高考物理一輪復(fù)習(xí)練習(xí)：5.1《功　功率》(含答案詳解)

1、配餐作業(yè)配餐作業(yè)功功功率功率見學(xué)生用書見學(xué)生用書 P335A 組組基礎(chǔ)鞏固題基礎(chǔ)鞏固題1通過認(rèn)真學(xué)習(xí)，同學(xué)們掌握了豐富的物理知識。下列說法正通過認(rèn)真學(xué)習(xí)，同學(xué)們掌握了豐富的物理知識。下列說法正確的是確的是 ()A汽車在光滑的水平面上運動時汽車在光滑的水平面上運動時，駕駛員通過操作方向盤駕駛員通過操作方向盤，可可以使汽車轉(zhuǎn)彎以使汽車轉(zhuǎn)彎B在某一過程中，只要物體的位移為在某一過程中，只要物體的位移為 0，任何力對該物體所做，任何力對該物體所做的功就為的功就為 0C物體的速度為物體的速度為 0 時，其加速度可能不為時，其加速度可能不為 0D靜摩擦力對受力物體可以做正功靜摩擦力對受力物體可以做正功，滑

2、動摩擦力對受力物體一滑動摩擦力對受力物體一定做負(fù)功定做負(fù)功解析解析汽車在水平面上轉(zhuǎn)彎時汽車在水平面上轉(zhuǎn)彎時， 向心力的來源是靜摩擦力向心力的來源是靜摩擦力， 所以所以在光滑水平面上在光滑水平面上，通過操作方向盤通過操作方向盤，不能使汽車轉(zhuǎn)彎不能使汽車轉(zhuǎn)彎，A 項錯誤項錯誤；B項容易片面地理解為項容易片面地理解為 WFx，因為位移，因為位移 x0，所以，所以 W0，但該公，但該公式只適用于恒力做功式只適用于恒力做功， 例如汽車?yán)@操場一圈回到出發(fā)點例如汽車?yán)@操場一圈回到出發(fā)點， 雖然汽車的雖然汽車的位移為零位移為零， 但牽引力對汽車做了功但牽引力對汽車做了功， 牽引力做的功為牽引力乘以路程牽引力做

3、的功為牽引力乘以路程，B 項錯誤項錯誤； 物體的速度與加速度沒有必然聯(lián)系物體的速度與加速度沒有必然聯(lián)系， 例如汽車啟動的瞬間例如汽車啟動的瞬間，雖然汽車的速度為雖然汽車的速度為 0，但加速度不為，但加速度不為 0，C 項正確；摩擦力可以對物項正確；摩擦力可以對物體做正功、做負(fù)功或不做功，體做正功、做負(fù)功或不做功，D 項錯誤。項錯誤。答案答案C2.如圖所示如圖所示，木板可繞固定水平軸木板可繞固定水平軸 O 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動。木板從水平位置木板從水平位置 OA緩慢轉(zhuǎn)到緩慢轉(zhuǎn)到 OB 位置位置，木板上的物塊始終相對于木板靜止木板上的物塊始終相對于木板靜止。在這一過程在這一過程中，物塊的重力勢能增加了中，物塊

4、的重力勢能增加了 2 J。用。用 N 表示物塊受到的支持力，用表示物塊受到的支持力，用 f表示物塊受到的摩擦力。在此過程中，以下判斷正確的是表示物塊受到的摩擦力。在此過程中，以下判斷正確的是()AN 和和 f 對物塊都不做功對物塊都不做功BN 對物塊做功為對物塊做功為 2 J，f 對物塊不做功對物塊不做功CN 對物塊不做功，對物塊不做功，f 對物塊做功為對物塊做功為 2 JDN 和和 f 對物塊所做功的代數(shù)和為零對物塊所做功的代數(shù)和為零解析解析由做功的條件可知由做功的條件可知： 只要有力只要有力， 并且物塊沿力的方向有位并且物塊沿力的方向有位移，那么該力就對物塊做功。由受力分析知，支持力移，那

5、么該力就對物塊做功。由受力分析知，支持力 N 做正功，但做正功，但摩擦力摩擦力 f 方向始終和速度方向垂直方向始終和速度方向垂直，所以摩擦力不做功所以摩擦力不做功。由動能定理由動能定理知知 WNWG0，故支持力，故支持力 N 做功為做功為 2 J。答案答案B3(多選多選)中國版中國版“野牛野牛”級重型氣墊船，自重達(dá)級重型氣墊船，自重達(dá) 540 噸，最高噸，最高時速為時速為 108 km/h，裝有裝有 M70 大功率燃?xì)廨啓C(jī)大功率燃?xì)廨啓C(jī)，該機(jī)額定輸出功率該機(jī)額定輸出功率為為 8 700 kW。假設(shè)。假設(shè)“野牛野?！奔壷匦蜌鈮|船在海面航行過程所受的阻級重型氣墊船在海面航行過程所受的阻力力 f 與

6、速度與速度 v 成正比，即成正比，即 fkv。下列說法正確的是。下列說法正確的是()A“野牛野?！奔壷匦蜌鈮|船的最大牽引力為級重型氣墊船的最大牽引力為 2.9105NB在額定輸出功率下以最高時速航行時在額定輸出功率下以最高時速航行時，氣墊船所受的阻力氣墊船所受的阻力為為2.9105NC以最高時速一半的速度勻速航行時以最高時速一半的速度勻速航行時，氣墊船發(fā)動機(jī)的輸出功氣墊船發(fā)動機(jī)的輸出功率為率為 4 350 kWD由題中所給數(shù)據(jù)，能計算阻力由題中所給數(shù)據(jù)，能計算阻力 f 與速度與速度 v 的比值的比值 k解析解析由由 PFv 可知當(dāng)輸出功率最大且勻速運動時牽引力與阻可知當(dāng)輸出功率最大且勻速運動時

7、牽引力與阻力相等，此時力相等，此時 Ff2.9105N，在此之前牽引力都比這一值大，在此之前牽引力都比這一值大，A項錯項錯， B 項對項對； 因為氣墊船所受阻力與速度成正比因為氣墊船所受阻力與速度成正比， 因此因此 PFvkv2，即以最大速度的一半勻速航行時，牽引力的功率為即以最大速度的一半勻速航行時，牽引力的功率為 2 175 kW，C 項項錯；當(dāng)輸出功率最大且勻速運動時牽引力與阻力相等，由錯；當(dāng)輸出功率最大且勻速運動時牽引力與阻力相等，由 PFvkv2可求可求 k879103Nsm1，D 項對。項對。答案答案BD4(多選多選)一質(zhì)點在光滑水平面上處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)對該質(zhì)點施一質(zhì)點在光滑水平面

8、上處于靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)對該質(zhì)點施加水平力加水平力 F， 力力 F 隨時間隨時間 t 按如圖所示的正弦規(guī)律變化按如圖所示的正弦規(guī)律變化， 力力 F 的方向的方向始終在同一直線上，在始終在同一直線上，在 04 s 內(nèi)，下列說法正確的是內(nèi)，下列說法正確的是()A第第 2 s 末，質(zhì)點距離出發(fā)點最遠(yuǎn)末，質(zhì)點距離出發(fā)點最遠(yuǎn)B第第 2 s 末，質(zhì)點的動能最大末，質(zhì)點的動能最大C02 s 內(nèi)，力內(nèi)，力 F 瞬時功率一直增大瞬時功率一直增大D04 s 內(nèi)，力內(nèi)，力 F 做功為零做功為零解析解析從圖象可以看出在前從圖象可以看出在前 2 s 力的方向和運動的方向相同力的方向和運動的方向相同，物物體經(jīng)歷了一個加速度逐漸

9、增大的加速運動和加速度逐漸減小的加速體經(jīng)歷了一個加速度逐漸增大的加速運動和加速度逐漸減小的加速運動，第運動，第 2 s 末，拉力末，拉力 F 方向反向，速度方向不變，所以方向反向，速度方向不變，所以 2 s 后，質(zhì)后，質(zhì)點離出發(fā)點距離還在增大點離出發(fā)點距離還在增大， 故故 A 項錯誤項錯誤； 第第 2 s 末末， 拉力拉力 F 方向反向方向反向，速度方向不變速度方向不變，物體要做減速運動物體要做減速運動，所以第所以第 2 s 末末，質(zhì)點的速度最大質(zhì)點的速度最大，動能最大，故動能最大，故 B 項正確；項正確；01 s 內(nèi)，速度在增大，力內(nèi)，速度在增大，力 F 增大，根據(jù)增大，根據(jù)瞬時功率瞬時功率

10、 PFv 得力得力 F 瞬時功率一直增大瞬時功率一直增大，12 s 內(nèi)內(nèi)，速度在增大速度在增大，但是隨時間變化速度增大變慢，而力但是隨時間變化速度增大變慢，而力 F 隨時間減小變快，所以力隨時間減小變快，所以力 F瞬時功率有減小的過程瞬時功率有減小的過程，故故 C 項錯誤項錯誤；04 s 內(nèi)內(nèi)，初末速度都為零初末速度都為零，根據(jù)動能定理得合力做功為零，所以力根據(jù)動能定理得合力做功為零，所以力 F 做功為零，故做功為零，故 D 項正確。項正確。答案答案BD5(多選多選)如圖所示，光滑水平地面上固定一帶有光滑定滑輪的如圖所示，光滑水平地面上固定一帶有光滑定滑輪的豎直桿，用輕繩一端系著小滑塊，另一端

11、繞過定滑輪，現(xiàn)用恒力豎直桿，用輕繩一端系著小滑塊，另一端繞過定滑輪，現(xiàn)用恒力 F1水平向左拉滑塊的同時水平向左拉滑塊的同時，用恒力用恒力 F2拉右側(cè)繩端拉右側(cè)繩端，使滑塊從使滑塊從 A 點由靜點由靜止開始向右運動止開始向右運動，經(jīng)過經(jīng)過 B 點后到達(dá)點后到達(dá) C 點點，若若 ABBC，則滑塊則滑塊()A從從 A 點至點至 B 點點 F2做的功等于從做的功等于從 B 點至點至 C 點點 F2做的功做的功B從從 A 點至點至 B 點點 F2做的功小于從做的功小于從 B 點至點至 C 點點 F2做的功做的功C從從 A 點至點至 C 點點 F2做的功可能等于滑塊克服做的功可能等于滑塊克服 F1做的功做

12、的功D從從 A 點至點至 C 點點 F2做的功可能大于滑塊克服做的功可能大于滑塊克服 F1做的功做的功解析解析由題意知，滑塊從由題意知，滑塊從 A 點至點至 B 點時右側(cè)繩端的位移大于滑點時右側(cè)繩端的位移大于滑塊從塊從 B 點至點至 C 點時右側(cè)繩端的位移，點時右側(cè)繩端的位移，F(xiàn)2是恒力，則滑塊從是恒力，則滑塊從 A 點至點至 B點點 F2做的功大于從做的功大于從 B 點至點至 C 點點 F2做的功做的功，A、B 項錯誤項錯誤；滑塊從滑塊從 A點至點至 C 點過程中，可能先加速后減速，滑塊在點過程中，可能先加速后減速，滑塊在 C 點速率大于或等于點速率大于或等于零，根據(jù)動能定理得知，滑塊從零，

13、根據(jù)動能定理得知，滑塊從 A 點運動到點運動到 C 點過程中動能的變化點過程中動能的變化量大于或等于零量大于或等于零，總功大于或等于零總功大于或等于零，則從則從 A 點至點至 C 點點 F2做的功大做的功大于或等于滑塊克服于或等于滑塊克服 F1做的功，做的功，C、D 項正確。項正確。答案答案CD6(多選多選)如圖所示，輕繩一端受到大小為如圖所示，輕繩一端受到大小為 F 的水平恒力作用，的水平恒力作用，另一端通過定滑輪與質(zhì)量為另一端通過定滑輪與質(zhì)量為 m、 可視為質(zhì)點的小物塊相連可視為質(zhì)點的小物塊相連。 開始時繩開始時繩與水平方向的夾角為與水平方向的夾角為。當(dāng)小物塊從水平面上的當(dāng)小物塊從水平面上

14、的 A 點被拖動到水平面點被拖動到水平面上的上的 B 點時，位移為點時，位移為 L，隨后從，隨后從 B 點沿斜面被拖動到定滑輪點沿斜面被拖動到定滑輪 O 處，處，BO 間距離也為間距離也為 L。 小物塊與水平面及斜面間的動摩擦因數(shù)均為小物塊與水平面及斜面間的動摩擦因數(shù)均為， 若若小物塊從小物塊從 A 點運動到點運動到 O 點的過程中點的過程中，F(xiàn) 對小物塊做的功為對小物塊做的功為 WF，小物小物塊在塊在 BO 段運動過程中克服摩擦力做的功為段運動過程中克服摩擦力做的功為 Wf，則以下結(jié)果正確的，則以下結(jié)果正確的是是()AWFFL(cos1)BWF2FLcosCWfmgLcos2DWfFLmgL

15、sin2解析解析小物塊從小物塊從 A 點運動到點運動到 O 點，拉力點，拉力 F 的作用點移動的距的作用點移動的距離離x2Lcos，所以拉力所以拉力 F 做的功做的功 WFFx2FLcos，A 項錯誤項錯誤，B 項項正確；由幾何關(guān)系知斜面的傾角為正確；由幾何關(guān)系知斜面的傾角為 2，所以小物塊在，所以小物塊在 BO 段受到的段受到的摩擦力摩擦力 fmgcos2， 則則 WffLmgLcos2， C 項正確項正確， D 項錯誤項錯誤。答案答案BC7當(dāng)前我國當(dāng)前我國“高鐵高鐵”事業(yè)發(fā)展迅猛。假設(shè)一輛高速列車在機(jī)車事業(yè)發(fā)展迅猛。假設(shè)一輛高速列車在機(jī)車牽引力和恒定阻力作用下，在水平軌道上由靜止開始啟動，

16、其牽引力和恒定阻力作用下，在水平軌道上由靜止開始啟動，其 vt圖象如圖所示，已知在圖象如圖所示，已知在 0t1時間內(nèi)為過原點的傾斜直線，時間內(nèi)為過原點的傾斜直線，t1時刻達(dá)時刻達(dá)到額定功率到額定功率 P，此后保持功率，此后保持功率 P 不變，在不變，在 t3時刻達(dá)到最大速度時刻達(dá)到最大速度 v3，以后勻速運動。下述判斷正確的是以后勻速運動。下述判斷正確的是()A從從 0 至至 t3時間內(nèi)，列車一直做勻加速直線運動時間內(nèi)，列車一直做勻加速直線運動Bt2時刻的加速度大于時刻的加速度大于 t1時刻的加速度時刻的加速度C在在 t3時刻以后，機(jī)車的牽引力為零時刻以后，機(jī)車的牽引力為零D該列車所受的恒定阻

17、力大小為該列車所受的恒定阻力大小為Pv3解析解析0t1時間內(nèi)時間內(nèi)，列車做勻加速運動列車做勻加速運動，t1t3時間內(nèi)時間內(nèi)，加速度加速度變小變小，故故 A、B 項錯項錯；t3以后列車做勻速運動以后列車做勻速運動，牽引力等于阻力牽引力等于阻力，故故C 項錯；勻速運動時項錯；勻速運動時 fF牽牽Pv3，故，故 D 項正確。項正確。答案答案D8一物體在粗糙的水平面上受到水平拉力作用，在一段時間內(nèi)一物體在粗糙的水平面上受到水平拉力作用，在一段時間內(nèi)的速度隨時間變化情況如圖所示的速度隨時間變化情況如圖所示。 則拉力的功率隨時間變化的圖象可則拉力的功率隨時間變化的圖象可能是能是(g 取取 10 m/s2)

18、()解析解析由圖知在由圖知在 0t0時間內(nèi)時間內(nèi)， 物體做初速度為零的勻加速運動物體做初速度為零的勻加速運動，vat； 由牛頓第二定律由牛頓第二定律得得Ffma， 則拉力的功則拉力的功率率PFv(fma)v(fma)at；在在 t0時刻以后時刻以后，物體做勻速運動物體做勻速運動，v 不變不變，則則 Ff，PFvfv，P 不變，故不變，故 D 項正確。項正確。答案答案DB 組組能力提升題能力提升題9列車在空載情況下以恒定功率列車在空載情況下以恒定功率 P 經(jīng)過一平直的路段經(jīng)過一平直的路段，通過某通過某點時速率為點時速率為 v， 加速度大小為加速度大小為 a1； 當(dāng)列車滿載貨物再次經(jīng)過同一點時當(dāng)列

19、車滿載貨物再次經(jīng)過同一點時，功率和速率均與原來相同，但加速度大小變?yōu)楣β屎退俾示c原來相同，但加速度大小變?yōu)?a2。重力加速度大小。重力加速度大小為為 g。設(shè)阻力是列車重力的設(shè)阻力是列車重力的 k 倍倍，則列車滿載與空載時的質(zhì)量之比為則列車滿載與空載時的質(zhì)量之比為()A.kga1kga2B.kga2kga1C.P kga2 v kga1 D.P kga1 v kga2 解析解析由由 PFv、Ffma 及及 fkmg 得得 mPv(kga)，由題干由題干知空載與滿載貨物時通過同一點時功率和速率均相同知空載與滿載貨物時通過同一點時功率和速率均相同， 即即 P、 v 不變不變，所以所以m2m1kga

20、1kga2，A 項正確。項正確。答案答案A10(多選多選)兩實心小球甲和乙由同一種材料制成兩實心小球甲和乙由同一種材料制成，甲球質(zhì)量大于甲球質(zhì)量大于乙球質(zhì)量乙球質(zhì)量。 兩球在空氣中由靜止下落兩球在空氣中由靜止下落， 假設(shè)它們運動時受到的阻力與假設(shè)它們運動時受到的阻力與球的半徑成正比球的半徑成正比， 與球的速率無關(guān)與球的速率無關(guān)。 若它們下落相同的距離若它們下落相同的距離， 則則()A甲球用的時間比乙球長甲球用的時間比乙球長B甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小甲球末速度的大小大于乙球末速度的大小C甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小甲球加速度的大小小于乙球加速度的大小D甲球克服阻力做的功大于乙

21、球克服阻力做的功甲球克服阻力做的功大于乙球克服阻力做的功解析解析設(shè)設(shè) fkR，則由牛頓第二定律得，則由牛頓第二定律得 F合合mgfma，而，而 m43R3，故故 agk43R2，由由 m甲甲m乙乙、甲甲乙乙可知可知 a甲甲a乙乙，故故 C項錯誤；因甲、乙位移相同，由項錯誤；因甲、乙位移相同，由 v22ax 可知，可知，v甲甲v乙乙，B 項正確項正確；由由 x12at2可知，可知，t甲甲f乙乙，則，則 W甲克服甲克服W乙克服乙克服，D 項正確。項正確。答案答案BD11如圖所示如圖所示，一長為一長為 L 的輕桿一端固定在光滑鉸鏈上的輕桿一端固定在光滑鉸鏈上，另一端另一端固定一質(zhì)量為固定一質(zhì)量為 m

22、 的小球。一水平向右的拉力作用于桿的中點，使桿的小球。一水平向右的拉力作用于桿的中點，使桿以角速度以角速度勻速轉(zhuǎn)動勻速轉(zhuǎn)動， 當(dāng)桿與水平方向成當(dāng)桿與水平方向成 60時時， 拉力的功率為拉力的功率為()AmgLB.32mgLC.12mgLD.36mgL解析解析由于桿做勻速轉(zhuǎn)動，拉力的功率等于克服重力做功的功由于桿做勻速轉(zhuǎn)動，拉力的功率等于克服重力做功的功率，率，PmgLcos6012mgL，C 項正確。項正確。答案答案C12.為了緩解城市交通擁堵問題，某市交通部門在禁止行人步行為了緩解城市交通擁堵問題，某市交通部門在禁止行人步行的十字路口增設(shè)了長度為的十字路口增設(shè)了長度為 12 m 的的“直行待

23、行區(qū)直行待行區(qū)”。如圖所示如圖所示，當(dāng)其當(dāng)其他車道的車輛右轉(zhuǎn)時，直行道上的車輛可以提前進(jìn)入他車道的車輛右轉(zhuǎn)時，直行道上的車輛可以提前進(jìn)入“直行待行直行待行區(qū)區(qū)”；當(dāng)直行綠燈亮起時，可從；當(dāng)直行綠燈亮起時，可從“直行待行區(qū)直行待行區(qū)”直行通過十字路口直行通過十字路口。如果該路段的限速為如果該路段的限速為 60 km/h，從提示進(jìn)入從提示進(jìn)入“直行待行區(qū)直行待行區(qū)”到直行綠燈到直行綠燈亮起的時間為亮起的時間為 4 s。現(xiàn)某汽車司機(jī)駕駛著質(zhì)量為現(xiàn)某汽車司機(jī)駕駛著質(zhì)量為 1.5 t 的小汽車的小汽車，汽車汽車的額定功率為的額定功率為 63 kW， 汽車的前端剛好停在停車線處汽車的前端剛好停在停車線處，

24、 當(dāng)司機(jī)看到上當(dāng)司機(jī)看到上述提示時述提示時， 立即由靜止開始做勻加速直線運動立即由靜止開始做勻加速直線運動， 當(dāng)汽車的前端運動到當(dāng)汽車的前端運動到“直行待行區(qū)直行待行區(qū)”的前端線時的前端線時， 正好直行的綠燈亮起正好直行的綠燈亮起， 司機(jī)保持該加速度司機(jī)保持該加速度繼續(xù)運動到額定功率后保持功率不變繼續(xù)運動到額定功率后保持功率不變， 汽車在運動中受到的阻力為車汽車在運動中受到的阻力為車重的重的 0.2 倍，重力加速度倍，重力加速度 g 取取 10 m/s2，則：，則：(1)在前在前 4 s 時間內(nèi)，汽車發(fā)動機(jī)所做的功是多少？時間內(nèi)，汽車發(fā)動機(jī)所做的功是多少？(2)從開始運動計時，經(jīng)過從開始運動計

25、時，經(jīng)過 12 s 達(dá)到該路段限速，汽車經(jīng)過的總達(dá)到該路段限速，汽車經(jīng)過的總位移是多少？位移是多少？(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)解析解析(1)在這段時間內(nèi)，汽車前進(jìn)的位移為在這段時間內(nèi)，汽車前進(jìn)的位移為 x12at2，汽車的加速度為汽車的加速度為 a2xt21.5 m/s2，汽車受到的阻力汽車受到的阻力fkmg3103N，根據(jù)牛頓第二定律根據(jù)牛頓第二定律 Ffma，牽引力做功牽引力做功 WFFx，由以上兩式得由以上兩式得 WF6.3104J。(2)設(shè)汽車達(dá)到額定功率時的速度為設(shè)汽車達(dá)到額定功率時的速度為 v，時間為，時間為 t，位移為，位移為 x1，則則P額額Fv，vat，x1

26、12at2，設(shè)汽車以額定功率行駛的位移為設(shè)汽車以額定功率行駛的位移為 x2，根據(jù)動能定理根據(jù)動能定理P額額(tt)fx212mv212mv2，由以上各式解得由以上各式解得 x148 m，x250.55 m，汽車經(jīng)過的位移汽車經(jīng)過的位移 xx1x2，即即 x99 m。答案答案(1)6.3104J(2)99 m【素養(yǎng)立意】【素養(yǎng)立意】用物理知識解決實際問題實現(xiàn)了學(xué)習(xí)物理的社會價值用物理知識解決實際問題實現(xiàn)了學(xué)習(xí)物理的社會價值， 不僅考查不僅考查知識的運用，還告訴學(xué)生作為一名交通參與者應(yīng)了解的規(guī)則。知識的運用，還告訴學(xué)生作為一名交通參與者應(yīng)了解的規(guī)則。13 某品牌汽車在某次測試過程中數(shù)據(jù)如下表所示某品牌汽車在某次測試過程中數(shù)據(jù)如下表所示， 請根據(jù)表中請根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答問題。數(shù)據(jù)回答問題。整車行駛質(zhì)量整車行駛質(zhì)量1 500 kg額定功率額定功率75 kW加速過程加速過程車輛從靜止加速到車輛從靜止加速到 108 km/h 所需時間為所需時間為 10 s制動過程制動過程車輛以車輛以 36 km/h 行駛時的制動距離為行駛時的制動距離為 5.0 m已知汽車在水平公路上沿直線行駛時所受阻已知汽車在水平公路上沿直線行駛時所受阻力力f跟行駛速跟行駛速率率v和和汽車所受重汽車所受重力力 mg 的乘積成正比的乘積成正比， 即即 fkm