高中物理競(jìng)賽實(shí)驗(yàn)理論

1、.實(shí)驗(yàn)理論物理學(xué)是一門(mén)實(shí)驗(yàn)科學(xué)，幾乎所有的物理定律都來(lái)自于物理實(shí)驗(yàn)并不斷地受到新的物理實(shí)驗(yàn)的檢驗(yàn)，因此研究物理實(shí)驗(yàn)是每個(gè)對(duì)物理感興趣的同學(xué)必須做的工作，正因?yàn)槿绱耍锢韺?shí)驗(yàn)在物理競(jìng)賽中也占有重要的地位，不論是全國(guó)物理競(jìng)賽，還是國(guó)際奧林匹克物理競(jìng)賽，實(shí)驗(yàn)內(nèi)容都要占30%50%的比例。一、 有關(guān)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)知識(shí)（一）實(shí)驗(yàn)誤差的概念1、為什么要討論測(cè)量誤差任何物質(zhì)都有自身的各種各樣的特性，反映這些特征的量所具有的客觀真實(shí)數(shù)值，稱(chēng)為真值。測(cè)量的目的就是力圖得到真值，但是由于測(cè)量的方法、儀器、環(huán)境和測(cè)量者本身都必然存在著某些不理想情況，所以測(cè)量不能無(wú)限精確，在絕大多數(shù)情況下，測(cè)量結(jié)果與客觀存在的真值之間總

2、有一定的差異，這就是測(cè)量誤差，測(cè)量誤差的大小反映我們的測(cè)量偏離客觀真實(shí)數(shù)值的大小，反映測(cè)量結(jié)果的可信程度。從某種意義上說(shuō)，不給出測(cè)量誤差的測(cè)量結(jié)果是沒(méi)有意義的，是無(wú)法使用的，例如我們測(cè)量出某種合金的密度是（3.2，即說(shuō)明這種合金的密度不會(huì)小于，不會(huì)大于。如果用這種合金制造飛機(jī)，就可以估計(jì)出飛機(jī)的最大和最小質(zhì)量。相反，如果測(cè)出的密度沒(méi)有誤差范圍，是沒(méi)有實(shí)際使用意義的。測(cè)量誤差是反映測(cè)量結(jié)果好壞的物理量，它與實(shí)驗(yàn)的各個(gè)方面都有密切的關(guān)系，例如，我們要根據(jù)測(cè)量誤差的限度制定實(shí)驗(yàn)方案，即確定實(shí)驗(yàn)原理和步驟，并選用器材，在實(shí)驗(yàn)操作過(guò)程中，要千方百計(jì)減小誤差，最后，通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理，確定實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差

3、，由此可見(jiàn)，考慮實(shí)驗(yàn)誤差是貫穿于實(shí)驗(yàn)全過(guò)程的事。2、實(shí)驗(yàn)誤差的分類(lèi)（1）絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差 誤差按其表達(dá)形式可分為絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差。1）絕對(duì)誤差：測(cè)量值與真值之差的絕對(duì)值叫絕對(duì)誤差，定義為：絕對(duì)誤差（）=絕對(duì)誤差反映了測(cè)量值偏離真值的大小。2）相對(duì)誤差：絕對(duì)誤差無(wú)法表示測(cè)量質(zhì)量的高低，例如在測(cè)量上海到北京的距離時(shí)，如果絕對(duì)誤差是1米，測(cè)量質(zhì)量已很高；但是如果測(cè)量百米跑道時(shí)產(chǎn)生1米的誤差，則測(cè)量質(zhì)量就不好了，為了說(shuō)明測(cè)量質(zhì)量的高低，我們還要引入相對(duì)誤差的概念，其定義為：相對(duì)誤差（E）= 絕對(duì)誤差（）真值（A）相對(duì)誤差常用百分?jǐn)?shù)的形式來(lái)表示：（2）系統(tǒng)誤差和偶然誤差 誤差按其性質(zhì)及其產(chǎn)生的原因，

4、又可以分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差兩種。1）系統(tǒng)誤差：系統(tǒng)誤差的特征是帶有確定的方向性，在相同的條件下，對(duì)同一量進(jìn)行多次測(cè)量，誤差的正負(fù)保持不變，如果測(cè)量值偏大，則總是偏大；如果測(cè)量值偏小，則總是偏小，系統(tǒng)誤差的來(lái)源主要有以下幾個(gè)方面：原理誤差：由于測(cè)量所依據(jù)的理論公式的近似性（不完善性）而造成的誤差，例如，單擺的周期公式，它成立的條件是擺角趨近于零，否則就是一個(gè)近似公式；又如用伏安法測(cè)電阻時(shí)，因忽略了電流表的分壓作用或電壓表的分流作用，測(cè)得的結(jié)果只能是近似值。儀器誤差：由于測(cè)量?jī)x器本身的缺陷而造成的誤差，例如尺子過(guò)長(zhǎng)或過(guò)短、秒表零點(diǎn)不準(zhǔn)、天平不等臂、砝碼不夠標(biāo)準(zhǔn)等等。環(huán)境誤差：由于測(cè)量時(shí)周?chē)沫h(huán)境

5、（溫度、壓力、濕度等）不理想而造成的誤差。例如在20時(shí)定標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)電阻在30的環(huán)境中使用等。很明顯，由于系統(tǒng)誤差有固定的偏向性，所以用多次測(cè)量求平均值不能減小系統(tǒng)誤差，但如果我們找到了某個(gè)系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因，就可以采取一定的方法去減小它的影響，或者對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正。2）偶然誤差：偶然誤差的特征是帶有隨機(jī)性（因此偶然誤差也叫隨機(jī)誤差）。在測(cè)量中，如果已經(jīng)基本消除了引起系統(tǒng)誤差的一切因素，而測(cè)量結(jié)果仍然無(wú)規(guī)則地彌散在一定的范圍內(nèi)，這種誤差叫偶然誤差。偶然誤差的可能來(lái)源是：測(cè)量者自身感官（如聽(tīng)覺(jué)、視覺(jué)、觸覺(jué)）的分辨能力不盡相同，外界環(huán)境的干擾等等。偶然誤差是無(wú)法控制的，但它的出現(xiàn)卻服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律

6、。常見(jiàn)的一種規(guī)律是：大于真值和小于真值的測(cè)量值了現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等；而且誤差較小的測(cè)量值比誤差較大的測(cè)量值出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多；偏離真值很大的測(cè)量值出現(xiàn)的機(jī)會(huì)趨于零。因此，用增加測(cè)量次數(shù)求平均值的方法，可以減小偶然誤差。關(guān)于因儀器損壞，設(shè)計(jì)錯(cuò)誤，操作不當(dāng)而造成的測(cè)量錯(cuò)誤，則不是測(cè)量誤差。（二）偶然誤差1、直接測(cè)量中偶然誤差的估算所謂直接測(cè)量，就是直接用測(cè)量?jī)x器進(jìn)行測(cè)量得到結(jié)果。（1）單次測(cè)量的誤差估算在物理實(shí)驗(yàn)中，有時(shí)由于對(duì)測(cè)量的精度要求不高，或由于測(cè)量對(duì)象的不可重復(fù)性，對(duì)一個(gè)物理量的直接測(cè)量只進(jìn)行一次，這種測(cè)量方法叫做單次測(cè)量。單次測(cè)量結(jié)果的誤差因測(cè)量工具的不同常有以下幾種確定方法：1）取測(cè)量?jī)x器最小刻度

7、的1/5或1/2作為測(cè)量誤差，例如毫米刻度尺取0.2mm或0.5mm作為測(cè)量誤差,一般溫度計(jì)取0.2或0.5作為測(cè)量誤差等等.2)天平取其感量作為測(cè)量誤差,例如物理天平可取0.02g,托盤(pán)天平可取0.1g作為測(cè)量誤差.3)機(jī)械秒表的最小分度一般是0.1s,但由于操縱表的人難免按之過(guò)早或過(guò)遲,因此可取0.1s或0.2s作為測(cè)量誤差.手動(dòng)的電子秒表盡管可以顯示0.01s,但由于同樣的原因也只能取0.1s或0.2s作為測(cè)量誤差,0.01s位上的數(shù)字是沒(méi)有實(shí)際意義的.4)電表(電壓表、電流表)的測(cè)量誤差有特定的確定方法：每個(gè)電表都有一個(gè)準(zhǔn)確度級(jí)別（0.2級(jí)、0.5級(jí)、1級(jí)、2.5級(jí)、4級(jí)），電表的測(cè)量

8、誤差不會(huì)大于其量程和它的級(jí)別的百分階段之一的乘積. 例如有一個(gè)0.5級(jí)的電流表,量程為3A,那么其測(cè)量誤差5)電阻箱同樣也用級(jí)別表示誤差的大小，但電阻箱級(jí)別和電表的級(jí)別略有不同。n級(jí)電阻箱的測(cè)量誤差為其當(dāng)時(shí)阻值與n%的乘積。（2）多次測(cè)量結(jié)果和誤差估算測(cè)量某一個(gè)物理量時(shí)，為了減小偶然誤差，在可能的情況下，應(yīng)多次重復(fù)測(cè)量。如果在相同的條件下對(duì)某一物理量進(jìn)行了n次測(cè)量，各次測(cè)量分別為，那么其平均值）根據(jù)誤差統(tǒng)計(jì)誤差，可證明在一組測(cè)量n次的數(shù)據(jù)中，其算術(shù)平均值最接近于真值，此算術(shù)平均值稱(chēng)為測(cè)量的最佳值。當(dāng)測(cè)量次數(shù)n無(wú)限增加時(shí)，最佳值將無(wú)限接近于真值。一般就將最佳值為多次測(cè)量的結(jié)果。嚴(yán)格地說(shuō)，誤差是測(cè)

9、量值和真值的差，但由于真值不可能得到，而且當(dāng)測(cè)量次數(shù)多時(shí)，最佳值很接近于真值，因此可以用最佳值代替真值來(lái)估算誤差。仍以上例來(lái)說(shuō)明誤差的估算方法。 （3）測(cè)量結(jié)果的表示測(cè)量結(jié)果應(yīng)該包括數(shù)值、誤差和單位三個(gè)部分。通常將測(cè)量的結(jié)果寫(xiě)成單位。其中是測(cè)量值，可以是一次測(cè)量值，也可以是多次測(cè)量的最佳值，是絕對(duì)誤差。為了更清楚地表示測(cè)量質(zhì)量的好壞，還應(yīng)同時(shí)寫(xiě)出其相對(duì)誤差.這里要說(shuō)明兩點(diǎn)：在誤差運(yùn)算的過(guò)程中，一般只取一到二位有效數(shù)字，最后表示絕對(duì)誤差的值一般只取一位而且應(yīng)該和測(cè)量最佳值的最末一位對(duì)齊，為了確保誤差范圍的有效性，一般是只入不舍。測(cè)量結(jié)果為并不表示x為兩個(gè)值，而是表示x一般在這個(gè)范圍之內(nèi)。2、間接

10、測(cè)量中偶然誤差的估算所謂間接測(cè)量，就是應(yīng)用直接測(cè)量得到的值，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到自己所需要的結(jié)果。例如測(cè)一塊圓柱體金屬的密度，可以先通過(guò)直接測(cè)量得到它的直徑D、高h(yuǎn)和質(zhì)量m，然后用公式計(jì)算出密度。因?yàn)橛?jì)算中所用的直接測(cè)量值都是有誤差的，所以算出來(lái)的間接測(cè)量值當(dāng)然也是有誤差的。下面就討論在不同類(lèi)型的計(jì)算中，怎樣由直接測(cè)量的誤差得到間接測(cè)量的誤差。設(shè)x為間接測(cè)量的量，而A、B、C為直接測(cè)量的量，它們之間滿(mǎn)足一定的關(guān)系，即x=f(A,B,C).如果各直接測(cè)得量表示為將這些量代入f(A,B,C)中，便可以求得 其中為間接測(cè)得量的最佳值，是間接測(cè)得量的絕對(duì)誤差。 （1）加法運(yùn)算中的誤差 若x=A+B+C+ 則

11、其中最佳值絕對(duì)誤差由于A、B、C都是互相獨(dú)立的，它們的絕對(duì)誤差可能為正，也可能為負(fù)。在最不利的情況下，可能出現(xiàn)的最大誤差是。我們規(guī)定此可能的最大誤差為x的誤差。（2）減法運(yùn)算中的誤差若x=A-B-C-則 其中最佳值 絕對(duì)誤差按前面所講，在最不利情況下，取 由此可見(jiàn)，加減運(yùn)算結(jié)果的絕對(duì)誤差等于各直接測(cè)得量的絕對(duì)誤差之和。 （3）乘法運(yùn)算中的誤差若則 其中最佳值絕對(duì)誤差由于(即比或更小的小量),可以忽略不計(jì),所以,.在最不利的情況下,取,于是相對(duì)誤差為(4) 除法運(yùn)算中的誤差若 則)其中最佳值 絕對(duì)誤差,在最不利的情況下,取.相對(duì)誤差為 =由此可見(jiàn),乘除運(yùn)算結(jié)果的相對(duì)誤差等于各直接測(cè)得量的相對(duì)誤差

12、之和.這個(gè)討論雖然是從兩個(gè)因子乘除的運(yùn)算中推導(dǎo)出來(lái)的,但可以推廣到任意多個(gè)因子乘除的運(yùn)算中去,如果加、減、乘、除運(yùn)算中有的因子是公認(rèn)的理論值或測(cè)量值，那么可以不考慮它的誤差。（5）乘方和開(kāi)方運(yùn)算中的誤差若。如果n是整數(shù)就是乘方運(yùn)算，如果n是分?jǐn)?shù)就是開(kāi)方運(yùn)算。（6）三角函數(shù)運(yùn)算的誤差若 若 若 若 若 若 上列式中分別表示x和A的絕對(duì)誤差。限于數(shù)學(xué)工具，以上公式我們不作推導(dǎo)。掌握了間接測(cè)量的誤差傳遞公式，不但可以在實(shí)驗(yàn)結(jié)束后估算出實(shí)驗(yàn)結(jié)果可能的誤差，還可以在實(shí)驗(yàn)前幫助我們確定實(shí)驗(yàn)方案和改進(jìn)實(shí)驗(yàn)操作。請(qǐng)看下面一例：試用單擺測(cè)量某地的重力加速度，可提供的工具除了單擺之外還有米尺、秒表等，要求測(cè)得的g

13、的相對(duì)誤差小于1%。根據(jù)單擺的周期公式根據(jù)誤差傳遞公式可知 因?yàn)橐螅M(jìn)行適當(dāng)?shù)姆峙?，可確定操作目標(biāo)為：，擺長(zhǎng)是用米尺測(cè)量的，一般取，因考慮到擺線(xiàn)可能有一定的伸縮性，取較妥（已留有相當(dāng)?shù)挠嗟兀?。因此擺長(zhǎng) 周期是用秒表測(cè)量的，以開(kāi)、停表都有0.2秒的誤差計(jì),因此總計(jì)時(shí)圖5-1這樣我們?cè)趯?shí)驗(yàn)中用擺長(zhǎng)為1m左右的單擺,用秒表測(cè)出它擺動(dòng)100次左右的時(shí)間,即可達(dá)到題設(shè)的要求.如圖11-1所示的比重瓶是一種有準(zhǔn)確的固定體積的容器(瓶中裝滿(mǎn)液體,然后將塞子蓋上,多余的液體會(huì)從塞子中央的細(xì)管中溢出,這樣便保持了瓶中液體一定的體積),要求用此瓶測(cè)定一種小金屬粒的密度,可提供的儀器還有天平、砝碼和蒸餾水。 這個(gè)

14、實(shí)驗(yàn)的原理不復(fù)雜，先測(cè)了金屬粒的質(zhì)量，再測(cè)出裝滿(mǎn)水的比重瓶的質(zhì)量最后將金屬粒放進(jìn)裝滿(mǎn)水的比重瓶中，測(cè)出帶金屬粒和水的比重瓶的質(zhì)量。這樣，被金屬粒排出的水的質(zhì)量便是，這部分水的體積是，這也就是金屬粒的體積，于是金屬粒的密度便是實(shí)驗(yàn)操作中一個(gè)有待決定的問(wèn)題是：金屬粒是多放一些好還是少放一些好？因?yàn)榈南鄬?duì)誤差其中有公認(rèn)值，故可以忽略。對(duì)同一架天平來(lái)說(shuō),是確定的,不難看出,當(dāng)金屬粒放得比較多時(shí),上面兩式的分母都比較大,相對(duì)誤差就比較小.因此盡量多放些金屬粒,能減小實(shí)驗(yàn)結(jié)果的誤差.(三)有效數(shù)字及其運(yùn)算 1、有效數(shù)字如上所述，用實(shí)驗(yàn)儀器直接測(cè)量的數(shù)值都含有一定的誤差，因此測(cè)得的數(shù)據(jù)都只能是近似數(shù)，由這些

15、近似數(shù)通過(guò)計(jì)算而求得的間接測(cè)量值也是近似數(shù)。為了使間接測(cè)量結(jié)果合理些，對(duì)近似數(shù)的表示和計(jì)算都有一些規(guī)則，以便確切地表示測(cè)量和運(yùn)算結(jié)果的近似性。從儀器上讀出來(lái)的數(shù)值，經(jīng)常有一位數(shù)是估計(jì)出來(lái)的，或多或少存在著誤差。例如米尺的最小刻度是mm(0.001m)，那么用米尺測(cè)量長(zhǎng)度可讀到十分之一毫米(0.0001m).0.001m這一位可以從米尺上讀出來(lái)，是可靠的，0.001m位前面的數(shù)都是可靠數(shù)，0.0001m這一位是測(cè)量者估讀出來(lái)的，估讀的數(shù)字因人而異，因此是有疑問(wèn)的，稱(chēng)為存疑數(shù)。由于0.0001m位已存疑，在它以后各位數(shù)的估讀已無(wú)必要。我們把可靠數(shù)加上最后一位存疑數(shù)，一起記錄下來(lái)，統(tǒng)稱(chēng)為有效數(shù)字。在

16、應(yīng)用有效數(shù)字進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）自然數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8，9如出現(xiàn)在測(cè)量中，均為有效數(shù)字。“0”出現(xiàn)在其它數(shù)字之后或之間為有效數(shù)字，如出現(xiàn)在其它數(shù)字之前就不是有效數(shù)字了，它們只起定位作用。例如0.08020，前面兩個(gè)零不是有效數(shù)字，后面四個(gè)數(shù)都是有效數(shù)字，因此它有四位有效數(shù)字。（2）讀數(shù)時(shí)，必須按照儀器要求讀出測(cè)量值，即使末位是“0”，也不能任意舍去。在數(shù)學(xué)中我們認(rèn)為2.10cm、2.100cm、2.1000cm是相同的，而在物理中卻表示了用三種不同的測(cè)量工具所測(cè)量的結(jié)果，其估讀的可疑數(shù)分別在0.01cm、0.001cm、0.0001cm這些位上，所以我們決不能在測(cè)

17、量結(jié)果后面任意加上或丟掉“0”。（3）有效數(shù)字是由測(cè)量對(duì)象和測(cè)量?jī)x器所決定的，單位的換算不能改變有效數(shù)字的位數(shù)，因而必須注意單位換算時(shí)的正確表示法。例如將3.70m化成毫米單位，不能寫(xiě)成3700mm而應(yīng)該用指數(shù)表示法寫(xiě)成,仍表示三位有效數(shù)字；將280mm換成以米作單位，不能寫(xiě)成2.8m,而要寫(xiě)成2.80m。2、有效數(shù)字的運(yùn)算法則在有效數(shù)字運(yùn)算過(guò)程中，為了做到不因運(yùn)算而引進(jìn)“誤差”或損失有效位數(shù)，以不影響測(cè)量結(jié)果的精確度為原則，人們對(duì)有效數(shù)字的近似運(yùn)算法則作了統(tǒng)一規(guī)定。（1）有效數(shù)字的加減我們通過(guò)下面兩個(gè)例子的運(yùn)算，了解一下加、減運(yùn)算中有效數(shù)字的取法。計(jì)算時(shí)，我們?cè)诖嬉蓴?shù)下面加橫線(xiàn)，以使之與可靠

18、數(shù)字相區(qū)別，在相加結(jié)果35.37中，由于第三位數(shù)“3”已為存疑數(shù)字，后面的一位便毫無(wú)意義，按四舍五入的原是處理，本例應(yīng)向前進(jìn)位，與成35.4，有效數(shù)字為3位。同理，相減的結(jié)果應(yīng)該為22.72，舍去了尾數(shù)“4”，有效數(shù)字為4位。在上面的例子中，如果我們按照位數(shù)對(duì)齊相加或相減諸數(shù)，并以其中存疑位數(shù)最靠前的量為基準(zhǔn)，事先進(jìn)行四舍五入，取齊諸量的尾數(shù)，則可簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，而結(jié)果仍然相同。仍用上面兩個(gè)算式為例，具體算法如下：這個(gè)結(jié)論可以推廣到多個(gè)量相加或相減的運(yùn)算中去。（2）有效數(shù)字的乘除 我們通過(guò)下面兩個(gè)例子的運(yùn)算，了解一下乘、除運(yùn)算中有效數(shù)字的取法計(jì)算過(guò)程中，凡是有存疑數(shù)字參于運(yùn)算而得到的量都是不可靠

19、的。在運(yùn)算結(jié)果中，存疑數(shù)字只保留一位，其后面的存疑數(shù)字是沒(méi)有意義的。因此上面兩個(gè)例子的結(jié)果分別為110和173，有效數(shù)字都是三位。從以上兩個(gè)例子中可以看到，兩個(gè)量相乘（或除）的積（或商）其有效數(shù)字與諸因子中有效數(shù)字位數(shù)最少的相同。這個(gè)結(jié)論可以推廣到我個(gè)量相乘除的運(yùn)算中去。（3）有效數(shù)字的乘方、開(kāi)方 按照確定乘法運(yùn)算結(jié)果有效位數(shù)的方法，可知乘方運(yùn)算的結(jié)果，x的有效位數(shù)應(yīng)與其底數(shù)A的有效位數(shù)相同。當(dāng)n是分?jǐn)?shù)時(shí)，就是開(kāi)方運(yùn)算，也可看作是乘方的逆運(yùn)算，根的有效位數(shù)與被開(kāi)方數(shù)的有效位數(shù)相同。以上這些結(jié)論，在一般情況下是成立的，但也有例外/只要我們掌握了有效數(shù)字的意義和存疑數(shù)了取舍的原則，是不難處理的。圖

20、5-2還應(yīng)該指出，有效數(shù)字講的是實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄和運(yùn)算的規(guī)則，它不能代替絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的計(jì)算。在實(shí)驗(yàn)中，如果兩者發(fā)生矛盾，以誤差計(jì)算法則為準(zhǔn)。如果因?yàn)楦黜?xiàng)誤差的積累，使間接測(cè)量的絕對(duì)誤差較大，這樣就便得根據(jù)有效數(shù)字運(yùn)算法則算出來(lái)的本來(lái)應(yīng)該可靠的位數(shù)也產(chǎn)生了誤差，那么就將這一位數(shù)作為存疑數(shù)，后面多余的存疑數(shù)全部舍去。（四）系統(tǒng)誤差 系統(tǒng)誤差具有確定的方向性，因此找出其產(chǎn)生的原因后，可采取適當(dāng)?shù)拇胧p小或消除此之外它。下面討論幾種常見(jiàn)的系統(tǒng)誤差及解決的方法。(a)圖5-31、由實(shí)驗(yàn)原理的不完善帶來(lái)的系統(tǒng)誤差以伏安法電阻為例，不論是圖11-2（a）所示的電流表外接，還是圖11-2（b）所示的電流表內(nèi)

21、接，都舊有系統(tǒng)誤差的，對(duì)此系統(tǒng)誤差，有兩種辦法處理，一種是對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行修正，另一種是地實(shí)驗(yàn)線(xiàn)路進(jìn)行補(bǔ)償。以圖5-2（a）線(xiàn)路為例，如果事先已知電壓表的內(nèi)阻，即可對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行修正，如果電壓表和電流表的讀數(shù)分別為U和I，則可解得如果電壓表的內(nèi)阻未知，則可改進(jìn)實(shí)驗(yàn)線(xiàn)路，進(jìn)行電流補(bǔ)償（圖5-3（a）或電壓補(bǔ)償（圖5-3（b）。仔細(xì)地調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器R，使電流表的讀數(shù)為零。此時(shí)因?yàn)閍、b兩點(diǎn)等勢(shì)，所以電壓表的讀數(shù)就是的電流，這樣就消除了由于電流表分壓及電壓表分流而帶來(lái)的系統(tǒng)誤差。注意，圖5-3只是電流補(bǔ)償和電壓補(bǔ)償?shù)脑韴D，在實(shí)際操作中，還須有一些附加部件。例如在電流計(jì)圖5-4上必須串一個(gè)滑動(dòng)變阻器以

22、保護(hù)電流計(jì)，電路未調(diào)平衡時(shí)將滑動(dòng)變阻器置于阻值最大處，隨著逐漸調(diào)平衡慢慢減小滑動(dòng)變阻器的阻值直至零。2、由于測(cè)量?jī)x表不準(zhǔn)確帶來(lái)的系統(tǒng)誤差圖5-3所示的補(bǔ)償電路解決了由于實(shí)驗(yàn)原理不完善帶來(lái)的系統(tǒng)誤差。但電壓表和電流表的準(zhǔn)確度是很有限的（一般中學(xué)里用的電表都是2.5級(jí)的，即使大學(xué)專(zhuān)業(yè)實(shí)驗(yàn)室中的電表也只有0.5級(jí)），這會(huì)給測(cè)量結(jié)果帶來(lái)較大的誤差。為了用準(zhǔn)確程度要高得多的電阻代替電表來(lái)測(cè)量，我們可以這樣來(lái)分析一下圖5-3（a）的電路，將R分畫(huà)成兩個(gè)電阻（圖5-4）。我們假定有四個(gè)電阻 ，根據(jù)歐姆定律 這樣，如果三個(gè)電阻都已知，也就測(cè)得了。 將圖5-4改畫(huà)成圖5-5，都用電阻箱。這就是我們熟知的惠斯通電

23、橋。電阻箱的準(zhǔn)確度要比電表高得多，中學(xué)里用的多數(shù)為0.2級(jí)，稍好一些的即可達(dá)0.02級(jí)。3、由外界環(huán)境帶來(lái)的系統(tǒng)誤差用量熱器做熱學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)和外界的熱交換是一個(gè)比較難解決的問(wèn)題，此時(shí)我們可以用“異號(hào)抵消”的思想來(lái)減小這一系統(tǒng)誤差。 t1 t t2T1TT2圖5-6S1S2在用混合法測(cè)定冰的熔解熱的實(shí)驗(yàn)中，將量熱器假定成一個(gè)完美的絕熱系統(tǒng)，但這在職實(shí)驗(yàn)中是無(wú)法做到的，我們采用“異號(hào)抵消”法來(lái)盡量減小量熱器和周?chē)h(huán)境之間的熱傳遞給實(shí)驗(yàn)結(jié)果帶來(lái)的系統(tǒng)誤差。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，環(huán)境溫度可以認(rèn)為是不變的。適當(dāng)選取量熱器內(nèi)水的初溫和水、冰的質(zhì)量，使量熱器在實(shí)驗(yàn)的前一部分時(shí)間內(nèi)向周?chē)h(huán)境放熱，在實(shí)驗(yàn)的后一部

24、分時(shí)間內(nèi)從周?chē)h(huán)境吸熱，并盡量使整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中量熱器與環(huán)境的熱交換前后彼此抵消。這樣便可以認(rèn)為量熱器是一個(gè)很好的絕熱系統(tǒng)。怎樣才能使量熱器的放、吸熱基本相同呢？我們以時(shí)間t為橫軸，以量熱器溫度T為縱軸，可得如圖11-6所示的圖線(xiàn)。AB是冰塊投入前的自散熱線(xiàn)，BCD是冰的熔解線(xiàn)，DE是自然吸熱線(xiàn)，從這段時(shí)間內(nèi)，量熱器的溫度高于室溫，量熱器向周?chē)h(huán)境放出來(lái)的熱量可用BFC這個(gè)曲邊三角形的面積來(lái)表示（暫不作證明）。從這段時(shí)間內(nèi)，量熱器的溫度低于室溫，量熱器從周?chē)h(huán)境吸收的熱量可用曲邊三角形CGD的面積來(lái)表示，適當(dāng)?shù)乜刂扑某鯗睾退?、冰的質(zhì)量，使相差不多，即可認(rèn)為量熱器與外界基本沒(méi)有熱交換。（五）圖線(xiàn)

25、法處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) 1、圖線(xiàn)法的作用和優(yōu)點(diǎn)物理實(shí)驗(yàn)中的圖線(xiàn)法，是用作圖來(lái)得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果，它是一種應(yīng)用得很廣泛的處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方法。特別是在有些科學(xué)實(shí)驗(yàn)的規(guī)律和結(jié)果還沒(méi)有完全掌握或還沒(méi)有找到明確的函數(shù)表達(dá)式時(shí)，采用作出的圖線(xiàn)來(lái)表示實(shí)驗(yàn)結(jié)果，能形象、直觀地顯示出物理量變化的規(guī)律。圖線(xiàn)法有取平均的效果。一般的圖線(xiàn)是根據(jù)許多組數(shù)據(jù)擬全出來(lái)的平滑曲線(xiàn)或直線(xiàn)，這樣的圖線(xiàn)就有多次測(cè)量取平均的作用。圖線(xiàn)法還可以幫助我們發(fā)現(xiàn)某些錯(cuò)誤。如果在描圖過(guò)程中發(fā)現(xiàn)某個(gè)點(diǎn)偏離得特別遠(yuǎn)，則提示測(cè)量或數(shù)據(jù)計(jì)算中可能有錯(cuò)誤，應(yīng)重新測(cè)量或進(jìn)行校對(duì)。2、作圖線(xiàn)的規(guī)則（1）作圖線(xiàn)必須用坐標(biāo)紙，我們一般采用毫米方格紙坐標(biāo)紙的大小根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的

26、有效位數(shù)來(lái)確定，一般的原則是：測(cè)量數(shù)據(jù)中的可靠數(shù)字在圖線(xiàn)中也應(yīng)該是可靠的，測(cè)量數(shù)據(jù)中的存疑數(shù)字在圖線(xiàn)中應(yīng)該是估畫(huà)的，即坐標(biāo)中的最小格對(duì)應(yīng)于測(cè)量值的有效數(shù)字中可靠數(shù)字的最后一位。（2）坐標(biāo)軸的坐標(biāo)與比例通常以橫軸代表自變量，縱軸代表因變量。在坐標(biāo)軸的末端近旁標(biāo)明所代表的物理量及單位。作圖線(xiàn)時(shí)，根據(jù)需要橫軸和縱軸的標(biāo)度可以不同，兩軸的交點(diǎn)也不一定要從零開(kāi)始。要力求整個(gè)圖線(xiàn)比較對(duì)稱(chēng)地占據(jù)整個(gè)圖紙，不要偏在一角或一邊。（3）圖線(xiàn)的標(biāo)點(diǎn)與連線(xiàn)根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)，用削尖的鉛筆在坐標(biāo)圖紙上對(duì)應(yīng)地以“”標(biāo)出各數(shù)據(jù)的點(diǎn)。同一坐標(biāo)紙上如有不同的圖線(xiàn)，應(yīng)當(dāng)用不同的符號(hào)，如“+”，“”等來(lái)標(biāo)點(diǎn)。當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)標(biāo)好后，用直尺或曲

27、線(xiàn)板等作圖工具，把它們連成直線(xiàn)或光滑曲線(xiàn)。除特殊情況（如校準(zhǔn)曲線(xiàn)）外，絕不允許連成折線(xiàn)，也不允許連成“蛇線(xiàn)”。圖線(xiàn)不一定通過(guò)每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，但要求數(shù)據(jù)點(diǎn)在圖線(xiàn)兩旁有較均勻的分布。（4）在坐標(biāo)紙上應(yīng)標(biāo)明圖的名稱(chēng)，一般要求在圖紙上部附近的空曠位置寫(xiě)出簡(jiǎn)要完整的圖名，文字要用仿宋體。3、用圖解法求直線(xiàn)的斜率和截距 如果圖線(xiàn)為直線(xiàn)，其函數(shù)式為y=kx+b，那么可以從圖線(xiàn)上解出其斜率k和截距b。具體求法是在直線(xiàn)上任意取兩點(diǎn)兩點(diǎn)不能靠得太近，一般取在靠近直線(xiàn)兩端的地方。在直線(xiàn)上確定這兩點(diǎn)的坐標(biāo)之后，即可列出方程組解方程組，得直線(xiàn)斜率 如果x坐標(biāo)的起點(diǎn)為零，則可直接從圖線(xiàn)上讀取直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)的y的坐標(biāo)，就是直

28、線(xiàn)的截距b。如果x坐標(biāo)軸的起點(diǎn)不為零，則要在圖線(xiàn)上再取一點(diǎn)有要注意的是都要由圖線(xiàn)上取得，不可用原來(lái)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)。為了減少誤差，這三個(gè)點(diǎn)的確良x坐標(biāo)可取整數(shù)，讀坐標(biāo)值時(shí)，只要讀取它們的y坐標(biāo)即可。4、曲線(xiàn)化直在實(shí)驗(yàn)中，會(huì)遇到各種各樣的函數(shù)形式，其中一次函數(shù)的圖線(xiàn)最容易精確繪制，并且可以根據(jù)圖線(xiàn)求出所需要的數(shù)據(jù)（一般是求出圖線(xiàn)的斜率k和截距b，然后再根據(jù)k和b求出所需實(shí)驗(yàn)結(jié)果）。所以，我們常通過(guò)一些變換，將曲線(xiàn)函數(shù)化成直線(xiàn)函數(shù)，這一工作可稱(chēng)為“化直”。物理實(shí)驗(yàn)中常遇到下列函數(shù)圖線(xiàn)類(lèi)型函數(shù)式例子物理公式直 線(xiàn)勻變速運(yùn)動(dòng)拋物線(xiàn)單擺雙曲線(xiàn)玻意耳定律平方反比庫(kù)侖定律指數(shù)曲線(xiàn)阻尼振動(dòng)下面具體說(shuō)明怎樣將上述函

29、數(shù)“化直”：（1）拋物線(xiàn)，設(shè)y=Y,（2）雙曲線(xiàn)，設(shè)y=Y,（3）平方反比，設(shè)y=Y,（4）指數(shù)曲線(xiàn)，設(shè)作了上列變換后，再作X圖線(xiàn)，便可得到直線(xiàn)。 5、圖線(xiàn)法求實(shí)驗(yàn)結(jié)果 圖線(xiàn)法求實(shí)驗(yàn)結(jié)果的一般步驟是： （1）改變實(shí)驗(yàn)條件多次重復(fù)測(cè)量，得到一系列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)； （2）進(jìn)行數(shù)據(jù)變換，得到直線(xiàn)形函數(shù) （3）擬合出圖線(xiàn)（直線(xiàn)）； （4）求出圖線(xiàn)的斜率k和截距b； （5）從k和b中間求出所需要的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。 6、圖線(xiàn)法探索物理規(guī)律在已知物理規(guī)律（如上例中已知）時(shí)，可以用圖線(xiàn)法來(lái)求實(shí)驗(yàn)結(jié)果；如果物理規(guī)律尚不清楚，也可以用圖線(xiàn)法來(lái)探索物理規(guī)律。 先看一個(gè)物理學(xué)史上的事例：歐姆當(dāng)年研究電壓、電流和電阻三者之間的關(guān)系

30、時(shí)，非但沒(méi)有測(cè)量電壓、電流、電阻的電表，連電壓、電流、電阻的概念都沒(méi)有。他以導(dǎo)線(xiàn)的長(zhǎng)度L代表電阻，以放在通電導(dǎo)線(xiàn)旁邊的小磁針的偏轉(zhuǎn)角度代表電流強(qiáng)度，得到如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：L（英寸）24610183466134(度）30528125922417812579440.3280.3560.3860.4460.5610.8001.272.27 我們可以通過(guò)以下步驟來(lái)探索當(dāng)電壓一定時(shí)，電流（）和電阻（L）的關(guān)系。20 40 60 80 100 120 140 （英寸） 度300200100圖5-820 40 60 80 100 120 140 （英寸） 1/度321圖5-9 （1）以縱軸代表，橫軸代表L，作出

31、L圖線(xiàn)（圖11-8） （2）根據(jù)圖11-8初步判斷與L成反比關(guān)系，因此再算出一系列值，并試作圖線(xiàn)（圖11-9），得到一條不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)。這說(shuō)明與L不成反比關(guān)系，但和L卻成線(xiàn)性關(guān)系。 （3）設(shè),其中k為圖線(xiàn)的斜率，b為圖線(xiàn)在縱軸上的截距，上式可化成 （4）在圖線(xiàn)上取兩點(diǎn)：求出圖線(xiàn)的斜率 從圖11-9中可直接看出圖線(xiàn)的截距，所以這個(gè)式子和我們今天常用的全電路歐姆定律已完全一樣了，式中6600代表電動(dòng)勢(shì)，20代表內(nèi)阻。 7、圖線(xiàn)法的局限性 由于圖線(xiàn)一般都是靠目視而擬合出來(lái)的（這種方法叫直覺(jué)擬合），因此在擬合過(guò)程中人的因素難免要起作用。同一組數(shù)據(jù)，兩個(gè)人通過(guò)直覺(jué)擬合得到的結(jié)果一般不可又紅又專(zhuān)完全一樣，

32、這就說(shuō)明圖線(xiàn)法處理數(shù)據(jù)的過(guò)程又會(huì)給實(shí)驗(yàn)結(jié)果帶來(lái)一些新的“誤差”。因此，直覺(jué)擬合作圖法是一種比較粗略的數(shù)據(jù)處理方法，一般不討論結(jié)果的誤差。（六）線(xiàn)性回歸法直覺(jué)擬合法最大的缺陷就是無(wú)法克服連線(xiàn)時(shí)的主觀隨意性，也就是說(shuō)，直接擬合很難找到一條離各個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)最近的圖線(xiàn)。那么是否可以通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法找到這條最佳的圖線(xiàn)呢？這就是下面要討論的問(wèn)題。1、線(xiàn)性回歸法（最小二乘法） 假定變量x和y的關(guān)系是線(xiàn)性的 y=kx+b其圖線(xiàn)是一條直線(xiàn)。在實(shí)驗(yàn)中測(cè)得n組數(shù)據(jù)現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定上面線(xiàn)性方程中的k和b。為了理論上計(jì)算的需要，假定中只有是有誤差的。在實(shí)際處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)據(jù)時(shí)，可以把兩個(gè)變量中相對(duì)業(yè)說(shuō)誤差較小的變量作為x。我們對(duì)回歸直線(xiàn)提了的標(biāo)準(zhǔn)是：要求從各數(shù)據(jù)點(diǎn)到回歸直線(xiàn)的豎直距離平方之和為最小，也就是說(shuō)，要求出k和b等于什么值時(shí)，各數(shù)據(jù)點(diǎn)到回歸直線(xiàn)的豎直距離平方之和取得極小值。由于數(shù)學(xué)知識(shí)的限制，這里不介紹具體推導(dǎo)，只給出結(jié)論供使用： 令 那么斜率 截距 式中符號(hào)表示求和，如果共有n個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，那么這個(gè)計(jì)算過(guò)程看起來(lái)比較復(fù)雜，但在職電腦使用日益普及的今天，用電腦來(lái)完成這樣的工作很方便