基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

1、§基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則 湖南師大附中?？谥袑W(xué) 李明【教學(xué)目標(biāo)】1.知識與技能：熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則；能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.過程與方法：通過例題的講解，使學(xué)生掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則；通過應(yīng)用題的分析，使學(xué)生形成數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識；最后通過課堂練習(xí)，鞏固新知3.情感態(tài)度與價值觀：通過例題中的實際問題的解決，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)來源于生活又服務(wù)于生活；通過例題中函數(shù)求導(dǎo)的講解，使學(xué)生明白事物是相互聯(lián)系的；通過對新知的理解，使學(xué)生體會到成功的喜悅，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣【教學(xué)重點與

2、難點】1.重點：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則2.難點： 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則的應(yīng)用【教學(xué)手段】1.多媒體幻燈片；2.使用“學(xué)生課堂活動活頁”.【教學(xué)過程】教學(xué)內(nèi)容設(shè)計意圖一、新課引入上節(jié)課學(xué)習(xí)了5個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，但是利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，其過程非常復(fù)雜！所以，我們都希望有一些現(xiàn)成的導(dǎo)數(shù)公式可以直接使用今天，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，課本就給出了如下幾個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，同學(xué)們只要熟記，并能夠利用它們求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可引入基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.（學(xué)生閱讀課本第14頁表格，并完成“活頁”，教師再用幻燈片展示）基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表如下：函數(shù)導(dǎo)

3、數(shù)1.2.3.4.5.6.7.8.給出基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，并要求學(xué)生熟記.師：（1）上節(jié)課我們已經(jīng)用定義求得，常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0；（2）公式2是冪函數(shù)的求導(dǎo)，的導(dǎo)數(shù)是把拿到前面做系數(shù)，指數(shù)要減1；（3）由公式3和公式4得，的導(dǎo)數(shù)為、的導(dǎo)數(shù)為負(fù)的；（4）公式5是指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)，的導(dǎo)數(shù)為乘以；而公式6可以看成公式5的特殊情況，這個函數(shù)非常特殊，其函數(shù)和導(dǎo)數(shù)是一樣的；（5）公式7是對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)，的導(dǎo)數(shù)為；而公式8可以看成公式7的特殊情況，的導(dǎo)數(shù)是引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析公式的特征和聯(lián)系，加深對公式的記憶.二、例題講解例1.假設(shè)某國家在20年期間的年均通貨膨脹率為，物價（單位：元）與時間（單位：年）有

4、如下函數(shù)關(guān)系，其中為時的物價假定某種商品的，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少（精確到0.01）？應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的定義和求導(dǎo)公式解決實際問題.通貨膨脹就是貨幣貶值，物價隨之上漲. “在第10個年頭的價格上漲的速度”就是函數(shù)在處的瞬時變化率，即函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù). 因為，所以，即閱讀題目并分析、理解題意，建立數(shù)學(xué)模型.解：根據(jù)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表，有所以（元/年）因此，在第10個年頭，這種商品的價格約為0.08元/年的速度上漲運用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，解決實際問題.思考：若上式中某商品的，那么在第10個年頭，這種商品的價格上漲的速度大約是多少（精確到0.01）？當(dāng)時，. 這時，求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)可

5、以看成求函數(shù)與乘積的導(dǎo)數(shù). 我們根據(jù)剛剛8個求導(dǎo)公式，不能解決這個問題. 下面“導(dǎo)數(shù)運算法則”可以幫助我們解決兩個函數(shù)加、減、乘、除的求導(dǎo)問題通過該問題，使學(xué)生認(rèn)識到引入導(dǎo)數(shù)的運算法則的必要性.運算法則（學(xué)生閱讀課本第14頁表格，并完成“活頁”）導(dǎo)數(shù)的運算法則123給出導(dǎo)數(shù)的運算法則，并要求學(xué)生熟記.1.兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)；2.兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3.兩個函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)乘分母，減去分母的導(dǎo)數(shù)乘分子，再除以分母的平方觀察導(dǎo)數(shù)的運算法則，幫助學(xué)生記憶.思考：常數(shù)與函數(shù)的積的

6、導(dǎo)數(shù)是什么？根據(jù)“求導(dǎo)的乘法法則”有，由此我們得到一個常用的結(jié)論，常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：運用導(dǎo)數(shù)的乘法法則，得出重要推論，方便日后應(yīng)用于是，在思考題中，若，則（元/年），即在第10個年頭，這種商品的價格約為0.40元/年的速度上漲運用導(dǎo)數(shù)的運算法則.例2根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運算法則，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：因為，所以，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是進一步鞏固導(dǎo)數(shù)的運算法則（幻燈片展示圖片，教師講述）隨著世界工業(yè)的進一步發(fā)展，世界環(huán)境問題日益凸顯，有些地區(qū)干旱缺水，有些地區(qū)水質(zhì)受到污染，遇到有水不能用的尷尬.因此目前，水的凈化已經(jīng)越來越受到關(guān)注. 下面這道例題就是關(guān)于水凈化與所需凈化

7、費用的問題.通過圖片和語言，使學(xué)生身臨其境，并培養(yǎng)學(xué)生自覺建立數(shù)學(xué)模型，解決實際問題的意識.例3日常生活中的飲水通常是經(jīng)過凈化的隨著水純凈度的提高，所需凈化費用不斷增加已知將1噸水凈化到純凈度為時所需費用（單位：元）為求凈化到下列純凈度時，所需凈化費用的瞬時變化率：（1）； （2）運用導(dǎo)數(shù)的運算法則，解決實際問題.解：凈化費用的瞬時變化率就是凈化費用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）因為，所以，純凈度為時，費用的瞬時變化率是52.84元/噸（2）因為，所以，純凈度為時，費用的瞬時變化率是1321元/噸使學(xué)生進一步掌握導(dǎo)數(shù)的運算法則，加強學(xué)生運用法則解決實際問題的能力.函數(shù)在某點處導(dǎo)數(shù)的大小表示函數(shù)在此點附近變化

8、的快慢由上述計算可知，它表示純凈度為左右時凈化費用的瞬時變化率，大約是純凈度為左右時凈化費用的瞬時變化率的25倍這說明，水的純凈度越高，需要的凈化費用就越多，而且凈化費用增加的速度也越快由此可見，函數(shù)求導(dǎo)在實際生活中，有著非常重要的地位，是考察事物變化快慢的重要參考.知識升華，讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)與生活密切相關(guān)；并利用這個機會加強學(xué)生的環(huán)保意識，培養(yǎng)學(xué)生的社會責(zé)任感.三課堂練習(xí)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）；（2）；（3）參考答案：（1）（2）（3）觀察學(xué)生對基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則的掌握情況，并及時糾正錯誤.四小結(jié)回顧1.八個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，都是在導(dǎo)數(shù)定義下產(chǎn)生的結(jié)論，它們是求導(dǎo)數(shù)的