第5講-矩陣的運算

1、4 4、矩陣的轉(zhuǎn)置、矩陣的轉(zhuǎn)置5 5、方陣的行列式、方陣的行列式1 1、矩陣的加法、矩陣的加法, ,減法減法2 2、矩陣的數(shù)乘、矩陣的數(shù)乘三、三、 矩陣的運算矩陣的運算3 3、矩陣與矩陣相乘、矩陣與矩陣相乘6 6、方陣的伴隨矩陣、方陣的伴隨矩陣第五講第五講 矩陣的定義及運算矩陣的定義及運算一、矩陣的定義一、矩陣的定義7 7、方陣的逆矩陣、方陣的逆矩陣二、幾種特殊的矩陣二、幾種特殊的矩陣 (1) ABBA (3) AB=OA=O或B=O / (2) AC=BCA=B / 1 1、矩陣乘法性質(zhì)除下列幾條外，其余和實數(shù)的乘法矩陣乘法性質(zhì)除下列幾條外，其余和實數(shù)的乘法性質(zhì)相同性質(zhì)相同 (4) A2=O

2、A=O / 乘法一般不滿足交換律乘法一般不滿足交換律A左乘左乘B，右乘，右乘乘法一般不滿足消去律乘法一般不滿足消去律相同的運算律P33CO 例:三、矩陣與矩陣相乘三、矩陣與矩陣相乘10 0010 001E = 2 2、單位矩陣性質(zhì)、單位矩陣性質(zhì)ImAm n= =Am nAm nEn= =Am n 單位陣與任意矩陣相乘單位陣與任意矩陣相乘( (只要有意義只要有意義) )結(jié)果不變結(jié)果不變類似于數(shù)類似于數(shù)1在數(shù)的乘法中的作用。在數(shù)的乘法中的作用。EA=AE=A注意E階數(shù)3、方陣的冪：、方陣的冪：對于對于方陣方陣A及自然數(shù)及自然數(shù)k 記記 Ak=A A A (k個個A相乘相乘)只有方陣只有方陣才能才能

3、自乘自乘規(guī)定規(guī)定0()n nnAE=性質(zhì)性質(zhì)：(1) ArAs= =Ar+ +s(2) (Ar)s= =Ars22222()()2 ()()kkkABA BABAABBABABAB= =+=+=+=+=思考：思考：下列等式在什么時候成立？下列等式在什么時候成立？A、B可交換時成立可交換時成立AB=BA4、方陣的多項式：、方陣的多項式：設(shè)為x的m次多項式，則稱10( )mmf xa xa xa=+10( )mmf Aa Aa Aa E=+( )f A為方陣A的m次多項式。例：已知f(x)=x2x2，A= ，求f(A) 3 1 2 1 1 0 3 1 1 f(A)= =22AAE 解解： 3 1

4、2 1 1 0 3 1 1 2 3 1 2 1 1 0 3 1 1 0 2 0 0 0 2 2 0 0 14 2 5 0 0 1 13 3 5= = 3 1 2 1 1 0 3 1 1 0 2 0 0 0 2 2 0 0 11 -1 3 1 1 1 3 8 2 4= =已知f(x)=x2x2，A= ，求f(A) 3 1 2 1 1 0 3 1 1 f(A) = =22AAE = =例：已知f(A)=( )5AAE=+2AE(A) ( )( ) ( )?f Af AA=4、方陣的多項式：、方陣的多項式：性質(zhì)性質(zhì)：(2) (2) A的幾個多項式可像數(shù)x x的多項式一樣相乘或分解因式 (A) ( )

5、( ) ( )f Af AA=（1)1)22AAE(A 2E)(A E)=+(A 3E)(A 2E)+=26AAE若A A為n n階方陣，則也為n n階方陣( )f A 設(shè)為x的m次多項式，則稱10( )mmf xa xa xa=+10( )mmf Aa Aa Aa E=+為方陣A的m次多項式。四、矩陣的轉(zhuǎn)置四、矩陣的轉(zhuǎn)置P36P36定義：定義：把矩陣把矩陣 A A 的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做叫做 A A 的的轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣，記作，記作 A AT T . .例例: :122,458A= = 186 ,B = =1425 ;28TA= =18.6TB=

6、 =第第1 1行變?yōu)榈谛凶優(yōu)榈? 1列，第列，第2 2行變行變?yōu)榈跒榈? 2列列, ,第第n n行變?yōu)榈谛凶優(yōu)榈趎 n列列(4) (AB)T = = BTAT (A1A2A3.An)T =(An)T(An-1)T.(A2)T(A1)T1 1、轉(zhuǎn)置的運算律、轉(zhuǎn)置的運算律P36P36(1) (AT)T= = A (2) (A+ +B)T= = AT+ +BT (3) (kA)T= = kAT 注意矩陣的次序例例 已知已知 171201,423, .132201TABAB =求求解法解法1 11712014231322010143 ,171310AB = = = =017()1413 .3 10TA

7、B = = 解法解法2 2()TTTABB A= =14221017720031413 .13112310=例例 已知已知 171201,423, .132201TABAB = = = 求求2 2、A A是對稱陣是對稱陣.A為對稱陣為對稱陣?yán)缋?= =6010861612說明：說明：AT = = A對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等 例例 設(shè)設(shè)A,BA,B為對稱陣，判斷下列矩陣是否為對稱陣？為對稱陣，判斷下列矩陣是否為對稱陣？ A+B，A-B ，AB, kA例例2 2 設(shè)列矩陣設(shè)列矩陣 滿足滿足 TnxxxX,21= =, 1= =XXT.,2,E

8、HHHXXEHnETT= = = =且且陣陣是對稱矩是對稱矩證明證明階單位矩陣階單位矩陣為為證明證明 TTTXXEH2 = =2TTTEXX=2()TTTEXX=.是對稱矩陣是對稱矩陣HTHH2(E 2XX )TTEXX=2TEXX=.E= =2TTEXX=2TEXXH=(E 2XX )TE=2(E 2XX )TTXX2TXX4TTXX XX+4TEXX=4TXX+4 ()TTX X X X4TXX=五、方陣的行列式五、方陣的行列式定義：定義：由由 n 階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣方陣 A 的行列式的行列式，記作，記作| |A| |或或detA. .運算

9、律運算律P38(1) ;TAA= =(2);ABAB=例例1 1 A=1 23 4 |A|=detA=1 23 4= -2n為方陣的階數(shù)（3） | l lA|= =l ln |A|determinant 1、|AB| = =|A|B|k個個A= |A| kABCDABCD=kAAAA= 注：注： |AB| |BA| |AB| =|A|B| |BA| =|B|A|=方陣積的行列式=行列式的積 盡管盡管AB BA，但但= AAAk個個A,B求行列式有意義(5次作業(yè)T3)運算律運算律P382、 | l lA|= =l ln |A|n為方陣的階數(shù)例例1 1=333231232221131211aaaa

10、aaaaaA則=333231232221131211aaaaaaaaaAllllllllll| l lA|=333231232221131211aaaaaaaaa=l=l3333231232221131211aaaaaaaaalllllllll= =l l3 |A|例例2 2設(shè)矩陣設(shè)矩陣A A為八階矩陣為八階矩陣l8 |A|lA| =例例3 3 設(shè)A=(aij)為三階矩陣，若已知|A|=2,則解解：|A|A|=(2)3|A|=(2)3(2)=16|2A|2()TA=()A=()A A = =例例4 4 設(shè)設(shè) A=3 25 4 7 -4 -5 32 13 4B=C=求求 (1) |ATB2C|

11、解解(1) | ATB2C|=| AT | . | B2 |. | C | =| A | . | B | 2 . | C | =3 25 4 7 -4 -5 32 13 42=212 5=10=|3 BBT | 2= (32| BBT |)2= (32 | B |.|BT |)2=81(2) | (3BBT)2|(2) | (3BBT)2|111212122212.nnnnnnaaaaaaAaaa= =置，所得矩陣稱為置，所得矩陣稱為A A的的伴隨矩陣伴隨矩陣， 將將A A中所有元素中所有元素 ija都改為它的代數(shù)余子式都改為它的代數(shù)余子式 ijA后，再轉(zhuǎn)后，再轉(zhuǎn)記做記做*A，即即*TA =

12、= 11A12A.1nA21A22A.2nA.1nA2nA.nnA = = 11121.nAAA21222.nAAA.12.nnnnAAA*A定理：定理：設(shè)設(shè)abAcd= =，則，則A的伴隨矩陣為的伴隨矩陣為*A = =11122122TAAAAT = = dc b adbca = = 伴隨矩陣的伴隨矩陣的基本性質(zhì)：基本性質(zhì)：*AAA AA E= = =例：例：設(shè)設(shè)1243A= =二階伴隨：二階伴隨：主交換，副變號主交換，副變號*A = =3241 可交換P39練習(xí)練習(xí)，證明，證明 設(shè)設(shè)n階矩陣階矩陣A的伴隨矩陣為的伴隨矩陣為*A*1|A | |A|n = =七、七、n階階方陣的逆：方陣的逆：

13、1A1 1、逆矩陣的定義、逆矩陣的定義2 2、矩陣可逆的充要條件、矩陣可逆的充要條件4 4、逆矩陣的運算律、逆矩陣的運算律5 5、解矩陣方程、解矩陣方程3 3、若矩陣、若矩陣A A可逆，求逆可逆，求逆1 1、逆矩陣的定義、逆矩陣的定義 對于對于n階階方陣方陣A，若，若ABBAE=對于對于數(shù)數(shù)a,a,若若1=abba稱稱 互為倒數(shù)互為倒數(shù), a b稱稱A,B互為逆矩陣互為逆矩陣P39 P39 定義定義7 7 =B1A 1=abABBAE=A A 可逆可逆, ,且且1=AB注：注： （1）A, ,B互為逆矩陣，同階方陣 例例1,E1,E,21212121,1111 = = = =BA,EBAAB=

14、 = =.的一個逆矩陣的一個逆矩陣是是AB若 則C也是A的一個逆矩陣，B與C?,ACCAE=例例2 21 1、逆矩陣的定義、逆矩陣的定義 （3 3）若）若A可逆，即：可逆，即： 存在，則存在，則1A11AAA AE=（4 4） 不一定存在，即：不一定存在，即：A可能不可逆可能不可逆1A（2 2）若）若A可逆，逆矩陣必可逆，逆矩陣必唯一唯一，記作，記作 1AABBAE=A A 可逆可逆, ,且且1=AB注：注： （1）A, ,B互為逆矩陣，同階方陣可交換 不能不能記作1A2 2、矩陣可逆的充要條件、矩陣可逆的充要條件 P39P39定理定理1 1、2 2P40推論A 可逆可逆0AA 非奇異非奇異A 不可逆不可逆0A=A 奇異奇異3 3、若矩陣、若矩陣A A可逆，求可逆，求1A,11 = =AAA（2 2）若）若 存在，則存在，則 1A（3 3）若）若 存在，初等變換方法存在，初等變換方法1A 是數(shù)，是數(shù)