ( )d(0)t e tte 函數(shù)的一個重要特性就是篩選性：函數(shù)的一個重要特性就是篩選性： ( ) t (8-5)

5、00( ) ()d( )e tttte t由此可見：用單位脈沖函數(shù)去乘以某一函數(shù)并對其進行積分，其結(jié)果等于脈沖所在處的該函數(shù)的值。移動脈沖所在處的位置，就可以篩選所需時刻上的函數(shù)值。脈沖調(diào)制器的輸出信號可以表示為輸入信號 與調(diào)制信號 的乘積：( )e tT (8-6) *( )( )( )Tete tt其中理想的單位脈沖序列其中理想的單位脈沖序列可以表示為：可以表示為：( )Tt(8-7) ( )()TttnT實際的控制系統(tǒng)中，當(dāng) 時， ，所以式(8-7)求和下限變?yōu)榱愫蟠胧剑?-6）中得到： 0t ( )0e t (8-8)0*( )( )()nete ttnT 的數(shù)值僅在采樣瞬時才有意義

6、，所以式(8-8)又可以表示為： *( )et(8-9) 0*( )() ()(0) ( )( ) ()(2 ) (2 )ete nTtnTete Tt Te TtT對采樣信號的拉氏變換：(8-10) 0*( )L *( )L() ()nESete nTtnT根據(jù)拉氏變換的位移定理：(8-11) 0L ()e( )edenTsstnTstnTtt可見，只要已知連續(xù)信號 采樣后的采樣函數(shù) 的值，即可求出 的拉氏變換 ( )e t*( )et()e nT*( )E s(8-12)0*( )()enTsnESe nT解：因為：則： 例例8-1 設(shè)采樣器的輸入信號為( )1( )e tt試求采樣器輸出

7、信號的拉氏變換。 *( )et( )1( )e tt()1()1(0,1,2,3.)e nTnTn由式（8-12）可得： 200*( )()ee1eenTsnTsTsTsnnEse nT 由等比級數(shù)的求和公式可得：*1e( )(e1)1 ee1TsTsTsTsEs三、采樣定理三、采樣定理 研究采樣信號的特性，需討論其頻譜展開。 根據(jù)傅氏級數(shù)展開，周期性的理想單位脈沖序列可以展開為：(8-13) j0( )()esntTnnnttnTC式中： 為采樣周期，為采樣角頻率；Ts2T (8-14) /2j/211( )edtTntnTTCttTT(8-15)j1( )esntTntT理想單位脈沖序列的

8、傅氏級數(shù)為：( )Tt將式（8-15）代入式（8-9）可得： (8-16)j1*( )( )( )() ()( )esntTnnete tte nTtnTe tT拉氏變換： (8-17) 1*( )(j)snEsE snT式（8-17）表明，采樣函數(shù)的拉氏變換式 是以 為周期的周期函數(shù)。 *( )Ess通常 的全部極點位于s平面的左半部，因此可用代替上式中的復(fù)變量，直接求得： *( )Essj (8-18) 1*(j )(jj)snEEnT為采樣信號的頻譜函數(shù)。 其中： 是連續(xù)信號 的頻譜 (j )E ( )e t是采樣信號 的頻譜*(j )E*( )et對于采樣信號來說，當(dāng)時 ，采樣信號為主

9、頻譜： max0n （8-19） 1(j )ET一般來說，連續(xù)信號 的頻譜 是單一的連續(xù)頻譜，其頻帶寬是有限的，上限頻率為有限值 如圖8-7(b)所示。 (j )E( )e tmax(a)連續(xù)信號連續(xù)信號 （b）連續(xù)信號的頻譜）連續(xù)信號的頻譜（c）采樣信號）采樣信號 圖圖8-78-7連續(xù)信號和采樣信號的頻譜連續(xù)信號和采樣信號的頻譜 圖圖8-78-7連續(xù)信號和采樣信號的頻譜連續(xù)信號和采樣信號的頻譜 （d）采樣信號的頻譜采樣信號的頻譜 2smax（e） 采樣信號的頻譜采樣信號的頻譜 2max 當(dāng) ，相鄰兩頻譜彼此不重疊，如圖8-7(d)所示。2smax當(dāng) 頻譜會出現(xiàn)重疊，如圖8-7（e）所示。 2

10、smax如果采用一個理想的低通濾波器如圖8-8所示，可將 的高頻頻譜全部濾掉。 2smax圖圖8-8理想濾波器的頻率特性理想濾波器的頻率特性 香農(nóng)采樣定理：香農(nóng)采樣定理：的連續(xù)信號 采樣，采樣角頻率為 ， 當(dāng) ，采樣信號 才能無失真的地復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號 。 ( )e ts( )e t*( )et2smax對有限頻譜maxmax四、采樣保持四、采樣保持 為了使得采樣信號可以完全復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號，也需要除去高頻信號。因此將采樣后的信號經(jīng)過一個理想的低通濾波器，從理想的低通濾波器的輸出端便可以得到主頻頻譜，只是幅值變化了 倍，頻譜形狀并沒有發(fā)生畸變。理想的低通濾波器實際上并不存在，工程上只能用特性接近理

11、想低通濾波器的保持器來代替。 1/T圖圖8-9 8-9 保持器保持器 零階保持器：零階保持器： 零階保持器是一種按常值規(guī)律外推的保持器。它把前一時刻 的采樣值 不增不減地保持到下一個采樣時刻 。到來時，應(yīng)換成新的采樣值 繼續(xù)外推。 (1)nT(1) e nTnT()e nT(1)nT(a)(a)采樣信號采樣信號 （b）零階保持）零階保持圖圖8-10 8-10 零階保持器零階保持器 零階保持器可以實現(xiàn)采樣點的常值外推，它的輸出是一個高度為，寬度為的方波，如圖8-11所示，零階保持器的輸出相當(dāng)于一個幅值為的階躍函數(shù)和滯后時間的反向階躍函數(shù)之差，即： )()(tAte)()()(TtAutAuteh

12、零階保持器的傳遞函數(shù)為：零階保持器的傳遞函數(shù)為： sAsAsA)t ( e)t (e)s(GTsTshe1e11LL0令，令， 可得到零階保持器的頻率特性為：可得到零階保持器的頻率特性為： sj)Tsin(ee)(GTTTTT221j2e2eje1j2j2j2j2jj02j22TeTTsinT零階保持器具有如下特性： 低通特性 相角滯后特性 時間滯后特性 零階保持器使主頻信號的幅值提高了 倍，剛 好 能補償連續(xù)信號經(jīng)過采樣后使得主頻譜的幅值衰 減的 倍。 T1T圖圖8-11 8-11 零階保持器的頻率特性零階保持器的頻率特性 用線性差分方程描述，用Z變換的方法分析系統(tǒng)的性能 。 Z變換在采樣系

13、統(tǒng)中的作用與拉氏變換在連續(xù)變換在采樣系統(tǒng)中的作用與拉氏變換在連續(xù)系統(tǒng)中的作用是等效的系統(tǒng)中的作用是等效的。 一、一、Z變換的定義變換的定義 連續(xù)函數(shù) 的拉氏變換為： ( )e t（8-20） 0( )L ( )( )edstE se te tt采樣信號 ，其表達式為： *( )et （8-21） 0*( )() ()nete nTtnT采樣信號的拉氏變換為：（8-22） 00000*( )*( )ed() ()ed()()edststnstnEsette nTtnTte nTtnTt根據(jù)脈沖函數(shù) 的篩選性： ( ) t （8-23） 0() ( )d()tnT e tte nT（8-24）0e

14、()destsnTtnTt則有：因此式（8-22）的采樣的拉氏變換為：（8-25）0*( )()esnTnEse nT（8-26），令： 相應(yīng)地：上式中含有指數(shù)因子為 ，為 的超越函數(shù)，為運算方便引入變量 esnTszesTz 1lnszT（8-25）0*( )()esnTnEse nT（8-25）0*( )()esnTnEse nT1ln0*( )()nszTnEse nT z（8-27）也是一個復(fù)自變量， 為采樣周期。將式 代入式（8-25）中，得到采樣信號 式中： 為復(fù)自變量，所以 的拉氏變換為： szT*( )etesTz 通常就把式（8-27）定義為 的 變換： *( )etz0(

15、) *( )*( )()nnE zZ etEse nT z注意：注意：2、采樣函數(shù) 所對應(yīng)的 變換是唯一的，反之亦然。 但是一個采樣函數(shù) 所對應(yīng) 的連續(xù)函數(shù)卻不是唯一的， 而是有無窮多個，如圖8-12所示。 *( )e tz*( )et 圖圖8-128-12離散函數(shù)所對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)離散函數(shù)所對應(yīng)的連續(xù)函數(shù) 1、實際上是采樣信號 的 變換，而不是連的 變換。 *( )etzz( )e t( )E z續(xù)函數(shù) 二、二、Z變換的方法變換的方法 (1)級數(shù)求和法：級數(shù)求和法：（8-28） 120( )()(0)( )(2 )()nknE ze nT zee T zeT ze nT z 級數(shù)求和法是直接根

16、據(jù) Z變換的定義，將采樣函數(shù)的 變換寫成展開式的形式： Z例例8-3 求單位階躍函數(shù)的 Z變換 解：單位階躍函數(shù)為： 代入式（8-28）得到：( )1( )e tt1200( )()11nnnnnE ze nT zzzzz 11( )11zE zzz若 則上式的無窮等比級數(shù)是收斂的11z(2)部分分式法部分分式法當(dāng)連續(xù)函數(shù) 可以表示為指數(shù)函數(shù)之和，如： ( )e t 可表示為部分分式的形式： 或連續(xù)函數(shù) 的拉氏變換 ( )e t( )E s（8-30） 3121123( )niiiAAAAE sspspspsp（8-29） 312123( )eeep tp tp te tAAA則連續(xù)函數(shù) 的

17、Z變換可以根據(jù)指數(shù)函數(shù)的Z變換： ( )e t（8-31） eeataTzZz可得：（8-32） 1( )einipTiAE zz例例8-7 求 的 Z變換 1( )(1)E ss s解：將 展開成部分分式的形式： ( )E s11( )1E sss根據(jù)階躍函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的 Z變換，得到： 2(1)(1)( )1(1)()(1)TTTTTTzzzezeE zzzezzezeze三、三、Z變換的基本定理變換的基本定理（1）線性定理）線性定理 如果連續(xù)信號和的 Z變換分別為：1( )e t2( )e t11 ( )( )Z e tE z22( )( )Z e tE z且 均為常數(shù)，則有： , a

18、b （8-33）1212( )( )( )( )Z ae tbe taE zbEzZ變換的線性定理表明：連續(xù)信號線性組合的Z變換等于單獨信號Z 變換的線性組合。滿足線性變換的齊次性。（2）滯后定理）滯后定理 滯后定理又稱負偏移定理。是指整個采樣序列在時間軸上向右平移若干采樣周期。設(shè)連續(xù)函數(shù) ，當(dāng) 時， ，且： ，那么滯后 個采樣周期的函數(shù)為： ， 則其 Z變換： ( )e t0t ( )0e t ( )( )Z e tE zk()e tkT（8-34） ()( )kZ e tkTzE z（3）超前定理）超前定理超前定理可表示為： （8-35） ()( )kZ e tkTz E z（4）復(fù)數(shù)偏移

19、定理）復(fù)數(shù)偏移定理 設(shè)連續(xù)函數(shù)為 ，且 ，則： ( )e t ( )( )Z e tE z（8-36） ( )e( e)ataTZ e tE z（5）初值定理）初值定理 （8-37） (0)lim( )zeE z（6）終值定理）終值定理 111( )lim ()lim(1) ( )lim(1) ( )nzzee nTzE zzE z （8-38） （7）卷積定理）卷積定理1、對線性連續(xù)系統(tǒng) ：（8-39）2、對離散系統(tǒng) ：12120( )( )() ( )dte te te t e （8-40） 1212120*( )*( )()()( )( )knZ etetZe nT e kTnTE z

20、E z四、四、Z反變換反變換 與拉氏反變換類似，Z反換可表示為： 注意： 1、Z變換僅僅描述了采樣時刻的特性，不包含采 樣時刻之間的信息 1()Z ( )e nTE z2、Z反變換實質(zhì)上求出的是 或 ，而不是連續(xù)函數(shù) 。 ( )e t*( )et()e nTZ反變換有三種方法： （1）長除法：）長除法： 根據(jù) Z變換的定義： 120( )()(0)( )(2 )nnE ze nT zee T zeT z10112120( )mmmnnnb zb zbE znmza za za120120( )nnnnnE zcc zc zc zc z應(yīng)用長除法：應(yīng)用長除法： 0120()( )()(2 )()

21、()nnne nTctctTctTctnTctnT 用長除法求Z反變換。 解： 例例8-9 已知 為： ( )E z(1)( )(1)()aTaTezE zzze2(1)(1)( )(1)()(1)aTaTaTaTaTezezE zzzezzee用長除法：即分子多項式除以分母多項式： 221212212231223132(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1(1)(1)(1)(1aTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTaTzzeeezezeeezeeezeeezeezezeezezeeze1223333(1)(1)

22、(1)aTaTaTaTezezezez 展開式為： 其中： 采樣函數(shù)為： 122330( )0(1 e)(1 e)(1 e)(1 e)aTaTaTnaTnnE zzzzz()(1 e)naTe nT0*( )(1 e) ()nTnettnT(2)部分分式法部分分式法: 該方法的基本思想就是已知 ，由于 在分子中都有因子 z，因此將 進行部分分式展開： 1212( )nnaaaE zzzzz( )E z( )E z上式兩邊同乘z，得到 的部分分式展開的期望形式： ( )E z( )E zz1212( )nnzazazaE zzzz然后查表，求出采樣瞬時相應(yīng)的脈沖序列表達式：1()Z ( )e n

23、TE z對應(yīng)的采樣函數(shù)為： （8-41）0*( )() ()nete nTtnT 用部分分式法求 Z反變換。 解：因為： 所以： 例例8-10 已知 為： ( )E z(1 e)( )(1)(e)aTaTzE zzz( )(1 e)11(1)(e)1eaTaTaTE zzzzzz( )1eaTzzE zzz然后查 變換表得到采樣瞬時相應(yīng)的脈沖序列： z()1 eanTe nT 采樣函數(shù)為： 0*( )(1 e) ()anTnettnT8.4.1微分方程的離散化微分方程的離散化微分方程的離散化微分方程的離散化 差分方程差分方程 線性系統(tǒng)：輸入輸出之間用線性常微分方程描述。線性離散系統(tǒng)：輸入輸出之

24、間用線性常系數(shù)差分方程 描述。差分:所謂差分是指兩個采樣信息之間的差值稱為差分。 而在實際應(yīng)用中，常常采用數(shù)學(xué)中的微商來代替 差分。 一階微分方程的離散化： 1d( )( )dyTy tkx tt （8-42） 近似差分為: d(1)( )dyy ky ktT（8-43）將式（8-43）代入式（8-42）中： 1(1)( )( )( )y ky kTy kkx kT經(jīng)整理得到： (1)( )( )y kay kbx k其中： 111,TTkTabTT用近似差分： d(1)( )dyy ky ktT（8-45）22dd(1)( )1(2)(1)(1)( )dd(2)2 (1)( )yy ky k

25、y ky ky ky kttTTTTy ky ky kT（8-46）二階微分方程離散化： 21 2122dd()( )( )ddyyTTTTy tkx ttt（8-44） 將式（8-45）和式（8-46）代入式（8-44）：1 2122 (2)2 (1)( ) (1)( )( )( )TTTTy ky ky ky ky ky kkx kTT經(jīng)整理：12(2)(1)( )( )y ka y ka y kbx k其中： 221212121 21 21111()2 ,1,TkTaTaTbTTTTTTTT 階微分方程離散化： n121211212012112dddd( )dddddddd( )()dd

26、ddnnnnnnnnmmmmmmmmyyyyaaaa y tttttxxxxbbbbb x tnmtttt階差分方程為： n12101()(1)(2)(1)( )()(1)( )()nnmy kna y kna y knay ka y kb x kmb x kmb x knm8.4.2連續(xù)狀態(tài)方程的離散化連續(xù)狀態(tài)方程的離散化 連續(xù)狀態(tài)方程離散狀態(tài)方程線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：xAxBuyCxDu 經(jīng)過采樣后連續(xù)信號變?yōu)殡x散信號。而連續(xù)狀態(tài)方程經(jīng)離散后變?yōu)殡x散狀態(tài)方程為：(1)( )( )( )( )( )x kGx kHu ky kCx kDu k其中：,G H C D均為常數(shù)矩陣。且有：eA

27、TG 0edTATHB t其中： 為采樣周期。 TZ變換法求變換法求離散狀態(tài)方程離散狀態(tài)方程： 變換求解的方法是對離散差分方程兩邊取 ZZZ變換，并利用 變換的超前定理，得到以 為變量的Z代數(shù)方程，將初始條件帶入 Z變換式，求出 再利用( )X zZ反變換求出離散狀態(tài)變量的解。離散狀態(tài)方程：(1)( )( )( )( )( )x kGx kHu ky kCx kDu k（8-47） 對式（8-47）做 變換： Z( )(0)( )( )zX zzxGX zHU z對上式（8-48）做 Z反變換： 111111( )() (0)( )()(0)()( )x kZzIGzxHU zZzIGzxZz

28、IGHU z與用迭代法得到的公式相比：10( )( ) (0)(1)( )kix kk xkiHu i 得到離散狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：11( )()kkGZzIGz經(jīng)整理有： 1( )() (0)( )X zzIGzxHU z（8-48） 例例8-19離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為：010(1)( )( )0.40.31( )01( )x kx ku ky kx k 輸入信號： 10( )00ku kk初始條件： 12(0)1(0)(0)1xxx，求：用 變換法求 的數(shù)值。 Z( )x k解：先求出： 1110.311()0.40.30.4(0.8)(0.5)zzzIGzzzz再求出： 210(0)( )2111

29、1zzzxHU zZzzzz 將以上兩式代入式（8-48）中： 120.311( )() (0)( )20.4(0.8)(0.5)152100.83(0.5)3(1)4100.83(0.5)3(1)zzX zzIGzxHU zzzzzzzzzzzzzzzzzzz取 反變換可得到離散狀態(tài)方程的解： Z2105 (0.8)( 0.5)33( )(1,2,3)1104 (0.8)( 0.5)33kkkkx kk 8.4.3 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)系統(tǒng)在零初始條件下，輸出采樣信號的 線性采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)的定義為：與輸入采樣信號的 變換之比，稱為脈沖傳遞函數(shù)，表示為： ZZ00()( )( )(

30、 )()nnnny nT zY zG zR zr nT z （8-49）8.4.3.1脈沖傳遞函數(shù)的定義 變換8.4.3.2脈沖傳遞函數(shù)的求法求取采樣控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) ( )G z，有兩種方法：（一）、采用系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)來求取。 ( 二 ) 、( )G zZ( )G z 直接根據(jù) 變換表，采用查表法將連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 離散化，從而得到脈沖傳遞函數(shù) 。 第一種方法求取脈沖傳遞函數(shù)的步驟是：1、知系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 。 ( )G z2、據(jù) 1( ) ( )g tLG s來求取系統(tǒng)的脈沖響應(yīng) 。 ( )g t3、 進行采樣，得到采樣表達式 ( )g t*( )gt或離散化表達式 。 ()g nT

31、4、由 變換的定義： Z0( )()nnG zg nT z求出脈沖傳遞函數(shù) 。 ( )G z例例8-20 已知如圖8-13所示的開環(huán)系統(tǒng)1( )(1)G ss s求：相應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)。 解：方法一：先求系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)：111111( ) ( )1 e(1)1tg tLG sLLs sss 脈沖響應(yīng)的離散形式為：()1 enTg nT 圖圖8-13 開環(huán)采樣系統(tǒng)開環(huán)采樣系統(tǒng) 由 變換的定義求出脈沖傳遞函數(shù)： Z0000( )()(1)1(1)1(1)()nnTnnnTnnnnnTTTG zg nT zezzezzzzezzezze 方法二：用查表法：將 ( )G s展開成部分分式： 111(

32、)(1)1G ss sss查 變換表得到： Z(1)( )1(1)()TTTzzzeG zzzezze8.4.3.3開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù) 根據(jù)采樣系統(tǒng)的方塊圖求采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，必須注意采樣開關(guān)的位置，采樣開關(guān)的數(shù)目和位置不同求出的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)也會截然不同。根據(jù)圖8-14，有： 21( )( )*( )Y sG s Ys 連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)之間有采樣開關(guān)：圖圖8-14兩環(huán)節(jié)串聯(lián)之間有采樣開關(guān)兩環(huán)節(jié)串聯(lián)之間有采樣開關(guān) 1( )G s2( )G s之間，有采樣開關(guān)分隔。設(shè)：系統(tǒng)如圖8-14所示，在兩個串聯(lián)環(huán)節(jié) 和 對 進行離散化有： ( )Y s21212112*( )( )*( )*( )

33、*( )*( )( )*( )*( )*( )*( )YsG sYsGsYsGs G sRsGsGsRs由于 變換為采樣的拉氏變換，即 Z( )*( )Y zYs則有：12( )( )( ) ( )Y zG z G z R z因此，開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：12( )( )( )( )( )Y zG zG z G zR z當(dāng)被采樣開關(guān)分隔的兩環(huán)節(jié)串聯(lián)時，其開環(huán)等效脈沖傳遞函數(shù)為這兩個環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數(shù)之積。這一結(jié)論可以推廣到 個環(huán)節(jié)串聯(lián)的情況。 n結(jié)論：（2）連續(xù)環(huán)節(jié)串聯(lián)之間無采樣開關(guān)：12( )( )( )*( )Y sG sG s Ys對 進行離散化有： ( )Y s1212*( )( )( )*

34、( )*( )( )*( )YsG s G sRsG s G sRs由于 變換為采樣的拉氏變換，即： Z( )*( )Y zYs則有： 1( )G s2( )G s設(shè)：系統(tǒng)如圖 8-15所示，在兩個串聯(lián)環(huán)節(jié) 和 之 間沒有采樣開關(guān)分隔。根據(jù)圖8-15，有：圖圖8-15兩環(huán)節(jié)串聯(lián)之間無采樣開關(guān)兩環(huán)節(jié)串聯(lián)之間無采樣開關(guān) 12( )( )( )Y zGG zR z因此，開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為：12( )( )( )( )Y zG zGG zR z圖8-14和圖8-15兩種情況下，脈沖傳遞函數(shù)是不一樣的，即： 1212( )( )( )G z G zGG z圖圖8-14兩環(huán)節(jié)串聯(lián)之間有采樣開關(guān)兩環(huán)節(jié)串聯(lián)之

35、間有采樣開關(guān) 圖圖8-15兩環(huán)節(jié)串聯(lián)之間無采樣開關(guān)兩環(huán)節(jié)串聯(lián)之間無采樣開關(guān) 注意：例例8-21 在圖8-14和圖8-15中： 1211( ),( )1G sG sss分別求兩圖的脈沖傳遞函數(shù)。 解：在圖8-14所示的開環(huán)系統(tǒng)中，其脈沖傳遞函數(shù)為：1212( )( )( )( )( )1eTzzG zG zG zZ G sZ G szz而在圖8-15所示的開環(huán)系統(tǒng)中，其脈沖傳遞函數(shù)為：12121111( )( )Z( )( )ZZ111eTzzG zGG zG s G ss ssszz顯然：1212( )( )( )G z G zGG z（3）帶有零階保持器的脈沖傳遞函數(shù)：圖圖8-16帶有零階保

36、持器的開環(huán)離散系統(tǒng)帶有零階保持器的開環(huán)離散系統(tǒng) 實際的采樣系統(tǒng)都帶有采樣器和零階保持器，如果在開環(huán)系統(tǒng)中帶有零階保持器，其采樣控制系統(tǒng)如圖8-16所示。 開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為：011( )( )( )1TspeG zZ G sGsZss根據(jù) 變換的線性定理：上式可寫成： Z11( )(1)(1)TsG zZZes ss s再根據(jù) 變換的滯后定理：Z1111111( )(1)(1)(1)(1)111 e(1)(1)11eeTTTG zZzZzZs ss ss szzzZzsszzz8.4.3.4采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)采樣系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù) 求取脈沖傳遞函數(shù)要根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)以及采樣

37、開關(guān)的位置。不同的采樣控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和不同的采樣開關(guān)位置得到的脈沖傳遞函數(shù)是不同的。如圖8-17是一種常見的采樣控制系統(tǒng)閉環(huán)結(jié)構(gòu)圖。圖圖8-17 閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖閉環(huán)采樣控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 輸出的拉氏變換：( )( )*( )Y sG sEs（8-50）而誤差信號的拉氏變換為：( )( )( ) ( )E sR sH s Y s（8-51） ( )( )( ) ( )*( )E sR sH s G s Es采樣后變?yōu)椋?*( )*( )( ) ( )*( )EsRsH s G sEs（8-52） 整理得到：*( )*( )1 ( ) ( )*RsEsH s G s（8-53） 采樣系統(tǒng)輸出對輸

38、入量的誤差脈沖傳遞函數(shù)：（8-54） )(11)()()(zHGzRzEze式（8-53）代入式（8-50）得到：( ) *( )( )1 ( ) ( )*G s RsY sH s G s（8-55） 采樣后變?yōu)椋?( )*( )*( )1 ( ) ( )*GsYsRsH s G s（8-56） 采樣系統(tǒng)輸出對輸入的脈沖傳遞函數(shù)表達式：( )( )( )( )1( )Y zG zzR zHG z（8-57） 式（8-54）與式（8-57）是閉環(huán)采樣系統(tǒng)中經(jīng)常使用的兩個閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，令式（8-54）與式（8-57）的分母多項式為零，便可得到采樣系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程： 1( ) 0HG z（8-

39、58） 1、式中 為開環(huán)采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。( )HG z這是因為采樣開關(guān)的位置不同得到的結(jié)果也不同，脈沖傳遞函數(shù)與采樣開關(guān)的位置有著密切的關(guān)系。注意：( ) sZ( )Z ( )zs2、閉環(huán)采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)不能直接從閉環(huán)傳 遞函數(shù) 的 變換來求得。即： 例例8-23 求圖8-18所示采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。（a） （b） 圖圖8-18采樣控制系統(tǒng)采樣控制系統(tǒng) 所以其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為： 解：對于圖8-18（a），由于 和 之間有采樣開關(guān)，1( )G s2( )G s而 與 之間無采樣開關(guān)， 2( )G s( )H s1212( )( )( )1( )( )G z GzG zG zG

40、 H z對于圖8-18（b），由于 、 和 之間均有采樣開關(guān)，所以其脈沖傳遞函數(shù)為： 1( )G s2( )G s( )H s1212( )( )( )1( )( )( )G zG zG zG zG zH z（b） 圖圖8-18采樣控制系統(tǒng)采樣控制系統(tǒng) 8.5.1差分方程差分方程 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù) 用差分方程表示的數(shù)學(xué)模型是離散系統(tǒng)的時域表達形式，而用脈沖傳遞函數(shù)表示的數(shù)學(xué)模型是離散系統(tǒng)的 域表達形式。兩種數(shù)學(xué)模型之間可以相互轉(zhuǎn)換， Z1101()(1)(1)( )()(1)( )nnmy kna y knay ka y kb u kmbu kmb u k（8-59）對式（8-59）兩

41、邊作 變換，并令初始條件為零，則有： Z(0)(1)(1)0(0)(1)(1)0yyy kuuu k則式（8-59）變?yōu)椋?11101() ( )()( )nnmmnnmza zaza Y zb zb zb U z8.5.1.1差分方程差分方程 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)一個單輸入單輸出的線性離散系統(tǒng)的一個單輸入單輸出的線性離散系統(tǒng)的 階差分方程階差分方程： n采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為：1011111( )( )( )mmmmnnnnb zb zbzbY zG zU zza zaza8.5.1.2.脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù) 差分方程差分方程一個單輸入單輸出的線性離散系統(tǒng)的 階脈沖傳遞函數(shù)： n1

42、011111( )( )( )mmmmnnnnb zb zbzbY zG zU zza zaza（8-60） 式（8-60）整理成：1111011() ( )() ( )nnmmnnmmza zaza Y zb zb zbzb U z對上式進行 反變換，得到前差分方程的形式： Z11011()(1)(1)( )()(1)(1)( )nnmmy kna y knay ka y kbu kmbu kmb u kb u k 或?qū)懗珊蟛罘值男问剑?1011( )(1)(1)()( )(1)(1)()nnmmy ka y kay kna y knb u kbu kbu kmb u km 例例8-25 已

43、知采樣控制系統(tǒng)中，控制器的脈沖傳遞函數(shù)為：2( )2( )( )53U zzD zE zzz現(xiàn)要化成計算機可以實現(xiàn)的算法，求差分方程。 解：把脈沖傳遞函數(shù)寫成：2(53)( )(2) ( )zzU zzE z對上式進行 反變換，得到前差分方程的形式： Z(2)5 (1)3 ( )(1)2 ( )u ku ku ke ke k或后差方程的形式：( )5 (1)3 (2)( )2 (1)u ku ku ke ke k8.5.2差分方程差分方程 離散狀態(tài)方程離散狀態(tài)方程單輸入單輸出的 階差分方程：8.5.2.1差分方程差分方程 離散狀態(tài)方程離散狀態(tài)方程1、m=0時，即輸入變量不包含高于一階的差分時，

44、即輸入變量不包含高于一階的差分n（8-61） )() 1()()() 1()(101kubmkubmkubkyankyankymn（8-62） )()() 1()(01kubkyankyankyn選狀態(tài)變量：)1()()1()()()(21nkykxkykxkykxn（8-63）寫成矩陣的形式： 1122211221010000( )001000( )( )000100(1)000010nnnnnnnmxx kxx ku kxx kxaaaaaxb( )100( )y kx k（8-64） 由（8-65）式： )()()()()() 1()()2() 1()() 1() 1(012113221

45、kubkxakxakxankykxkxkykxkxkykxnnnn例例8-26 線性離散系統(tǒng)的差分方程為：(4)3 (3)5 (2)4 (1)6 ( )2 ( )y ky ky ky ky ku k試導(dǎo)出離散控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。 解：由已知的差分方程可知：輸出序列的階數(shù)： 4n ，輸入序列的階數(shù)： 0m 差分方程的系數(shù)分別為： 12343,5,4,6,2maaaab則狀態(tài)矩陣或系統(tǒng)矩陣為：0100001000016453G輸入矩陣或驅(qū)動矩陣為：0002H 輸出矩陣為： 1000C 2、m0時，即輸入變量包含高于一階的差分時，即輸入變量包含高于一階的差分方法：將差分方程化為脈沖傳遞函數(shù)的形

46、式，然后再獲得離散狀態(tài)方程這種方法將在由脈沖傳遞函數(shù)求離散狀態(tài)方程中給予介紹8.5.2.2.離散狀態(tài)方程離散狀態(tài)方程 差分方程差分方程例例8-28 線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：011(1)( )( )0.1611( )10( )x kx ku ky kx k ，試求差分方程。 解：由離散狀態(tài)方程直接求差分方程：由狀態(tài)方程可得：12(1)( )( )x kx ku k（8-65） 212(1)0.16 ( )( )( )x kx kx ku k （8-66） 式（8-65）可以寫成：12(2)(1)(1)x kx ku k（8-67） 將式（8-66）代入式（8-67）可得：112(2)0.16

47、( )( )( )(1)x kx kx ku ku k （8-68） 由式（8-65）得：21( )(1)( )x kx ku k（8-69） 將式（8-69）代入式（8-68）中：111(2)(1)0.16( )(1)2 ( )x kx kx ku ku k（8-70）再由輸出方程：1( )( )y kx k（8-71）1(1)(1)y kx k（8-72） 1(2)(2)y kx k（8-73） 將式（8-71）、（8-72）和式（8-73）代入（8-70）中，得到系統(tǒng)的差分方程：(2)(1)0.16 ( )(1)2 ( )y ky ky ku ku k8.5.3 離散狀態(tài)方程離散狀態(tài)方程

48、 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù)8.5.3.1脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù) 離散狀態(tài)方程離散狀態(tài)方程由脈沖傳遞函數(shù)求取離散狀態(tài)方程也稱為實現(xiàn)問題 這里主要講直接程序法、并聯(lián)程序法、串聯(lián)程序法： （1） 直接程序法（2） 嵌套程序法（3） 并聯(lián)程序法（4） 串聯(lián)程序法 常用的方法有： （1）、直接程序法：）、直接程序法：采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為： 10111( )( )( )nnnnnnb zb zbY zG zU zza za（8-74） 將式（8-74）化為： 10111( )1nnnnbb zb zG za za z（8-75） 此方法不需要將脈沖傳遞函數(shù)的分子和分母寫成因式相乘的形式。 當(dāng)脈沖傳遞

49、函數(shù)的零點和極點未知時，可采用直接程序法求離散狀態(tài)空間表達式。 以下分兩種情況考慮： （1）、當(dāng) 時 00b 10111( )1nnnnbb zb zG za za z由 得到系統(tǒng)的流程圖 如圖8-19根據(jù)梅遜公式：01( )nkkkPG zP（8-76） 其中： 12121()nna za za z ；并令 1k 畫出系統(tǒng)的流程圖如圖8-19，然后根據(jù)流程圖在每個 ，1z環(huán)節(jié)后選取狀態(tài)變量 。 12( ),( )( )nx kx kx k方法：脈沖傳遞函數(shù) 狀態(tài)流程圖 離散狀態(tài)方程 圖圖8-19 系統(tǒng)流程圖系統(tǒng)流程圖由圖由圖8-19 信號流程，可得狀態(tài)方程為：信號流程，可得狀態(tài)方程為：122

50、334121121112100110121010(1)( )(1)( )(1)( )(1)( )( )( )( )( )( )( )( )( )(1)() ( )()( )()( )( )nnnnnnnnnnnnnnx kx kx kx kx kx kx ka x ka xkax ka x ku ky kb x kbx kb x kb x kbb ax kbb ax kbb a x kb u k 寫成離散狀態(tài)矩陣的形式：112212112010110100100( )( )00010( )( )( )000001( )( )1( )( )( )( )( )nnnnnnnnnnx kx kx k

51、x ku kx kx kaaaax kx ky kbb abb abb ab u kx k 例例8-29 采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為：22251( )32zzG zzz試求采樣系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間表達式并畫出系統(tǒng)的流程圖。 解：所給出的脈沖傳遞函數(shù)中： ， ， 。 02b 15b 21b 且有： ， 。 13a 22a 將脈沖傳遞函數(shù)分子分母同除以 2z，得到： 121225( )1 32zzG zzz畫出系統(tǒng)的流程圖：然后根據(jù)流程圖選取狀態(tài)變量：如圖8-20示。圖圖 8-20 時系統(tǒng)的流程圖時系統(tǒng)的流程圖 00b 根據(jù)流程圖寫出離散系統(tǒng)狀態(tài)方程：12(1)( )x kx k212(1)2 ( )

52、3( )( )x kx kx ku k 122121212( )( )5( )2(1)( )5( )2 2 ( )3( )( )3 ( )( )2 ( )y kx kx kx kx kx kx kx ku kx kx ku k （2）、當(dāng) 時00b 此時，式（8-74）變?yōu)椋?1111( )1nnnnb zb zG za za z（8-77）根據(jù)梅遜公式得到的流程圖如圖8-19所示，圖中取掉 0b這根線。寫成離散狀態(tài)矩陣的形式： 10111( )( )( )nnnnnnb zb zbY zG zU zza za（8-74） 圖圖8-19 系統(tǒng)流程圖系統(tǒng)流程圖112212112110100( )

53、( )00010( )( )( )000001( )( )1( )( )( )( )nnnnnnnnx kx kx kx ku kx kx kaaaax kx ky kbbbx k （2）并聯(lián)程序法）并聯(lián)程序法: 當(dāng)脈沖傳遞函數(shù) 的極點已知， 的分母可以分解成因式相乘的形式時，則可以利用部分分式展開的形式對其實現(xiàn)狀態(tài)流程圖及編程，這種方法就是并聯(lián)程序法。 ( )G z( )G z脈沖傳遞函數(shù)為： 10111( )( )( )nnnnnnb zb zbY sG zU sza za（8-78） 具有 個不同的極點（特征根無重根），系統(tǒng)矩陣呈對角陣時( )G zn根據(jù)式（8-78）脈沖傳遞函數(shù)可以寫

54、成： 01( )niiiCG zbzp（8-79） 其中： lim() ( )1,2,3iiizpCzp G zin其流程圖如圖8-21所示：圖圖8-21 流程圖流程圖式（8-79）變?yōu)椋?010( )1niiiC zG zbp z（8-80） 根據(jù)流程圖列寫離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程：11 12221 1220(1)( )( )(1)( )( )(1)( )( )( )( )( )( )( )nnnnnx kp x ku kx kp x ku kx kp x ku ky kC x kC x kC x kb u k （3）串聯(lián)程序法：）串聯(lián)程序法： 當(dāng)脈沖傳遞函數(shù) 的分子和分母均可以分成因式相乘的形式

55、時，可以將脈沖傳遞函數(shù)寫成一階環(huán)節(jié)相乘的形式對其實現(xiàn)狀態(tài)流程圖及編程，這種方法就是串聯(lián)程序法。 ( )G z脈沖傳遞函數(shù)為： 1212()()()( )( )()( )()()()mnzczczcY zG zKnmU zzpzpzp（8-81） 從式（8-81）可見，串聯(lián)程序法主要有兩種環(huán)節(jié)的串聯(lián)： 因此 ，所以 時，主要是以下兩種環(huán)節(jié)的串聯(lián)： nm1,2,3kn1,2,3km時： 11111( )1mmkkkkkkkzcc zGzzpp z（8-82） 1,2kmmn 時： 11111( )1nnkk mk mkkzG zzpp z（8-83） 可分別畫出這兩種環(huán)節(jié)的信號流程圖，根據(jù)流程圖可

56、寫出系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程。對于式（8-82）中的 個環(huán)節(jié)的串聯(lián)，其中第 個環(huán)節(jié)的流程圖如圖8-22所示mk圖圖8-22 流程圖流程圖而對于式（8-83）中的 個環(huán)節(jié)的串聯(lián)，其中第 個環(huán)節(jié)的流程圖如圖8-23所示。 nmk圖圖8-23 流程圖流程圖 總的流程圖就是 個圖8-22的串聯(lián)和 個圖8-23的串聯(lián)后兩者再串聯(lián)。 mnm例例8-32 采樣控制系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為：25( )32zG zzz試用串聯(lián)程序法求采樣系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間表達式。 解： 將脈沖傳遞函數(shù)分解成兩環(huán)節(jié)相乘的形式：1121155151 5( )32(1)(2)12112zzzzzG zzzzzzzzz根據(jù)上式的脈沖傳遞函數(shù)的形

57、式，畫系統(tǒng)的信號流程圖如圖8-24所示：圖圖8-24 信號流程圖信號流程圖根據(jù)信號流程圖寫出離散系統(tǒng)狀態(tài)方程：1122211212(1)2( )( )(1)( )( )( )5 ( )2( )( )3 ( )( )x kx kx kx kx ku ky kx kx kx kx kx k 8.5.3.2.離散狀態(tài)方程離散狀態(tài)方程 脈沖傳遞函數(shù)脈沖傳遞函數(shù) 對于多輸入多輸出的線性采樣系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間表達式： (1)( )( )( )( )( )x kGx kHu ky kCx kDu k（8-84）對式（8-84）做 變換，得到： Z( )(0)( )( )( )( )( )zX zzXGX z

58、Hu zy zCX zDU z（8-85） 經(jīng)整理：11( )()(0)()( )( )( )( )X zzIGzXzIGHU zY zCX zDU z（8-86） 則有：11( )()(0)()( )( )Y zC zIGzXC zIGHU zDU z 當(dāng)初始條件為零時，可以求出描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的脈沖傳遞函數(shù)（矩陣）：1( )( )( ) () ( )Y zG z U zC zIGHD U z對于單輸入單輸出系統(tǒng)來說， 是脈沖傳遞函數(shù)。( )G z對于多輸入多輸出系統(tǒng)來說， 是脈沖傳遞矩陣。 為 維的。 ( )G zm rDHGzICzUzYzG1)()()()( 本節(jié)主要討論如何在 域

59、中分析離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，穩(wěn)態(tài)特性以及動態(tài)特性。 Z系統(tǒng)的性能分析包括：2 、 穩(wěn)態(tài)性能3 、 動態(tài)響應(yīng)1 、 穩(wěn)定性分析方法：1 、時域動態(tài)響應(yīng)2 、根軌跡法3 、頻率法連續(xù)控制系統(tǒng)中：判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法是根據(jù)特征方 程的根在 平面的位置。若系統(tǒng)特征 方程的所有根都在 平面的左半部， 系統(tǒng)是穩(wěn)定的。SS判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法：ZZZS離散控制系統(tǒng)中：由于進行了 變換，所以采樣控制 系統(tǒng)的的穩(wěn)定性分析是在 平面上 的。只要找到 平面與 平面的關(guān) 系，采樣控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析就會 迎刃而解。 8.6.1 穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析8.6.1.1 平面與平面與 平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系 SZ根據(jù)

60、變換的定義，復(fù)自變量 與 之間的關(guān)系是： ZsZeTsz （8-87） 域的任何一點都可以表示成： sjs（8-88） 式（8-88）代入式（8-87）：(j )jeeeeTsTTTz（8-89） 域到 域的基本映射關(guān)系為： sZ模： eTz復(fù)角： zT 其中： 為采樣周期。 T0 （1）、當(dāng) 時， ，相當(dāng)于取 平面的虛軸， jsse1Tz ，復(fù)角隨 的變化而變化，所以 平面的虛軸映射到 圓心的單位圓周。 sZ平面上是以原點為分析：映射關(guān)系如圖8-25所示。 圖圖8-25 平面與平面與 平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系sZ 當(dāng) 時， 由 到 變化時， 的模為 ， 平面上的曲線是逆時針旋轉(zhuǎn)一周，模為