2011年上學(xué)期拓?fù)鋵W(xué)考試試卷及答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上大學(xué)拓?fù)鋵W(xué)考試試卷參考答案（A）一、選擇題 (將正確答案填入題后的括號內(nèi) ,每題3分，共15分)1、1、已知,下列集族中，（ ）是上的拓?fù)?A. B. C. D. 2、設(shè)，拓?fù)?則的既開又閉的非空真子集的個數(shù)為（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3、在實數(shù)空間中，整數(shù)集的內(nèi)部是（ ）A. B. C. R-Z D. R 4、已知是一個平庸拓?fù)淇臻g，A是的子集,則下列結(jié)論中正確的是（ ）A. 若,則 B. 若,則C. 若A=,則 D. 若,則5、平庸空間的任一非空真子集為( ) A. 開集 B. 閉集 C. 既開又閉 D. 非開非閉二、簡答題（每題3分，共15分

2、）1、空間2、空間：3、不連通空間4、序列緊致空間5、正規(guī)空間三、判斷，并給出理由（20分，每題5分，判斷2分，理由3分）1、從拓?fù)淇臻g到平庸空間的任何映射都是連續(xù)映射（ ）2、設(shè)拓?fù)淇臻g滿足第二可數(shù)性公理，則滿足第一可數(shù)性公理（ ）3、設(shè)為平庸空間（多于一點）的一個單點集，則（ ）4、Hausdorff空間中的每一個緊致子集都是閉集 ( )四、證明題（共50分）1、設(shè)都是拓?fù)淇臻g., 都是連續(xù)映射，試證明也是連續(xù)映射。(10分)2、設(shè)是從連通空間到拓?fù)淇臻g的一個連續(xù)映射.則是的一個連通子集. (10分) 3、設(shè)是Hausdorff空間，是連續(xù)映射.證明是 的閉子集. (10分) 4、設(shè)為非空

3、集合，令試證：(1) 是一個拓?fù)淇臻g；(5分)(2) 若不可數(shù)，是連通空間；(5分)(3) 為但非空間；(5分)(4) 是Lindelff空間(提示：即證的任一個開覆蓋有至多可數(shù)覆蓋)。(5分)大學(xué)拓?fù)鋵W(xué)考試試卷參考答案（A）注：此頁不作答題紙，請將答案寫在答題紙上一、選擇題 (將正確答案填入題后的括號內(nèi) ,每題3分，共15分)1、C 2、B 3、A 4、A 5、D二、簡答題（每題3分，共15分）1、空間答案：一個拓?fù)淇臻g如果有一個可數(shù)基，則稱這個拓?fù)淇臻g是一個滿足第二可數(shù)性公理的空間，簡稱為空間.2、空間：答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，如果中的任意兩個不相同的點中每一個點都有一個開鄰域不包含另一點

4、，則稱拓?fù)淇臻g是空間.3、不連通空間答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，如果中有兩個非空的隔離子集,使得,則稱是一個不連通空間.4、序列緊致空間答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g. 如果中的每一個序列都有一個收斂的子序列，則稱拓?fù)淇臻g是一個序列緊致空間.5、正規(guī)空間：答案：設(shè)是一個拓?fù)淇臻g，如果中的任何兩個無交的閉集都各自有一個開鄰域，它們互不相交，則稱是正規(guī)空間.三、判斷，并給出理由（20分，每題5分，判斷2分，理由3分）1、從拓?fù)淇臻g到平庸空間的任何映射都是連續(xù)映射（ ）答案:理由：設(shè)是任一滿足條件的映射，由于是平庸空間，它中的開集只有,易知它們在下的原象分別是,均為中的開集，從而連續(xù).2、設(shè)拓?fù)淇臻g滿足第二可數(shù)

5、性公理，則滿足第一可數(shù)性公理（ ）答案：理由:設(shè)拓?fù)淇臻g滿足第二可數(shù)性公理，是它的一個可數(shù)基，對于每一個,易知是點處的一個鄰域基，它是的一個子族所以是可數(shù)族，從而在點處有可數(shù)鄰域基，故滿 足第一可數(shù)性公理.3、設(shè)為平庸空間（多于一點）的一個單點集，則 （ ）答案：×理由：設(shè),則對于任意,有唯一的一個鄰域，且有,從而，因此是的一個凝聚點，但對于的唯一的鄰域，有,所以有.4、Hausdorff空間中的每一個緊致子集都是閉集.( )答案：理由：設(shè)是Hausdorff空間的一個緊致子集，則對于任何，若，則易知不是的凝聚點，因此，從而是一個閉集.四、證明題（共50分）1、 證：設(shè)是的任意一個開集，由于是一個連續(xù)映射，從而是的一個開集，由是連續(xù)映射，故是的一開集，因此 是的開集，所以是連續(xù)映射.2、證明：如果是的一個不連通子集，則存在的非空隔離子集使得,于是是的非空子集，并且：所以是的非空隔離子集 此外，這說明不連通，矛盾.從而是的一個連通子集. 3、 證明：對于，則，從而有互不相交的開鄰域和，設(shè)，則是的開鄰域，且,故是開集，從而是閉集. 4、證明：(1)(2) 注意；(3) 對任意，則與分別為與的開鄰域，且，因此，為空間。設(shè)為的任何開鄰域，為的任何開鄰域，則，其中，均為的至多