必修二3.2直線方程

1、直線的方程直線的方程3.23.2主要內(nèi)容直線的點斜式方程直線的點斜式方程3.2.13.2.1我們知道給出直線的兩個因素，直線就能夠確定，即將直線放在直角坐標(biāo)系中就能夠確定其方程。在直角坐標(biāo)系中如果給出直線上一點和斜率，我們已經(jīng)研究了其方程表示。如果給出兩點 ， 那么直線 也就確定了，那么如何表示其方程呢？111222P (,),P (,)xyxy12PP問題一問題一 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果給定一條直線 經(jīng)過的一個點 和斜率 ，能否將直線上所有的點的坐標(biāo) 滿足的關(guān)系表示出來呢？000, yxPlkyx,xyOl0P，00 xxyyk00 xxkyy即：即：xyOl0P點斜式方程點斜式方程點斜式

2、方程點斜式方程 直線 經(jīng)過點 ，且斜率為 ,設(shè)點 是直線上不同于點 的任意一點，因為直線 的斜率為 ，由斜率公式得：000, yxPkyxP,0PlklP （1 1）過點）過點 ，斜率是，斜率是 的直線的直線 上的上的點，其坐標(biāo)都滿足方程點，其坐標(biāo)都滿足方程 嗎？嗎？00 xxkyy000, yxPkl （2 2）坐標(biāo)滿足方程）坐標(biāo)滿足方程 的點都的點都在過點在過點 斜率為斜率為 的直線的直線 上嗎？上嗎？00 xxkyy000, yxPkl 上述兩條都成立，所以這個方程上述兩條都成立，所以這個方程就是過點就是過點 斜率為斜率為 的直線的直線 的方程的方程k000, yxPl00 xxkyy點

3、斜式方程點斜式方程局限性：只適用于斜率存在的情形。局限性：只適用于斜率存在的情形。x00 yy0yy ，或，或x xy yO Ol l0Pl的方程就是的方程就是（1 1） 軸所在直線的方程是什么？軸所在直線的方程是什么？ 當(dāng)直線當(dāng)直線 的傾斜角為的傾斜角為 時，即時，即 這時直線這時直線 與與 軸軸平行或重合平行或重合，ll000tanx000tanl000tanxl000tan000tanl000tanxl000tan（2 2） 軸所在直線的方程是什么？軸所在直線的方程是什么？y00 xx0 xx ，或，或當(dāng)直線當(dāng)直線 的傾斜角為的傾斜角為 時，直線沒有斜率，這時，直線沒有斜率，這時時, ,

4、直線直線 與與 軸平行或重合，它的方程不能用點斜軸平行或重合，它的方程不能用點斜式表示這時，直線式表示這時，直線 上每一點的橫坐標(biāo)都等于上每一點的橫坐標(biāo)都等于 ，所以它的方程就是所以它的方程就是ll90ly0 xxyOl0P 例例1 直線直線 l 經(jīng)過點經(jīng)過點P0(-2,3),且傾斜角為且傾斜角為600,求直線求直線l的點斜式方程，并畫出直線的點斜式方程，并畫出直線 l. P P0 0P Px xy yo o練習(xí)練習(xí)1 1：根據(jù)下列條件，分別寫出方程；：根據(jù)下列條件，分別寫出方程；（1）經(jīng)過點（4，-2），斜率為3；（2）經(jīng)過點（3，1），斜率為1/2；（3）經(jīng)過點（2，3），傾斜角為 ；（4

5、）經(jīng)過點（2，5），傾斜角為 ；（5）斜率為2，與x軸交點的橫坐標(biāo)為-7；000903x-y-14=03x-y-14=0 x/2-y-1/2=0 x/2-y-1/2=0y-3=0y-3=0X-2=0X-2=02x-y+14=02x-y+14=0上一頁上一頁 如果直線如果直線 的斜率為的斜率為 ，且與，且與 軸的交點為軸的交點為得直線的點斜式方程，得直線的點斜式方程，lyk0 xkbyb, 0 也就是：也就是：bkxyxyOl0Pb 我們把直線與我們把直線與 軸交點的縱坐標(biāo)軸交點的縱坐標(biāo)叫做直線在叫做直線在y y軸上的軸上的截距。截距。y 該方程由直線的斜率與它在該方程由直線的斜率與它在 軸上的

6、截距確定，軸上的截距確定，所以該方程叫做直線的所以該方程叫做直線的斜截式方程斜截式方程，簡稱，簡稱斜截式斜截式. .y直線的斜截式方程直線的斜截式方程截距的值是截距的值是實數(shù)實數(shù)，它是坐標(biāo)值，不是，它是坐標(biāo)值，不是距離距離 方程方程 與我們學(xué)過的一次函數(shù)的表達(dá)式與我們學(xué)過的一次函數(shù)的表達(dá)式類似我們知道，一次函數(shù)的圖象是一條直線你如類似我們知道，一次函數(shù)的圖象是一條直線你如何從直線方程的角度認(rèn)識一次函數(shù)何從直線方程的角度認(rèn)識一次函數(shù) ？一次？一次函數(shù)中函數(shù)中 和和 的幾何意義是什么？的幾何意義是什么？bkxybkxykb 你能說出一次函數(shù)你能說出一次函數(shù) 及及 圖象的特點嗎？圖象的特點嗎？xyx

7、y3, 123xy斜截式是點斜式的特例。只適用于斜率存斜截式是點斜式的特例。只適用于斜率存在的情形。在的情形。練習(xí)練習(xí)2 2：根據(jù)下列條件，分別寫出方程；：根據(jù)下列條件，分別寫出方程；（1）在Y軸上的截距為-2，斜率為3；（2）在Y軸上的截距為5，斜率為1/2；（3）在Y軸上的截距為1，傾斜角為 ；（4）斜率為2，與x軸交點的橫坐標(biāo)為-7；00上一頁上一頁 例例2 已知直線已知直線 ，試討論試討論：（：（1） 的條件是什么？（的條件是什么？（2） 的條件的條件是什么？是什么？21/ll222111:bxkylbxkyl，21ll 解：（解：（1）若）若 ，則，則 ，此時，此時 與與 軸的交點不

8、同，即軸的交點不同，即 ；反之，；反之， ，且，且 時，時， 21/ll21kk 21ll，y21bb 21kk 21bb 21/ll （2）若）若 ，則，則 ；反之，；反之， 時，時， 21ll 121kk121kk21ll 例3 求下列直線的方程: （1）經(jīng)過點A(-1，2)，且與直線 y=3x+1垂直； （2）斜率為-2，且在x軸上的截距為5. 例例4 4 已知直線已知直線 l 的斜率為的斜率為 ，且與兩坐標(biāo)軸圍，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為成的三角形的面積為4 4，求直線，求直線l的方程的方程. .211. 直線的點斜式方程：2. 直線的斜截式方程:00 xxkyybkxy小結(jié)00

9、0yyyy或000 xxxx或直線和x軸平行時，傾斜角=0直線與x軸垂直時，傾斜角=903. 特殊情況作 業(yè)P95練習(xí)：1，2，3，4P100習(xí)題3.2 A組：1，5，6，10. y=kx+b y- y0 =k(x- x0 )復(fù)習(xí)鞏固1). 直線的點斜式方程直線的點斜式方程：3). 直線的斜截式方程直線的斜截式方程：k為斜率，為斜率， P0(x0 ,y0)為經(jīng)過直線的點為經(jīng)過直線的點 k為斜率，為斜率，b為截距為截距一、復(fù)習(xí)、引入一、復(fù)習(xí)、引入和垂直于坐標(biāo)軸的直線0)2yy 0 xx 例3 求下列直線的方程: （1）經(jīng)過點A(-1，2)，且與直線 y=3x+1垂直； （2）斜率為-2，且在x軸

10、上的截距為5.1.1.已知點已知點A(-2,1),A(-2,1),(1)(1)求經(jīng)過點求經(jīng)過點A A且平行于且平行于x x軸的直線軸的直線L L1 1方程方程? ?(2)(2)求經(jīng)過點求經(jīng)過點A A且平行于直線且平行于直線2y=6x-102y=6x-10的直線的直線L L2 2方程方程? ?(3)(3)求經(jīng)過點求經(jīng)過點A且垂直于直線且垂直于直線y=-x+2的直線的直線L3方程方程?2 2、求傾斜角為、求傾斜角為135135度，在度，在Y Y軸上的截距為軸上的截距為-9-9的直線的直線L L4 4的的方程方程? ?3.2.23.2.2直線的兩點式方程直線的兩點式方程 已知直線經(jīng)過兩點已知直線經(jīng)過

11、兩點P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )，P P2 2(x(x2,2,y y2 2) )，(x(x1 1 x x2 2 ,y,y1 1 y y2 2),),如何求出這兩個點的直線方程呢？如何求出這兩個點的直線方程呢？ 經(jīng)過一點，且已知斜率的直線，可以寫出它的點斜式方程. 可以先求出斜率，再選擇一點，得到點斜式方程.兩點式方程兩點式方程xylP2(x2，y2)2121yykxx211121()yyyyxxxx兩點式兩點式P1(x1，y1)112121yyxxyyxx00()yyk xx代入得斜率根據(jù)兩點根據(jù)兩點P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )，P P2 2(x(x2 2,

12、y,y2 2) )，這就是經(jīng)過兩點這就是經(jīng)過兩點P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )，P P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )的直線方程，簡稱兩點式的直線方程，簡稱兩點式記憶特點記憶特點：左邊全為左邊全為y，右邊全為，右邊全為x兩邊的分母全為常數(shù)兩邊的分母全為常數(shù) 分子，分母中的減數(shù)相同分子，分母中的減數(shù)相同112121yyxxyyxx兩點式兩點式 若點若點P1 （ x1 , y1 ），P2（ x2 , y2）中有中有x1 x2 , ,或或y1= y2, ,此時過這兩點的直線方程是什么？此時過這兩點的直線方程是什么？當(dāng)當(dāng)x1 x2 時時方程為：方程為： x x當(dāng)當(dāng) y1= y2

13、時時方程為：方程為： y= y112121yyxxyyxx1.1.求經(jīng)過下列兩點的直線的兩點式方程，再化求經(jīng)過下列兩點的直線的兩點式方程，再化斜截式方程斜截式方程. .(1)P(2，1)，Q(0，-3)(2)A(0，5)，B(5，0)(3)C(-4，-5)，D(0，0)123 10 2yx 2 3yx 500550yx5yx 005040yx 54yx課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：截距式方程xylA(a，0)截距式B(0，b)解：代入兩點式方程得化簡得1xyab橫截距橫截距縱截距縱截距 已知直線經(jīng)過點A（a，0），B（0，b），a0，b0，求直線方程aaxby0001 1、截距不是距離、截距不是距離，2

14、 2、截距可能是、截距可能是正數(shù)正數(shù), ,負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)和和零零 注意注意： 直線與直線與x x軸的交點軸的交點(a(a，0) 0) 的的橫坐標(biāo)橫坐標(biāo) a a 叫叫做做 直線在直線在x x軸上的截距軸上的截距1 .xyab截距式直線方程截距式直線方程: 直線與直線與y y軸的交點軸的交點(0(0，b)b)的的縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)b b叫做直叫做直線在線在y y軸上的截距軸上的截距l(xiāng)B(0，b)A(a，0)截距式方程截距式方程：1xyab注注 意：意： 1、等式的等式的右邊右邊是常數(shù)是常數(shù) 1， 2、等式的等式的左邊左邊x、y前的系數(shù)都為前的系數(shù)都為 1， 此時的此時的a和和b才是橫截距和縱截距才是橫截距和縱

15、截距說出在坐標(biāo)軸上的截距說出在坐標(biāo)軸上的截距1 ,5yx41310 xy246xyx軸上的截距是軸上的截距是3y軸上的截距是軸上的截距是10 x軸上的截距是軸上的截距是4y軸上的截距是軸上的截距是-5x軸上的截距是軸上的截距是8y軸上的截距是軸上的截距是122.2.根據(jù)下列條件求直線方程根據(jù)下列條件求直線方程（1）在）在x軸上的截距為軸上的截距為2，在，在y軸上的截距是軸上的截距是3；（2）在）在x軸上的截距為軸上的截距為-5，在，在y軸上的截距是軸上的截距是6；由截距式得：由截距式得： 整理得：整理得：123xy326 0 xy 由截距式得：由截距式得： 整理得：整理得：156xy6530

16、0 xy3.已 知 直 線 mx+ny+12=0在 x,y軸上的截距分別是-3和4,求m,n的值4,3mn中點坐標(biāo)公式 已知兩點已知兩點P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )，P P2 2(x(x2,2,y y2 2) )則線段則線段P P1 1P P2 2的中的中點點P P0 0(x,y)(x,y)的的坐標(biāo)是什么？坐標(biāo)是什么？ 1212(,)22xxyyxyA(x1，y1)B(x2，y2)中點中點121222xxxyyyP0的坐標(biāo)為 例例1:1:已知角形的三個頂點是已知角形的三個頂點是A(A(5 5，0)0)B(3B(3，3)3)，C(0C(0，2)2)，求，求BCBC邊所在的直線邊

17、所在的直線方程，以及該邊上中線的直線方程。方程，以及該邊上中線的直線方程。解：過解：過B(3,-3),C(0,2)兩點式方程為兩點式方程為：203230yx整理得：整理得：5x+3y-6=0這就是這就是BC邊所在直線的方程。邊所在直線的方程。五、直線方程的應(yīng)用五、直線方程的應(yīng)用3 03 2,22 BC邊上的中線是頂點邊上的中線是頂點A與與BC邊中點邊中點M所連所連線段，由中點坐標(biāo)公式可得點線段，由中點坐標(biāo)公式可得點M 的坐標(biāo)為：的坐標(biāo)為：31,22即即整理得：整理得：x+13y+5=0這就是這就是BC邊上中線所在的直線的方程。邊上中線所在的直線的方程。05130522yx 過過A(-5,0),

18、M 的直線方程的直線方程31,22MM 過過(1,2)(1,2)并且在兩個坐標(biāo)軸上的截距相并且在兩個坐標(biāo)軸上的截距相 等的直線有幾條等的直線有幾條? ?解解: 兩條兩條例例 2:2:那還有一條呢？那還有一條呢？y=2x (與與x軸和軸和y軸的截距都為軸的截距都為0)所以直線方程為：所以直線方程為：x+y-3=0a=3121aa把把(1,2)代入得：代入得：1xyaa設(shè)設(shè) 直線的方程為直線的方程為:解解：三條三條 變式：變式： 過過(1,2)(1,2)并且在兩個坐標(biāo)軸上的并且在兩個坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等的直線有幾條截距的絕對值相等的直線有幾條? ? 解得：解得：a=b=3或或a=-b=-1直

19、線方程為：直線方程為：y+x-3=0、y-x-1=0或或y=2x1xyabab設(shè)設(shè)直線方程小結(jié)直線方程小結(jié)兩點坐標(biāo)兩點式點斜式兩個截距截距式1xyab112121yyxxyyxx00()yyk xxP97練習(xí)：1，2.P100習(xí)題3.2A組:3,4,8,9,11.作業(yè)作業(yè) 1. 1. 求經(jīng)過點求經(jīng)過點P(0P(0，3)3)，且在兩坐標(biāo)軸上的，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為截距之和為2 2的直線方程的直線方程. .22 643例 、求過點， 和，的直線，截坐標(biāo)軸所成三角形的面積為多少？0 xyab623642yx 解：直線方程為 即：2y-12=3x-6 即：3x-2y=-612312332xyS

20、即： 2 2.求經(jīng)過點求經(jīng)過點P(-5P(-5，4)4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程相等的直線方程. .P Px xy yo o3.2.33.2.3直線的一般式方程直線的一般式方程直線方程直線方程兩點坐標(biāo)兩點式點斜式兩個截距截距式1xyab112121yyxxyyxx00()yyk xx y=kx+b斜截式方程斜截式方程 以上我們介紹了直線方程的幾種特殊形式，它們都是關(guān)于 x和y的二元一次方程，那么，關(guān)于x和y的二元一次方程 Ax+By+C=0(A,B不全為0)都表示直線嗎？ 1. 平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個關(guān)于x，y的二元一次方程表示嗎？ 2. 每

21、一個關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線嗎？討論 1. 直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式都是關(guān)于X，y的二元一次方程 2. 經(jīng)過點P（x0,y0)且斜率不存在的直線的方程： x-x0=0 可以看成y的系數(shù)為0的二元一次方程. 對于二元一次方程 Ax+By+C=0（A,B不全為零）BCxBAy1）當(dāng)B0時可化為 表示經(jīng)過點（0， ），斜率k為 的直線.BABC2) 當(dāng)B=0時，A0，方程可化為ACx表示垂直于x軸的直線.直線的一般式方程直線的一般式方程（其中A，B不同時為0）0A xB yC1. 所有的直線都可以用二元一次方程表示2. 所有二元一次方程都表示直線此方程叫做直線的一般式方程例

22、例1：求直線求直線3X+5Y-15=0的斜率的斜率以及它在坐標(biāo)軸上的截距，并作圖。以及它在坐標(biāo)軸上的截距，并作圖。例例2：設(shè)直線l的方程為： 根據(jù)下列條件分別確定m的值：（1）直線l在x軸上的截距是-3; (2 ) 直線l的斜率是1。22(23)(21)26 0(1)mmxmmymm 例3 已知直線經(jīng)過點A（6，-4），斜率為 ，求直線的點斜式和一般式方程.43在方程 中，A,B,C為何值時，方程表示的直線1）平行于X軸，2）平行于Y軸，3）與X軸重合，4）與Y軸重合0AxByC兩條直線平行和垂直的條件1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC11112222/ABCllABC1212120llA AB B平行垂直重合212121CCBBAA 例例4 4 已知直線已知直線 l1 1：ax+(x+(a+1)y-+1)y-a=0=0 和和 l2 2：( (a+2)x+2(+2)x+2(a+1)y-4=0+1)y-4=0， 若若l1 1/l2 2，求，求a的值的值. . 例例5 5 已知直線已知直線l1 1：x-x-ay-1=0y-1=0和和l2 2: :a2 2x+y+2=0 x+y+2=0，若若l1 1l2 2，求，求a的值的值. .小結(jié)小結(jié)點斜式00()yyk xx斜率和一點坐標(biāo)斜截式y(tǒng)kxb斜率k和截距b兩點坐標(biāo)兩點式點斜式兩個截距