余弦定理教案【DOC范文整理】

1、余弦定理教案教學設計整體設計教學分析對余弦定理的探究，教材是從直角三角形入手，通過向 量知識給予證明的.一是進一步加深學生對向量工具性的認 識，二是感受向量法證明余弦定理的奇妙之處，感受向量法 在解決問題中的威力.課后仍鼓勵學生探究余弦定理的其他 證明方法，推出余弦定理后，可讓學生用自己的語言敘述出 來，并讓學生結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)明確：如果一個三角形兩 邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直 角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角； 如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.由上 可知，余弦定理是勾股定理的推廣.還要啟發(fā)引導學生注意 余弦定理的幾種變形式，并總結(jié)余

2、弦定理的適用題型的特 點，在解題時正確選用余弦定理達到求解、化簡的目的.應用余弦定理及其另一種形式，并結(jié)合正弦定理，可以 解決以下問題：已知兩邊和它們的夾角解三角形；已知三角 形的三邊解三角形.在已知兩邊及其夾角解三角形時，可以 用余弦定理求出第三條邊，這樣就把問題轉(zhuǎn)化成已知三邊解 三角形的問題.在已知三邊和一個角的情況下，求另一個角 既可以應用余弦定理的另一種形式，也可以用正弦定理.用 余弦定理的另一種形式，可以直接判斷角是銳角還是鈍角， 但計算比較復雜.用正弦定理計算相對比較簡單，但仍要根 據(jù)已知條件中邊的大小來確定角的大小.根據(jù)教材特點，本內(nèi)容安排2課時.一節(jié)重在余弦定理 的推導及簡單應

3、用，一節(jié)重在解三角形中兩個定理的綜合應 用.三維目標.通過對余弦定理的探究與證明，掌握余弦定理的另一 種形式及其應用； 了解余弦定理與勾股定理之間的聯(lián)系； 知 道解三角形問題的幾種情形.通過對三角形邊角關系的探索，提高數(shù)學語言的表達 能力，并進一步理解三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等 知識間的關系，加深對數(shù)學具有廣泛應用的認識；同時通過 正弦定理、余弦定理數(shù)學表達式的變換，認識數(shù)學中的對稱 美、簡潔美、統(tǒng)一美.加深對數(shù)學思想的認識，本節(jié)的主要數(shù)學思想是量化 的數(shù)學思想、分類討論思想以及數(shù)形結(jié)合思想； 這些數(shù)學思 想是對于數(shù)學知識的理性的、本質(zhì)的、高度抽象的、概括的 認識，具有普遍的指導意義，

4、它是我們學習數(shù)學的重要組成 部分，有利于加深學生對具體數(shù)學知識的理解和掌握.重點難點教學重點：掌握余弦定理；理解余弦定理的推導及其另 一種形式，并能應用它們解三角形.教學難點：余弦定理的證明及其基本應用以及結(jié)合正弦定理解三角形.課時安排課時教學過程第1課時導入新思路1.在探究正弦定理的證明過程中， 從直角三角形的 特殊情形入手，發(fā)現(xiàn)了正弦定理.現(xiàn)在我們?nèi)匀粡闹苯侨?形的這種特殊情形入手，然后將銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角 形，再適當運用勾股定理進行探索，這種導入比較自然流暢， 易于學生接受.思路2.如果已知一個三角形的兩條邊及其所夾的角，根據(jù)三角形全等的判斷方法，這個三角形是大小、形狀完全確 定

5、的三角形，能否把這個邊角關系準確量化出來呢？也就是 從已知的兩邊和它們的夾角能否計算出三角形的另一邊和 另兩個角呢？根據(jù)我們掌握的數(shù)學方法，比如說向量法，坐 標法，三角法，幾何法等，類比正弦定理的證明，你能推導 出余弦定理嗎？推進新新知探究提出問題1通過對任意二角形中興邊對衣角，小邊對小角 的邊角量化，我們發(fā)現(xiàn)了正弦定理， 解決了兩類解三角形的 問題.那么如果已知一個三角形的兩條邊及這兩邊所夾的 角，根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、 形狀 完全確定的三角形.怎樣已知三角形的兩邊及這兩邊夾角的 條件下解三角形呢？2能否用平面兒何方法或向比方法或坐標方法等探 究出計算第三邊長的關系式或

6、計算公式呢？3余弦定理的內(nèi)容是什么？你能川文字語言俶述它 嗎？余弦定理與以前學過的關于三角形的什么定理在形式 上非常接近？4余弦朮Jf的另種表達形式是什么？5余弦定理町以解決哪些類型的解二角形問題？怎 樣求解？6托弦肚理與余弦尢理在應用匕有哪些聯(lián)系和區(qū) 別？活動：根據(jù)學生的認知特點，結(jié)合“余弦定理猜想與驗 證”，教師引導學生仍從特殊情形入手，通過觀察、猜想、 證明而推廣到一般.如下圖，在直角三角形中，根據(jù)兩直角邊及直角可表示 斜邊，即勾股定理，那么對于任意三角形，能否根據(jù)已知兩 邊及夾角來表示第三邊呢？下面，我們根據(jù)初中所學的平面 幾何的有關知識來研究這一問題.如下圖，在ABc中，設Bc=a,

7、Ac=b,AB= c,試根 據(jù)b、c、/A來表示a.教師引導學生進行探究.由于初中平面幾何所接觸的是 解直角三角形問題，所以應添加輔助線構(gòu)成直角三角形.在 直角三角形內(nèi)通過邊角關系作進一步的轉(zhuǎn)化工作，故作cD垂直于AB于點D,那么在RtBDc中，邊a可利用勾股定理 通過cD、DB表示，而cD可在RtADc中利用邊角關系表示，DB可利用AB,AD表示，進而在RtADc內(nèi)求解.探究過程 如下：過點c作cD丄AB,垂足為點D則在RtcDB中，根據(jù) 勾股定理，得a2=cD2+BD2.在RtADc中，cD2=b2-AD2又BD2= 2=c2-2c?AD+ AD2, a2=b2-AD2+ c2-2c?AD

8、+ AD2= b2+c2-2c?AD.又在RtADc中，AD= b?cosA, a2=b2+c22bccosA.類似地可以證明b2=c2+a22cacosB.c2=a2+b22abcosc.另外，當A為鈍角時也可證得上述結(jié)論，當A為直角時，a2+b2=c2也符合上述結(jié)論.這就是解三角形中的另一個重要定理一一余弦定理.下 面類比正弦定理的證明，用向量的方法探究余弦定理，進一 步體會向量知識的工具性作用.教師與學生一起探究余弦定理中的角是以余弦的形式 出現(xiàn)的，又涉及邊長問題，學生很容易想到向量的數(shù)量積的 定義式：a?b=|a|b|cos9，其中B為a,b的夾角.用向量法探究余弦定理的具體過程如下：

9、如下圖，設CBT=a,CAT=b,A4=c,那么c=ab,|c|2=c?c= ?=a?a+b?b2a?b=a2+b22abcosc.所以c2=a2+b22abcosc.同理可以證明a2=b2+c22bccosA,b2=c2+a22cacosB.這個定理用坐標法證明也比較容易，為了拓展學生的思路，教師可引導學生用坐標法證明，過程如下：如下圖，以c為原點，邊cB所在直線為x軸，建立平 面直角坐標系，設點B的坐標為，點A的坐標為，根據(jù)兩點 間距離公式AB二bcosca2 +bsinc02, c2=b2cos2c2abcosc+a2+b2sin2c,整理，得c2=a2+b22abcosc.同理可以證明

10、：a2=b2+c22bccosA,b2=c2+a22cacosB.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2+c22bccosAb2=c2+a22accosBc2=a2+b22abcosc余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關系，每一個等式中都包含四個不同的量，它們分別是三 角形的三邊和一個角，知道其中的三個量，就可以求得第四 個量.從而由三角形的三邊可確定三角形的三個角，得到余 弦定理的另一種形式：cosA=b2+c2a22bccosB=c2+a2b22cacosc=a2+b2c22ab教師引導學生進一步觀察、分析余弦定

11、理的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)余弦定理與以前的關于三角形的勾股定理在形式上非常接近，讓學生比較并討論它們之間的關系.學生容易看出，若厶ABc中，c=90,貝U cosc=0,這時余弦定理變?yōu)閏2=a2+b2.由此可知，余弦定理是勾股定理的推廣；勾股定理是余弦定理的特例.另外，從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì) 可知，在一個三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平 方，那么第三邊所對的角是直角； 如果兩邊的平方和小于第 三邊的平方， 那么第三邊所對的角是鈍角；如果兩邊的平方 和大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.從以上 可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣.應用余弦定理，可以解決以下兩類有關解三角形的問

12、題：1已知三角形的三邊解三角形，這類問題是三邊確定， 故三角也確定，有唯一解；2已知兩邊和它們的夾角解三角形，這類問題是第三邊 確定，因而其他兩個角也唯一確定，故解唯一.不會產(chǎn)生利 用正弦定理解三角形所產(chǎn)生的判斷解的取舍的問題.把正弦定理和余弦定理結(jié)合起來應用，能很好地解決解 三角形的問題.教師引導學生觀察兩個定理可解決的問題類 型會發(fā)現(xiàn)：如果已知的是三角形的三邊和一個角的情況，而 求另兩角中的某個角時，既可以用余弦定理也可以用正弦定 理，那么這兩種方法哪個會更好些呢？教師與學生一起探究 得到：若用余弦定理的另一種形式，可以根據(jù)余弦值直接判 斷角是銳角還是鈍角，但計算比較復雜.用正弦定理計算相

13、 對比較簡單，但仍要根據(jù)已知條件中邊的大小來確定角的大 小，所以一般應該選擇用正弦定理去計算比較小的邊所對的 角.教師要點撥學生注意總結(jié)這種優(yōu)化解題的技巧.討論結(jié)果：、見活動.余弦定理的另一種表達形式是：cosA=b2+c2a22bccosB=c2+a2b22cacosc=a2+b2c22ab利用余弦定理可解決兩類解三角形問題：一類是已知三角形三邊，另一類是已知三角形兩邊及其夾角.應用示例例1如圖，在厶ABc中，已知a=5,b=4, /c=120 ,求c.活動：本例是利用余弦定理解決的第二類問題，可讓學 生獨立完成.解：由余弦定理，得c2=a2+b22abcos120 ,因此c=52+422X

14、5X4X 12二61.例2如圖，在ABc中，已知a=3,b=2,c=19,求 此三角形各個角的大小及其面積.活動：本例中已知三角形三邊，可利用余弦定理先求出最大邊所對的角，然后利用正弦定理再求出另一角，進而求得第三角.教材中這樣安排是為了讓學生充分熟悉正弦定理和余弦定理.實際教學時可讓學生自己探求解題思路，比如 學生可能會三次利用余弦定理分別求出三個角，或先求出最 小邊所對的角再用正弦定理求其他角，這些教師都要給予鼓 勵，然后讓學生自己比較這些方法的不同或優(yōu)劣，從而深刻 理解兩個定理的內(nèi)涵.解：由余弦定理，得cos/BcA=a2+b2-c22ab=32+22.1922x3X2=9+4-1912

15、= -12,因此/BcA=120 ,再由正弦定理，得sinA=asin/BcAc=3x3219=332190.5960,因此/心36.6。或/心143.4 .因此/B=180/A-ZBcA23.4.設Bc邊上的高為AD,則AD=csinB=19sin23.41.73.所以ABc的面積12X3X1.732.6.點評：在既可應用正弦定理又可應用余弦定理時，體會 兩種方法存在的差異.當所求的角是鈍角時，用余弦定理可 以立即判定所求的角，但用正弦定理則不能直接判定.變式訓練在厶ABc中，已知a=14,b=20,c=12,求A、B和c.解：cosA=b2+c2-a22bc=202+122-1422x20

16、 x12=0.7250, A 44 cosc=a2+b2-c22ab=142+2021222 X 14X20=1131400.8071,c36.B=180180 -=100.例3如圖，ABc的頂點為A,B和c,求/A.活動：本例中三角形的三點是以坐標的形式給出的，點 撥學生利用兩點間距離公式先求出三邊，然后利用余弦定理 求出/A.可由學生自己解決，教師給予適當?shù)闹笇?解：根據(jù)兩點間距離公式，得AB=6 2 2 +58 2=73,Be二 一24 2+ 812=85,Ac二642+ 512=25.在厶ABc中，由余弦定理，得cosA=AB2+Ac2Bc22AB?Ac=23650.1047, 因此/

17、心84.0.點評：三角形三邊的長作為中間過程，不必算出精確數(shù) 值.變式訓練用向量的數(shù)量積運算重做本例.解：如例3題圖，AB=,ACT=,|AB |=73,|Ac |=20. cosA=Al? Ac|AB宀|Ac宀|=-8X 2+3X 473X20=23650.1047.因此/心84.0.例4在厶ABc中，已知a=8,b=7,B=60,求c及SABc.活動：根據(jù)已知條件可以先由正弦定理求出角A再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出角c，再利用正弦定理求出邊c,而三角形面積由公式SAABc=12acsinB可以求出.若用余弦定理求c,可利用余弦定理b2=c2+a22cacosB建立關 于c的方程，亦能達到求c

18、的目的.解法一：由正弦定理，得8sinA=7sin60 ,A1=81.8 ,A2=98.2.cl=38.2 ,c2=21.8.由7sin60 =csinc，得cl=3,c2=5,SAABc=12ac1sinB=63或SAABc=12ac2sinB=103.解法二：由余弦定理，得b2=c2+a22cacosB,72=c2+822X8Xccos60整理，得c28c+15=0,解之，得c1=3,c2=5.SAABc=12ac1sinB=63或SABc=12ac2sinB=103.點評：在解法一的思路里，應注意用正弦定理應有兩種 結(jié)果，避免遺漏；而解法二更有耐人尋味之處，體現(xiàn)出余弦 定理作為公式而直接

19、應用的另外用處，即可以用之建立方 程，從而運用方程的觀點去解決，故解法二應引起學生的注 意.綜合上述例題，要求學生總結(jié)余弦定理在求解三角形時 的適用范圍；已知三邊求角或已知兩邊及其夾角解三角形， 同時注意余弦定理在求角時的優(yōu)勢以及利用余弦定理建立 方程的解法，即已知兩邊及一角解三角形可用余弦定理解 之.變式訓練在厶ABc中，內(nèi)角A,B,c對邊的邊長分別是a,b,c.已知c=2,c=60.若厶ABc的面積等于3，求a,b;若sinB=2sinA，求ABc的面積.解：由余弦定理及已知條件，得a2+b2-2abcos60 =c2，即a2+b2-ab=4,又因為ABc的面積等于3,所以12absinc

20、=3,ab=4.聯(lián)立方程組a2+b2ab=4,ab=4,解得a=2,b=2.由正弦定理及已知條件，得b=2a,聯(lián)立方程組a2+b2ab=4,b=2a,解得a=233,b=433.所以ABc的面積S=12absinc=233.知能訓練.在ABc中，已知c=120，兩邊a與b是方程x2-3x+2=0的兩根，則c的值為A.3B.7c.3D.7.已知三角形的三邊長分別為x2+x+1,x2-1,2x+1,求三角形的最大角.答案：.D解析：由題意，知a+b=3,ab=2.在厶ABc中，由余弦定理，知c2=a2+b22abcosc=a2+b2+ab=2ab=7,c=7.解：比較得知，x2+x+1為三角形的最

21、大邊，設其對 角為A.由余弦定理，得cosA二x212+ 2x+12x2+x+122x21 2x+1=12. OvAv180,.A=120 ,即三角形的最大角為120.課堂小結(jié).教師先讓學生回顧本節(jié)課的探究過程，然后再讓學生 用文字語言敘述余弦定理，準確理解其實質(zhì)，并由學生回顧 可用余弦定理解決哪些解三角形的問題.教師指出：從方程的觀點來分析，余弦定理的每一個 等式都包含了四個不同的量，知道其中三個量，便可求得第 四個量.要通過課下作業(yè)，從方程的角度進行各種變形，達 到辨明余弦定理作用的目的.思考本節(jié)學到的探究方法，定性發(fā)現(xiàn)T定量探討T得 到定理.作業(yè)課本習題11A組4、5、6;習題11B組1

22、5.設計感想本教案的設計充分體現(xiàn)了“民主教學思想”，教師不主 觀、不武斷、不包辦，讓學生充分發(fā)現(xiàn)問題，合作探究，使 學生真正成為學習的主體，力求在課堂上人人都會有“令你 自己滿意”的探究成果.這樣能夠不同程度地開發(fā)學生的潛 能，且使教學內(nèi)容得以鞏固和延伸.“發(fā)現(xiàn)法”是常用的一 種教學方法，本教案設計是從直角三角形出發(fā)，以歸納 猜想一一證明一一應用為線索，用恰當?shù)膯栴}通過啟發(fā)和點 撥，使學生把規(guī)律和方法在愉快的氣氛中探究出來，而展現(xiàn) 的過程合情合理，自然流暢，學生的主體地位得到了充分的 發(fā)揮.縱觀本教案設計流程，引入自然，學生探究到位，體現(xiàn) 新課程理念，能較好地完成三維目標，課程內(nèi)容及重點難點

23、也把握得恰到好處.環(huán)環(huán)相扣的設計流程會強烈地感染著學 生積極主動地獲取知識，使學生的探究欲望及精神狀態(tài)始終 處于最佳狀態(tài).在整個教案設計中學生的思維活動量大，這 是貫穿整個教案始終的一條主線，也應是實際課堂教學中的 一條主線.備課資料一、與解三角形有關的幾個問題.向量方法證明三角形中的射影定理如圖，在ABc中，設三內(nèi)角A、B、c的對邊分別是a、b、c. Ac+cB=ABAc？=Ac？AB. Ac？Ac+Ac？cB=Ac？AB. |Ac|2+|Ac|cB|cos=|AB|Ac|cosA. |Ac|cB|cosc=|AB|cosA.bacosc=ccosA,即b=ccosA+acosc.同理，得a

24、=bcosc+ccosB,c=bcosA+acosB.上述三式稱為三角形中的射影定理.解斜三角形題型分析正弦定理和余弦定理的每一個等式中都包含三角形的 四個元素，如果其中三個元素是已知的，那么這個三角形一 定可解.關于斜三角形的解法，根據(jù)所給的條件及適用的定理可 以歸納為下面四種類型：已知兩角及其中一個角的對邊，如A、B、玄，解厶ABc.解：根據(jù)A+B+c=n，求出角c;2根據(jù)asinA=bsinB及asinA=csinc，求b、c.如果已知的是兩角和它們的夾邊，女口AB、c，那么先求出第三角c,然后按照來求解.求解過程中盡可能應用 已知元素.已知兩邊和它們的夾角，女口a、b、5解厶ABc.解

25、：根據(jù)c2=a2+b22abcosc，求出邊c;2根據(jù)cosA=b2+c2a22bc,求出角A;3由B=180 Ac,求出角B.求出第三邊c后，往往為了計算上的方便，應用正弦定 理求角，但為了避免討論角是鈍角還是銳角，應先求較小邊 所對的角，當然也可以用余弦定理求解.已知兩邊及其中一條邊所對的角，如a、b、A,解厶ABc.解：asinA=bsinB，經(jīng)過討論求出B;2求出B后，由A+B+c=180,求出角c;3再根據(jù)asinA=csinc，求出邊c.已知三邊a、b、5解厶ABc.解：一般應用余弦定理求出兩角后，再由180。，求出第三個角.另外，和第二種情形完全一樣，當個角求出后，可以根 據(jù)正弦

26、定理求出第二個角，但仍然需注意要先求較小邊所對 的銳角.已知三角，解ABc.解：滿足條件的三角形可以作出無窮多個，故此類問題 解不唯一.“可解三角形”與“需解三角形”解斜三角形是三角函數(shù)這章中的一個重要內(nèi)容，也是求 解立體幾何和解析幾何問題的一個重要工具.但在具體解題 時，有些同學面對較為復雜的斜三角形問題，往往不知如何 下手.至于何時用正弦定理或余弦定理也是心中無數(shù)，這既 延長了思考時間，更影響了解題的速度和質(zhì)量.但若明確了 “可解三角形”和“需解三角形”這兩個概念，則情形就不 一樣了.所謂“可解三角形”，是指已經(jīng)具有三個元素的三角形; 而“需解三角形”則是指需求邊或角所在的三角形.當一個

27、題目的圖形中三角形個數(shù)不少于兩個時，一般來說其中必有 一個三角形是可解的，我們就可先求出這個“可解三角形” 的某些邊和角，從而使“需解三角形”可解.在確定了“可 解三角形”和“需解三角形”后，就要正確地判斷它們的類 型，合理地選擇正弦定理或余弦定理作為解題工具，求出需 求元素，并確定解的情況.A+B+c=“可解三角形”和“需解三角形”的引入，能縮短求解 斜三角形問題的思考時間.一題到手后，先做什么，再做什 么，心里便有了底.分析問題的思路也從“試試看” “做做 看”等不大確定的狀態(tài)而變?yōu)椤坝械姆攀浮钡厝ネ诰颍ヌ?究.二、備用習題.ABc中，已知b2be2c2=0,a=6,cosA=78, 則

28、厶ABc的面積S為A.152B.15C.2D. 3.已知一個三角形的三邊為a、b和a2+b2+ab,則這 個三角形的最大角是A.75B.90c.120 D.150.已知銳角三角形的兩邊長為2和3,那么第三邊長x的取值范圍是A. B. c.D.如果把直角三角形的三邊都增加同樣的長度， 貝U這個 新三角形的形狀為A.銳角三角形B.直角三角形c.鈍角三角形D.由增加的長度確定5,.在厶ABc中，a,b,c分別是角A,B,c所對的邊，已知a=3,b=3,c=30,貝UA=_.在厶ABc中，三個角A,B,c的對邊邊長分別為a=3,b=4,c=6，貝bccosA+cacosB+abcosc的值為_.在AB

29、c中，若=3ab，并且sinc=2sinBcosA，試判 斷厶ABc的形狀.在ABc中，設三角形面積為S,若S=a2-2,求tanA2的值.參考答案：.A解析：由b2-bc-2c2=0,即=0,得b=2c； 由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA，即6=b2+c2-74bc.解，得b=4,c=2.由cosA=78,得sinA=158, SAABc=12bcsinA=12X4X2X158=152.c解析：設最大角為9，由余弦定理，得a2+b2+ab=a2+b22abcos9 ,cos9=-12.二9=120.D解析：若x為最大邊，由余弦定理，知4+9-x22X2X30，即x2v13,.0

30、vxv13.若x為最小邊，則由余弦定理知4+x2-90,即x2 x5.綜上，知x的取值范圍是5vxv13.A解析：設直角三角形的三邊為a,b,c,其中c為斜邊，增加長度為x.則c+x為新三角形的最長邊.設其所對的角為e，由余弦定理知，cose二a+x 2+ b+x2c+x22 a+x b+x 2 a+bc x+x22 a+x b+x 0. e為銳角，即新三角形為銳角三角形.30612解析：a=3,b=3,c=30,由余弦定理，有c2=a2+b22abcosc=3+92X3X3X32=3,a=c,貝U A=c=30. bccosA+cacosB+abcosc=b2+c2a22+c2+a2b22+

31、a2+b2c22=a2+b2+c22=32+42+622=612.解：由正弦定理，得sincsinB=cb,由sinc=2sinBcosA，得cosA=sinc2sinB=c2b,又根據(jù)余弦定理，得cosA=b2+c2a22bc,故c2b=b2+c2a22bc，即c2=b2+c2a2.于是，得b2=a2,故b=a.又因為=3ab,故2-c2=3ab.由a=b,得4b2-c2=3b2,所以b2=c2，即b=c.故a=b=c.因此ABc為正三角形.解：S=a2-2,又S=12bcsinA, 12bcsinA=a22,有14sinA二一b2+c2a2 2bc+1,即14?2sinA2 ?cosA2=

32、1cosA.12?sinA2 ?cosA2=2sin2A2. sinA2工0,故12cosA2=2sinA2, tanA2=14.第2課時導入新思路1.讓學生回顧正弦定理、余弦定理的內(nèi)容及表達 式，回顧上兩節(jié)課所解決的解三角形問題，那么把正弦定理、余弦定理放在一起并結(jié)合三角、向量、幾何等知識我們會探 究出什么樣的解題規(guī)律呢？由此展開新課.思路2.我們在應用正弦定理解三角形時，已知三角形的兩邊及其一邊的對角往往得出不同情形的解，有時有一解， 有時有兩解，有時又無解，這究竟是怎么回事呢？本節(jié)課我 們從一般情形入手，結(jié)合圖形對這一問題進行進一步的探 究，由此展開新課.推進新 新知探究提出問題1冋憶&

33、弦疋理、余弦上理及 X 另種形式的表達式，并用文字語言敘述其內(nèi)容.能寫出定理的哪些變式？正、余弦定理各適合解決哪類解一角形問題？ 解三角形常用的有關二角形的定理、性質(zhì)還右哪為什么右時解三角形會出現(xiàn)矛盾，即無解呢？比如：，已知在厶ABc中，a=22c,b=25c,A=135，解三 角形；，已知三條邊分別是3c,4c,7c,解三角形.活動：結(jié)合、幻燈片等，教師可把學生分成幾組互相提 問正弦定理、余弦定理的內(nèi)容是什么？各式中有幾個量？有 什么作用？用方程的思想寫出所有的變形，讓學生回答正、 余弦定理各適合解決的解三角形類型問題、三角形內(nèi)角和定 理、三角形面積定理等.可讓學生填寫下表中的相關內(nèi)容：解斜

34、三角形時可用的定理和公式適用類型備注余弦定理a2=b2+c22bccosAb2=a2+c22accosBc2=b2+a22bacosc已知三邊已知兩邊及其夾角類型有解時只有一解正弦定理asinA=bsinB=csinc=2R已知兩角和一邊已知兩邊及其中一邊的對角類型在有解時只有一解，類 型可有兩解、一解或無解三角形面積公式S=12bcsinA=12acsinB=12absinc已知兩邊及其夾角對于正弦定理，教師引導學生寫出其變式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2Rsinc，利用幻燈片更能直觀地看出解三角 形時的邊角互化.對于余弦定理，教師要引導學生寫出其變 式：/A90：a2b2+c

35、2;ZA=90：a2=b2+c2;/Av90：a2vb2+c2.以上內(nèi)容的復習回顧如不加以整理，學生將有雜亂無 章、無規(guī)碰撞之感，覺得好像更難以把握了，要的就是這個 效果，在看似學生亂提亂問亂說亂寫的時候，教師適時地打 出幻燈片，立即收到耳目一新，主線立現(xiàn)、心中明朗的感覺， 幻燈片除以上2張外，還有：asinA=bsinB=csinc=2R;a2=b2+c22bccosA,b2=a2+c22accosB,c2=a2+b22abcosc;cosA=b2+c2a22bc,cosB=a2+c2b22ac,cosc=a2+b2c22ab.出示幻燈片后，必要時教師可根據(jù)學生的實際情況略作 點評.與學生一

36、起討論解三角形有時會出現(xiàn)無解的情況.如問 題中的會出現(xiàn)如下解法：根據(jù)正弦定理，sinB=bsinAa=25sin133220.8311. 0vBv180,.56.21或123.79.于是c=180180 = 9.21或c=180180 = 76.79.到這里我們發(fā)現(xiàn)解三角形竟然解出負角來，顯然是錯誤 的.問題出在哪里呢？在檢驗以上計算無誤的前提下，教師 引導學生分析已知條件.由a=22c,b=25c,這里avb,而A=133是一個鈍角，根據(jù)三角形的性質(zhì)應用AvB,即B也應該是一個鈍角，但在一個三角形中是不可能有兩個鈍角 的.這說明滿足已知條件的三角形是不存在的.同樣中滿 足條件的三角形也是不存

37、在的，因為根據(jù)我們所學過的三角 形知識，任何三角形的兩邊之和都大于第三邊.而三邊在條 件3c,4c,7c中兩邊和等于或小于第三邊，在此情況下當 然也無法解出三角形.討論結(jié)果：、略.利用正弦定理和余弦定理可解決以下四類解三角形問題:1已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角.2已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.3已知三邊，求三個角.4已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角.應用示例例1在厶ABc中，角AB、c所對的邊分別為a、b、c,b=acosc且厶ABc的最大邊長為12，最小角的正弦值為13.判斷ABc的形狀；求厶ABc的面積.活動：教師與學生一起共同探究本例，通過本例帶動正 弦定理、余弦定理

38、的知識串聯(lián)，引導學生觀察條件b=acosc, 這是本例中的關鍵條件.很顯然，如果利用正弦定理實現(xiàn)邊 角轉(zhuǎn)化，則有2RsinB=2RsinA?cosc.若利用余弦定理實現(xiàn)邊 角轉(zhuǎn)化，則有b=a?a2+b2-c22ab,兩種轉(zhuǎn)化策略都是我們 常用的.引導學生注意對于涉及三角形的三角函數(shù)變換.內(nèi) 角和定理A+B+c=180。非常重要，常變的角有A2+B2=n2c2,2A+2B+2c=2n ,sinA=sin,cosA=cos,sinA2=cosB+c2,cosA2=sinB+c2等，三個內(nèi)角的大小范圍都 不能超出.解： 方法一：Ib=acosc,由正弦定理，得sinB=sinA ?cosc.又sin

39、B=sin,.sin=sinA ?cosc,即cosA?sinc=0.又TA、c,.cosA=0,即A=n2.ABc是A=90的直角三角形.方法二：Ib=acosc,.由余弦定理，得b=a?a2+b2-c22ab,b2=a2+b2-c2，即a2=b2+c2.由勾股定理逆定理，知ABc是A=90的直角三角形.ABc的最大邊長為12，由知斜邊a=12.又ABc最小角的正弦值為13,.RtABc的最短直角邊長為12X13=4.另一條直角邊長為122-42=82,.SAABc=12X4X82=162.點評：以三角形為載體，以三角變換為核心，結(jié)合正弦定理和余弦定理綜合考查邏輯分析和計算推理能力是咼考 命

40、題的一個重要方向.因此要特別關注三角函數(shù)在解三角形 中的靈活運用，及正、余弦定理的靈活運用.變式訓練在厶ABc中，角A、B、c所對的邊分別是a、b、c,且cosA=45.求sin2B+c2+cos2A的值；若b=2,ABc的面積S=3,求a.解：sin2B+c2+cos2A=1cosB+c2+cos2A=1+cosA2+2cos2A1=5950. cosA=45 , sinA=35.由SAABc=12bcsinA得3=12X2cX35,解得c=5.由余弦定理a2=b2+c22bccosA，可得a2=4+252X2X5X45=13,- a=13.例2已知a,b,c是厶ABc中/A,/B,Zc的對

41、邊， 若a=7,c=5,/A=120,求邊長b及厶ABc外接圓半徑R.活動：教師引導學生觀察已知條件，有邊有角，可由余 弦定理先求出邊b，然后利用正弦定理再求其他.點撥學生 注意體會邊角的互化，以及正弦定理和余弦定理各自的作 用.解：由余弦定理，知a2=b2+c22bccosA，即b2+522X5Xbcos120 =49,b2+5b24=0.解得b=3.由正弦定理：asinA=2R,即7sin120 =2R,解得R=733. ABc中，b=3,R=733.點評：本題直接利用余弦定理，借助方程思想求解邊b,讓學生體會這種解題方法，并探究其他的解題思路.變式訓練設厶ABc的內(nèi)角A，B, c的對邊分

42、別為a，b，c.已知b2+c2=a2+3bc,求：A的大??；sinB ?coscsin的值.解：由余弦定理，得cosA=b2+c2a22bc=3bc2bc=32,/ A= 30 .sinBcoscsin=2sinBcosc=sinBcosc+cosBsinc=sin=sinA=12.例3如圖，在四邊形ABcD中，/AD吐/BcD=75,/AcB=ZBDc=45,Dc=3,求：AB的長；四邊形ABcD的面積.活動：本例是正弦定理、余弦定理的靈活應用，結(jié)合三角形面積求解，難度不大，可讓學生自己獨立解決， 體會正、 余弦定理結(jié)合三角形面積的綜合應用.解：因為/BcD=75, /AcB= 45,所以/

43、AcD=30.又因為/BDc=45,所以/DAc=180 -=30.所以AD= Dc=3.在厶BcD中，/cBD=180 -=60,所以BDsin75 =Dcsin60 ,BD= 3sin75sin60 =6+22.c，求a、c的值.答案：.B解析：由余弦定理及面積公式，得S=c2a2b2+2ab=2abcosc+2ab=12absinc, 1coscsinc=14. tanc2=1coscsinc=14.解：由題意，知4cos2B4cosB+1=0,二cosB=12. OvBv180,.B=60.由余弦定理，知3=a2+c2ac=23ac=93ac,- ac=2.又Ta+c=3，解聯(lián)立的方程

44、組，得a=2,c=1或a=1,c=2.ac,a=2,c=1.課堂小結(jié)教師與學生一起回顧本節(jié)課我們共同探究的解三角形問題， 特別是已知兩邊及其一邊的對角時解的情況， 通過例 題及變式訓練，掌握了三角形中邊角互化的問題以及聯(lián)系其 他知識的小綜合問題.學到了具體問題具體分析的良好思維習慣.教師進一步點出，解三角形問題是確定線段的長度和角 度的大小，解三角形需要利用邊角關系，三角形中，有六個 元素：三條邊、三個角；解三角形通常是給出三個獨立的條 件，求出其他的元素，如果是特殊的三角形，如直角三角形， 兩個條件就夠了.正弦定理與余弦定理是刻畫三角形邊角關 系的重要定理，正弦定理適用于已知兩角一邊， 求其

45、他要素；余弦定理適用于已知兩邊和夾角，或者已知三邊求其他要 素.作業(yè)課本本節(jié)習題11B組6、7.補充作業(yè).在ABc中，若tanAtanB=a2b2,試判斷ABc的形 狀.在ABc中，a、b、c分別是角AB、c的對邊，A=60,Bc,b、c是方程x2-23x+ =0的兩個實數(shù)根，ABc的面積為32，求ABc的三邊長.解答：1.由tanAtanB=a2b2，得sinA ?cosBcosA?sinB=a2b2,由正弦定理，得a=2RsinA,b=2RsinB, sinA ?cosBcosA?sinB=4R2sin2A4R2sin2B. sinA ?cosA=sinB ?cosB, 即sin2A=si

46、n2B. A+B=90 或A=B,即厶ABc為等腰三角形或直角三角形.由韋達定理， 得be=,SAABc=12bcsinA=12sin60 =34=32,. =2.則原方程變?yōu)閤2-23x+2=0,解得兩根為x=31.又Be,.be.故b=3+1,e=3-1.由余弦定理a2=b2+e2-2beeosA=6,得a=6.所求三角形的三邊長分別為a=6,b=3+1,e=3-1.設計感想本教案設計的思路是：通過一些典型的實例來拓展關于 解三角形的各種題型及其解決方法，具體解三角形時，所選 例題突出了函數(shù)與方程的思想，將正弦定理、余弦定理視作 方程或方程組，處理已知量與未知量之間的關系.本教案的設計注重

47、了一題多解的訓練，如例4給出了兩種解法，目的是讓學生對換個角度看問題有所感悟，使學生 經(jīng)常自覺地從一個思維過程轉(zhuǎn)換到另一個思維過程，逐步培 養(yǎng)出創(chuàng)新意識.換一個角度看問題，變通一下，也許會有意想不到的效果.備課資料一、正弦定理、余弦定理課外探究.正、余弦定理的邊角互換功能對于正、余弦定理，同學們已經(jīng)開始熟悉，在解三角形 的問題中常會用到它，其實，在涉及到三角形的其他問題中， 也常會用到它們.兩個定理的特殊功能是邊角互換， 即利用 它們可以把邊的關系轉(zhuǎn)化為角的關系，也可以把角的關系轉(zhuǎn) 化為邊的關系，從而使許多問題得以解決.【例1】 已知a、b ABc的邊，A、B分別是a、b的 對角， 且sinAsinB=32,求a+bb的值.解:vasinA=bsinB,.sinAsinB=ab.又sinAsinB=32, ab=32.于是，由合比定理，得a+bb=3+22=52.【例21已知ABc中，三邊a、b、c所對的角分別是A、B、c，且2b=a+c.求證：sinA+sinc=2sinB.證明：va+c=2b,又asinA=bsinB=csinc,.a=bsinAsinB，c=bsincsinB.將代入，