自動(dòng)控制第5章4

1、15.4.1相位（角）裕度和增益裕度相位（角）裕度和增益裕度ReIm01平面G大時(shí)K小時(shí)K圖5-46 的極坐標(biāo)圖) 1() 1)(1()() 1() 1)(1()(2121jTjTjTjjjjKjGnmmn 對(duì)于對(duì)于K K值比較大時(shí)值比較大時(shí)，系統(tǒng)系統(tǒng)可能不穩(wěn)定?？赡懿环€(wěn)定。當(dāng)增益增大到一定值時(shí)，當(dāng)增益增大到一定值時(shí)， 的軌跡通過(guò)的軌跡通過(guò)-1+j0-1+j0點(diǎn)。對(duì)于小點(diǎn)。對(duì)于小的的K K值，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。值，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 的軌跡靠近的軌跡靠近-1+j0-1+j0點(diǎn)的程度，可以用來(lái)度量穩(wěn)定點(diǎn)的程度，可以用來(lái)度量穩(wěn)定程度程度( (對(duì)條件穩(wěn)定系統(tǒng)不適用對(duì)條件穩(wěn)定系統(tǒng)不適用) )。 在實(shí)際系統(tǒng)中常

2、用在實(shí)際系統(tǒng)中常用相位裕量相位裕量和和增益裕量增益裕量表示。表示。 )(jG)(jG)(jG5.4 系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性2ba-110jr1/h若系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖：若系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖：a點(diǎn)：ojGjG180)(1| )(|但b點(diǎn)：1| )(|180)(jGjGo但若a點(diǎn)沿著單位圓順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)r角，則 同時(shí)成立。 ojGjG180)(, 1| )(|若b點(diǎn)沿著負(fù)實(shí)軸向左移動(dòng)到(-1,j0)點(diǎn)，則 同時(shí)成立 ojGjG180)(, 1| )(|c)(180cojG定義相角裕度為a點(diǎn)剪切頻率 x定義幅值裕度為| )(|1xjGhb點(diǎn)相角交越頻率3相位裕度、相角裕度相位裕度、相角裕度

3、(Phase Margin)設(shè)系統(tǒng)的剪切頻率設(shè)系統(tǒng)的剪切頻率(Gain cross-over frequency)為為c1)()()(cccjHjGjA相角裕度定義：相角裕度定義：開(kāi)環(huán)頻率特性在剪切頻率處所對(duì)應(yīng)的相角與開(kāi)環(huán)頻率特性在剪切頻率處所對(duì)應(yīng)的相角與1800之差，稱之差，稱為相角裕度。即：為相角裕度。即：)()(180ccjHjG相角裕度的含義：相角裕度的含義：則系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定。則系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定。對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果開(kāi)環(huán)相頻特性再滯后對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果開(kāi)環(huán)相頻特性再滯后 度。度。當(dāng)0 時(shí)，相位裕度為正值；時(shí)，相位裕度為正值；0為了使最小相位系統(tǒng)穩(wěn)定，為了使最小相位系統(tǒng)穩(wěn)定，

4、相位裕度必須為正相位裕度必須為正。在極坐標(biāo)圖上的臨界點(diǎn):幅值為0分貝，相角為180時(shí)，相位裕度為負(fù)值。時(shí)，相位裕度為負(fù)值。當(dāng)45增益裕度、幅值裕度增益裕度、幅值裕度(Gain Margin)h設(shè)系統(tǒng)的相位穿越頻率設(shè)系統(tǒng)的相位穿越頻率(Phase cross-over frequency) 12()()()(kjHjGxxx, 1, 0 k定義幅值裕度為：定義幅值裕度為：)()(1xxjHjGh幅值裕度幅值裕度h對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅頻特性再增大對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，如果系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅頻特性再增大 倍倍，則則系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定狀態(tài)。系統(tǒng)將變?yōu)榕R界穩(wěn)定狀態(tài)。h)()(log20 xxjHjGh的

5、含義是的含義是：若以分貝值表示，則有若以分貝值表示，則有1h0)(dBh增益裕度為正值；增益裕度為正值；1h 或或0)(dBh正增益裕度表示系統(tǒng)是穩(wěn)定的；負(fù)增益裕度表示系統(tǒng)是不穩(wěn)定正增益裕度表示系統(tǒng)是穩(wěn)定的；負(fù)增益裕度表示系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。的。 (最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng))若若增益裕度為負(fù)值。增益裕度為負(fù)值。x若若 或或67ba-110jr1/h若系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖：a點(diǎn)：ojGjG180)(1| )(|但b點(diǎn)：1| )(|180)(jGjGo但若a點(diǎn)沿著單位圓順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)r角，則 同時(shí)成立。 ojGjG180)(, 1| )(|若b點(diǎn)沿著負(fù)實(shí)軸向左移動(dòng)到(-1,j0)點(diǎn)，則 同時(shí)成立 ojG

6、jG180)(, 1| )(|c)(180cojG定義相角裕度為a點(diǎn)剪切頻率 x定義幅值裕度為| )(|1xjGhb點(diǎn)相角交越頻率8Stable SystemUnstable SystemBodeBode圖上相位裕度與幅值裕度表示圖上相位裕度與幅值裕度表示9Stable SystemUnstable System100)(dBh0判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的又一方法)()(180ccjHjG)()(log20 xxjHjGh11一階或二階系統(tǒng)的增益裕度為一階或二階系統(tǒng)的增益裕度為無(wú)窮大無(wú)窮大，因?yàn)檫@類系統(tǒng)的極，因?yàn)檫@類系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖與負(fù)實(shí)軸不相交。因此，從理論上講，一階或二階系坐標(biāo)圖與負(fù)實(shí)軸不相交。因此，從

7、理論上講，一階或二階系統(tǒng)不可能是統(tǒng)不可能是不穩(wěn)定的不穩(wěn)定的。當(dāng)然，一階或二階系統(tǒng)在一定意義上說(shuō)只能是近似的，這當(dāng)然，一階或二階系統(tǒng)在一定意義上說(shuō)只能是近似的，這是因?yàn)樵谕茖?dǎo)系統(tǒng)方程時(shí)，忽略了一些小的時(shí)間滯后，因此是因?yàn)樵谕茖?dǎo)系統(tǒng)方程時(shí)，忽略了一些小的時(shí)間滯后，因此它們不是真正的一階或二階系統(tǒng)。如果涉及這些小的滯后，它們不是真正的一階或二階系統(tǒng)。如果涉及這些小的滯后，則所謂的一階或二階系統(tǒng)可能是不穩(wěn)定的。則所謂的一階或二階系統(tǒng)可能是不穩(wěn)定的。對(duì)于穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，增益裕度指出了系統(tǒng)在不穩(wěn)定之前，對(duì)于穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，增益裕度指出了系統(tǒng)在不穩(wěn)定之前，增益能夠增大多少增益能夠增大多少。對(duì)于不穩(wěn)定

8、系統(tǒng)，增益裕度指出了為使系。對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)，增益裕度指出了為使系統(tǒng)穩(wěn)定，統(tǒng)穩(wěn)定，增益應(yīng)當(dāng)減少多少增益應(yīng)當(dāng)減少多少。一階或二階系統(tǒng)的增益裕度為多少？一階或二階系統(tǒng)的增益裕度為多少？126030 與5.4.2關(guān)于相位裕度和增益裕度的幾點(diǎn)說(shuō)明關(guān)于相位裕度和增益裕度的幾點(diǎn)說(shuō)明 控制系統(tǒng)的控制系統(tǒng)的相位裕度相位裕度和和增益裕度增益裕度是系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖對(duì)是系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖對(duì)-1+j0-1+j0點(diǎn)靠近程度的度量。這兩個(gè)裕度可以作為系統(tǒng)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。點(diǎn)靠近程度的度量。這兩個(gè)裕度可以作為系統(tǒng)設(shè)計(jì)準(zhǔn)則。僅僅用用增益裕度增益裕度和和相位裕度相位裕度，都不足以說(shuō)明系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。，都不足以說(shuō)明系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。為了確定系

9、統(tǒng)的為了確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性相對(duì)穩(wěn)定性，必須同時(shí)給出這兩個(gè)量。，必須同時(shí)給出這兩個(gè)量。 對(duì)于最小相位系統(tǒng)，只有當(dāng)對(duì)于最小相位系統(tǒng)，只有當(dāng)相位裕度和增益裕度都是正值相位裕度和增益裕度都是正值時(shí)，時(shí)，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。負(fù)的裕度表示系統(tǒng)不穩(wěn)定。負(fù)的裕度表示系統(tǒng)不穩(wěn)定。 適當(dāng)?shù)南辔辉６群驮鲆嬖６瓤梢苑乐瓜到y(tǒng)中元件變化造成適當(dāng)?shù)南辔辉６群驮鲆嬖６瓤梢苑乐瓜到y(tǒng)中元件變化造成的不良影響，并且指明了頻率值。的不良影響，并且指明了頻率值。 工程中為了得到滿意的性能，相位裕度應(yīng)當(dāng)在工程中為了得到滿意的性能，相位裕度應(yīng)當(dāng)在 之之間，增益裕度應(yīng)當(dāng)大于間，增益裕度應(yīng)當(dāng)大于6 6分貝。分貝。 13最小相位系統(tǒng)

10、臨界穩(wěn)定時(shí)最小相位系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)G(jw)曲線過(guò)曲線過(guò)(-1,j0)點(diǎn)，點(diǎn)，該點(diǎn)：該點(diǎn)： ojGjG180)(1| )(| -110j14例例5-9 一單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為一單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為)05. 01)(2 . 01 ()(sssKsGK=1時(shí)系統(tǒng)的相位裕度和增益裕度。要求通過(guò)增益K的調(diào)整，使系統(tǒng)的增益裕度20logh=20dB，相位裕度 40解：180)()()(xxxjHjG18005. 02 . 090)(xxxarctgarctg即9005. 02 . 0 xxarctgarctg2121211)(tgtgtgtgtgxxxx05. 02 . 0105. 02

11、. 0 005. 02 . 01xx 10 x相位穿越頻率x增益裕度15)()(log20)(xxjHjGdBh)05. 01)(2 . 01 (1log20 xxxjjj22)1005. 0(1log20)102 . 0(1log2010log20dB281720 在在x處的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅值為處的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅值為16根據(jù)根據(jù)K=1時(shí)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)時(shí)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)c1)()(ccjHjG)05. 01)(2 . 01 (1)(ccccjjjjG1)0025. 01)(04. 01 (122ccc 1c10405. 02 . 090)(cccarctgarctg 76104180)(180c相位裕度相

12、位裕度增益穿越頻率增益穿越頻率截止頻率截止頻率 )05. 01)(2 . 01 ()(sssKsG17 由題意20logh=20dB知：10h1 . 0)(xjG1 . 0)0025. 01)(04. 01 (22xxxK 5 . 225. 0141101 . 0K驗(yàn)證是否滿足相位裕度的要求。驗(yàn)證是否滿足相位裕度的要求。根據(jù)根據(jù) 40的要求，則得的要求，則得：1404018005. 02 . 090)(cccarctgarctg5005. 02 . 0ccarctgarctg2 . 105. 02 . 0105. 02 . 0cccc 4c1)0025. 01)(04. 01 (22cccK

13、2 . 502. 128. 14K不難看出不難看出，5 . 2K就能同時(shí)滿足相位裕度和增益裕度的要求。就能同時(shí)滿足相位裕度和增益裕度的要求。 10 x1819例5-11 設(shè)一單位反饋系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性如圖5-50所示(最小相位系統(tǒng))。寫(xiě)出系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則求ttr)(時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：20211lg20)51(1lg20)01. 01(1lg20)1 . 01(1lg20lg20222K1110010K10K)2 . 01)(1001 ()101 (10)(sssssG由于是最小相位系統(tǒng)，因而可通過(guò)計(jì)算相位裕度由于是最小相位系統(tǒng)，因而可通過(guò)計(jì)算相位裕度是否大于

14、零來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由圖可知是否大于零來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由圖可知1c在在c處處4 .1065101. 011 . 0190)(arctgarctgarctgc則得6 .73)(180c單位斜坡輸入時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為單位斜坡輸入時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為1 . 01011vssKe 0 0 系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定225.6 標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)中階躍標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)中階躍時(shí)間響應(yīng)與頻率響應(yīng)之時(shí)間響應(yīng)與頻率響應(yīng)之間的關(guān)系間的關(guān)系S(S+2n)n2R(s)C(s)圖3-8 標(biāo)準(zhǔn)形式的二階系統(tǒng)方塊圖_在圖在圖3-8所示的標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)中，單位階躍響應(yīng)中的最大超所示的標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)中，單位階躍響應(yīng)中的最大超調(diào)量可以精確地與頻

15、率響應(yīng)中的諧振峰值聯(lián)系在一起。因此，調(diào)量可以精確地與頻率響應(yīng)中的諧振峰值聯(lián)系在一起。因此，從本質(zhì)上看，在頻率響應(yīng)中包含的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性與在時(shí)間響應(yīng)從本質(zhì)上看，在頻率響應(yīng)中包含的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性與在時(shí)間響應(yīng)中包含的系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性信息是相同的。中包含的系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性信息是相同的。)2()(2nnsssG)2()(2nnjjjG設(shè)截剪切頻率設(shè)截剪切頻率14)(2222nccncjGc則有則有2322224nncc 422244ncnc24)4(44222222nnnc )214(2422nc24214(ncnarctg290)(根據(jù)相位裕度的定義 nccarctg290180)r

16、ctg 242142 arctg上式說(shuō)明相位裕度僅僅與阻尼比有關(guān)。上式說(shuō)明相位裕度僅僅與阻尼比有關(guān)。14)(2222nccncjG 2400.20.40.60.811.21.41.61.820102030405060708090圖圖5-515-51標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的相位裕度與阻尼比之間的關(guān)系標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的相位裕度與阻尼比之間的關(guān)系25相位裕度與阻尼比直接相關(guān)相位裕度與阻尼比直接相關(guān)。對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)，相位裕度與阻尼比之間的關(guān)系對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)，相位裕度與阻尼比之間的關(guān)系近似地用直線表示如下：近似地用直線表示如下：100因此，相位裕度相當(dāng)于阻尼比。對(duì)于具有一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)因此，相位裕度相當(dāng)于阻尼比。對(duì)于

17、具有一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)的高階系統(tǒng)，根據(jù)頻率響應(yīng)估計(jì)瞬態(tài)響應(yīng)中的相對(duì)穩(wěn)定的高階系統(tǒng)，根據(jù)頻率響應(yīng)估計(jì)瞬態(tài)響應(yīng)中的相對(duì)穩(wěn)定性（即阻尼比）時(shí)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，可以應(yīng)用這個(gè)公式。性（即阻尼比）時(shí)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，可以應(yīng)用這個(gè)公式。 對(duì)于小的阻尼比，諧振頻率與有阻尼自然頻率的值幾乎是對(duì)于小的阻尼比，諧振頻率與有阻尼自然頻率的值幾乎是相同的。因此，對(duì)于小的阻尼比，諧振頻率的值表征了系相同的。因此，對(duì)于小的阻尼比，諧振頻率的值表征了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的速度。統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的速度。221nr21nd265.6.2截止頻率與帶寬截止頻率與帶寬(Cutoff frequency and bandwidth)dB)(L0帶寬b33圖5-53

18、截止頻率與系統(tǒng)帶寬當(dāng)閉環(huán)頻率響應(yīng)的幅值下當(dāng)閉環(huán)頻率響應(yīng)的幅值下降到零頻率值以下降到零頻率值以下3分貝分貝時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率稱為時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率稱為截止截止頻率。頻率。dBjRjCjRjC3)0()0(lg20)()(lg20對(duì)于dBjRjC0)0()0(lg20系統(tǒng)dBjRjC3)()(lg20b 閉環(huán)系統(tǒng)濾掉頻率大于截止頻率的信閉環(huán)系統(tǒng)濾掉頻率大于截止頻率的信號(hào)分量，但是可以使頻率低于截止頻率的號(hào)分量，但是可以使頻率低于截止頻率的信號(hào)分量通過(guò)。信號(hào)分量通過(guò)。 閉環(huán)系統(tǒng)的幅值不低于閉環(huán)系統(tǒng)的幅值不低于-3-3分貝時(shí)，對(duì)分貝時(shí)，對(duì)應(yīng)的頻率范圍稱為系統(tǒng)的應(yīng)的頻率范圍稱為系統(tǒng)的帶寬帶寬。272222)()()(nnnssssRsC2222)2()1 (1)(nnj1)0( j2)2()1 (2222nbnb1)21 (21222nb二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：頻率特性：)0()()(AAMbb707. 0)2()1 (12222nbnb由帶寬的定義得：28帶寬指標(biāo)取決于下列因素：帶寬指標(biāo)取決于下列因素：1、對(duì)輸入信號(hào)的再現(xiàn)能力。對(duì)輸入信號(hào)的再現(xiàn)能力。 大的帶寬對(duì)應(yīng)于小的上升時(shí)間，即對(duì)應(yīng)于快速特性。大的帶寬對(duì)應(yīng)于小的上升時(shí)間，即對(duì)應(yīng)于快速特性。粗略地說(shuō)，帶寬與響應(yīng)速度成反比。粗略地說(shuō)，帶寬與響應(yīng)速度成反