高中數(shù)學(xué)2-3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(3課時(shí))課件新人教A版必修

1、2.3 2.3 等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和第一課時(shí)第一課時(shí) 問題提出問題提出t57301p21.1.等差數(shù)列的內(nèi)涵特征是什么？等差數(shù)列的內(nèi)涵特征是什么？ 如何用如何用遞推公式描述？遞推公式描述？從第從第2 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)于同一個(gè)常數(shù). .1(2)nnaad n-=或an1an12 an(n2).2.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么？等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么？ana1( (n1) )dam( (nm) )dpnq. .mnpqaaaamnpqaaaa3.3.在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中中 的條件是什么？特別地，的條件是什么

2、？特別地，a a1 1a an n可以等可以等于什么？于什么？mnpqaaaamn=pq mnpqaaaaa1ana2an1a3an2.4.4.數(shù)列的通項(xiàng)公式能反映數(shù)列的基本特?cái)?shù)列的通項(xiàng)公式能反映數(shù)列的基本特性，在實(shí)際問題中常常需要求數(shù)列的前性，在實(shí)際問題中常常需要求數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和. .對(duì)于等差數(shù)列，為了方便運(yùn)算，我對(duì)于等差數(shù)列，為了方便運(yùn)算，我們希望有一個(gè)求和公式，這是一個(gè)有待們希望有一個(gè)求和公式，這是一個(gè)有待研究的課題研究的課題. .知識(shí)探究（一）：知識(shí)探究（一）：求和公式的推導(dǎo)求和公式的推導(dǎo) 思考思考1 1：有一堆鋼管如圖擺放，你有什么有一堆鋼管如圖擺放，你有什么辦法快速數(shù)出這堆

3、鋼管的總數(shù)？辦法快速數(shù)出這堆鋼管的總數(shù)？思考思考2 2：200200多年前，高斯的算術(shù)老師提多年前，高斯的算術(shù)老師提出了下面的問題：出了下面的問題： 1 12 23 3100100？據(jù)說高斯很快就算出了正確答案據(jù)說高斯很快就算出了正確答案, ,你知道你知道他是如何計(jì)算的嗎他是如何計(jì)算的嗎? ?(1(1100)100)(2(299)99)(50(5051)51)10110150505050.5050.思考思考3 3：高斯的算法實(shí)際上解決了求等差高斯的算法實(shí)際上解決了求等差數(shù)列數(shù)列1 1，2 2，3 3，n n，前前100100項(xiàng)的和的項(xiàng)的和的問題，利用這個(gè)算法，問題，利用這個(gè)算法，1 12 23

4、 3n n等于什么？等于什么？(1)2n n 思考思考4 4：上述算法叫做上述算法叫做倒序相加法倒序相加法. .一般一般地，地，設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n，即，即 ，利用倒序，利用倒序相加法如何求相加法如何求S Sn n？所得結(jié)果如何？所得結(jié)果如何？12nnSaaa=+L1()2nnn aaS思考思考5 5： 就是等差數(shù)列就是等差數(shù)列的前的前n n項(xiàng)和公式，用文字語言如何表述這項(xiàng)和公式，用文字語言如何表述這個(gè)公式？個(gè)公式？等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項(xiàng)和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和的項(xiàng)和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和的一半與項(xiàng)數(shù)的積一半與項(xiàng)數(shù)的積. .1()2nnn aaS

5、+=知識(shí)探究（二）：知識(shí)探究（二）：求和公式的變通求和公式的變通 思考思考1 1：若若n n為奇數(shù)，則為奇數(shù)，則 據(jù)此，等差數(shù)列前據(jù)此，等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式可變形為什項(xiàng)和公式可變形為什么？么？1122nnaaa+=12nnSna+=思考思考2 2：將將a an na a1 1(n(n1)d1)d代入等差數(shù)代入等差數(shù)列前列前n n項(xiàng)和公式，則求和公式變形為什么？項(xiàng)和公式，則求和公式變形為什么？思考思考3 3：將將a a1 1a an n(n(n1)d1)d代入等差數(shù)代入等差數(shù)列前列前n n項(xiàng)和公式，則求和公式變形為什么？項(xiàng)和公式，則求和公式變形為什么？2) 1(1dnnnaSn(1)2nnn

6、 ndSna-=-思考思考4 4：如何用如何用a a1 1，a an n，d d三個(gè)元素表示三個(gè)元素表示S Sn n？11(1)()nnnaaSaad-=+理論遷移理論遷移 例例1 1 在等差數(shù)列在等差數(shù)列 an 中，中，已知已知 ，求求S7.4053 aa1777()74014022aaS+= 例例2 20002 2000年年1111月月1414日教育部下發(fā)了日教育部下發(fā)了關(guān)于在關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施中小學(xué)實(shí)施“校校通校校通”工程的通知工程的通知. .某市據(jù)此提某市據(jù)此提出了實(shí)施出了實(shí)施“校校通校校通”工程的總目標(biāo)：從工程的總目標(biāo)：從20012001年起年起用用1010年的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不

7、同標(biāo)準(zhǔn)的校年的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)園網(wǎng). .據(jù)測(cè)算，據(jù)測(cè)算，20012001年該市用于年該市用于“校校通校校通”工程的工程的經(jīng)費(fèi)為經(jīng)費(fèi)為500500萬元，為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃萬元，為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金比上一年增加每年投入的資金比上一年增加5050萬元。那么從萬元。那么從20012001年起的未來年起的未來1010年內(nèi)，該市在年內(nèi)，該市在“校校通校校通”工程工程的總投入是多少？市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為的總投入是多少？市出租車的計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)為1.21.2元元/km/km，起步價(jià)為，起步價(jià)為1010元，即最初的元，即最初的4km4km（不含（不含4 4千米）千

8、米）計(jì)費(fèi)計(jì)費(fèi)1010元元. .如果某人乘坐該市的出租車去往如果某人乘坐該市的出租車去往14km14km處處的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為的目的地，且一路暢通，等候時(shí)間為0 0，需要支付，需要支付多少車費(fèi)？多少車費(fèi)？S1072507250（萬元萬元）. . 例例3 3 已知一個(gè)等差數(shù)列已知一個(gè)等差數(shù)列aan n 的前的前1010項(xiàng)項(xiàng)的和是的和是310310，前，前2020項(xiàng)的和是項(xiàng)的和是12201220，求這，求這個(gè)等差數(shù)列的前個(gè)等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和. .23nSnn=+小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè)1.1.凡是與首末兩端等距離的兩項(xiàng)之和相凡是與首末兩端等距離的兩項(xiàng)之和相等的數(shù)列，都可以用倒序相加法求

9、前等的數(shù)列，都可以用倒序相加法求前n n項(xiàng)項(xiàng)和和. . 是求等差數(shù)列前是求等差數(shù)列前n n項(xiàng)和的兩個(gè)基本公式項(xiàng)和的兩個(gè)基本公式, ,應(yīng)用時(shí)要根據(jù)已知條件靈活選取應(yīng)用時(shí)要根據(jù)已知條件靈活選取. .11()(1)22nnn aan ndSna+-=+3.3.求等差數(shù)列前求等差數(shù)列前n n項(xiàng)和，一般需要三個(gè)條項(xiàng)和，一般需要三個(gè)條件，解題時(shí)常需要將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，件，解題時(shí)常需要將已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，有時(shí)可用整體思想求有時(shí)可用整體思想求a a1 1a an n. .作業(yè)：作業(yè)：P45P45練習(xí)：練習(xí)：1.1. P46P46習(xí)題習(xí)題2.3A2.3A組：組：2 2，3, 4.3, 4.第二課時(shí)第二課時(shí) 2

10、.3 2.3 等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和問題提出問題提出1.1.等差數(shù)列的遞推公式是什么？等差數(shù)列的遞推公式是什么？ a an n1 1a an n1 12a2an n（n2n2）1(2)nnaad n-=2.2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么？在結(jié)構(gòu)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是什么？在結(jié)構(gòu)上它有什么特征？上它有什么特征？ 3.3.等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項(xiàng)和的兩個(gè)基本公式是什項(xiàng)和的兩個(gè)基本公式是什么？么？在結(jié)構(gòu)上是關(guān)于在結(jié)構(gòu)上是關(guān)于n n的一次函數(shù)的一次函數(shù). .ana1( (n1) )dam( (nm) )dpnq. .，1()2nnn aaS+=2) 1(1dnnnaSn4.4.深入研究

11、等差數(shù)列的概念與前深入研究等差數(shù)列的概念與前n n項(xiàng)和公項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式的內(nèi)在聯(lián)系，可發(fā)掘出等式及通項(xiàng)公式的內(nèi)在聯(lián)系，可發(fā)掘出等差數(shù)列的一系列性質(zhì)，我們將對(duì)此作些差數(shù)列的一系列性質(zhì)，我們將對(duì)此作些簡(jiǎn)單探究簡(jiǎn)單探究. .探究（一）：探究（一）：等差數(shù)列與前等差數(shù)列與前n n項(xiàng)和的關(guān)系項(xiàng)和的關(guān)系 思考思考1 1：若若數(shù)列數(shù)列aan n 的前的前n n和和 那么數(shù)列那么數(shù)列aan n 是等差數(shù)列嗎？是等差數(shù)列嗎？，1()2nnn aaS+= an 是等差數(shù)列是等差數(shù)列 1()2nnn aaS+=思考思考2 2：將等差數(shù)列前將等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式看作是一個(gè)關(guān)于看作是一個(gè)關(guān)于n n的函數(shù)，

12、這個(gè)函數(shù)有什的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)有什么特點(diǎn)？么特點(diǎn)？2) 1(1dnnnaSn當(dāng)當(dāng)d0d0時(shí)時(shí)，S Sn n是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù). .思考思考3 3：一般地，若一般地，若數(shù)列數(shù)列aan n 的前的前n n和和S Sn npnpn2 2qnqn，那么數(shù)列，那么數(shù)列aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列嗎？若嗎？若S Sn npnpn2 2qnqnr r呢？呢？aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列 Snpn2qn. .思考思考4 4：若若 an 為等差數(shù)列，那么為等差數(shù)列，那么是什么數(shù)列？是什么數(shù)列？nSn an 是等差數(shù)列是等差數(shù)列 為等差數(shù)列為等差數(shù)列nSn思考思考5 5：等差數(shù)列的

13、求和公式可化為等差數(shù)列的求和公式可化為一般地，若一般地，若數(shù)列數(shù)列 an 的前的前n和和那么那么數(shù)列數(shù)列 an 是等差數(shù)列嗎？是等差數(shù)列嗎？ ，(1)2nnn ndSna-=-，(1)nnSnapn n=+-）(1nnSnapn n=+- an 是等差數(shù)列是等差數(shù)列 探究（二）：等差數(shù)列前探究（二）：等差數(shù)列前n n項(xiàng)和的性質(zhì)項(xiàng)和的性質(zhì)思考思考1 1：在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，中，S Sn n，S S2n2n，S S3n3n三者之間有什么關(guān)系？三者之間有什么關(guān)系？S S3n3n3(S3(S2n2nS Sn n) ) S S1 1S S2 2ndnd， 112nnaSSa+=思考思考2

14、 2：在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，設(shè)中，設(shè)S S1 1a a2 2a a4 4a a2n2n，S S2 2a a1 1a a3 3a a2n2n1 1，則則S S1 1S S2 2與與 分別等于什么？分別等于什么？12SS思考思考3 3：設(shè)設(shè)等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 、bbn n 的前的前n n項(xiàng)項(xiàng)和分別為和分別為S Sn n、T Tn n，則，則 等于什么？等于什么？思考思考4 4：在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，若中，若a a1 10 0， d d0 0，則，則S Sn n是否存在最值？如何確定其是否存在最值？如何確定其最值？最值？ 2121nnnnaSbT 當(dāng)ak0，ak1

15、0時(shí)，Sk為最大.nnab理論遷移理論遷移 例例1 1 設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n，求當(dāng)，求當(dāng)n n為何值時(shí)為何值時(shí)S Sn n取取最最大值大值. .n n7 7或或8 8 例例2 2 設(shè)設(shè)等差數(shù)列等差數(shù)列 an 的公差為的公差為2，且，且 ，求，求 的值的值. .1479750aaaa36999aaaa-82-82245, 4, 3,77小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè)1.1.以等差數(shù)列前以等差數(shù)列前n n項(xiàng)和為背景可引發(fā)出許項(xiàng)和為背景可引發(fā)出許多性質(zhì)，作為研究性學(xué)習(xí)，其結(jié)論不要求多性質(zhì)，作為研究性學(xué)習(xí)，其結(jié)論不要求記憶，但要了解探究這些性質(zhì)的數(shù)學(xué)思想、記憶，但要了解探究這些

16、性質(zhì)的數(shù)學(xué)思想、方法和技巧，并在解題中靈活運(yùn)用方法和技巧，并在解題中靈活運(yùn)用. .2.2.等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式是等差數(shù)列的基本知識(shí)點(diǎn)，在運(yùn)用中式是等差數(shù)列的基本知識(shí)點(diǎn)，在運(yùn)用中具有很大的靈活性和較強(qiáng)具有很大的靈活性和較強(qiáng)的的技巧性，適技巧性，適當(dāng)了解等差數(shù)列的一些基本性質(zhì)，會(huì)給當(dāng)了解等差數(shù)列的一些基本性質(zhì)，會(huì)給解題帶來一定的幫助解題帶來一定的幫助. .3.3.在等差數(shù)列的基本運(yùn)算中，要注意整在等差數(shù)列的基本運(yùn)算中，要注意整體代入，回避非必求量，簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，體代入，回避非必求量，簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，提高解題效率提高解題效率. .對(duì)于與前對(duì)于與前n n項(xiàng)和

17、有關(guān)的問項(xiàng)和有關(guān)的問題，不一定要用求和公式，有時(shí)作非公題，不一定要用求和公式，有時(shí)作非公式化處理更簡(jiǎn)單式化處理更簡(jiǎn)單. .作業(yè)：作業(yè)：P45P45練習(xí)：練習(xí)：2 2，3.3. P46P46習(xí)題習(xí)題2.3A2.3A組：組：5 5，6.6.2.3 2.3 等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和第三課時(shí)第三課時(shí) 知識(shí)整理知識(shí)整理t57301p21.1.等差數(shù)列的定義特征等差數(shù)列的定義特征從第從第2 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)于同一個(gè)常數(shù). .1(2)nnaad n-=或an1an12 an(n2).2.2.等差數(shù)列的遞推公式等差數(shù)列的遞推公式3.3.等

18、差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1( (n1) )dam( (nm) )dpnq. .4.4.等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式11()(1)22nnn aan ndSna+-=+4.4.等差數(shù)列的主要性質(zhì)等差數(shù)列的主要性質(zhì)（1 1）若數(shù)列）若數(shù)列aan n 、bbn n 都是等差數(shù)列，都是等差數(shù)列，則數(shù)列則數(shù)列papan n ，aan na an n1 1 ，aan nb bn n ，aan nb bn n 也是等差數(shù)列也是等差數(shù)列. .（2 2）m mn=pn=pq q mnpqaaaa（3 3） an 是等差數(shù)列是等差數(shù)列 Snpn2qn. . 為等差數(shù)列為等差數(shù)列nSn()2nnaSn p=+（4 4）S S3n3n3(S3(S2n2nS Sn n).). （5 5） 設(shè)設(shè)等差數(shù)列等差數(shù)列aan n 、bbn n 的前的前n n項(xiàng)項(xiàng)和分別為和分別為S Sn n、T Tn n，則，則 . .2121nnnnaSbT (6 (6）當(dāng)當(dāng)a ak k00，a ak k1 10 0時(shí)，時(shí)，S