2000考研數(shù)學三真題及解析

1、2003年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）設(shè) 其導函數(shù)在x=0處連續(xù)，則的取值范圍是_.（2）已知曲線與x軸相切，則可以通過a表示為_.（3）設(shè)a>0，而D表示全平面，則=_.（4）設(shè)n維向量；E為n階單位矩陣，矩陣 ， ，其中A的逆矩陣為B，則a=_.（5）設(shè)隨機變量X 和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9, 若，則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為_.（6）設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，為來自總體X的簡單隨機樣本，則當時，依概率收斂于_.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題

2、目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）（1）設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且存在，則函數(shù) (A) 在x=0處左極限不存在. (B) 有跳躍間斷點x=0.(C) 在x=0處右極限不存在. (D) 有可去間斷點x=0. （2）設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點取得極小值，則下列結(jié)論正確的是 (A) 在處的導數(shù)等于零. （B）在處的導數(shù)大于零.(C) 在處的導數(shù)小于零. (D) 在處的導數(shù)不存在. （3）設(shè)，則下列命題正確的是 (A) 若條件收斂，則與都收斂.(B) 若絕對收斂，則與都收斂.(C) 若條件收斂，則與斂散性都不定.(D) 若絕對收斂，則與斂散性都不定. （4）設(shè)三階矩陣，若A的伴隨矩陣的

3、秩為1，則必有 (A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b0.(C) ab且a+2b=0. (D) ab且a+2b0. （5）設(shè)均為n維向量，下列結(jié)論不正確的是 (A) 若對于任意一組不全為零的數(shù)，都有，則線性無關(guān).(B) 若線性相關(guān)，則對于任意一組不全為零的數(shù)，都有(C) 線性無關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s.(D) 線性無關(guān)的必要條件是其中任意兩個向量線性無關(guān). （6）將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進事件：=擲第一次出現(xiàn)正面，=擲第二次出現(xiàn)正面，=正、反面各出現(xiàn)一次，=正面出現(xiàn)兩次，則事件 (A) 相互獨立. (B) 相互獨立. (C) 兩兩獨立. (D) 兩兩獨立. 三、（

4、本題滿分8分）設(shè)： 試補充定義f(1)使得f(x)在上連續(xù).四 、（本題滿分8分）設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足，又,求五、（本題滿分8分）計算二重積分 其中積分區(qū)域D=六、（本題滿分9分）求冪級數(shù)的和函數(shù)f(x)及其極值.七、（本題滿分9分）設(shè)F(x)=f(x)g(x), 其中函數(shù)f(x),g(x)在內(nèi)滿足以下條件： ，且f(0)=0, (1) 求F(x)所滿足的一階微分方程；(2) 求出F(x)的表達式.八、（本題滿分8分）設(shè)函數(shù)f(x)在0，3上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)可導，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.試證必存在，使九、（本題滿分13分）已知齊次線性方程組

5、其中 試討論和b滿足何種關(guān)系時，(1) 方程組僅有零解；(2) 方程組有非零解. 在有非零解時，求此方程組的一個基礎(chǔ)解系.十、（本題滿分13分）設(shè)二次型中二次型的矩陣A的特征值之和為1，特征值之積為-12.(1) 求a,b的值；(2) 利用正交變換將二次型f化為標準形，并寫出所用的正交變換和對應(yīng)的正交矩陣.十一、（本題滿分13分）設(shè)隨機變量X的概率密度為 F(x)是X的分布函數(shù). 求隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù).十二、（本題滿分13分）設(shè)隨機變量X與Y獨立，其中X的概率分布為 ，而Y的概率密度為f(y)，求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u).2003年考研數(shù)學（三）真題解析一、填空題（本題

6、共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）設(shè) 其導函數(shù)在x=0處連續(xù)，則的取值范圍是.【分析】 當0可直接按公式求導，當x=0時要求用定義求導.【詳解】 當時，有 顯然當時，有，即其導函數(shù)在x=0處連續(xù).（2）已知曲線與x軸相切，則可以通過a表示為 .【分析】 曲線在切點的斜率為0，即，由此可確定切點的坐標應(yīng)滿足的條件，再根據(jù)在切點處縱坐標為零，即可找到與a的關(guān)系.【詳解】 由題設(shè)，在切點處有 ，有 又在此點y坐標為0，于是有 ,故 【評注】 有關(guān)切線問題應(yīng)注意斜率所滿足的條件，同時切點還應(yīng)滿足曲線方程.（3）設(shè)a>0，而D表示全平面，則= .【分析】 本題積分區(qū)域

7、為全平面，但只有當時，被積函數(shù)才不為零，因此實際上只需在滿足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可.【詳解】 = =【評注】 若被積函數(shù)只在某區(qū)域內(nèi)不為零，則二重積分的計算只需在積分區(qū)域與被積函數(shù)不為零的區(qū)域的公共部分上積分即可.（4）設(shè)n維向量；E為n階單位矩陣，矩陣 ， ，其中A的逆矩陣為B，則a= -1 .【分析】 這里為n階矩陣，而為數(shù)，直接通過進行計算并注意利用乘法的結(jié)合律即可.【詳解】 由題設(shè)，有 = = = =,于是有 ，即 ，解得 由于A<0 ,故a=-1.（5）設(shè)隨機變量X 和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9, 若，則Y與Z的相關(guān)系數(shù)為 0.9 .【分析】 利用相關(guān)系數(shù)的計算公式即可.【詳解】

8、因為 = =E(XY) E(X)E(Y)=cov(X,Y),且于是有 cov(Y,Z)=【評注】 注意以下運算公式：，（6）設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，為來自總體X的簡單隨機樣本，則當時，依概率收斂于 .【分析】 本題考查大數(shù)定律：一組相互獨立且具有有限期望與方差的隨機變量，當方差一致有界時，其算術(shù)平均值依概率收斂于其數(shù)學期望的算術(shù)平均值： 【詳解】 這里滿足大數(shù)定律的條件，且=，因此根據(jù)大數(shù)定律有 依概率收斂于二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）（1）設(shè)f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)，且存在，則

9、函數(shù)(A) 在x=0處左極限不存在. (B) 有跳躍間斷點x=0.(C) 在x=0處右極限不存在. (D) 有可去間斷點x=0. D 【分析】 由題設(shè)，可推出f(0)=0 , 再利用在點x=0處的導數(shù)定義進行討論即可.【詳解】 顯然x=0為g(x)的間斷點，且由f(x)為不恒等于零的奇函數(shù)知，f(0)=0.于是有 存在，故x=0為可去間斷點.【評注1】 本題也可用反例排除，例如f(x)=x, 則此時g(x)=可排除(A),(B),(C) 三項，故應(yīng)選(D).【評注2】 若f(x)在處連續(xù)，則. （2）設(shè)可微函數(shù)f(x,y)在點取得極小值，則下列結(jié)論正確的是 (A) 在處的導數(shù)等于零. （B）在

10、處的導數(shù)大于零.(C) 在處的導數(shù)小于零. (D) 在處的導數(shù)不存在. A 【分析】 可微必有偏導數(shù)存在，再根據(jù)取極值的必要條件即可得結(jié)論.【詳解】 可微函數(shù)f(x,y)在點取得極小值，根據(jù)取極值的必要條件知，即在處的導數(shù)等于零, 故應(yīng)選(A).【評注1】 本題考查了偏導數(shù)的定義，在處的導數(shù)即；而在處的導數(shù)即【評注2】 本題也可用排除法分析，取，在(0,0)處可微且取得極小值，并且有，可排除(B),(C),(D), 故正確選項為(A).（3）設(shè)，則下列命題正確的是(A) 若條件收斂，則與都收斂.(B) 若絕對收斂，則與都收斂.(C) 若條件收斂，則與斂散性都不定.(D) 若絕對收斂，則與斂散性

11、都不定. B 【分析】 根據(jù)絕對收斂與條件收斂的關(guān)系以及收斂級數(shù)的運算性質(zhì)即可找出答案.【詳解】 若絕對收斂，即收斂，當然也有級數(shù)收斂，再根據(jù)，及收斂級數(shù)的運算性質(zhì)知，與都收斂，故應(yīng)選(B).（4）設(shè)三階矩陣，若A的伴隨矩陣的秩為1，則必有(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b0.(C) ab且a+2b=0. (D) ab且a+2b0. C 【分析】 A的伴隨矩陣的秩為1, 說明A的秩為2，由此可確定a,b應(yīng)滿足的條件.【詳解】 根據(jù)A與其伴隨矩陣A*秩之間的關(guān)系知，秩(A)=2，故有 ，即有或a=b.但當a=b時，顯然秩(A), 故必有 ab且a+2b=0. 應(yīng)選(C).【

12、評注】 n（n階矩陣A與其伴隨矩陣A*的秩之間有下列關(guān)系： （5）設(shè)均為n維向量，下列結(jié)論不正確的是(A) 若對于任意一組不全為零的數(shù)，都有，則線性無關(guān).(B) 若線性相關(guān)，則對于任意一組不全為零的數(shù)，都有(C) 線性無關(guān)的充分必要條件是此向量組的秩為s.(D) 線性無關(guān)的必要條件是其中任意兩個向量線性無關(guān). B 【分析】 本題涉及到線性相關(guān)、線性無關(guān)概念的理解，以及線性相關(guān)、線性無關(guān)的等價表現(xiàn)形式. 應(yīng)注意是尋找不正確的命題.【詳解】(A): 若對于任意一組不全為零的數(shù),都有 ，則必線性無關(guān)，因為若線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù),使得 ，矛盾. 可見（A）成立.(B): 若線性相關(guān)，則存在

13、一組，而不是對任意一組不全為零的數(shù)，都有 (B)不成立.(C) 線性無關(guān),則此向量組的秩為s；反過來，若向量組的秩為s，則線性無關(guān)，因此(C)成立.(D) 線性無關(guān),則其任一部分組線性無關(guān)，當然其中任意兩個向量線性無關(guān)，可見(D)也成立.綜上所述，應(yīng)選(B).【評注】 原命題與其逆否命題是等價的. 例如，原命題：若存在一組不全為零的數(shù)，使得成立，則線性相關(guān). 其逆否命題為：若對于任意一組不全為零的數(shù)，都有，則線性無關(guān). 在平時的學習過程中，應(yīng)經(jīng)常注意這種原命題與其逆否命題的等價性.（6）將一枚硬幣獨立地擲兩次，引進事件：=擲第一次出現(xiàn)正面，=擲第二次出現(xiàn)正面，=正、反面各出現(xiàn)一次，=正面出現(xiàn)兩

14、次，則事件(A) 相互獨立. (B) 相互獨立. (C) 兩兩獨立. (D) 兩兩獨立. C 【分析】按照相互獨立與兩兩獨立的定義進行驗算即可，注意應(yīng)先檢查兩兩獨立，若成立，再檢驗是否相互獨立.【詳解】 因為，且 ，可見有，.故兩兩獨立但不相互獨立；不兩兩獨立更不相互獨立，應(yīng)選(C).【評注】 本題嚴格地說應(yīng)假定硬幣是均勻的，否則結(jié)論不一定成立.三 、（本題滿分8分）設(shè) 試補充定義f(1)使得f(x)在上連續(xù).【分析】 只需求出極限，然后定義f(1)為此極限值即可.【詳解】 因為 = = = = =由于f(x)在上連續(xù)，因此定義 ，使f(x)在上連續(xù).【評注】 本題實質(zhì)上是一求極限問題，但以這

15、種形式表現(xiàn)出來，還考查了連續(xù)的概念.在計算過程中，也可先作變量代換y=1-x，轉(zhuǎn)化為求的極限，可以適當簡化.四 、（本題滿分8分）設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且滿足，又,求【分析】 本題是典型的復(fù)合函數(shù)求偏導問題：，直接利用復(fù)合函數(shù)求偏導公式即可，注意利用【詳解】 ，故 ，所以 =【評注】 本題考查半抽象復(fù)合函數(shù)求二階偏導.五 、（本題滿分8分）計算二重積分 其中積分區(qū)域D=【分析】 從被積函數(shù)與積分區(qū)域可以看出，應(yīng)該利用極坐標進行計算.【詳解】 作極坐標變換：，有 =令，則 .記 ，則 = = = =因此 ， 【評注】 本題屬常規(guī)題型，明顯地應(yīng)該選用極坐標進行計算，在將二重積分化為定積

16、分后，再通過換元與分步積分（均為最基礎(chǔ)的要求），即可得出結(jié)果，綜合考查了二重積分、換元積分與分步積分等多個基礎(chǔ)知識點.六、（本題滿分9分）求冪級數(shù)的和函數(shù)f(x)及其極值.【分析】 先通過逐項求導后求和，再積分即可得和函數(shù)，注意當x=0時和為1. 求出和函數(shù)后，再按通常方法求極值.【詳解】 上式兩邊從0到x積分，得 由f(0)=1, 得 令，求得唯一駐點x=0. 由于 ，可見f(x)在x=0處取得極大值，且極大值為 f(0)=1.【評注】 求和函數(shù)一般都是先通過逐項求導、逐項積分等轉(zhuǎn)化為可直接求和的幾何級數(shù)情形，然后再通過逐項積分、逐項求導等逆運算最終確定和函數(shù).七、（本題滿分9分）設(shè)F(x)

17、=f(x)g(x), 其中函數(shù)f(x),g(x)在內(nèi)滿足以下條件： ，且f(0)=0, (3) 求F(x)所滿足的一階微分方程；(4) 求出F(x)的表達式.【分析】 F(x)所滿足的微分方程自然應(yīng)含有其導函數(shù)，提示應(yīng)先對F(x)求導，并將其余部分轉(zhuǎn)化為用F(x)表示，導出相應(yīng)的微分方程，然后再求解相應(yīng)的微分方程.【詳解】 (1) 由 = = =(2-2F(x),可見F(x)所滿足的一階微分方程為(2) = =將F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1.于是 【評注】 本題沒有直接告知微分方程，要求先通過求導以及恒等變形引出微分方程的形式，從題型來說比較新穎，但具體到微分方程的求解

18、則并不復(fù)雜，仍然是基本要求的范圍.八、（本題滿分8分）設(shè)函數(shù)f(x)在0，3上連續(xù)，在（0，3）內(nèi)可導，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.試證必存在，使【分析】 根據(jù)羅爾定理，只需再證明存在一點c，使得，然后在c,3上應(yīng)用羅爾定理即可. 條件f(0)+f(1)+f(2)=3等價于，問題轉(zhuǎn)化為1介于f(x)的最值之間，最終用介值定理可以達到目的.【詳解】 因為f(x)在0，3上連續(xù)，所以f(x)在0，2上連續(xù)，且在0，2上必有最大值M和最小值m，于是 ， ， .故由介值定理知，至少存在一點，使 因為f(c)=1=f(3), 且f(x)在c,3上連續(xù)，在(c,3)內(nèi)可導，所以由羅

19、爾定理知，必存在，使【評注】 介值定理、微分中值定理與積分中值定理都是?？贾R點，且一般是兩兩結(jié)合起來考. 本題是典型的結(jié)合介值定理與微分中值定理的情形.九、（本題滿分13分）已知齊次線性方程組 其中 試討論和b滿足何種關(guān)系時，(1) 方程組僅有零解；(2) 方程組有非零解. 在有非零解時，求此方程組的一個基礎(chǔ)解系.【分析】方程的個數(shù)與未知量的個數(shù)相同，問題轉(zhuǎn)化為系數(shù)矩陣行列式是否為零，而系數(shù)行列式的計算具有明顯的特征：所有列對應(yīng)元素相加后相等. 可先將所有列對應(yīng)元素相加，然后提出公因式，再將第一行的（-1）倍加到其余各行，即可計算出行列式的值.【詳解】 方程組的系數(shù)行列式 =(1) 當時且時

20、，秩(A)=n，方程組僅有零解.(2) 當b=0 時，原方程組的同解方程組為 由可知，不全為零. 不妨設(shè)，得原方程組的一個基礎(chǔ)解系為，當時，有，原方程組的系數(shù)矩陣可化為 （將第1行的-1倍加到其余各行，再從第2行到第n行同乘以倍） （將第n行倍到第2行的倍加到第1行，再將第1行移到最后一行） 由此得原方程組的同解方程組為 ， .原方程組的一個基礎(chǔ)解系為 【評注】 本題的難點在時的討論，事實上也可這樣分析：此時系數(shù)矩陣的秩為 n-1(存在n-1階子式不為零)，且顯然為方程組的一個非零解，即可作為基礎(chǔ)解系.十、（本題滿分13分）設(shè)二次型，中二次型的矩陣A的特征值之和為1，特征值之積為-12.(3)

21、 求a,b的值；(4) 利用正交變換將二次型f化為標準形，并寫出所用的正交變換和對應(yīng)的正交矩陣.【分析】 特征值之和為A的主對角線上元素之和，特征值之積為A的行列式，由此可求出a,b 的值；進一步求出A的特征值和特征向量，并將相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后將特征向量單位化并以此為列所構(gòu)造的矩陣即為所求的正交矩陣.【詳解】 （1）二次型f的矩陣為 設(shè)A的特征值為 由題設(shè)，有，解得 a=1,b= -2.(2) 由矩陣A的特征多項式 ，得A的特征值對于解齊次線性方程組，得其基礎(chǔ)解系 ，對于，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系 由于已是正交向量組，為了得到規(guī)范正交向量組，只需將單位化，由此得，

22、令矩陣，則Q為正交矩陣. 在正交變換X=QY下，有，且二次型的標準形為 【評注】 本題求a,b，也可先計算特征多項式，再利用根與系數(shù)的關(guān)系確定：二次型f的矩陣A對應(yīng)特征多項式為設(shè)A的特征值為，則由題設(shè)得，解得a=1,b=2.十一、（本題滿分13分）設(shè)隨機變量X的概率密度為 F(x)是X的分布函數(shù). 求隨機變量Y=F(X)的分布函數(shù).【分析】 先求出分布函數(shù)F(x) 的具體形式，從而可確定Y=F(X) ,然后按定義求Y 的分布函數(shù)即可.注意應(yīng)先確定Y=F(X)的值域范圍，再對y分段討論.【詳解】 易見，當x<1時，F(xiàn)(x)=0; 當x>8 時，F(xiàn)(x)=1.對于，有 設(shè)G(y)是隨機

23、變量Y=F(X)的分布函數(shù). 顯然，當時，G(y)=0；當時，G(y)=1. 對于，有 = =于是，Y=F(X)的分布函數(shù)為【評注】 事實上，本題X為任意連續(xù)型隨機變量均可，此時Y=F(X)仍服從均勻分布:當y<0時，G(y)=0;當 時，G(y)=1;當 0時， = =十二、（本題滿分13分）設(shè)隨機變量X與Y獨立，其中X的概率分布為 ，而Y的概率密度為f(y)，求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u).【分析】求二維隨機變量函數(shù)的分布，一般用分布函數(shù)法轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的概率. 注意X只有兩個可能的取值，求概率時可用全概率公式進行計算.【詳解】 設(shè)F(y)是Y的分布函數(shù)，則由全概率公式，知U=

24、X+Y的分布函數(shù)為 = =.由于X和Y獨立，可見 G(u)= =由此,得U的概率密度 =【評注】 本題屬新題型，求兩個隨機變量和的分布，其中一個是連續(xù)型一個是離散型，要求用全概率公式進行計算，類似問題以前從未出現(xiàn)過，具有一定的難度和綜合性.2004年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學三試題一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）(1) 若，則a =_，b =_.(2) 設(shè)函數(shù)f (u , v)由關(guān)系式f xg(y) , y = x + g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y) ¹ 0，則.(3) 設(shè)，則.(4) 二次型的秩為 .(5) 設(shè)隨機變量

25、服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 則_.(6) 設(shè)總體服從正態(tài)分布, 總體服從正態(tài)分布,和 分別是來自總體和的簡單隨機樣本, 則 .二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）(7) 函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界. (A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). (8) 設(shè)f (x)在(-¥ , +¥)內(nèi)有定義，且， ，則 (A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點.(B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點.(C) x = 0必是g(x)的連續(xù)

26、點.(D) g(x)在點x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān). (9) 設(shè)f (x) = |x(1 - x)|，則 (A) x = 0是f (x)的極值點，但(0 , 0)不是曲線y = f (x)的拐點.(B) x = 0不是f (x)的極值點，但(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.(C) x = 0是f (x)的極值點，且(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.(D) x = 0不是f (x)的極值點，(0 , 0)也不是曲線y = f (x)的拐點.(10) 設(shè)有下列命題：(1) 若收斂，則收斂.(2) 若收斂，則收斂.(3) 若，則發(fā)散.(4) 若收斂，則，都收斂.則以上

27、命題中正確的是 (A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4).(11) 設(shè)在a , b上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯誤的是 (A) 至少存在一點，使得> f (a).(B) 至少存在一點，使得> f (b).(C) 至少存在一點，使得.(D) 至少存在一點，使得= 0. (12) 設(shè)階矩陣與等價, 則必有 (A) 當時, . (B) 當時, .(C) 當時, . (D) 當時, . (13) 設(shè)階矩陣的伴隨矩陣 若是非齊次線性方程組 的互不相等的解，則對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 (A) 不存在. (B) 僅含一個非零解向量.(C)

28、含有兩個線性無關(guān)的解向量. (D) 含有三個線性無關(guān)的解向量. (14) 設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布, 對給定的, 數(shù)滿足, 若, 則等于 (A) . (B) . (C) . (D) . 三、解答題(本題共9小題，滿分94分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15) (本題滿分8分)求.(16) (本題滿分8分)求，其中D是由圓和所圍成的平面區(qū)域(如圖).(17) (本題滿分8分)設(shè)f (x) , g(x)在a , b上連續(xù)，且滿足，x Î a , b)，.證明：.(18) (本題滿分9分)設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q = 100 - 5P，其中價格P Î (0 , 20

29、)，Q為需求量.(I) 求需求量對價格的彈性(> 0)；(II) 推導(其中R為收益)，并用彈性說明價格在何范圍內(nèi)變化時，降低價格反而使收益增加.(19) (本題滿分9分)設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為S(x). 求：(I) S(x)所滿足的一階微分方程；(II) S(x)的表達式.(20)(本題滿分13分) 設(shè), , , , 試討論當為何值時, () 不能由線性表示;() 可由唯一地線性表示, 并求出表示式; () 可由線性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本題滿分13分) 設(shè)階矩陣 .() 求的特征值和特征向量;() 求可逆矩陣, 使得為對角矩陣.(22) (本題滿分13分)

30、設(shè)，為兩個隨機事件,且, , , 令 求() 二維隨機變量的概率分布;() 與的相關(guān)系數(shù) ; () 的概率分布. (23) (本題滿分13分) 設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為 其中參數(shù). 設(shè)為來自總體的簡單隨機樣本,() 當時, 求未知參數(shù)的矩估計量;() 當時, 求未知參數(shù)的最大似然估計量; () 當時, 求未知參數(shù)的最大似然估計量. 2004年考研數(shù)學（三）真題解析一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）(1) 若，則a =，b =.【分析】本題屬于已知極限求參數(shù)的反問題.【詳解】因為，且，所以，得a = 1. 極限化為，得b = -4.因此，a = 1，b =

31、 -4.【評注】一般地，已知 A，(1) 若g(x) ® 0，則f (x) ® 0；(2) 若f (x) ® 0，且A ¹ 0，則g(x) ® 0.(2) 設(shè)函數(shù)f (u , v)由關(guān)系式f xg(y) , y = x + g(y)確定，其中函數(shù)g(y)可微，且g(y) ¹ 0，則.【分析】令u = xg(y)，v = y，可得到f (u , v)的表達式，再求偏導數(shù)即可.【詳解】令u = xg(y)，v = y，則f (u , v) =，所以，.(3) 設(shè)，則.【分析】本題屬于求分段函數(shù)的定積分，先換元：x - 1 = t，再利用對

32、稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)即可.【詳解】令x - 1 = t，.【評注】一般地，對于分段函數(shù)的定積分，按分界點劃分積分區(qū)間進行求解. (4) 二次型的秩為 2 .【分析】二次型的秩即對應(yīng)的矩陣的秩, 亦即標準型中平方項的項數(shù), 于是利用初等變換或配方法均可得到答案.【詳解一】因為于是二次型的矩陣為 ,由初等變換得 ,從而 , 即二次型的秩為2. 【詳解二】因為, 其中 .所以二次型的秩為2. (5) 設(shè)隨機變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布, 則 .【分析】 根據(jù)指數(shù)分布的分布函數(shù)和方差立即得正確答案.【詳解】 由于, 的分布函數(shù)為故.【評注】本題是對重要分布, 即指數(shù)分布的考查, 屬基本題型.(6)

33、設(shè)總體服從正態(tài)分布, 總體服從正態(tài)分布,和 分別是來自總體和的簡單隨機樣本, 則 .【分析】利用正態(tài)總體下常用統(tǒng)計量的數(shù)字特征即可得答案.【詳解】因為 , ,故應(yīng)填 .【評注】本題是對常用統(tǒng)計量的數(shù)字特征的考查.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）(7) 函數(shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界.(A) (-1 , 0).(B) (0 , 1).(C) (1 , 2).(D) (2 , 3). A 【分析】如f (x)在(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在(a , b)內(nèi)有界.【詳解】當x

34、85; 0 , 1 , 2時，f (x)連續(xù)，而，所以，函數(shù)f (x)在(-1 , 0)內(nèi)有界，故選(A).【評注】一般地，如函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，則f (x)在閉區(qū)間a , b上有界；如函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)連續(xù)，且極限與存在，則函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a , b)內(nèi)有界. (8) 設(shè)f (x)在(-¥ , +¥)內(nèi)有定義，且，則(A) x = 0必是g(x)的第一類間斷點.(B) x = 0必是g(x)的第二類間斷點.(C) x = 0必是g(x)的連續(xù)點.(D) g(x)在點x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān). D 【分析】考查極限是

35、否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通過換元，可將極限轉(zhuǎn)化為.【詳解】因為= a(令)，又g(0) = 0，所以，當a = 0時，即g(x)在點x = 0處連續(xù)，當a ¹ 0時，即x = 0是g(x)的第一類間斷點，因此，g(x)在點x = 0處的連續(xù)性與a的取值有關(guān)，故選(D).【評注】本題屬于基本題型，主要考查分段函數(shù)在分界點處的連續(xù)性.(9) 設(shè)f (x) = |x(1 - x)|，則(A) x = 0是f (x)的極值點，但(0 , 0)不是曲線y = f (x)的拐點.(B) x = 0不是f (x)的極值點，但(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.(C) x =

36、 0是f (x)的極值點，且(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.(D) x = 0不是f (x)的極值點，(0 , 0)也不是曲線y = f (x)的拐點. C 【分析】由于f (x)在x = 0處的一、二階導數(shù)不存在，可利用定義判斷極值情況，考查f (x)在x = 0的左、右兩側(cè)的二階導數(shù)的符號，判斷拐點情況.【詳解】設(shè)0 < d < 1，當x Î (-d , 0) È (0 , d)時，f (x) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)的極小值點.顯然，x = 0是f (x)的不可導點. 當x Î (-d , 0)

37、時，f (x) = -x(1 - x)，當x Î (0 , d)時，f (x) = x(1 - x)，所以(0 , 0)是曲線y = f (x)的拐點.故選(C).【評注】對于極值情況，也可考查f (x)在x = 0的某空心鄰域內(nèi)的一階導數(shù)的符號來判斷. (10) 設(shè)有下列命題：(1) 若收斂，則收斂.(2) 若收斂，則收斂.(3) 若，則發(fā)散.(4) 若收斂，則，都收斂.則以上命題中正確的是(A) (1) (2).(B) (2) (3).(C) (3) (4).(D) (1) (4). B 【分析】可以通過舉反例及級數(shù)的性質(zhì)來說明4個命題的正確性.【詳解】(1)是錯誤的，如令，顯然

38、，分散，而收斂.(2)是正確的，因為改變、增加或減少級數(shù)的有限項，不改變級數(shù)的收斂性.(3)是正確的，因為由可得到不趨向于零(n ® ¥)，所以發(fā)散.(4)是錯誤的，如令，顯然，都發(fā)散，而收斂. 故選(B).【評注】本題主要考查級數(shù)的性質(zhì)與收斂性的判別法，屬于基本題型. (11) 設(shè)在a , b上連續(xù)，且，則下列結(jié)論中錯誤的是(A) 至少存在一點，使得> f (a).(B) 至少存在一點，使得> f (b).(C) 至少存在一點，使得.(D) 至少存在一點，使得= 0. D 【分析】利用介值定理與極限的保號性可得到三個正確的選項，由排除法可選出錯誤選項.【詳解】

39、首先，由已知在a , b上連續(xù)，且，則由介值定理，至少存在一點，使得；另外，由極限的保號性，至少存在一點使得，即. 同理，至少存在一點使得. 所以，(A) (B) (C)都正確，故選(D).【評注】 本題綜合考查了介值定理與極限的保號性，有一定的難度.(12) 設(shè)階矩陣與等價, 則必有(A) 當時, . (B) 當時, .(C) 當時, . (D) 當時, . D 【分析】 利用矩陣與等價的充要條件: 立即可得.【詳解】因為當時, , 又 與等價, 故, 即, 故選(D). 【評注】本題是對矩陣等價、行列式的考查, 屬基本題型.(13) 設(shè)階矩陣的伴隨矩陣 若是非齊次線性方程組 的互不相等的解

40、，則對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系(A) 不存在. (B) 僅含一個非零解向量.(C) 含有兩個線性無關(guān)的解向量. (D) 含有三個線性無關(guān)的解向量. B 【分析】 要確定基礎(chǔ)解系含向量的個數(shù), 實際上只要確定未知數(shù)的個數(shù)和系數(shù)矩陣的秩.【詳解】 因為基礎(chǔ)解系含向量的個數(shù)=, 而且根據(jù)已知條件 于是等于或. 又有互不相等的解, 即解不惟一, 故. 從而基礎(chǔ)解系僅含一個解向量, 即選(B).【評注】本題是對矩陣與其伴隨矩陣的秩之間的關(guān)系、線性方程組解的結(jié)構(gòu)等多個知識點的綜合考查.(14) 設(shè)隨機變量服從正態(tài)分布, 對給定的, 數(shù)滿足, 若, 則等于(A) . (B) . (C) . (D) .

41、C 【分析】 利用標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性和幾何意義即得.【詳解】 由, 以及標準正態(tài)分布密度曲線的對稱性可得. 故正確答案為(C).【評注】本題是對標準正態(tài)分布的性質(zhì), 嚴格地說它的上分位數(shù)概念的考查.三、解答題(本題共9小題，滿分94分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15) (本題滿分8分)求.【分析】先通分化為“”型極限，再利用等價無窮小與羅必達法則求解即可.【詳解】=.【評注】本題屬于求未定式極限的基本題型，對于“”型極限，應(yīng)充分利用等價無窮小替換來簡化計算.(16) (本題滿分8分)求，其中D是由圓和所圍成的平面區(qū)域(如圖).【分析】首先，將積分區(qū)域D分為大圓減去

42、小圓，再利用對稱性與極坐標計算即可.【詳解】令，由對稱性，.所以，.【評注】本題屬于在極坐標系下計算二重積分的基本題型，對于二重積分，經(jīng)常利用對稱性及將一個復(fù)雜區(qū)域劃分為兩個或三個簡單區(qū)域來簡化計算. (17) (本題滿分8分)設(shè)f (x) , g(x)在a , b上連續(xù)，且滿足，x Î a , b)，.證明：.【分析】令F(x) = f (x) - g(x)，將積分不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式即可.【詳解】令F(x) = f (x) - g(x)，由題設(shè)G(x) ³ 0，x Î a , b，G(a) = G(b) = 0，.從而 ，由于 G(x) ³ 0，x

43、 Î a , b，故有，即 .因此 .【評注】引入變限積分轉(zhuǎn)化為函數(shù)等式或不等式是證明積分等式或不等式的常用的方法.(18) (本題滿分9分)設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q = 100 - 5P，其中價格P Î (0 , 20)，Q為需求量.(I) 求需求量對價格的彈性(> 0)；(II) 推導(其中R為收益)，并用彈性說明價格在何范圍內(nèi)變化時，降低價格反而使收益增加.【分析】由于> 0，所以；由Q = PQ及可推導.【詳解】(I) .(II) 由R = PQ，得 .又由，得P = 10.當10 < P < 20時，> 1，于是，故當10 < P

44、 < 20時，降低價格反而使收益增加.【評注】當> 0時，需求量對價格的彈性公式為.利用需求彈性分析收益的變化情況有以下四個常用的公式： ，(收益對價格的彈性).(19) (本題滿分9分)設(shè)級數(shù)的和函數(shù)為S(x). 求：(I) S(x)所滿足的一階微分方程；(II) S(x)的表達式.【分析】對S(x)進行求導，可得到S(x)所滿足的一階微分方程，解方程可得S(x)的表達式.【詳解】(I) ，易見 S(0) = 0，.因此S(x)是初值問題的解.(II) 方程的通解為 ，由初始條件y(0) = 0，得C = 1.故，因此和函數(shù).【評注】本題綜合了級數(shù)求和問題與微分方程問題，2002

45、年考過類似的題.(20)(本題滿分13分) 設(shè), , , , 試討論當為何值時, () 不能由線性表示;() 可由唯一地線性表示, 并求出表示式; () 可由線性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. 【分析】將可否由線性表示的問題轉(zhuǎn)化為線性方程組是否有解的問題即易求解.【詳解】 設(shè)有數(shù)使得 . (*)記. 對矩陣施以初等行變換, 有.() 當時, 有 .可知.故方程組(*)無解, 不能由線性表示.() 當, 且時, 有, 方程組(*)有唯一解： , , 此時可由唯一地線性表示, 其表示式為 () 當時, 對矩陣施以初等行變換, 有，, 方程組(*)有無窮多解，其全部解為 , , ， 其中為

46、任意常數(shù)可由線性表示, 但表示式不唯一,其表示式為 【評注】本題屬于常規(guī)題型, 曾考過兩次(1991, 2000).(21) (本題滿分13分) 設(shè)階矩陣 .() 求的特征值和特征向量;() 求可逆矩陣, 使得為對角矩陣.【分析】這是具體矩陣的特征值和特征向量的計算問題, 通?？捎汕蠼馓卣鞣匠毯妄R次線性方程組來解決.【詳解】() 當時， ,得的特征值為，對，解得，所以的屬于的全部特征向量為(為任意不為零的常數(shù))對， 得基礎(chǔ)解系為，故的屬于的全部特征向量為(是不全為零的常數(shù))當時，,特征值為，任意非零列向量均為特征向量() 當時，有個線性無關(guān)的特征向量，令，則當時，對任意可逆矩陣, 均有 【評注】本題通過考查矩陣的特征值和特征向量而間接考查了行列式的計算, 齊次線性方程組的求解和矩陣的對角化等問題, 屬于有一點綜合性的試題. 另外,本題的解題思路是容易的, 只要注意矩陣中含有一個未知參數(shù), 從而一般要討論其不同取值情況.(22) (本題滿分13分) 設(shè)，為兩個隨機事件,且, , , 令 求() 二維隨機變量的概率分布;() 與的相關(guān)系數(shù) ; () 的概率分布. 【分析】本題的關(guān)鍵是求出的概率分布，于是只要將二維隨機變量的各取值對轉(zhuǎn)化為隨機事件和表示即可【詳解】 () 因為 ，于是，則有，( 或)，即的概率分布為： 0 1 0 1 ()方法一：因為，所以與的相關(guān)系數(shù) 方法二： X,