(整理)微分方程復(fù)習(xí)

1、精品文檔精品文檔第四章微分方程4.14.1 方程分類與解法4.1.14.1.1 一階，可分離變量方程一階變量分離方程學(xué)=f(x)g(y)二學(xué)f(x)dx =dxg(y)少P(x)y = Q(x)yn(n = 0,1) - dx了一階。特別地，二階的就變成一階方程了。4.1.44.1.4 二階(高階)線性常系數(shù)方程1 1.線性方程解的結(jié)構(gòu)理論定理 1 1 (疊加原理)設(shè)(x), y2(x)，,yn(x)是齊次方程的解，則它們的線性組合nC1(X) C2y2(x) Cnyn(x)八，CjYj(X)也是齊次方程的解，其中C1,q,，Cn是任意j微分方程y(n)二f (x)接連積分n次，便得到微分方程

2、y(n)= f (x)的含有n個(gè)任意常數(shù)的通解。y ：= f (x, y )令yp(x)則y= p (x)-p7 f(x, p)y二f(y, y)令y = p(y)則y = p pp p二f (y, p)首次積分方法若F(x,y,y, ,y(n) (x,y,y ,y(n)則稱降階法:：J(x, y, y,y(nJ)c為方程F(x,y,y；，y(n)=0 0 的首次積分。這樣就把原方程降齊次方程巴=dx令上亠,x4.1.24.1.2 一階線性非齊次方程y=xu,dxdu x-dxdu上 /、ux f (u) dx齊次方程學(xué)P(x)y dx通解-P(x)dxy =ce(C二_eci)標(biāo)準(zhǔn)形dydx

3、p(x)q(x)通解-|P(x)dxy二ec q(x)ep(x)dx dx I伯努利啤p(x)yj=Q(x)令z z=y=y得dz4.1.34.1.3 特殊二階方程(1 -n)P(x)z二(1 - n)Q(x)精品文檔精品文檔常數(shù)。定理 2 2 設(shè)y(x)是非齊次方程的一個(gè)解，yx), y2(x)，yn(x)是對應(yīng)的齊次方程的解,精品文檔精品文檔n則 7cjyj(x) y(x)也是非齊次方程的解，其中Oi,C2,cn是任意常數(shù)。j 4yaMxjy a2(x) y = 0( 3 3)的兩個(gè)線性無關(guān)特解，則y = Ciyi(x) c2y2(x)(G,C2是任意常數(shù))是方程(3 3)的通解。對于二階

4、非齊次線性微分方程yai(x)y a2(x)y = f (x)( 4 4)有如下的定理。定理 4(4(二階非齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu))設(shè)y*(x)是方程(4 4)的一個(gè)特解，y1(x)和y2(x)(a _x _b)是方程(4 4)對應(yīng)的齊次線性方程(3 3)的兩個(gè)線性無關(guān)解，則y二Ciyi(x) C2y2(x) y*(x)(5)(5)是方程(4 4)的通解。2 2.齊次方程y(n)+aiy2y2)+any=0二特征方程AT + a器二+a.= 0綜上所述，求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y” py q0的通解的步驟如下：第一步 寫出微分方程的特征方程r2 pr q = 0第二步 求出特征方程的兩

5、個(gè)根 , 2。第三步 根據(jù)特征方程兩個(gè)根的不同情形，按照下列表格寫出微分方程(3 3)的通解特征方程r2+pr +q =0的兩個(gè)根人，打微分方程y+py + qy = 0的通解兩個(gè)不相等的實(shí)根2y =Geix+c2e2x兩個(gè)相等的實(shí)根=為y =(G +C2X)e一對共軛復(fù)根入,2=。士涉討=e(G cos Px + C2sin Px)對 于 高 階 常 系 數(shù) 齊 次 線 性 微 分 方 程 可 以 根 據(jù) 下 表 給 出 的 特 征 方 程 的 根 寫 出 對 應(yīng) 齊 次 線性微分方程的解如下:特征方程的根微分方程通解中的對應(yīng)項(xiàng)單實(shí)根九給出一項(xiàng)Ce定理 3 3 (二階齊次線性微分方程通解的結(jié)

6、構(gòu))設(shè)(x)和y2(x)(a _ x _ b)是方程精品文檔精品文檔一對單復(fù)根 人,2 =G iPk k 重實(shí)根丸k k 重復(fù)根入,2 =a i 0給出兩項(xiàng)e饒 QCOSRX+ C2Sin Px)給出 k k 給出 k k 項(xiàng)：e3x(CHC2 +Ckxk)項(xiàng)給出 2k2k 項(xiàng)：尹(G+C2x + Ckxk)cos0 x+(D +D2x+Dkxk)sin Bx3.3. 非齊次方程y py qy二f (x)其通解是y = yi y*其中yi是對應(yīng)齊次方程的解，y*是非齊次方程的解。f(x)特解y*(x) =xke*Qm(x)k k 是特征根的重復(fù)次數(shù),f(x)二eA(x)cos x Bn(x)s

7、in :x特解y*二xke：xPm(x)cos x Qm(x)sin :xk k 是特征根鳥i :的重復(fù)次數(shù)。m =maxl, n4.4.歐拉方程xny(n)-.-any二f (x)令x =et或t = ln x，則1d2y dy d3y _ 1 fd3y3d22dy xdt dt 丿 dx x (dt dt dt 丿若引入微分算子符號(hào)D =d，則上述結(jié)果可簡記為dt解首先觀察此類方程：一階，可分離變量dy cosxdxy2(Tl，11 sin x-c，代入初值2dy dy dt 1 dyd y- - - - - -2dx dt dx x dtdxxy = Dy,d2ydt2dydt2(D -

8、 D)y =D(D -1)yd3ydt3-3$2史=(D3_3D22D)y = D(D _1)(D _2)y dt般地xky(k)= D(D _1) (D -k 1)y4.24.2 解法選例4.2.14.2.1 基本題目類例 1 1dx.y|x=02y cosx(1 sin x)2-1精品文檔2精品文檔故y = 1 sin x例 2 2xy 2y =3x解首先觀察此類方程：一階，線性非齊次方程x _2x = y2ce2y-y22dy 2xy例 5 5dx x2- y2y |x呂=12P(x) ,q(x)=3xdx+C =x +C。2x(x y)2例 3 3dxdu,丄2= dx，arctanu

9、1 u2巴=1巴dx dx=ta n(x c)則u2dx解觀察：一階，齊次方程y令u, y = ux肌udxpl.-x代入方程消去dxduu x一dx2u1 -u2整理dx積分1_U2、u(1 +u2)1du dx InGxu22udu二11dx In c1xln = l n ox1 u2u1 u2_Gx2xy2二cx代入初值x yy(i)整理x2y2=2y。3ey = edx.x精品文檔2精品文檔yy=(y)2V(o)=1y(o)=1解（1 1） 令y=p(y)y = p p代入方程精品文檔精品文檔2ypp二p ypp或p=0(y =c舍不符合初值)積分 坐=巴|n c Inp =In cy

10、p二cy即也=cy代初值c = 1dxxxy = C1e代初值y = e4.2.24.2.2 綜合題目類f (x)2 x例8設(shè)f(x)于0J上可導(dǎo)，f(0)=0,且其反函數(shù)為g(x)，若0g(t)dt =xe，求f(X)。解 對x求導(dǎo)g( f (x) f (x)二2xexx2ex，即xf (x)二2xexx2ex，故f (x)二2exxexf (x)二(x 1)ex c1，即f (x) = (x 1)ex-1。1x例 9 9f(x)于0,：)上可導(dǎo)。f(0)=1且滿足f (x) f(x)f(t)dt=01 + x 0(1(1 )求f (x)(2 2)證明當(dāng)X_0時(shí)e f (x)叮。x解(x 1

11、)f (x) (x 1)f (x) - o f (t)dt =0求導(dǎo)f (x) (x 1)f (x) f (x) (x 1) f (x) - f(x) =0則(x 1)f (x) (x 2)f (x) =0(x 1)d(x 2)f (x) dxln | f F -x Tn | x 11 c1dp解(2 2)代初值史=dx c I ny = x c yxy =Cie例 7 7 填空方程=-2x & cosxC2sin x)方程xy -2y 2y =e的通解為x=e (Cicosx C2sin x 1)方程2 xy -4y =e的通解為.2x2x12 x、y = Gec2exe)4方程y

12、2yy =e的通解為y=(*2GXC2)e精品文檔精品文檔代初值f (0) =1得f (0) = 1 c,= o f (x):1 + xxef(x)-f(0)dx空0f(x) 1$ 1 +xxex又f(x)1dx _ edx二e-1故f(x)_e01 +x0例 1010 x亠0 xf (x)有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，且滿足f(x)=-1 x 2.(x - t) f (t)f (t)dt,求f (x)。xx解f (x) = -1 x 2x o f f dt -2 o tf f dtxf (x) =120f(t) f (t)dt 2xf(x)f (x) -2xf(x)f (x) f (x2f(x)f (x)

13、f(x)=f2(x) C(注意到f (0)1, ,f (0) =1)代入初值c= 0例 1111 已知y1=ex是方程xy“-2(x 1) / (x 2)y =0的一個(gè)特解，求方程通解。解 設(shè)y2=uex也是方程的解，代入方程有.xxxxxxx(u e 2u e ue)-2(x 1)(ue ue )(2 x)ue =0dudu2dx 2整理xu - 2u =0 x 2uIn u = In cxdxu x* 2u =GXG33uxC2取C= 3,C2= 0，貝U u = x。故y- c2x3ex是方程通解例 1212 求解歐拉方程(1 1)x3y3x2y“-2xy 2y = 0；(2 2)x2y

14、“ -4xy6y = x。解(1 1)令x貝y D(D 1)(D 2)y 3D(D 1)y 2Dy 2y =0(D3-3D 2)y =0 y3y 2y =0特征方程為3-3 2 = 0(-1)2C 2) =0 -S -13 - -2貝yy = c1e 2et(c2c3t c1x x(c2Qln x)。df2=dx,積分=x c，代初值得c=1，則f (x)=-11 x精品文檔精品文檔(2 2)令x =et則D(D -1)y -4Dy 6y = et(D2-5D 6)y = dy _5y 6y = et特征方程：，2-5,；” 6 = 0，1= 2, 2= 3*tttI =1=1 不是特征根，故

15、設(shè)特解y -Aet代入方程2AeetA =-,2則方程通解y二C|e2tc2e3t二GX2c2x3- x。22例 1313 求解方程(y ycosxy)dx (x xcosxy)dy =0cQ3P解 此方程是全微分方程。因?yàn)? cosxy-xysin xydxcyxy其原函數(shù)(勢函數(shù))u = 0 0dx 0 (X xcosxydy = xy - sin xy即方程為xy - sin xy = c或解=yycosxyu二xy sin xy (y).x=x xcosxy： (y) = x xcosxy貝y:(y) = 0, (y) = c-:y即xy sin xy = c是方程的解。例 1414

16、已知y1=cosx, y2=e是二階線性齊次方程的解，試建立此方程解yy2線性無關(guān)，則y二Gcosx c2e是方程的通解(1 1)又y二-Gsin x ye *(2 2)y = -c1cosx(3 3)聯(lián)立(1 1) (3 3)求C1,02，代入(2 2)整理得(cosx -sin x)y 2cosx y (sin x cosx) y二0例 1515 設(shè)y1二e：y2= 2x是y ay = by * cy = 0的兩個(gè)解，求a, b,c值。解y = e是解，則 1 1 = T 是特征根，y = 2x是解，則，=0是特征根，且是二重根。精品文檔精品文檔23232特征方程為(九+1)幾=0即 九+

17、人=0,比較原特征方程h +a九+b+c=0精品文檔精品文檔得a =1,b = 0,c = 0。也可以將e公代入方程得-1 a -b c = 0;將討=2x代入方程得2b 2cx = 0，從而b=0, c=0,a=1。求y(0) =1,y (0) =3特解。解 非齊次方程的任兩個(gè)特解之差是齊次方程特解, 故exx,e2xx是齊次方程的解，且線性無關(guān)，故y =Ci(ex-x) C2(e2x-x) x是非齊 次方程通解。1 = G + C2代入初值3 = Ci(ex1)+c2(2e2x一1) +1打，則c?=2,& =_13= c2+1從而特解為y=2e2x-ex。4.34.3 微分方程應(yīng)

18、用問題 解題總的步驟(1)分析題意建立方程(2)依題意寫出初始條件(3)識(shí)別方程類型解方程 4.3.14.3.1 幾何問題例 1 1 設(shè)曲線I過(1,1)點(diǎn)，曲線上任一點(diǎn)p(x, y)處的切線交x軸于T點(diǎn)，若|TP|=|OT|(O是原點(diǎn))，求I的方程。解 1.1.列方程 切線方程為Yy二y(X-x)令y=0的Xx-(= OTOT)|PTY(一歲2+y2，由|TPHOT|妙可*卩例 1616 已知y p(x)y q(x)y二f (x)的三個(gè)特解為x2x _yi二x, y2二e7y3二e試a.幾何問題b.物理問題c.微元分析法 a “翻譯”數(shù)學(xué)語言整理得y2xy2 2x -y精品文檔精品文檔xy2

19、= cx代入初值x y例 2 2 設(shè)函數(shù)y = y(x) (x _ 0)二階可導(dǎo)，且y (0)0，y(0) = 1。過曲線上任一點(diǎn)P(x,y)作切線及x軸的垂線，上述兩條直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S，區(qū)間0,x上以y二y(x)為曲邊的曲邊梯形的面積記為S，且2$ - S?三1,求曲線y二y(x)。解y=y(x)在點(diǎn)P(x,y)處的切線方程為Y - y二y (X -x)它與x軸的交點(diǎn)為,0，由y(0) =1, y(x) A0知，y(x) a y(0) = 1 a 0(x a 0)于是S2 = 0Xy(t)dt，由2S1- S2三1得 J-y(t)dt = 10y0由此知y (0) =1，

20、上式兩端對x求導(dǎo)并化簡得對-y 2令y =p,y二卩亞，則方程變形為py = p2dydy2 2 結(jié)合初值條件得初值問題2xyy22x - y3 3方程是齊次方程=u，ydx=u x詈 代入方程消去y得u X竺dx2u1 -u2整理1 -u3u積分u(1 +u2)1du dxIn Cjdu -u21丄dx - ln C,xIn = I n cx1 u2u2= C|X1 u22 2整理x y =2y。1 s =21y1x -2y2y精品文檔精品文檔由y 0，即p 0，故有dp = dy p y精品文檔精品文檔解得p = &y代入初始條件y = 1, p =1得c1=1，即dy = y d

21、x于是y = c?eX代入初始條件y(0) =1，得c2= 1故所求曲線為y = ex。例 3 3 位于坐標(biāo)原點(diǎn)的我艦向位于點(diǎn)A(1,0)處的敵艦發(fā)射制導(dǎo)魚雷，設(shè)魚雷永遠(yuǎn)對準(zhǔn)敵艦，已知敵艦航速為v。在直線x =1上行駛，魚雷速度為5v。求魚雷航跡曲線。又?jǐn)撑炐旭偠噙h(yuǎn)時(shí)被魚雷擊中？解如圖，設(shè)t時(shí)刻魚雷行至P(x, y)點(diǎn)，敵艦至 T T 點(diǎn)，則c|0P| = 5| AT|。|0P|= ds= .0 .,1 y2dx。以下求 |AT|AT|。過點(diǎn) P P 的切線方程為Y-y二y(X-x),令X =1,Y = y y (1 -x)(=AT)故得方程：(J1 + y2dx = 5 y + y (1 _

22、 x)+ y 2=5y(1_x)求導(dǎo)整理得y(0) =0y(0) =0當(dāng)x =1,線段長=線段長面積=面積解方程:5dy=.1y2dx1 -xIn c15ln(y、1 y2) = _ln(1 _ x) _ lns平方:1二C(1 -x)1-2(1 -x)5y將y (0) = 0代入c=12(1 _X)5=1 y21即y -(1 -x)2代入初值2y1=(1 _x)5_(1 _x)55-2y (1_x)545(1_x)弓C265y(0)=0c2二石-|(1-x)A24小結(jié)：用幾何關(guān)系建立方程精品文檔精品文檔曲線長=線段長精品文檔精品文檔432432 物理問題例 4 4 物理問題從船上向海中沉放某

23、種探測儀器，按探測要求，需確定儀器的下沉深度y（從海平面算起）與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)儀器在重力作用下，從海平面由靜止開始鉛直下沉， 在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用。設(shè)儀器的質(zhì)量為m m,體積為 B B,海水比重為-，儀器所受的阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為k（k .0），試建立y與v所滿足的微分方程，并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng) = y（v）。d2ym 虧=mg _ B - kv dt2解取沉放點(diǎn)為原點(diǎn)0，Oy軸正向鉛直向下，則由牛頓第二定律得依題意,d2ydt2dv dv dy=）v色，代入上式消去t，得dydvmv mg - B kv dy分離變mvdy =mg - B P - kvd

24、v積分后得ymv-m(mg；B；J|n(mg-Bkv) c k由初始條件k2v0定出c =m(mg)k2ln(mg故所求函數(shù)關(guān)系式為ym(mg _ B P) inmg _ B P _ kvmg - BPk24.3.34.3.3 微元分析法例 5 5 設(shè)一半徑為 6cm6cm，高為 25cm25cm 的圓柱體容器充滿水，其底部有0.20.2（cmcm2）的小孔，那么水就以v =06.,2ghcm/s的速度從小孔流出。（h h 為自由水面到柱底的高度）2g = 980cm/s，求水流規(guī)律(h h (t t)=?)解 設(shè)t時(shí)刻，自由水面高度為h（t），再經(jīng) dtdt 時(shí)段水位下降位 dhdh則dh

25、sc os二e 4 c oxee J C= Ceox4c o x4又y(0) =1，得C=e，從而y4cosx_46 6.7 7.設(shè)曲線L上任一點(diǎn)P(x, y)滿足OP OR(如圖)，其中PR為 L L 在點(diǎn) P P 處的切線, 又知 L L 過點(diǎn)(1 1 , 2 2),求曲線 L L 的方程。解一般用微分方程解決應(yīng)用問題分三個(gè)主要步驟。(1 1 )建立方程根據(jù)題意，過P(x,y)的切線方程為Y - y = y (X - x)，故點(diǎn)R的坐標(biāo)為(0, y - xy )，由此得直 精品文檔解這種方程稱為積分方程,通常將它化為微分方程的初值問題。為此，再在等式兩端分方程的初值問題。一p(x)dx一p

26、(x)dx精品文檔精品文檔r線RQ得斜率為kRQ=匯二y，直線 0P0P 的斜率kp= -丫 ,由于OP _ OR,所以xxkopkRQ= _1，即Xyy -_1,得xyy - y2x2= 0。x x；xyyy2+ x2= 0” lx=2y x方程課變型為齊次方程y，令y二xu，有y = xU u，代入上式，得x yxiTudu一電。方程得u2- -2ln x C。將y二xu代回，得y2=x2(C -21 n x)，uxy二X.C-2I nx，以初值條件y良二=2代入，得C=4，因此曲線 L L 的方程為y = x . 4一2In x (0：x：e2)。8 8.求微分方程y”丄(y )2的通解。21解令y =v(x)，方程化為V=v，分離變量并分，v(x)，再積分兩次，x+G得y二v(x)dx - -In |x G | C2,y二C3C2x x -(x Cjln |x C1|或y =C2x C3-(x C1)ln |x C1|。9 9.10.求3