高中理科數(shù)學(xué)解題方法篇（函數(shù)與方程）

1、.專題四2012屆數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題四：函數(shù)與方程思想【考情分析】縱觀近幾年的高考試題，函數(shù)的主干知識、知識的綜合應(yīng)用以及函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)思想方法的考查，一直是高考的重點內(nèi)容之一。在高考試卷上，與函數(shù)相關(guān)的試題所占比例始終在20%左右，且試題中既有靈活多變的客觀性試題，又有一定能力要求的主觀性試題。函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思想，高考中所占比重比較大，綜合知識多、題型多、應(yīng)用技巧多。在高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)中，還安排了函數(shù)與方程這一節(jié)內(nèi)容，可見其重要所在。在近幾年的高考中，函數(shù)思想主要用于求變量的取值范圍、解不等式等，方程觀點的應(yīng)用可分為逐步提高的四個層次：（1）解方程；（2）含參數(shù)方程討論；

2、（3）轉(zhuǎn)化為對方程的研究，如直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系，函數(shù)的性質(zhì)，集合關(guān)系；（4）構(gòu)造方程求解。預(yù)測2012年高考對本講考查趨勢：函數(shù)的零點問題、二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間的關(guān)系；特別注意客觀形題目，大題一般難度略大?！局R交匯】函數(shù)與方程（不等式）的思想貫穿于高中學(xué)習(xí)的各個內(nèi)容，求值的問題就要涉及到方程，求取值范圍的問題就離不開不等式，但方程、不等式更離不開函數(shù)，函數(shù)與方程（不等式）思想的運用使我們解決問題的重要手段。函數(shù)與方程是兩個不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，方程f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖像與x軸的交點的橫坐標(biāo)，函數(shù)yf(x)也可以看作二元方程f(x)y0通過

3、方程進(jìn)行研究。就中學(xué)數(shù)學(xué)而言，函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個方面：一是借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易，化繁為簡的目的。許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決，反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決。函數(shù)與方程的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，也是歷年高考的重點。1函數(shù)的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念

4、的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點觀察、分析和解決問題；2方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決。方程的數(shù)學(xué)是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關(guān)系；3函數(shù)的思想與方程的思想的關(guān)系在中學(xué)數(shù)學(xué)中，很多函數(shù)的問題需要用方程的知識和方法來支持，很多方程的問題需要用函數(shù)的知識和方法去解決對于函數(shù)yf(x)，當(dāng)y0時，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)0，也可以把函數(shù)yf(x)看作二元方程yf(x)0，函數(shù)與

5、方程可相互轉(zhuǎn)化。4函數(shù)方程思想的幾種重要形式（1）函數(shù)和方程是密切相關(guān)的，對于函數(shù)yf(x)，當(dāng)y0時，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)0，也可以把函數(shù)式y(tǒng)f(x)看做二元方程yf(x)0。函數(shù)問題（例如求反函數(shù)，求函數(shù)的值域等）可以轉(zhuǎn)化為方程問題來求解，方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來求解，如解方程f(x)0，就是求函數(shù)yf(x)的零點；（2）函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)yf(x)，當(dāng)y0時，就轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0，借助于函數(shù)圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性質(zhì)，也離不開解不等式；（3）數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要；（4）函數(shù)f(x)（nN*）

6、與二項式定理是密切相關(guān)的，利用這個函數(shù)用賦值法和比較系數(shù)法可以解決很多二項式定理的問題；（5）解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論；（6）立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用布列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決?！舅枷敕椒ā款}型1：函數(shù)思想在方程中應(yīng)用例1已知（a、b、cR），則有（ ）(A) (B) (C) (D) 解析：法一：依題設(shè)有 a5bc0，是實系數(shù)一元二次方程的一個實根；0 故選(B)；法二：去分母，移項，兩邊平方得：10ac25ac20ac， 故選(B)題型2：函數(shù)思想在不等式

7、中的應(yīng)用例2若a、b是正數(shù)，且滿足abab3，求ab的取值范圍。方法一(看成函數(shù)的值域)abab3，a1，b，而b0，0，即a1或a0，a1，故a10.aba(a1)59.當(dāng)且僅當(dāng)a1，即a3時取等號又a3時，(a1)5是關(guān)于a的單調(diào)增函數(shù)ab的取值范圍是9，)方法二(看成不等式的解集)a，b為正數(shù)，ab2，又abab3，ab23.即()2230，解得3或1(舍去)，ab9.ab的取值范圍是9，)方法三若設(shè)abt，則abt3，a，b可看成方程x2(t3)xt0的兩個正根從而有，即，解得t9，即ab9.ab的取值范圍是9，)點評：當(dāng)問題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時，是構(gòu)建一元二次方程的明顯信息，構(gòu)造

8、方程后再利用方程知識可使問題巧妙解決。當(dāng)問題中出現(xiàn)多個變量時，往往要利用等量關(guān)系去減少變量的個數(shù)，如最后能把其中一個變量表示成關(guān)于另一個變量的表達(dá)式，那么就可用研究函數(shù)的方法將問題解決。題型3：函數(shù)思想在實際問題中的應(yīng)用例3（2011陜西理14) 植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為 （米）【分析】把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,然后列式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題；【解】（方法一）設(shè)樹苗放在第個樹坑旁邊（如圖）， 1 2 19 20那么各個樹坑到第i個樹坑距

9、離的和是：。所以當(dāng)或時，的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米。（方法二）根據(jù)圖形的對稱性，樹苗放在兩端的樹坑旁邊，所得路程總和相同，取得一個最值；所以從兩端的樹坑向中間移動時，所得路程總和的變化相同，最后移到第10個和第11個樹坑旁時，所得的路程總和達(dá)到另一個最值，所以計算兩個路程和即可。樹苗放在第一個樹坑旁，則有路程總和是；樹苗放在第10個（或第11個）樹坑旁邊時，路程總和是：，所以路程總和最小為2000米.點評：構(gòu)造的二次函數(shù)形式在解題過程中起到了關(guān)鍵作用，函數(shù)是解決具體問題的有效工具。該題通過分析實際模型建立了函數(shù)解析式，研究函數(shù)的性質(zhì)，解釋問題。題型4：函數(shù)思想

10、在數(shù)列中的應(yīng)用例4設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，已知，0，0，0，d3（2），d0，是關(guān)于n 的二次函數(shù)，對稱軸方程為：x。d3，6，當(dāng)n6時，最大。點評：數(shù)列的通項或前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點處理數(shù)列問題十分重要。題型5：函數(shù)思想在立體幾何中的應(yīng)用例5（1）如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點，設(shè)BAC，PAAB=2r，求異面直線PB和AC的距離。分析：異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點到AC的距離的最小值，從而設(shè)定變量，建立目標(biāo)函數(shù)而求函數(shù)最小值。 P MA H B D C解析：在PB上任取一點M，作MDAC于D，MHAB于H

11、，設(shè)MHx，則MH平面ABC，ACHD，MDx(2rx)sin(sin1)x4rsinx4rsin(sin1)x即當(dāng)x時，MD取最小值為兩異面直線的距離。點評：本題巧在將立體幾何中“異面直線的距離”變成“求異面直線上兩點之間距離的最小值”，并設(shè)立合適的變量將問題變成代數(shù)中的“函數(shù)問題”。一般地，對于求最大值、最小值的實際問題，先將文字說明轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言后，再建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)性質(zhì)、重要不等式和有關(guān)知識進(jìn)行解答。（2）已知由長方體的一個頂點出發(fā)的三條棱長之和為1，表面積為，求長方體的體積的最值。解析：設(shè)三條棱長分別為x，y，z，則長方體的體積Vxyz。由題設(shè)有：； 所以， 故

12、體積V（x）， 下面求x的取值范圍。 因為， 所以y、z是方程的兩個實根。 由， 因為 所以當(dāng)時，； 當(dāng)時，。點評：解決本題的關(guān)鍵在于確定目標(biāo)函數(shù)時，根據(jù)相關(guān)條件的特征，構(gòu)造了二次方程，并由此得出定義域使問題得解。題型6：利用方程思想處理解析幾何問題例6（1）直線與圓相切，則a的值為（ ）AB C1D解析：由直線方程得，并代入圓方程，整理得。又直線與圓相切，應(yīng)有，解得。故選D。點評：即把直線方程代入圓或圓錐曲線的方程，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，其判別式為，則有：（1）曲線C與直線相離；（2）曲線C與直線相切；（3）曲線C與直線相交。（2）ABC的三邊a，b，c滿足b8c，試確定ABC的形

13、狀。 解析：因為bc8， 所以b，c是方程的兩實根， 即，所以a6。從而得bc4，因此ABC是等腰三角形。點評：構(gòu)建一元二次方程的模型解決數(shù)學(xué)問題，是一種行之有效的手段，其獨特功能在于充分運用構(gòu)建的一元二次方程及根的判別式和求根公式變更命題，從而使問題獲得圓滿解決。題型7：函數(shù)思想在三角中的應(yīng)用例7（1）求的取值范圍。解析：設(shè)，則，構(gòu)造二次函數(shù)， 由圖1可知：圖1即。（2）已知函數(shù)，當(dāng)有實數(shù)解時，求a的取值范圍。解析：由得，分離a得：；問題轉(zhuǎn)化為求a的值域。因為，所以。故當(dāng)時，有實數(shù)解。點評：該題通過三角換元構(gòu)造了二次函數(shù)，最終求得最值。題型8：方程思想在求函數(shù)最值中的應(yīng)用例8（1）如果函數(shù)的

14、最大值是4，最小值是1，求實數(shù)a、b的值。 解析：由y的最大值是4，知存在實數(shù)x使4，即方程有實根，故有； 又由y的最大值是4，知對任意實數(shù)x恒有，即恒成立，故，從而有。 同樣由y的最小值是1，可得。由，可解得。（2）已知函數(shù)y的最大值為7，最小值為1，求此函數(shù)式。解析：函數(shù)式變形為： (ym)x4x(yn)0，xR，由已知得ym0， (4)4(ym)(yn)0。即：y(mn)y(mn12)0 ，不等式的解集為(1,7)，則。解得：或 y（也可： 由解集(1,7)而設(shè)(y1)(y7)0,然后與不等式比較系數(shù)而得。）點評：本例解法中，對題設(shè)中給出的最值，一方面認(rèn)為是方程的實數(shù)解，另一方面又認(rèn)為是

15、不等式的恒成立條件。由于對題設(shè)條件的理解深刻，所以構(gòu)思新穎，證法嚴(yán)謹(jǐn)。題型9：方程思想在數(shù)列知識中的應(yīng)用例9若(zx) 4(xy)(yz)0,求證：x、y、z成等差數(shù)列。分析：題設(shè)正好是判別式b4ac0的形式，因此構(gòu)造一個一元二次方程求解。證明：當(dāng)xy時，可得xz，x、y、z成等差數(shù)列；當(dāng)xy時，設(shè)方程(xy)t(zx)t(yz)0，由0得tt，并易知t1是方程的根。tt1，即2yxz，x、y、z成等差數(shù)列。點評：題設(shè)條件具備或經(jīng)變形整理后具備xxa、xxb的形式，則利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程；具備b4ac0或b4ac0的形式，可利用根的判別式構(gòu)造一元二次方程。題型10：方程思想在三角知識中的

16、應(yīng)用例10ABC中，求證：cosAcosBcosC證明：設(shè)kcosAcosBcosCcos(AB)cos(AB)cosCcosCcos(AB)cosC；整理得：cosCcos(AB)cosC2k0，即看作關(guān)于cosC的一元二次方程。cos(AB)8k0，即 8kcos(AB)1； k即cosAcosBcosC。點評：既是方程思想，也屬判別式法。還可用放縮法：cosAcosBcosC cosCcos(AB)cosCcosCcos(AB)cos(AB) 。題型11：函數(shù)零點與方程的解例11（1）（2011天津理2）函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間是（） ABCD【答案】B【解析】解法1因為，所以函數(shù)的零點

17、所在的一個區(qū)間是故選解法2可化為畫出函數(shù)和的圖象，可觀察出選項，不正確，且，由此可排除，故選點評：函數(shù)的零點、方程的根以及函數(shù)圖像與x軸的交點之間存在相互轉(zhuǎn)化關(guān)系。本題主要考察學(xué)生對方程的根與函數(shù)零點關(guān)系的理解，以及利用函數(shù)圖象確定函數(shù)零點的個數(shù)的方法。（2）已知函數(shù)，則方程在（，）內(nèi)有沒有實數(shù)解？說明理由？解析：由基本初等函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在其定義域內(nèi)的圖象連續(xù)，且有，于是有。函數(shù)在區(qū)間（，）內(nèi)至少有一個零點，即方程在區(qū)間（，）（，1）內(nèi)至少有一個實數(shù)解點評：本題主要考察學(xué)生對函數(shù)零點存在判定定理的理解與應(yīng)用?！舅季S總結(jié)】1函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系，反映了一個事物隨著另一個事物變化而變化的關(guān)系和規(guī)律。函數(shù)思想的實質(zhì)是剔除問題的非數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系；2在解決某些數(shù)字問題時，先設(shè)定一些未知數(shù)，然后把它們當(dāng)作已知數(shù)，根據(jù)題設(shè)本身各量間的制約，列出等式，所設(shè)未知數(shù)溝通了變量之間的關(guān)系，這就是方程