高一數(shù)學人教新課標A版函數(shù)及其表示方法教案

1、 函數(shù)及其表示方法一、目標認知學習目標： (1)會用集合與對應的語言刻畫函數(shù)；會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，初步掌握換元法的簡單運用.(2)能正確認識和使用函數(shù)的三種表示法：解析法，列表法和圖象法了解每種方法的優(yōu)點在實際情 境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)；(3)求簡單分段函數(shù)的解析式；了解分段函數(shù)及其簡單應用重點: 函數(shù)概念的理解，函數(shù)關系的三種表示方法分段函數(shù)解析式的求法難點: 對函數(shù)符號的理解；對于具體問題能靈活運用這三種表示方法中的某種進行分析，什么才算“恰當”？分段函數(shù)解析式的求法二、知識要點梳理知識點一、函數(shù)的概念1函數(shù)的定義設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對

2、應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f:AB為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域.2構成函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域構成函數(shù)的三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全致，即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù))；兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關.3區(qū)間的概念(1)區(qū)間的分類：開區(qū)

3、間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；(2)無窮區(qū)間；(3)區(qū)間的數(shù)軸表示區(qū)間表示： x|axb=a，b； ；.知識點二、函數(shù)的表示法1函數(shù)的三種表示方法： 解析法：用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系 優(yōu)點：簡明，給自變量求函數(shù)值.圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應關系 優(yōu)點：直觀形象，反應變化趨勢.列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應關系 優(yōu)點：不需計算就可看出函數(shù)值.2分段函數(shù)： 分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應寫函數(shù)幾種不同的表達式并用個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況知識點三、映射與函數(shù)1.映射定義： 設A、B是兩個非空集合，如果按照某個對應法則f，對于集合

4、A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，這樣的對應叫做從A到B的映射；記為f：AB.象與原象：如果給定一個從集合A到集合B的映射，那么A中的元素a對應的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象.注意：(1)A中的每一個元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象記為f(a).2.函數(shù)： 設A、B是兩個非空數(shù)集，若f：AB是從集合A到集合B的映射，這個映射叫做從集合A到集合B的函數(shù)，記為y=f(x).注意：(1)函數(shù)一定是映射，映射不一定是函數(shù)；(2)函數(shù)三要素：定義域、值域、對應法則；(3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象

5、集合=定義域，值域=象集合.三、規(guī)律方法指導1.函數(shù)定義域的求法(1)當函數(shù)是以解析式的形式給出時，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合.具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號的被開方數(shù)、式大于或等于零，零次冪的底數(shù)不為零以及我們在后面學習時碰到的所有有意義的限制條件.(2)當函數(shù)是由實際問題給出時，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實際意義.(3)求函數(shù)的定義域，一般是轉化為解不等式或不等式組的問題，注意定義域是一個集合，其結果必須用集合或區(qū)間來表示.2.如何確定象與原象對于給出原象要求象的問題，只需將原象代入對應關系中，即可求出象.對于給出象，要求原象的問題，可先假設

6、原象，再代入對應關系中得已知的象，從而求出原象；也可根據(jù)對應關系，由象逆推出原象.3.函數(shù)值域的求法實際上求函數(shù)的值域是個比較復雜的問題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對應法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的"最高點"和"最低點"，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些

7、"分式"函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數(shù)的解析式進行適當換元，將復雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域.求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結合法等.總之，求函數(shù)的值域關鍵是重視對應法則的作用，還要特別注意定義域對值域的制約.經典例題透析類型一、函數(shù)概念1.下列各組函數(shù)是否表示同一個函數(shù)？ (1)(2)(3)(4)思路點撥：對于根式、分式、絕對值式，要先化簡再判斷，在化簡時要注意等價變形，否則等號不成立.解：(1)，對應關系不同，因此是不同的函數(shù)；(2)的定義域不

8、同，因此是不同的函數(shù)；(3)的定義域相同，對應關系相同，因此是相同的函數(shù)；(4)定義域相同，對應關系相同，自變量用不同字面表示，仍為同一函數(shù).總結升華：函數(shù)概念含有三個要素，即定義域，值域和對應法則，其中核心是對應法則，它是函數(shù)關系的本質特征.只有當兩個函數(shù)的定義域和對應法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一函數(shù)，換言之就是：(1)定義域不同，兩個函數(shù)也就不同；(2)對應法則不同，兩個函數(shù)也是不同的.(3)即使定義域和值域都分別相同的兩個函數(shù)，它們也不一定是同一函數(shù)，因為函數(shù)的定義域和值域不能唯一地確定函數(shù)的對應法則.舉一反三：【變式1】判斷下列命題的真假(1)y=x-1與是同一函數(shù)；(2)與y

9、=|x|是同一函數(shù)；(3)是同一函數(shù)；(4)與g(x)=x2-|x|是同一函數(shù).答：從函數(shù)的定義及三要素入手判斷是否是同一函數(shù)，有(1)、(3)是假命題，(2)、(4)是真命題.2.求下列函數(shù)的定義域(用區(qū)間表示). (1)； (2)；(3).思路點撥：由定義域概念可知定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍.解：(1)的定義域為x2-20， ；(2)；(3).總結升華：使解析式有意義的常見形式有分式分母不為零；偶次根式中，被開方數(shù)非負.當函數(shù)解析式是由多個式子構成時，要使這多個式子對同一個自變量x有意義，必須取使得各式有意義的各個不等式的解集的交集，因此，要列不等式組求解.舉一反三：【變式1】

10、求下列函數(shù)的定義域：(1)； (2)； (3).思路點撥：(1)中有分式，只要分母不為0即可；(2)中既有分式又有二次根式，需使分式和根式都有意義；(3)只要使得兩個根式都有意義即可解：(1)當|x-2|-3=0，即x=-1或x=5時，無意義， 當|x-2|-30，即x-1且x5時，分式有意義， 所以函數(shù)的定義域是(-，-1)(-1，5)(5，+)；(2)要使函數(shù)有意義，須使， 所以函數(shù)的定義域是；(3)要使函數(shù)有意義，須使，所以函數(shù)的定義域為-2.總結升華：小結幾類函數(shù)的定義域：(1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實數(shù)集R；(2)如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的

11、實數(shù)的集合；(3)如果f(x)是二次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號內的式子大于或等于零的實數(shù)的集合；(4)如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學式子構成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合； (即求各集合的交集)(5)滿足實際問題有意義.3.已知函數(shù)f(x)=3x2+5x-2，求f(3)，f(a)，f(a+1). 思路點撥：由函數(shù)f(x)符號的含義，f(3)表示在x=3時，f(x)表達式的函數(shù)值.解：f(3)=3×32+5×3-2=27+15-2=40；.舉一反三：【變式1】已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域；(2)求f(-3)，的值；(3)當a0時，求f(a)×

12、;f(a-1)的值.解：(1)由；(2)；(3)當a0時，.【變式2】已知f(x)=2x2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2)，g(f(2)； (3)f(g(x)，g(f(x)思路點撥：根據(jù)函數(shù)符號的意義，可以知道f(g(2)表示的是函數(shù)f(x)在x=g(2)處的函數(shù)值，其它同理可得解：(1)f(2)=2×22-3×2-25=-23；g(2)=2×2-5=-1；(2)f(g(2)=f(-1)=2×(-1)2-3×(-1)-25=-20；g(f(2)=g(-23)=2×(-23)-5=-5

13、1；(3)f(g(x)=f(2x-5)=2×(2x-5)2-3×(2x-5)-25=8x2-46x+40； g(f(x)=g(2x2-3x-25)=2×(2x2-3x-25)-5=4x2-6x-55.總結升華：求函數(shù)值時，遇到本例題中(2)(3)(這種類型的函數(shù)稱為復合函數(shù)，一般有里層函數(shù)與外層函數(shù)之分，如f(g(x)，里層函數(shù)就是g(x)，外層函數(shù)就是f(x)，其對應關系可以理解為，類似的g(f(x)為，類似的函數(shù)，需要先求出最里層的函數(shù)值，再求出倒數(shù)第二層，直到最后求出最終結果.4. 求值域(用區(qū)間表示)： (1)y=x2-2x+4；.思路點撥：求函數(shù)的值域必

14、須合理利用舊知識，把現(xiàn)有問題進行轉化.解：(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+33，值域為3，+)；(2)；(3)；(4)，函數(shù)的值域為(-，1)(1，+).類型二、映射與函數(shù)5. 下列對應關系中，哪些是從A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成為映射? (1)A=R，B=R，對應法則f：取倒數(shù)；(2)A=平面內的三角形，B=平面內的圓，對應法則f：作三角形的外接圓；(3)A=平面內的圓，B=平面內的三角形，對應法則f：作圓的內接三角形思路點撥：根據(jù)定義分析是否滿足“A中任意”和“B中唯一” 解：(1)不是映射，集合A中的元素0在集合B中沒有元素與之對應，不滿足“A中任意”

15、；若把A改為 A=x|x0或者把對應法則改為“加1”等就可成為映射；(2)是映射，集合A中的任意一個元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(該三角形的外接圓)與 之對應，這是因為不共線的三點可以確定一個圓；(3)不是映射，集合A中的任意一個元素(圓)，在集合B中有無窮多個元素(該圓的內接三角形有無 數(shù)個)與之對應，不滿足“B中唯一”的限制；若將對應法則改為：以該圓上某定點為頂點作正 三角形便可成為映射總結升華：將不是映射的對應改為映射可以從出發(fā)集A、終止集B和對應法則f三個角度入手舉一反三：【變式1】判斷下列兩個對應是否是集合A到集合B的映射？A=1，2，3，4，B=3，4，5，6，7，8，

16、9，對應法則A=N*，B=0，1，對應法則f:xx除以2得的余數(shù)；A=N，B=0，1，2，f：xx被3除所得的余數(shù)；設X=0，1，2，3，4，思路點撥：判斷是否構成映射應注意：A中元素的剩余；“多對一”“一對一”構成，而“一對多”不構成映射.解：構成映射，構成映射，構成映射，不構成映射，0沒有象. 【變式2】已知映射f：AB，在f的作用下，判斷下列說法是否正確？(1)任取xA，都有唯一的yB與x對應；(2)A中的某個元素在B中可以沒有象；(3)A中的某個元素在B中可以有兩個以上的象；(4)A中的不同的元素在B中有不同的象；(5)B中的元素在A中都有原象；(6)B中的元素在A中可以有兩個或兩個以

17、上的原象.答：(1)、(6)的說法是正確的，(2)、(3)、(4)、(5)說法不正確.【變式3】下列對應哪些是從A到B的映射？是從A到B的一一映射嗎？是從A到B的函數(shù)嗎？(1)A=N，B=1，-1，f：xy=(-1)x；(2)A=N，B=N+，f：xy=|x-3|；(3)A=R，B=R，(4)A=Z，B=N，f：xy=|x|；(5)A=N，B=Z，f：xy=|x|；(6)A=N，B=N，f：xy=|x|.答：(1)、(4)、(5)、(6)是從A到B的映射也是從A到B的函數(shù)，但只有(6)是從A到B的一一映射；(2)、(3)不是從A到B的映射也不是從A到B的函數(shù).6. 已知A=R，B=(x，y)|

18、x，yR，f：AB是從集合A到集合B的映射，f：x(x+1，x2+1)，求A中的元素的象，B中元素的原象. 解：A中元素的象為故.舉一反三：【變式1】設f：AB是集合A到集合B的映射，其中(1)A=x|x0，B=R，f：xx2-2x-1，則A中元素的象及B中元素-1的原象分別為什么？(2)A=B=(x，y)|xR，yR，f：(x，y)(x-y，x+y)，則A中元素(1，3)的象及B中元素(1，3)的原象分別為什么？解：(1)由已知f：xx2-2x-1，所以A中元素的象為； 又因為x2-2x-1=-1有x=0或x=2，因為A=x|x0，所以B中元素-1的原象為2；(2)由已知f:(x，y)(x-

19、y，x+y)，所以A中元素(1，3)的象為(1-3，1+3)，即(-2，4)； 又因為由有x=2，y=1，所以B中元素(1，3)的原象為(2，1).類型三、函數(shù)的表示方法7. 求函數(shù)的解析式(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路點撥：求函數(shù)的表達式可由兩種途徑.解：(1)f(2x-1)=x2，令t=2x-1，則 ；(2)f(x+1)=2x2+1，由對應法則特征可得：f(x)=2(x-1)2+1 即：f(x)=2x2-4x+3.舉一反三：【變式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x+2，求f(x)； (2)已知：，求ff(-1).解：(1)

20、(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1f(x)=x2+2x-1； (法2)令x+1=t，x=t-1，f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1f(x)=x2+2x-1； (法3)設f(x)=ax2+bx+c則f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+ca(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2；(2)-10，f(-1)=2·(-1)+6=4ff(-1)=f(4)=16.總結升華：求函數(shù)解析式常用方法：(1)換元法；(2)配湊法；(3)定義法；(4)待定系數(shù)法等.注意：用換元法解求對應法則問題時，要關注新變元的范圍.8.作出下列函數(shù)的

21、圖象. (1)；(2)；(3)； (4).思路點撥：(1)直接畫出圖象上孤立的點；(2)(3)先去掉絕對值符號化為分段函數(shù).解：(1)，圖象為一條直線上5個孤立的點；(2)為分段函數(shù)，圖象是兩條射線；(3)為分段函數(shù)，圖象是去掉端點的兩條射線；(4)圖象是拋物線.所作函數(shù)圖象分別如圖所示：類型四、分段函數(shù)9. 已知，求f(0)，ff(-1)的值. 思路點撥：分段函數(shù)求值，必須注意自變量在不同范圍內取值時的不同對應關系. 解：f(0)=2×02+1=1ff(-1)=f2×(-1)+3=f(1)=2×12+1=3.舉一反三：【變式1】已知，作出f(x)的圖象，求f(1

22、)，f(-1)，f(0)，fff(-1)+1的值.解：由分段函數(shù)特點，作出f(x)圖象如下：如圖，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；fff(-1)+1=ff-1+1=ff(0)=f()=+1.10. 某市郊空調公共汽車的票價按下列規(guī)則制定： (1)乘坐汽車5公里以內，票價2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票價增加1元(不足5公里按5公里計算)，已知兩個相鄰的公共汽車站間相距約為1公里，如果沿途(包括起點站和終點站)設20個汽車站，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖象.解：設票價為y元，里程為x公里， 由空調汽車票價制定的規(guī)定，可得到以下函數(shù)解析式：

23、根據(jù)這個函數(shù)解析式，可畫出函數(shù)圖象，如下圖所示：舉一反三：【變式1】移動公司開展了兩種通訊業(yè)務：“全球通”，月租50元，每通話1分鐘，付費0.4元；“神州行”不繳月租，每通話1分鐘，付費0.6元，若一個月內通話x分鐘，兩種通訊方式的費用分別為y1，y2(元)，. 寫出y1，y2與x之間的函數(shù)關系式？. 一個月內通話多少分鐘，兩種通訊方式的費用相同？. 若某人預計一個月內使用話費200元，應選擇哪種通訊方式？解：y1=50+0.4x，y2=0.6x；： 當y1=y2時，50+0.4x=0.6x，0.2x=50，x=250當一個月內通話250分鐘時，兩種通訊方式費用相同；： 若某人預計月付資費20

24、0元， 采用第一種方式：200=50+0.4x， 0.4x=150 x=375（分鐘） 采用第二種方式：200=0.6x， 應采用第一種(全球通)方式.學習成果測評基礎達標一、選擇題1判斷下列各組中的兩個函數(shù)是同一函數(shù)的為( )，；，；，；，；，A、 B、 C D、2函數(shù)y=的定義域是( )A-1x1 Bx-1或x1 C0x1 D-1，13函數(shù)的值域是( )A(-，)(，+)B(-，)(，+)CR D(-，)(，+)4下列從集合A到集合B的對應中：A=R，B=(0，+)，f:xy=x2；A=-2，1，B=2，5，f:xy=x2+1；A=-3，3，B=1，3，f:xy=|x|其中，不是從集合A到

25、集合B的映射的個數(shù)是( )A 1 B 2 C 3 D 45已知映射f:AB，在f的作用下，下列說法中不正確的是( ) A A中每個元素必有象，但B中元素不一定有原象 B B中元素可以有兩個原象C A中的任何元素有且只能有唯一的象D A與B必須是非空的數(shù)集6點(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求點(4，6)在f下的原象( )A(，1) B(1，3) C(2，6) D(-1，-3)7已知集合P=x|0x4， Q=y|0y2，下列各表達式中不表示從P到Q的映射的是( )Ay= By= Cy=x Dy=x28下列圖象能夠成為某個函數(shù)圖象的是( ) 9函數(shù)的圖象與直線的公共點數(shù)目是( )

26、A B C或 D或10已知集合，且，使中元素和中的元素對應，則的值分別為( )A B C D11已知，若，則的值是( )A B或 C，或 D12為了得到函數(shù)的圖象，可以把函數(shù)的圖象適當平移，這個平移是( )A沿軸向右平移個單位 B沿軸向右平移個單位C沿軸向左平移個單位 D沿軸向左平移個單位二、填空題1設函數(shù)則實數(shù)的取值范圍是_2函數(shù)的定義域_3函數(shù)f(x)=3x-5在區(qū)間上的值域是_4若二次函數(shù)的圖象與x軸交于，且函數(shù)的最大值為，則這個二次函數(shù)的表達式是_5函數(shù)的定義域是_6函數(shù)的最小值是_三、解答題1求函數(shù)的定義域2求函數(shù)的值域3根據(jù)下列條件，求函數(shù)的解析式：(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且

27、f(f(x)=4x-1，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函數(shù)，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(3)已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；(4)已知；(5)已知f(x)的定義域為R，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x).能力提升一、選擇題1設函數(shù)，則的表達式是( )A B C D2函數(shù)滿足則常數(shù)等于( )A3 B-3 C D3已知，那么等于( )A15 B1 C3 D304已知函數(shù)定義域是，則的定義域是( )A B C D 5函數(shù)的值域是( )A B C D6已知，則的解析式為( )A B C D二、填空題1若函數(shù)，則=_2若函數(shù)，則=

28、_3函數(shù)的值域是_4已知，則不等式的解集是_5設函數(shù)，當時，的值有正有負，則實數(shù)的范圍_三、解答題1設是方程的兩實根，當為何值時，有最小值?求出這個最小值2求下列函數(shù)的定義域(1)； (2)3求下列函數(shù)的值域(1)； (2)綜合探究1某學生離家去學校，由于怕遲到，所以一開始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下圖中，縱軸表示離學校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，如圖四個圖象中較符合該學生走法的是( )2.如圖所表示的函數(shù)解析式是( )A. B. C. D. 3函數(shù)的圖象是( )4.如圖，等腰梯形ABCD的兩底分別為AD=2a，BC=a，BAD=45°，作直線MNAD交AD于M，交折線AB

29、CD于N，記AM=x，試將梯形ABCD位于直線MN左側的面積y表示為x的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域.答案與解析： 基礎達標一、選擇題1C(1)定義域不同；(2)定義域不同；(3)對應法則不同；(4)定義域相同，且對應法則相同；(5)定義域不同2D由題意1-x20且x2-10， -1x1且x-1或 x1，x=±1，選D3B法一：由y=，x= y， 應選B法二：4C提示：不是，均不滿足“A中任意”的限制條件5D提示：映射可以是任何兩個非空集合間的對應，而函數(shù)是要求非空數(shù)集之間6A設(4，6)在f下的原象是(x，y)，則，解之得x=， y=1，應選A7C0x4， 0x=2，應選C8C9C有可能是沒有交點的，如果有交點，那么對于僅有一個函數(shù)