余弦定理公式大全

1、正弦、余弦定理解斜三角形2.正弦定理:證明：由三角形面積11S -abs inC -bcsi nA22b證明：如圖ABC中,CH bsin A, AH bcosA, BH c bcosA2 2 2 2 2 2a CH BH b sin A (c bcosA)2 2b c 2bccosA當(dāng) A、B 是鈍角時(shí)，類似可證。正弦、余弦定理可用向量方法證明。要掌握正弦定理、余弦定理及其變形，結(jié)合三角公式，能解有關(guān)三角形中的問題.4利用正弦定理，可以解決以下兩類問題：(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角;(2)已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角；有三種情況：bsinAab 時(shí)有兩解；a=bsin

2、A 或 a=b 時(shí)有 解；absinA 時(shí)無解。5 禾 U 用余弦定理，可以解決以下兩類問題：(1)已知三邊，求三角；(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角。6熟練掌握實(shí)際問題向解斜三角形類型的轉(zhuǎn)化，能在應(yīng)用題中抽象或構(gòu)造出三角形，標(biāo)出已知量、未知量,確定解三角形的方法；提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)1 三角形基本公式:(1)內(nèi)角和定理：A+B+C=180 , sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,(2)面積公式:C . A B . C A Bcos =sin, sin =cos 2 2 2 2111S=absi nC=bcsi nA=cas i

3、nB222(3)S= pr =射影定理:.P(P a)(pa=bcosC+b)(pc)(其中 p=a b c, r 為內(nèi)切圓半徑)ccosB；b=acosC+ccosA；c=acosB+bcosAsin A sin Bsin C畫出三角形的外接圓及直徑易得:sin Asin Bc2R sinC3.余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,cos Ab2c22bc得sin A sinB sinC1acsin B2練習(xí)題1. （2006 山東）在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知A -,a 3,b1，則c（）3C.3 1D.；32.在 ABC 中，AB=3, BC=JT3, AC

4、=4 則邊 AC上的高為（）A. 32 B.C.3D.3 32 2 23. （2002 年上海）在厶ABC中，若 2cosBsinA=sin C,則厶ABC的形狀一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形4. （2006 全國I）用長(zhǎng)度分別為 2、3、4、5、6 （單位：cm）的 5 根細(xì)木棒圍成一個(gè)三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為（）A.8 5cm2B.6,10cm2C.3,55cm2D.20cm25. （2006 全國H）已知ABC的三個(gè)內(nèi)角 A、B C 成等差數(shù)列，且 AB=1, BC=4,則邊 BC 上的中線 AD 的長(zhǎng)為6.（20

5、06 春上海）在厶ABC中，已知BC 8, AC2 2 2答案：；3. 由 2cosBsinA=sinC得cxa=c,.a=b.ac4.組成邊長(zhǎng) 6,7,7 時(shí)面積最大；5. 3 ; 6.25四、經(jīng)典例題3【例 1 (2006 天津)如圖，在ABC中，AC 2,BC 1,cosC -4(1) 求AB的值；(2) 求sin 2A C的值.解(I)：由余弦定理，AB2AC2BC22AC.BC.cosC4 1 2 2 132.4 AB一25，三角形面積為 12，則cos2C3(n)解：由cosC ,且0 C ,得4度的方向沿直線前往 B 處救援（角度精確到1）解連接 BC,由余弦定理得BC=202+

6、1022X20X10COS120 =700于是 ,BC=10,7乙船應(yīng)朝北偏東 71方向沿直線前往B 處救援點(diǎn)撥糾正：把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解斜三角形問題，在問題中構(gòu)造出三角形，標(biāo)出已知量、未知量，確定解三角且cos2A 12sin2A 16，故sin 2A Csin 2AcosCcos 2A s inC3、78解讀思想:已知兩邊夾角,用余弦定理，由三角函數(shù)值求三角函數(shù)值時(shí)要注意“三角形內(nèi)角”的限制，求 A,C 及邊 c.【例 2】在4ABC 中，已知 a=3,b=,2,B=45 sinC .1 cos C由正弦定理ABsi丄4 .BCsin A解得si nABC sin CAB土。所以,8cos

7、A5,28由倍角公式sin 2 A sin 2A cos A5.716解：由正弦定理得：sinA=basinB、3,23,因?yàn)?B=45 90 且 ba,2所以有兩解 A=60或A=120(1)當(dāng) A=60 時(shí),C=180 -(A+B)=75bsin Cc=sin B、2 sin75sin 45.一6 22(2)當(dāng) A=120 時(shí),C=180 -(A+B)=15bsin Cc=sin B、 、2 sin 15sin 45解讀思想：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形問題,用正弦定理求解,必需注意解的情況的討論.【例 3】（2006 上海）如圖，當(dāng)甲船位于 A 處時(shí)獲悉，在其正東方向相距20 海里的

8、 B 處有一艘漁船遇險(xiǎn)等待營救甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知在甲船的南偏西30，相距 10 海里 C 處的乙船，試問乙船應(yīng)朝北偏東多少sinACB20sin120, sin / ACB10、7門/ACB 30” 是“ sinA1”的（）2A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件ABC的面積為3，那么b等于（）2由正弦定理sin6sin(GA-,得GM6)6sin(6)-GM GA2sinsin12si n(才6(、3 cot ).又空sin 6GA，得GNsin(6)6si n(-)則 S2-GN GA sin(2sin12sin(6( 3 cot).1(2)yS11

9、sin2(S2sin石)sin2(72(3 cot2).因?yàn)橐?,所以當(dāng)一或33臺(tái)時(shí)，y的最大值ymax240;3.利用余弦定理，可以C.充分必要條件2. (2004 全國)ABC中,a、b、c分別為/A/B/C的對(duì)邊，如果c成等差數(shù)列，/B=30,A.132C.23.下列條件中，ABC是銳角三角形的是【填空題】答案：B2 2 2 2cosB=a2 LQ2,2, r12 b = b_ 4 _ . 3 2 64;6. 若c最大，由 cosC 0.得cV.5.又cba=1，/【解答題】c2=acbe,求/A的大小及bsin B的值.c剖析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求/A,需找/A與三

10、邊的關(guān)系，故可用余弦定理 .由b2=ac可2.變形為 =a，再用正弦定理可求旦的值.cc解法一：a、b、c成等比數(shù)列，b2=ac.2ac1+cosA=_5+tanB+tanC 04.(2006 全國I)ABC的內(nèi)角A、B. AB BC 0=3,c=3、 、 3 ,B=30B、C 的對(duì)邊分別為、c,右a、b、c 成等比數(shù)列,且c 2a，則cos BB.C.D.2.2b=a+c.平方得a2+c2=4b2 2ac.由s=2acsin302ac= -，得22 2 2ac=6. a+c=4b12.得3.由 tanA+tanBtanC=tanAtanBtanC 0,A B、C都為銳角 .答案:+ J35.

11、（ 2004 春上海）在ABC中,a、b、c分別是A、C所對(duì)的邊。若A105,B 456.在銳角ABC中，邊長(zhǎng)a=1,b=2，則邊長(zhǎng)c的取值范圍是練習(xí)簡(jiǎn)答：；1. 在厶ABC中，A 30 10VsinAV1sinA -2;sinA -230VAV150A30解得b=1+ . 3 .答案:7. （2004 春北京）在厶ABC中，a、b、c分別是/A/B/C的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a、b、c成等比數(shù)列,且a2 2 2. .2 2 2 .又ac=acbc,.b+ca=bc.在厶ABC中，由余弦定理得2 2 2cosA=b- = 1L=1,/A=602bc 2bc 2在厶ABC中，由正弦定理得 sinB=bsn

12、a2/b=ac,ZA=60 ,解法二：在ABC中,由面積公式得1bcsin A=1acsinB2 2Tb2=ac,/A=60 ,bcsinA=b2sin B.竺B=si nA=12.c2評(píng)述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理8.( 2005 春北京)在厶ABC中, si nA+cosA= ，A(=2,AB=3,求 tanA的值和ABC的面積.2-J?解法一：TsinA+cosA= . 2 cos (A- 45 )=,2- cos (A- 45)=丄.2又 0vAv180,A-45 =60,A=105 tan A=tan ( 45 +60 ) =13=-2- . 3 .10,cosAv0.90vAv180解法sinA+cosA=23/( sin A cosA) =1 2sinAcosA=_ , 2/ sin A- cos*6.2+得 sinA=丄26.4得 cosA=64 tan A=S-26cos A（以下同解法一）Q19.( 2004 全國n)已知銳角厶ABC中, sin (A+B)=3, sin (AB)=2.55(1) 求證：tanA=2tan B;(2) 設(shè)AB=3,求AB邊上的高.剖析：有兩角的和與差聯(lián)想到兩角和與差的正弦公式，結(jié)合圖形，以（31(1)證明：Tsin (A+B)=- , sin (AB)