相似三角形知識點(diǎn)總結(jié)及習(xí)題

1、相似三角形基本知識知識點(diǎn)一：放縮與相似形1.圖形的放大或縮小，稱為 圖形的放縮運(yùn)動。2.把形狀相同的兩個(gè)圖形說成是 相似的圖形，或者就說是相似性注意：相似圖形強(qiáng)調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無關(guān)。相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。我們可以這樣理解相似形：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作是由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的.若兩個(gè)圖形形狀與大小都相同，這時(shí)是相似圖形的一種特例一一全等形.3.相似多邊形的性質(zhì)：如果兩個(gè)多邊形是相似形，那么這兩個(gè)多邊形的對應(yīng)角相 等，對應(yīng)邊的長度成比例。注意：當(dāng)兩個(gè)相似的多邊形是全等形時(shí)，他們的對應(yīng)邊的長度的比值是1.知識點(diǎn)二：比例線段有關(guān)概

2、念及性質(zhì)（1）有關(guān)概念1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b 的長度分別是 m n，那么就說這兩條線段a _m的比是 a: b= m：n （或b n）2、 比的前項(xiàng)，比的后項(xiàng)：兩條線段的比 a： b 中。a 叫做比的前項(xiàng)，b 叫做比的后項(xiàng)。說明：求兩條線段的比時(shí)，對這兩條線段要用同一單位長度。a c3、 比例：兩個(gè)比相等的式子叫做比例，女口da _c4、比例外項(xiàng)：在比例b d（或 a: b= c: d）中 a、d 叫做比例外項(xiàng)。a _ c5、比例內(nèi)項(xiàng)：在比例b d（或 a: b = c： d）中 b、c 叫做比例內(nèi)項(xiàng)。a _ c6、第四比例項(xiàng)：在比例b d（或 a: b= c: d）中，

3、d 叫 a、b、c 的第四比例項(xiàng)。a _b7、 比例中項(xiàng)：如果比例中兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等，即比例為b a（或 a:b = b:c 時(shí)，我們把 b 叫做 a和 d 的比例中項(xiàng)。8、比例線段：對于四條線段 a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即a= （或 a： b=c: d），那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線b d段。（注意：在求線段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位）知識點(diǎn)三：黃金分割即 AC2=ABXBC，那么稱線段 AB 被點(diǎn) C 黃金分割，點(diǎn) C 叫做線段 AB 的黃金分割（2）比例性質(zhì)1.基本性質(zhì)2. 反比性質(zhì):ad二be（兩外項(xiàng)的積

4、等于兩內(nèi)項(xiàng)積）aebdbdae（把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換）3.更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)）：a=-，（交換內(nèi)項(xiàng)）e da=二，（交換外項(xiàng)）b d b a-=-（同時(shí)交換內(nèi)外項(xiàng)）、c a4.合比性質(zhì):a十專二寧（分子加（減）分母,分母不變）注意：實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間d -ca e發(fā)生同樣和差變化比例仍成立如：b d+b5.等比性質(zhì):（分子分母分別相加,比值不變?nèi)绻鹒n = 0)，那么注意:(2)(3)立.(1)此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)k法”，這種方法是有關(guān)比例計(jì)算，變形中一種常用方法.1）定義：在線段 AB 上，點(diǎn) C 把線段 AB 分成兩條線段A

5、C 和 BC(ACBC),如果ACABBCAC斥_1點(diǎn)，AC 與 AB 的比叫做黃金比。其中ACAB疋0.618AB。22）黃金分割的幾何作圖：已知：線段 AB.求作：點(diǎn) C 使 C 是線段 AB 的黃金分割點(diǎn).BD=-AB作法：過點(diǎn) B 作 BDL AB,使 -;2連結(jié) AD 在 DA 上截取 DE=DB3在 AB 上截取 AC=AE 則點(diǎn) C 就是所求作的線段 AB 的黃金分割點(diǎn).黃金分割的比值為:-.（只要求記?。?）矩形中，如果寬與長的比是黃金比，這個(gè)矩形叫做黃金矩形。知識點(diǎn)四：平行線分線段成比例定理（一）平行線分線段成比例定理1.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線,所得的對

6、應(yīng)線段成比B2.推論:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段成比已知 I可得ABBCDEEF3泛,條件是平行.3.推論的逆定理:如果一條直線截三角形的兩邊成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊.（即利用比例式證平行線）4.定理：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊 與原 三角形三邊對應(yīng)成比例.5.平行線等分線段定理：三條平行線截兩條直線,如果在一條直線上截得的線段相等，難么在另一條直線上截得的線段也相等。三角形一邊的平行線性質(zhì)定理定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得的線段對應(yīng)成比例。幾何語言/ ABE 中 BD/ CEAB AD上=

7、上.BC一DE簡記：下下DE上上 下AE推廣：類似地還可以得到全 全和全由 DE/ BC可得:ADDBEC AD EA ABAC（或兩邊的延長線）所得的對應(yīng)線段AB _ AD BC歸納：AC AE和AC三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊 對應(yīng)成比例.三角形一邊的平行線的判定定理A三角形一邊平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的

8、第三邊.平行線分線段成比例定理1.平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應(yīng)線段成比例知識點(diǎn)五：相似三角形1、相似三角形1）定義：如果兩個(gè)三角形中，似三角形。幾種特殊三角形的相似關(guān)系：三角對應(yīng)相等，三邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形叫做相兩個(gè)全等三角形一定相似。兩個(gè)等腰直角三角形一定相似。兩個(gè)等邊三角形一定相似。兩個(gè)直角三角形和兩個(gè)等腰三角形不一定相似。補(bǔ)充：對于多邊形而言，所有圓相似；所有正多邊形相似（如正四邊形、正五邊形等等）2）性質(zhì)：兩個(gè)相似三角形中，對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例。3） 相似比：兩個(gè)相似三角形的對應(yīng)邊的比，叫做這兩個(gè)三角形的相似比。如厶 ABC 與厶 DE

9、F 相似，記作 ABC DEF。相似比為 k。4）判定:定義法：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。三角形相似的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三用符號語言表示:AD/ BE/ CF,.AB DE BC EFBC 一 EF AC 一 DFAB DEAC 一DF2平行線等分線段定理： 兩條直線被三條平行的直線所截， 如果在一直線上所 截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等亠 一ADLJBE_CF】用符號語言表示：=AB = BC.DE=DF J重心定義：三角形三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的重心.重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離

10、，等于它到對邊中點(diǎn)的距離的兩倍角形相似三角形相似的判定定理：判定定理1:如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似.（此定理用的最多）判定定理2:如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾 角相等，那么這兩個(gè)三角形相似.簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似.判定定理3:如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似.簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似.直角三角形相似判定定理：1.斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。2.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三

11、角形與原直角三角形相似，并且分成 的兩個(gè)直角三角形也相似。補(bǔ)充一：直角三角形中的相似問題:斜邊的高分直角三角形所成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似射影定理：Ct2=ADBC，AC2=AD- AB,BC2=BD- BA（在直角三角形的計(jì)算和證明中有廣泛的應(yīng)用）補(bǔ)充二：三角形相似的判定定理推論推論一：頂角或底角相等的兩個(gè)等腰三角形相似。推論二：腰和底對應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。推論三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似。推論五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對應(yīng)部分成比 例，那么這兩個(gè)三角形相似。相似

12、三角形的性質(zhì)1相似三角形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例2相似三角形對應(yīng)高、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)中線、周長的比都等于相似比（對應(yīng)邊的比）.3相似三角形對應(yīng)面積的比等于相似比的 平方.2、相似的應(yīng)用：位似1）定義：如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖 形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比。需注意：位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形， 而相似圖形不一定是位似圖形。兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)。3兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)。4位似比就是相似比。2)性質(zhì)：位似圖形首先是相似圖形，所以它

13、具有相似圖形的一切性質(zhì)。2位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質(zhì)，位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離等于位似比(相似比)。3每對位似對應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線，不經(jīng)過位似中心的對應(yīng)線段平行。中考試題分類匯編相似三角形一、選擇題1 如圖 1,已知 AD 與 BC 相交于點(diǎn) O,AB/CD,如果/ B=40，/ D=30，則/ AOC 的大小為()A.60 B.70 C.80 D.120 2、如圖，已知 D、E 分別是 ABC 的 AB、AC 邊上的點(diǎn)，DE BC,且 SADE：S四邊形DBCE=1、 那么 AE:AC等于()3、圖為 ABC 與 DEC 重迭的情形，其中 E 在 BC

14、上，AC 交 DE 于 F 點(diǎn)，且 AB / DE。若 ABC 與 DEC的面積相等，且 EF=9 , AB=12，貝 U DF= ?()(A) 3(B) 7(C) 12(D) 15。4、如圖是小明設(shè)計(jì)用手電來測量某古城墻高度的示意圖，點(diǎn) P 處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn) A 出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD 勺頂端 C 處， 已知 AB 丄 BD, CDL BD 且測得 AB=1.2圖米，BP=1.8 米，PD=12 米， 那么該古城墻的高度是（A 6米 B、8 米 C、18 米 D、24 米5、如圖，DEF是由ABC經(jīng)過位似變換得到的， 點(diǎn)0是位似中心,OA,OB，0C的中點(diǎn)，貝U D

15、EF與ABC的面積比是（）A .1：6B. 1：5 C. 1: 4D. 1：26、給出兩個(gè)命題：兩個(gè)銳角之和不一定是鈍角；各邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)多邊形一定相似.()A.真真B.假真C.真假D.假假7、如圖 2 所示，Rt ABC s Rt DEF，貝 U cosE 的值等于()A.1B.返C.魚D.22 23AD8、如上圖，直角梯形 ABCD 中，/ BCD= 90, AD/ BC, BC= CD E 為梯形內(nèi)一點(diǎn)，且/ BEC =90。，將 BEC 繞 C 點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 90使 BC 與 DC 重合，得到 DCF 連 EF 交 CD 于 M.已知 BC10、已知ABC DEF，相似比為 3,且厶 A

16、BC的周長為 18,則DEF的周長為D,E,F分別是=5, CF= 3,貝 U DM:MC 勺值為()A.5:3B.3:5C.4:3D.3:49、如圖，在 厶ABC中，D、E分別是AB、A. 5C. 3AC邊的中點(diǎn)，若BC = 6，貝 UDE等于B. 4D. 2)A( )A. 2B. 3C. 6D. 5411、如圖，Rt ABAC 中,AB 丄 AC,AB=3,AC=4,P 是 BC 邊上一點(diǎn)，作 PE 丄 AB 于 E,PD 丄 AC于xA.35xB. 4 -57C.-212xD.-512x25D,設(shè) BP=x，貝 U PD+PE =()D12、如圖，在 Rt ABCb2=a2c2內(nèi)有邊長分

17、別為a, b, c的三個(gè)正方形，B、b = acD、b = 2a = 2c則a, b, c滿足的關(guān)系式是（BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，則圖中陰影部分的面積是 ABC 的面積的()A .121B . 一c 993113、如圖， ABC 是等邊三角形，被一平行于EAH（ （第 13 題圖）14、下列四個(gè)三角形，與左圖中的三角形相似的是（）(第 7 題)A.B.C.D.15、在同一時(shí)刻，身高1.6 米的小強(qiáng)在陽光下的影長為則樹的高度為（A4.8 米B 6.4 米C、9.6 米0.8 米，一棵大樹的影長為4.8 米,）D、10 米二、填空題1、如圖，D, E兩點(diǎn)分別在ABC的邊AB, AC上

18、，DE與BC不平行，當(dāng)滿足 _ 條件（寫出一個(gè)即可）時(shí)， ADE ACB.2、 如果兩個(gè)相似三角形的相似比是1: 3，那么這兩個(gè)三角形面積的比是_.3、如圖 5,平行四邊形ABCD中，E是邊BC上的點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F,如果BEBC3FD4、 在 Rt ABC 中，/ C 為直角，CtUAB 于點(diǎn) D,BC=3,AB=5,寫出其中的一對相似三角形是 _ 和_ ;并寫出它的面積比5、如圖，點(diǎn)A A A A在射線OA上，點(diǎn)B,B2,B3在射線OB上，且AB,/AB2/AB3,A，B,/AB2/A4B3若A，B,B2,A3B2B3的面積分別為 1, 4，則圖中三個(gè)陰影三角形面積之和為_ 6、兩個(gè)相似

19、三角形的面積比 S:S2與它們對應(yīng)高之比hi：h2之間的關(guān)系為7、如圖 8 , D、E分別是 ABC的邊 AB、AC 上的點(diǎn)，則使 AED s ABC的條件是 _8、如圖 4,已知 AB 丄 BD , ED 丄 BD , C 是線段 BD 的中點(diǎn)，且 AC 丄CE, ED=1 , BD=4，那么 AB=_9、_ 如圖，在 ABC中，D, E分別是AB, AC的中點(diǎn)，若DE = 5，則BC的長是_.10、 如圖 3，要測量 A、B 兩點(diǎn)間距離，在 O 點(diǎn)打樁，取 OA 的中點(diǎn) C, OB 的中點(diǎn) D,測得 CD=30 米，貝 U AB=_ 米.BA圖 3三、解答題1 如圖5,在厶ABC中， BC

20、AC 點(diǎn)D在BC上， 且 DC= AC, / ACB的平分線 CF 交 AD 于 F,點(diǎn) E 是 AB 的中點(diǎn)，連結(jié) EF.(1) 求證：EF/ BC.(2) 若四邊形 BDFE 的面積為 6,求厶 ABD 的面積.2、如圖：在等腰 ABC 中，CH 是底邊上的高線，點(diǎn) P 是線段 CH 上不與端點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，連接 AP 交 BC 于點(diǎn) E,連接 BP 交 AC 于點(diǎn) F.(1)證明：/ CAE=/ CBF;證明：AE=BF;以線段 AE, BF 和 AB 為邊構(gòu)成一個(gè)新的三角形ABG (點(diǎn) E 與點(diǎn) F 重合于點(diǎn) G),記厶 ABC和厶 ABG 的面積分別為SA ABC和SA ABG如果

21、存在點(diǎn) P,能使得 &ABC=SAABG求/ C 的取值范圍。3、如圖 10,四邊形 ABCD DEFG 都是正方形，連接相交于點(diǎn) N.求證：(1)AE = CG；(2)ANDN =CN *MN .S10AE、CG,AEHD4、如圖，在Rt ABC中，.A =90,AB =6,AC =8,D, E分別是邊AB, AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DE方向運(yùn)動，過點(diǎn)P作PQ _ BC于Q,過點(diǎn)Q作QR / BA交AC于R，當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動.設(shè)BQ =x,QR = y.(1) 求點(diǎn)D到BC的距離DH的長；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍)；5、如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC, CD于點(diǎn)P, Q.(1)請寫出圖中各對相似三角形(相似比為1 除外);C(2) 求BP : PQ :QR.6、如圖，口ABCD 中, E 是 CD 的延長線上一點(diǎn),求證： ABFACEB;若 DEF 的面積為 2，求口ABCD 的面積。7、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C(-3,0)，點(diǎn)A, B分別在x軸，y軸的正半軸上，且1BE 與 AD 交于點(diǎn) F,DE