數(shù)學(xué)建模模型應(yīng)用--灰色理論

1、灰色理論1、灰關(guān)聯(lián)理論2、灰色預(yù)測模型教師：郭文艷1.1、灰關(guān)聯(lián)分析方法概述n灰色系統(tǒng)是既含有已知信息，又含有未知信息或非確知信息的系統(tǒng)?；谊P(guān)聯(lián)分析是依據(jù)灰數(shù)列間幾何相似的序化分析與關(guān)聯(lián)測度，來量化不同層次中多個序列相對某一級別的關(guān)聯(lián)性，其實質(zhì)為灰色系統(tǒng)中多個序列之間接近度的序列分析，這種接近度稱為數(shù)據(jù)間的關(guān)聯(lián)度。1.1、灰關(guān)聯(lián)分析方法概述關(guān)聯(lián)度愈高，說明該樣本序列隸屬的關(guān)系愈貼近，這是綜合評價的信息和依據(jù)。在數(shù)學(xué)理論上，它反映了離散數(shù)列空間的接近度，所以是一種幾何分析法?；谊P(guān)聯(lián)度分析的基本思想是根據(jù)離散數(shù)據(jù)之間幾何相似程度來判斷關(guān)聯(lián)性大小，并進行排序。n在此，我們通過兩個實例給出灰關(guān)聯(lián)分析方

2、法的過程1.2、灰關(guān)聯(lián)分析的步驟n應(yīng)用灰關(guān)聯(lián)分析，一般包括下列的計算和分析步驟：1）確定參考序列和比較序列；2）作原始數(shù)據(jù)變換；3）求絕對差序列；4）計算關(guān)聯(lián)系數(shù)；1.2、灰關(guān)聯(lián)分析的步驟5）計算關(guān)聯(lián)度；6）排關(guān)聯(lián)序；7）列關(guān)聯(lián)矩陣進行優(yōu)勢分析。1.2.1 數(shù)據(jù)變換技術(shù)n為了保證建模的質(zhì)量與系統(tǒng)分析的正確結(jié)果，對收集來的原始數(shù)據(jù)必須進行數(shù)據(jù)變換處理，使其消除量綱和具有可比性。定義1 設(shè)有序列稱映射為序列到序列的數(shù)據(jù)變換。( (1), (2), ( )xxxx n1.2.1 數(shù)據(jù)變換技術(shù)稱映射為序列 到序列 的數(shù)據(jù)變換1）初值化變換：2）均值化變換： :fxy( ( )( ),1,2,f x k

3、y kkn( )( ( )( ), (1)0(1)x kf x ky kxx1( )1( ( )( ),( )nkx kf x ky kxx kxnxy1.2.1 數(shù)據(jù)變換技術(shù)3）百分比變換：4）倍數(shù)變換：5）歸一化變換： ( )( ( )( )max ( )kx kf x ky kx k( )( ( )( ),min ( )0min ( )kkx kf x ky kx kx k00( )( ( )( ),0 x kf x ky kxx1.2.1 數(shù)據(jù)變換技術(shù)6）極差最大化變換：7）區(qū)間值化變換： ( )min ( )( ( )( )max ( )kkx kx kf x ky kx k( )m

4、in ( )( ( )( )max ( )min ( )kkkx kx kf x ky kx kx k1.2.2 變換的性質(zhì)n上述變換滿足1）當(dāng) ；2）保序性：3）保差異性：對任意的 ，有 ( )0,1,2, , ( )0 x kkn y k( )( ), ( )( ); ( )( ), ( )( )x ix jy iy jx ix jy iy j, , ,i t l j( )( )( )( )( )( )( )( )x ix ty iy tx lx jy ly j1.2.3 多指標(biāo)序列的數(shù)據(jù)變換n設(shè)有多指標(biāo)序列稱映射1111(1),(2),( )xxxx n2222(1),(2),( )xx

5、xx n(1),(2),( )mmmmxxxxn:iifxy( ( )( ),1,2,iif x ky k kn1.2.3 多指標(biāo)序列的數(shù)據(jù)變換n為序列 到序列 的數(shù)據(jù)變換。n多因素指標(biāo)的數(shù)據(jù)變換主要依賴于指標(biāo)的屬性類型，常用的屬性類型有效益型（指標(biāo)值越大越好型）、成本型（指標(biāo)值越小越好型）、固定型（指標(biāo)值越接近某固定值越好型）、區(qū)間型（指標(biāo)值越接近某固定區(qū)間越好）、偏離型（指標(biāo)值越偏離某固定值越好）、偏離區(qū)間型（指標(biāo)值越偏離某固定區(qū)間越好）等。 ixiy1.2.3 多指標(biāo)序列的數(shù)據(jù)變換n關(guān)聯(lián)分析中常用的數(shù)據(jù)變換有1）效益型： 2）成本型： ( )min( )( )max( )min( )ii

6、iiiiiix kx ky kx kx kmax( )( )( )max( )min( )iiiiiiiix kx ky kx kx k1.2.3 多指標(biāo)序列的數(shù)據(jù)變換3）固定型： 為固定值 4）區(qū)間 型： ( )a kmax( )( )( )( )( )max( )( )min( )( )iiiiiiiix ka kx ka ky kx ka kx ka k ( ), ( )b k b kmax( )( )( ),( )max ( )( ), ( )( )max( ) min( )iiiiiiiiiiikky kkx kb k b kx kkk1.2.3 多指標(biāo)序列的數(shù)據(jù)變換5）偏離 型：6

7、）偏離區(qū)間 型： ( )c k( )( )max( )( )( )max( )( )min( )( )iiiiiiiix kc kx kc ky kx kc kx kc k ( ), ( )b k b k( )max( )( ),max( )min( )( )max ( )( ),( )( )iiiiiiiiiiikky kkkkb kx kx kb k1.2.4 關(guān)聯(lián)度定義2：設(shè)為 灰關(guān)聯(lián)因子集， 為參考序列， 為比較序列， 分別為 與 的第 個點的數(shù)，01,mx xx0 xix0( ),( )ix kx k0 xixk0000(1),(2),( )xxxx n1111(1),(2),( )

8、xxxx n2222(1),(2),( )xxxx n(1),(2),( )mmmmxxxxn1.2.4 關(guān)聯(lián)度定義 為灰關(guān)聯(lián)系數(shù)。其中為絕對差， 為兩極最小差， 為兩極最大差， 為分辨系數(shù)minmax00max( ),( )( )iir x kx kk 00( )( )( )iikx kx kmin0minmin( )iikkmax0maxmax( )iikk(0,1)1.2.4 關(guān)聯(lián)度定義3：設(shè)為 指標(biāo) 的權(quán)重，滿足 ， ，定義為 對 的灰關(guān)聯(lián)度， 是序列幾何距離的一種度量。kk01k11nkk001(,)( ),( )nikikr xxr x kx k0 xix0(,)ir xx1.3

9、實例 n1.3.1 實例一：用灰關(guān)聯(lián)分析的方法分析影響呼和浩特市大氣污染的各主要因素的污染水平。n表1 1999-2003年城市大氣污染監(jiān)測數(shù)據(jù)因素 1999 20002001 20022003 大氣污染值 0.732 0.646 0.636 0.598 0.627 NO0.038 0.031 0.0420.036 0.043 TSP 0.5070.451 0.448 0.4110.1220.0480.034 0.030 0.0300.031 工業(yè)總產(chǎn)值 183.25 207.28 240.98 290.80 370.00基建投資 24.03 44.98 62.7983.44 127.22 機

10、動車數(shù)量85508 74313 85966 100554 109804 煤炭用量 175.87 175.72 183.69 277.11 521.26 沙塵天數(shù) 10 13 13 11x2SO計算步驟：（1）將城市區(qū)域大氣污染值作為參考序列 ，其他各因素作為比較因素序列 ，對各因素初值化處理，得各標(biāo)準(zhǔn)化序列表2 標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)0( ),1,5x k k ( ),1,8,1,5ix k ik( ),1,8,1,5iy k ik因素 1999 20002001 20022003 大氣污染值 10.883 0.869 0.817 0.857 NO10.816 1.105 0.9471.132 TSP 1

11、0.890 0.884 0.811 0.241 10.708 0.625 0.625 0.646 工業(yè)總產(chǎn)值 11.131 1.315 1.5872.019 基建投資 11.872 2.613 3.4725.294 機動車數(shù)量10.869 1.005 1.176 1.284 煤炭用量 10.999 1.044 1.576 2.964 沙塵天數(shù) 11.300 1.300 0.1000.1002SOx（2）由上表求絕對差。得序列 01(0,0.067,0.236,0.130,0.275)02(0,0.007,0.015,0.006,0.616)03(0,0.175,0.244,0.192,0.21

12、1)04(0,0.248,0.446,0.770,1.162)05(0,0.989,10744,2.655,4.437)06(0,0.014,0.136,0.359,0.427)07(0,0.116,0.175,0.759,2.107)08(0,0.417,0.431,0.717,0.757)minmax0,4.437（3）計算關(guān)聯(lián)系數(shù)如下：取 0.50 ( )000.5 4.4370.5 4.437j ki01(1,0.971,0.904,0.945,0.890)02(1,0.997,0.993,0.997,0.783)03(1,0.927,0.901,0.920,0.913)04(1,0.

13、899,0.833,0.742,0.656)05(1,0.692,0.560,0.455,0.333)06(1,0.994,0.942,0.861,0.839)07(1,0.950,0.927,0.861,0.839)08(1,0.842,0.837,0.756,0.746)（4）計算關(guān)聯(lián)度n取 ，比較因素和參考因素的關(guān)聯(lián)度為 123450.25010111( )0.9425krk5020211( )0.9545krk5030311( )0.9355krk5040411( )0.8265krk5050511( )0.6085krk5060611( )0.9275krk5070711( )0.8

14、275krk5080811( )0.8365krk結(jié)果分析n從結(jié)果可以看出，直接因素（前3個）關(guān)聯(lián)度的排序為 ，說明在城市大氣環(huán)境的影響因素中，TSP是主要因素；在間接因素（后5個）中，關(guān)聯(lián)度的排序為 ，機動車數(shù)量是主要的間接影響因素。020103rrr0608070405rrrrr1.3.2 實例二：基于灰度關(guān)聯(lián)的多傳感器融合目標(biāo)識別方法 n目標(biāo)識別的基本任務(wù)就是利用樣本的特征和目標(biāo)庫中已知目標(biāo)的特征的比較，將待識別樣本劃分為相應(yīng)的目標(biāo)類型。目標(biāo)識別技術(shù)是軍用指揮自動化系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)之一，一直是該領(lǐng)域的研究重點和熱點。3.2.1單傳感器灰色識別原理n設(shè)目標(biāo)庫 中有 個目標(biāo)，每個目標(biāo)有 個屬性

15、。記 ， 表示第 個目標(biāo)， 表示第 個目標(biāo)的第 個屬性。在灰色關(guān)聯(lián)分析理論中，目標(biāo)庫中的每一個目標(biāo)稱為比較序列 。傳感器收到的待識別的目標(biāo)記為 ，稱為參考序列， 。 Xmnix( (1),(2),( )iiixxx n(1,2,)ix imi( )ix k(1,2, )knikix0 x0 x000(1),(2),( )xxx n3.2.1單傳感器灰色識別原理n經(jīng)過數(shù)據(jù)處理后計算 ，用于反映了待識別目標(biāo)的第 個屬性與第 個目標(biāo)類的第 個屬性的匹配程度。然后計算 對 的灰關(guān)聯(lián)度 ，反映了待識別目標(biāo)與第 個目標(biāo)的相似程度。n基于灰關(guān)聯(lián)分析的識別原理為計算待識別目標(biāo)與目標(biāo)庫中各目標(biāo)的灰關(guān)聯(lián)度，按照灰

16、色系統(tǒng)分辨原理，對關(guān)聯(lián)度進行 0( ),( )ir x kx kkik0 xix0(,)ir xxi3.2.1多傳感器融合灰色識別原理 n排序，若 ，則判斷認(rèn)為目標(biāo)的類型為 所對應(yīng)的目標(biāo)類型。n多傳感器融合灰色識別原理n設(shè)有 個傳感器在同一時間內(nèi)對同一個目標(biāo)進行監(jiān)測，第 個傳感器收到的待識別目標(biāo)信息記為n多傳感器灰色識別融合原理可敘述如下： 000max (,)iiirr xx0iNj000(1),(2),( )jjjxxxn0 jx3.2.1多傳感器融合灰色識別原理n對1）計算第 個傳感器收到的待識別目標(biāo)的第 個指標(biāo)與目標(biāo)庫中第 個目標(biāo)的關(guān)聯(lián)系數(shù) ；2）計算 ，得向量 （ ）3）設(shè)第 個傳感

17、器的權(quán)重為 ， 1,2,jNjk0( ),( )jir xkx ki0(,)jir xx(1,2,)imjr0(,)jir xx1 mjj),(0ijjixxrr3.2.1多傳感器融合灰色識別原理n求矩陣 （ ） 的加權(quán)1范數(shù) ，則斷定多傳感器融合識別的結(jié)果為目標(biāo)屬于第 類。1.3.3 應(yīng)用根據(jù)不同目標(biāo)類型在空中飛行時地面防空系統(tǒng)雷達所能探測的指標(biāo)和雷達系統(tǒng)校飛中所采用的指標(biāo),我們選取空中飛行器RjirmN0iR1RNjjijmir11max0i1.3.3 應(yīng)用n 、高度 、機動能力 （加速度）、雷達波形大小 、雷達回波強弱 這5項指標(biāo)，建立目標(biāo)類型的參數(shù)模板。設(shè)有兩個傳感器在同一時刻對同一目

18、標(biāo)進行觀察，觀測值如表3所示。n表3 目標(biāo)類型的參數(shù)模板及待識別的目標(biāo)參數(shù)vH1P2P戰(zhàn)略轟炸機B52 250 10000 1 0.8 0.8 殲擊機F16 280 10000 2.50.50.5武裝直升機 100 64002.00.20.2隱形戰(zhàn)斗機F117A22010000 1.00.10.1傳感器1的觀測數(shù)據(jù)23810000 1.00.8 0.7傳感器2的觀測數(shù)據(jù) 24010000 1.020.8 0.721x2x3xH1P2P1.3.3 應(yīng)用n將各傳感器的觀測數(shù)據(jù)作為參考序列，各機型參數(shù)作為比較序列，對各參數(shù)值進行初值化處理，得到無量綱序列表4。戰(zhàn)略轟炸機B52 140 0.004 0

19、.0032 0.0032 殲擊機F16 135.71 0.0089 0.0018 0.0018 武裝直升機 1 64 0.02 0.002 0.002 隱形戰(zhàn)斗機F117A145.45 0.0045 0.00045 0.00045 傳感器1的觀測數(shù)據(jù)142.017 0.0042 0.0034 0.0029傳感器2的觀測數(shù)據(jù) 141.67 0.00425 0.0033 0.003 1x2x3xH1P2P1.3.3 應(yīng)用由上表計算絕對差，取分辨系數(shù) 0.5，各指標(biāo)的權(quán)重相同， 由式（1）計算灰關(guān)聯(lián)系數(shù)，由式（2）計算灰關(guān)聯(lián)度得 （0.9690，0.9269，0.8663，0.9523），（0.97

20、40，0.9303，0.8663，0.9493），灰關(guān)聯(lián)度矩陣為1r2r21rrR0.96090.92690.86630.95230.97400.93030.86630.94931.3.3 應(yīng)用n由單傳感器識別原理，可判定傳感器1和傳感器2觀測到的目標(biāo)為戰(zhàn)略轟炸機，但由于傳感器1的灰關(guān)聯(lián)度中，最大值和次大值之間僅差0.01左右，所以由傳感器1判定為戰(zhàn)略轟炸機的可信度并不高，現(xiàn)設(shè)傳感器2的觀測精度高，取其權(quán)重為 ，傳感器1的權(quán)重為 ，由多傳感器融合識別原理，計算矩陣 的列加權(quán)和得 （ 0.972，0.9292，0.8663，0.9503），故 的加權(quán)1范數(shù)為 0.972，即多傳感器融合識別的結(jié)果

21、為戰(zhàn)略轟炸機。3231RcRR1R1R二、灰色模型n2.1 灰色模型概述n從灰色系統(tǒng)中抽象出來的模型?；疑到y(tǒng)是既含有已知信息，又含有未知信息或非確知信息的系統(tǒng)，這樣的系統(tǒng)普遍存在。研究灰色系統(tǒng)的重要內(nèi)容之一是如何從一個不甚明確的、整體信息不足的系統(tǒng)中抽象并建立起一個模型，該模型能使灰色系統(tǒng)的因素由不明確到明確，由知之甚少發(fā)展到知之較多提供研究基礎(chǔ)?；疑到y(tǒng)理論是控制論的觀點和方法延伸到社會、經(jīng)濟領(lǐng)域的產(chǎn)物，也是自動控制科學(xué)與運籌學(xué)數(shù)學(xué)方法相結(jié)合的結(jié)果。2.1 灰色模型概述n如果一個系統(tǒng)具有層次、結(jié)構(gòu)關(guān)系的模糊性，動態(tài)變化的隨機性，指標(biāo)數(shù)據(jù)的不完備或不確定性，則稱這些特為灰色性。具有灰色性的系

22、統(tǒng)稱為灰色系統(tǒng)灰色系統(tǒng)。在灰色系統(tǒng)理論中，利用較少的或不確切的表示灰色系統(tǒng)行為特征的原始數(shù)據(jù)序列作生成變換后建立的，用以描述灰色系統(tǒng)內(nèi)部事物連續(xù)變化過程的模型，稱為灰色模型，簡稱GM模型模型2.2 GM（1,1）模型n2.2.1GM（1,1）建立n灰色系統(tǒng)理論的實質(zhì)是將無規(guī)律的原始數(shù)據(jù)進行累加生成，得到規(guī)律性較強的生成數(shù)列后再重新建模。由生成模型得到的數(shù)據(jù)再通過累加生成的逆運算累減生成得到還原模型，再還原模型作為預(yù)測模型?；疑Ｐ褪穷A(yù)測工作的基礎(chǔ)模型。2.2.1GM（1,1）建立n記 為原始序列n 為由 經(jīng)過一次累加生成的序列，其中 ， n 表示 的均值生成序列， )(),2(),1 ()0(

23、)0()0()0(nxxxx)(),2(),1 ()1()1()1()1(nxxxx)0(xkiixkx1)0()1()()(nk, 2 , 1)(),2(),1 ()1 ()1 ()1 ()1 (nzzzz)1(x)() 1(21)()1()1()1(kxkxkznk, 3 , 22.2.1GM（1,1）建立n命題1： 序列 的GM（1,1）模型定義為則參數(shù) 的表達式為 )0(xbkazkx)()()1()0(nk, 3 , 2ba,1()TTaB BB Yb (1)(1)(1)(2)1(3)1( )1zzBzn(0)(0)(0)(2)(3)( )xxYxn2.2.2新息改進GM（1,1）模

24、型n設(shè) ，其參數(shù) 為的GM（1,1）模型如上n 為系統(tǒng)最新信息，由于它與預(yù)測時間最為接近，因而對系統(tǒng)特征的研究更具價值，記 ，由建立的GM（1,1）模型稱為新息GM（1,1）模型。n該模型的邊界條件為 )1(),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxxba,)() 0(nx)()0()0()0(1nxxx) 1 () 1 () 1 ()0()1()1(xxx2.2.2新息改進GM（1,1）模型n若將含系統(tǒng)最新信息的條件作為邊界條件，即 ，得到如下模型 n定義2.1： 稱為新息改進GM（1,1）模型。)()()1()1(nxnx)()()()()1 ()1 (1)1 (1)0(nxnxb

25、kzakxnk3 , 22.2.2新息改進GM（1,1）模型n命題2： 新息改進GM（1,1）模型的參數(shù)估計為nkkznkxDa2)1(1)0(11)() 1()(1nkkzkxDb21)1(1)0(11)()(122)1(1)(nkkznkkz2)1(1)(2111) 1( nD2.2.3灰色模型的建模步驟n（1）級比檢驗、建模可行性分析。n對給定序列 ，能否建立高精度的GM（1,1）模型，一般可用 的級比 的大小與所屬區(qū)間來判斷。n設(shè) ， ，若 ，則可GM（1,1）建模。 (0)x(0)x0( )k)(),2(),1 ()0()0()0()0(nxxxx0(0)(0)( )(1)( )kx

26、kxk22011( ),nnkee2.2.3灰色模型的建模步驟n（2）數(shù)據(jù)變換處理。對級比檢驗不合格的序列，經(jīng)過平移變換、對數(shù)變換、方根變換等進行變換。n（3）建立GM（1,1）模型n（4）模型檢驗。n1）殘差檢驗： 為由模型得到的估計值(0)( )xk(0)(0)(0)( )( )( )100%( )xkxkkxk（4）模型檢驗n一般要求 ，最好 ；一般要求 ，最好 。n2）后驗差檢驗：設(shè) 為原始序列， 為模型序列， 為殘差序列， 的均值和方差分別0(1() 100%pavg( )20%k( )10%k080%p 090%p (0)x(0) x(0)(0)(0)( )( )( ),q kxk

27、xk q(0)x(0)2(0)211111( ),( )nnkkxxkSxkxnn（4）模型檢驗n 的均值和方差分別為n后驗差比值和小誤差頻率分別為，n（5）預(yù)報(0)q2221111( ),( ( ) ,nnkkqq kSq kqnnnn21SCS1 ( )0.6745 PP q kqS的均值和方差分別為，2.2.5實例n1.GM（1.1）模型n某城市道路交通噪聲平均級數(shù)數(shù)據(jù)為 （71.1，72.4，72.4，72.1，71.4，72.0，71.6）（1）求級比：)0(x0(0)(0)( )(1)( )kxkxk0(0.9820,1.0000,1.0042,1.0098,0.9917,1.0

28、059)1.GM（1.1）模型n所有 ，可作GM（1,1）建模n（2）對原始數(shù)據(jù)作一次累加0( )0.7788,1.2840k(1)(0)(1)(1)71.1xx(1)(1)(0)(2)(1)(2)143.5xxx(1)(1)(0)(3)(2)(3)215.9xxx(1)(1)(0)(4)(3)(4)288xxx(1)(1)(0)(5)(4)(5)359.4xxx(1)(1)(0)(6)(5)(6)431.4xxx(1)(1)(0)(7)(6)(7)503xxx1.GM（1.1）模型n構(gòu)造數(shù)據(jù)矩陣,B Y(1)(1)(1)1(2)(1)(2)107.32zxx(1)(1)(1)1(3)(2)(

29、3)179.72zxx(1)(1)(1)1(4)(3)(4)251.952zxx(1)(1)(1)1(5)(4)(5)323.72zxx(1)(1)(1)1(6)(5)(6)394.42zxx(1)(1)(1)1(7)(6)(7)467.22zxx1.GM（1.1）模型107.31179.71251.951323.71359.41467.21B72.472.472.171.472.071.6Y172.6572696()0.00234379TTaB BB Yb 1.GM（1.1）模型n（3）建立模型n白化方程為n取 ，n得時間響應(yīng)函數(shù)(0)(1)( )0.00234379( )72.6572696xkzk(1)(1)0.0023437972.6572696dxxdt(1)(0)(0)(1)71.4xx1.GM（1.1）模型(1)(1)xk (1)(0)akbbxeaa0.00234379ke=-30928.85259 +30999.95259 （4）求生成序列 及模型還原值令， ,6，由上面的時間響應(yīng)函數(shù)計算 ，取 (1)(1)xk (0)(1)xk 5 , 4 , 3 , 2 , 1k(1) x(1)(0)(0)(1)(1)(1)71.4xxx1.GM（1.1）模型n由 ，取 ，7，得（5）模型檢驗見表5表5 GM（1,1）模型檢驗表(0