用matlab編程設(shè)計(jì)切比雪夫低通濾波器

1、目錄1 摘要 . 32 設(shè)計(jì)原理 .42.1切比雪夫?yàn)V波器介紹 .42.2濾波器的分類 .52.3模擬濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo) .63 切比雪夫 I 型濾波器 .73.1 切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)原理 .73.2 切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)步驟 .103.3用 matlab 編程設(shè)計(jì)切比雪夫低通濾波器 .114總結(jié) . 185參考文獻(xiàn) .18摘要隨著信息和數(shù)字時(shí)代的到來，數(shù)字信號(hào)處理已成為當(dāng)今一門 極其重要的學(xué)科和技術(shù)領(lǐng)域。在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中，由于信號(hào)中經(jīng) ?；煊懈鞣N復(fù)雜成分， 因此很多信號(hào)的處理都是基于濾波器而進(jìn) 行的。 所以，數(shù)字濾波器在數(shù)字信號(hào)處理中起著舉足輕重的作用。而數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)都要以模擬濾波器為基

2、礎(chǔ)的，這是因?yàn)槟M 濾波器的理論和設(shè)計(jì)方方法都已發(fā)展的相當(dāng)成熟，且有典型的 模擬濾波器供我們選擇。，如巴特沃思濾波器、切比雪夫?yàn)V波器 等。本次課程設(shè)計(jì)將運(yùn)用 MATLAB計(jì)一個(gè)基于切比雪夫低通濾 波器，并出所設(shè)計(jì)濾波器的幅度及幅度衰減特性。關(guān)鍵詞 ：濾波 切比雪夫 模擬低通1 切比雪夫?yàn)V波器介紹在巴特沃茲濾波器中，幅度響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是單調(diào)的。 因此，若 濾波器的技術(shù)要求是用最大通帶和阻帶的逼近誤差來給出的話，那么，在靠近通帶低頻端和阻帶截止頻率以上的部分都會(huì)超出技術(shù)指標(biāo)。一種比較有效的途徑是使逼近誤差均勻地分布于通帶或阻帶內(nèi)， 或同時(shí)在通帶和阻帶內(nèi)都 均勻分布，這樣往往可以降低所要求的濾

3、波器階次。 通過選擇一種具有等波 紋特性而不是單調(diào)特性的逼近方法可以實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)。切比雪夫型濾波器就具 有這種性質(zhì)：其頻率響應(yīng)的幅度既可以在通帶中是等波紋的，而在阻帶中是單調(diào)的(稱為 I 型切比雪夫?yàn)V波器)，也可以在通帶中是單調(diào)的，而在阻帶 中是等波紋的(稱為 II 型切比雪夫?yàn)V波器)，其中切比雪夫 II 型濾波器又 稱為逆切比雪夫?yàn)V波器。I 型切比雪夫?yàn)V波器的幅度平方函數(shù)是其中&是一個(gè)小于 1 的正數(shù)，它與通帶波紋有關(guān)，&越大，波紋也越大, 式中為 N 階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為當(dāng) N 大于或等于 1 時(shí)，從定義切比雪夫多項(xiàng)式可以直接得出由CN(X)和CNMX)求CNMX)的遞推

4、公式。將三角恒等式代入(2.2)式，得時(shí)，COS1X是虛數(shù)，所以CN(x)像雙曲余弦一樣單調(diào)地增加。參考(2.1)， |Hc(j 對(duì)于 o/P1 呈現(xiàn)出在 1 和 1/ (12)之間的波動(dòng)；而對(duì)于/P 1 單調(diào)地減小。需要用三個(gè)參量來確定該濾波器：，P和 No1|Hc(j )|2=2CN(/c)(2.1)1CN(x)cos(N cos x)(2.2)CN 1(X)=2XCN(X)CN1(X)(2.3)從(2.2)式我們注意到，當(dāng) 01在典型的設(shè)計(jì)中，用容許的通帶波紋來確定 ，而用希望的通帶截止頻率來確定co然后選擇合適的階次 N,以便阻帶的技術(shù)要求得到滿足。定義允許的通帶最大衰減p用下式表示:

5、maxHa(j )1丨. 盹麗眾,1為了求切比雪夫?yàn)V波器在橢圓上極點(diǎn)的位置， 我們首先要這樣確定，在 大圓和小圓上以等角度 等間隔排列的那些點(diǎn)：這些點(diǎn)對(duì)于虛軸呈對(duì)稱分 布，并且沒有一個(gè)點(diǎn)落在虛軸上；但當(dāng) N 為奇數(shù)時(shí)要有一個(gè)點(diǎn)落在實(shí)軸上， 而當(dāng) N 為偶數(shù)時(shí)，就都不會(huì)落在實(shí)軸上。切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)落在橢圓上，起縱坐標(biāo)由相應(yīng)的大圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)來表示， 起橫坐標(biāo)由相應(yīng)的小圓上點(diǎn)的 橫坐標(biāo)來表示。3 切比雪夫 I 型濾波器3.1 切比雪夫低通濾波器的設(shè)計(jì)原理切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性具有等波紋特性。它有兩種形式：振幅特性 在通帶內(nèi)是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)遞減的切比雪夫 I 型濾波器，振幅特 性在阻

6、帶內(nèi)是等波紋的，在通帶內(nèi)是單調(diào)遞減的切比雪夫 II 型濾波器，如 圖所示分別畫出了濾波器的幅頻特性和衰減函數(shù)。min ha( j )o（弟0(b)n以切比雪夫 I 型為例介紹其設(shè)計(jì)原理2幅度平方函數(shù)用|H(j )表示H(j )1* 2CN( )( 2-3-1)p式中， 為小于 1 的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動(dòng)的程度,因此H|11N為IS款_J/l+t：11LA越大，波動(dòng)定義允許的通帶內(nèi)最大衰減p用下式表示式中幅度也越大。p稱為通帶截止頻率。令，稱為對(duì)p的歸一化頻率。pioigminmax Ha( j )2in Ha(j )2(2-3-2)maxha(j )2(2-3-3)(2-3-4)pioig

7、(i2)(2-3-5)2100.1 p1I Ha j可以解出arch -V Hajsarchs按照（2-3-1 ）式，有經(jīng)過一系列推論(2-3-6 )這樣，可以根據(jù)通帶內(nèi)最大衰減p，可求出參數(shù)。階數(shù) N 影響過渡帶的寬度，同時(shí)也影響通帶內(nèi)波動(dòng)的疏密，因?yàn)?N 等于通帶內(nèi)的最大值和最小值的總個(gè)數(shù)。設(shè)阻帶的起點(diǎn)頻率為s，則有H(js)|2(2-3-7)，由ps1,有CNch Narchs2CN2(Tp(2-3-8)(2-3-9)pch archN(2-3-10)Hajs3dB 截止頻率用c表示,Ha12(2-3-11)pch丄 arch1N(2-3-12)Ga1NN 12P Pi得歸一化系統(tǒng)函數(shù)為

8、(2-3-13)去歸一化的系統(tǒng)函數(shù)為GaPsP pPNN 12P Pi pi 1(2-3-14 )3.2 切比雪夫低通濾波器的設(shè)計(jì)步驟(1) 確定低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：邊帶頻率阻帶最大衰減s、阻帶截至頻率s，它們滿足P，通帶最大衰減10ig12Ha jP(2-3-15)10lgHa(2-3-16)(2) 求濾波器階數(shù) N 和參數(shù)arch(2-3-17)(2-3-18)這樣，先由(2-18 )式求出K11，代入(2-3-19)，求出階數(shù) N,最后取大于或等于 N 的最小整數(shù)。(3) 求歸一化系統(tǒng)函數(shù) Gap1freqz函數(shù)功能：離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)3.3 用 MATLA 毀計(jì)切比雪夫低通濾波器

9、(1)Matlab 的信號(hào)處理工具箱提供了頻譜分析函數(shù)：fft 函數(shù)、filter 函數(shù)和freqz 函數(shù)。fft 函數(shù)filter 函數(shù)功能：利用 IIR 濾波器和 FIR 濾波器對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波。 調(diào)用格式：y=filter(b,a,x)y,zf=filter(b,a,x) y=filter(b,a,x,zi)說明：filter采用數(shù)字濾波器對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，其實(shí)現(xiàn)采用移位直接II型結(jié)構(gòu)，因而適用于 IIR 和 FIR 濾波器。濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為即濾波器系數(shù) a=a0 a1 a2 .an,b=b0 b1 .bm,輸入序列矢量為 x。這里，標(biāo)準(zhǔn)形式為 a0=1，如果輸入矢量 a 時(shí)，a0M1,則

10、 MATLAB 將自動(dòng)進(jìn)行歸一化系數(shù)的操作；如果 a0=0,則給出出錯(cuò)信息。y=filter(b,a,x) 利用給定系數(shù)矢量 a 和 b 對(duì) x 中的數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波， 結(jié)果放入 y 矢量中，y 的長(zhǎng)度取 max(N,M)。y=filter(b,a,x,zi)可在 zi 中指定 x 的初始狀態(tài)。y,zf=filter(b,a,x)除得到矢量 y 夕卜，還得到 x 的最終狀態(tài)矢量GaPN12 Pi 1Pi(2-3-20 )(4) 將去歸一化，得到實(shí)際的 Has(2-3-21 )H(Z)b。bzb?z2Qz31 azanZHaSfreqz函數(shù)功能：離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)zf格式： h,w=freqz(

11、b,a,n)h,f=freqz(b,a,n,Fs) h=freqz(b,a,w) h=freqz(b,a,f,Fs) freqz(b,a,n)說明：freqz用于計(jì)算數(shù)字濾波器 H(Z)的頻率響應(yīng)函數(shù) H(ej 3)。h,w=freqz(b,a,n) 可得到數(shù)字濾波器的 n 點(diǎn)復(fù)頻響應(yīng)值，這 n 個(gè)點(diǎn)均 勻地分布在0,n上，并將這 n 個(gè)頻點(diǎn)的頻率記錄在 w 中，相應(yīng)的頻響值記 錄在 h中。要求 n 為大于零的整數(shù),最好為 2 的整數(shù)次幕,以便采用 FFT 計(jì)算， 提高速度。缺省時(shí) n =512。h,f=freqz(b,a,n,Fs)用于對(duì) H(ej3)在0,Fs/2上等間隔采樣n 點(diǎn)，采樣點(diǎn)

12、頻率及相應(yīng)頻響值分別記錄在f 和 h 中。由用戶指定 FS (以HZ 為單位)值。h=freqz(b,a,w)用于對(duì) H(ej3)在0,2n上進(jìn)行采樣，采樣頻率點(diǎn)由 矢量 w指定。h=freqz(b,a,f,Fs) 用于對(duì) H(ej3)在0,FS上采樣，采樣頻率點(diǎn)由矢 量 f 指定。freqz(b,a,n) 用于在當(dāng)前圖形窗口中繪制幅頻和相頻特性曲線。fft 函數(shù)函數(shù)功能：對(duì)信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換。格式： fft(X)fft(X,N)fft(X,DIM) 或 fft(X,N,DIM)說明:fft(X)是對(duì)輸入信號(hào) X 的離散傅里葉變換。fft(X,N) 是 N 點(diǎn)的傅里葉變換，如果 X 少于 N

13、點(diǎn)則補(bǔ) 0 湊齊位數(shù)，長(zhǎng)于 N 點(diǎn) 則截?cái)唷Ｈ绻?x 是個(gè)矩陣，列的長(zhǎng)度將會(huì)以同樣的方式調(diào)整， fft 會(huì)對(duì)每列進(jìn)行傅里葉 變換，并返回一個(gè)相同維數(shù)的矩陣。fft(X,DIM) 或 fft(X,N,DIM) 是離散傅里葉變換在 DIM 尺度上的應(yīng)用。DIM 可適應(yīng)于任意維度的 fft 運(yùn)算。2)確定低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：N-橢圓濾波器最小階數(shù)；Wn 為橢圓濾波器的帶寬；Wp 扌橢圓濾波器通帶截止角頻率；Ws4t圓濾波器阻帶起始角頻率；Rp-通帶波紋(dB);Rs-阻帶最小衰減(dB)；設(shè)計(jì)要求是低通濾波器，需要屏蔽的是 15Hz 和 30Hz 的波形，所以可令fp=5Hz，設(shè) fs=8Hz，R

14、p40dB( 3)連續(xù)信號(hào)的產(chǎn)生及采樣 :clearf1=5;f2=15;f3=30;N=100;fs=100;n=(0:N-1); % 采樣點(diǎn)數(shù)為 Nx1=sin(2*pi*f1*n/fs);x2=sin(2*pi*f2*n/fs);x3=sin(2*pi*f3*n/fs); % 模擬信號(hào)轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號(hào)x=x1+x2+x3; % 信號(hào)疊加plot(n,x); % 作出時(shí)間-幅值圖像xlabel( 時(shí)間 (s);ylabel( 幅值 );grid;連續(xù)信號(hào)仿真圖(4)低通濾波器的設(shè)計(jì)Wp=8;Ws=12;Rp=2;Rs=40;%設(shè)置指標(biāo)參數(shù)N,wp1=cheb1ord(Wp/(fs/2),Ws

15、/(fs/2),Rp,Rs);% 利用 cheblord 函數(shù)求濾波器最小階數(shù)b,a=cheby1(N,Rp,wp1); % 計(jì)算切比雪夫 I 型模擬低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)系數(shù)H,f=freqz(b,a,512,100); % 求幅值 H,頻率 f plot(f,abs(H);切比雪夫 I 型模擬低通濾波器仿真圖(5) 對(duì)濾波后的信號(hào)進(jìn)行分析和變換sf=filter(b,a,x);%對(duì)原信號(hào)進(jìn)行濾波plot( n,sf);xlabel(時(shí)間(s);ylabel(幅值);axis(0 1-1 1);X=fft(x,512); % 濾波前信號(hào)的傅里葉變換SF=fft(sf,512); % 濾波后信號(hào)的

16、傅里葉變換f=(0:255)/256*(fs/2);plot(f,abs(X(1:256) SF(1:256); %濾波前后信號(hào)圖像對(duì)比xlabel(頻率(Hz);ylabel(傅立葉變換圖);grid;lege nd(before,after)信號(hào)通過橢圓低通濾波器的仿真圖注：圖中藍(lán)色曲線代表濾波前的幅頻曲線，綠線代表濾波后的幅頻曲線3.4 設(shè)計(jì)結(jié)果分析(1) 求得階數(shù) N=6 通帶邊界頻率為 wp = 0.1600，表明階數(shù)越大，模 擬低通濾波器越理想，且接近矩形。(2) 從圖上可以看出：切比雪夫 I 型濾波器是在通帶頻率響應(yīng)幅度等波紋的濾波器，通帶內(nèi)具有等波紋起伏特性，阻帶內(nèi)單調(diào)下降且衰

17、減更大；幅 度在低頻處通過，隨著頻率的增加，逐漸衰減至零；綜上所看：本設(shè)計(jì)符合 要求。（3）切比雪夫?yàn)V波器的特點(diǎn)是在通帶內(nèi)， 具有相等的波紋。 截頻衰減陡C CO 4 46 6O4 45 53 33 30 0r5 5o o o o o o4 4 3 3 2 2囲磨熾七羽e e1 10 0度比同階數(shù)巴特沃斯特性更陡度比同階數(shù)程時(shí)的衰減就超過6NdB 在階數(shù) N一定時(shí)，波紋越大，截頻衰減陡度越陡。相位響應(yīng)也是非線性，但較之比巴 特沃斯為差?？偨Y(jié)經(jīng)過了將近一個(gè)周的課程設(shè)計(jì)， 我學(xué)會(huì)的如何使用 matlab 來進(jìn)行濾波器的 設(shè)計(jì)，通過這次課程設(shè)計(jì)我不僅學(xué)到了許多關(guān)于 matlab 的知識(shí)，認(rèn)識(shí)到了 matlab 的強(qiáng)大功能