對稱性在積分計算中應(yīng)用

1、- 畢 業(yè) 設(shè) 計論文題 目：對稱性在積分計算中應(yīng)用學 院： 數(shù) 理 學 院 專業(yè)名稱： 信息與計算科學 學 號： 0741210102學生：鮑品指導教師： 曉 燕2011年 5 月 20 日對稱性在積分計算中的應(yīng)用摘 要對稱性的應(yīng)用很廣泛，尤其在數(shù)學，物理學，化學等方面都有表達。本論文主要是探討一下對稱性在積分計算中的應(yīng)用。積分在微積分學中既是重點又是難點，特別是在解決積分計算問題上，方法比較靈活。常見的積分方法有換元法和分部積分法，這些方法在解決一般的問題上還是奏效的，但是對于復(fù)雜的微積分計算和證明問題就顯得有些心有余而力缺乏。假設(shè)我們稍仔細地觀察題目，很多時候我們會發(fā)現(xiàn)積分區(qū)域或被積函數(shù)

2、具有*種對稱性。如果我們將對稱性巧妙地應(yīng)用到解決這類問題中去，不僅簡化了計算過程而且還節(jié)省計算時間。利用對稱性解題方法比較靈活也十分重要。接下來本論文將從定積分，重積分，曲線積分以及曲面積分四大方面入手，深入探討對稱性在積分計算中的應(yīng)用。最后分析利用對稱性解題的條件與優(yōu)勢，總結(jié)出應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)解題時要注意哪些方面。關(guān)鍵詞定積分，重積分，曲線積分，曲面積分，對稱性，奇偶性AbstractThe application of symmetry is very widespread, particularly in mathematics, physics, chemistry and other a

3、spects of embodied.This paper is to e*plore the symmetry in the integral calculation.Integral calculus is difficult in both the focus, especially in solving the problem of integral calculation, the method more fle*ible.The mon integral method are the substitution of variables and the integration by

4、parts.These methods are effective in the solution general question, but appear regarding the ple* calculus putation and the proof question somewhat has more desire than energy.If we carefully observe the subject a little, usually we will find regional integration or product function has a symmetry.

5、If we applied the symmetry skillfully to solve such problems, this not only simplifies the calculation process but also save puting time.More fle*ible use of problem-solving approach symmetry is also important,Then the paper will be integral, double integral, curve and surface integrals four points

6、in a bid to further investigate the symmetry in the integral calculation. Finally, we solve problems by analyzing the symmetry of the conditions of use and advantages, summed up the nature of problem solving application related to the attention of what.Key wordsdefinite integral, heavy integral, cur

7、vilinear integral, surface integral, symmetry, parity目錄1、緒論11.1 研究背景11.2 研究意義11.3 研究的思路及構(gòu)造的安排22、對稱性在定積分計算中的應(yīng)用23、對稱性在重積分計算中的應(yīng)用33.1 二重積分計算33.2 三重積分計算64、對稱性在曲線積分計算中的應(yīng)用94.1 第一型曲線積分計算94.2 第二型曲線積分計算105、對稱性在曲面積分計算中的應(yīng)用115.1 第一型曲面積分計算115.2 第二型曲面積分計算136、對稱性解題方法總結(jié)157、致168、參考文獻17. z-1、緒論1.1 研究背景眾所周知，對稱性能給人以美的享受

8、，客觀世界中的許多事物都具有對稱性。自然界的對稱性為數(shù)學研究提供了一種獨特的方法即對稱方法。所謂對稱性,意味著在*種變換下的不變性或組元的構(gòu)形在其自同構(gòu)變換群下所具有的不變性。事實上。數(shù)學中的對稱性是比具體事物的對稱性更深層次的對稱。一方面，對稱性在數(shù)學上的表現(xiàn)是普遍的，如幾何圖形中的軸對稱、中心對稱、鏡像對稱、正弦曲線等無不呈現(xiàn)出對稱性；另一方面，數(shù)學思想與方法是解決問題的靈魂，在眾多的解題方法論中，對稱性思想與運用是解題方法中非常重要的思想方法與 常見的解題策略，靈活運用對稱性解題也是大學生應(yīng)該具備的數(shù)學素養(yǎng)，尤其在利用積分區(qū)間關(guān)于原點的對稱性和被積函數(shù)的奇偶性簡化積分計算是積分運算中最常

9、用的一種方法。目前，數(shù)學教材一般只給出定積分理論中的對稱性結(jié)論的例題，對于重積分、曲線積分以及曲面積分大都要求轉(zhuǎn)化為定積分后再利用對稱性求解。則, 對于重積分、曲線積分以及曲面積分理論中是否也有類似的結(jié)論呢.1.2 研究意義積分在微積分學中占有極為重要的地位, 它與微分相比, 難度大, 方法靈活。掌握常見的積分方法如換元法和分部積分法是十分必要的, 但是只掌握這些方法是遠遠不夠的, 在*些復(fù)雜的微積分計算和證明過程中，特別是涉及三元及三元以上的多元微積分問題，用常規(guī)的方法解決十分困難。假設(shè)能注意并充分利用積分區(qū)域的對稱性、被積函數(shù)的奇偶性以及積分變量的輪換對稱性探求多元函數(shù)微積分的簡化途徑，利

10、用其結(jié)果計算，可以簡化計算過程，提高解題效率。對于有些原本并不具有對稱性的問題，我們要善于根據(jù)問題的特點構(gòu)造對稱性，從而到達簡化問題的目的。其實，對于重積分、曲線積分以及曲面積分理論中是否也有類似的結(jié)論。對稱性在定積分計算中的應(yīng)用在許多課題研究上已經(jīng)介紹得很全面，然而對于對稱性在重積分，曲線積分以及曲面積分計算中的應(yīng)用，相關(guān)的文獻對其也有探討，但都相比照擬零散，有的甚至很少涉及。本文將把重點放在研究對稱性在重積分，曲線積分以及曲面積分計算中的應(yīng)用，歸納總結(jié)出利用平面區(qū)域的對稱性來簡化積分計算的相關(guān)結(jié)論。1.3 研究的思路及構(gòu)造的安排本文將首先指出所要研究的方向，指出其研究意義。其次利用對稱性相

11、關(guān)結(jié)論來簡化定積分計算，然后從重積分，曲線積分和曲面積分三大方面，分別證明對稱性相關(guān)性質(zhì)，并結(jié)合實例加以驗證。最后對本文容進展分析總結(jié)。本文一共六章，其構(gòu)造安排如下:第一章緒論，主要闡述研究背景，研究的意義以及研究的方法。第二章，在遇到定積分計算問題上，利用對稱性能簡化計算，節(jié)省時間，提高效率。第三章，第四章以及第五章，先分別證明其對稱性相關(guān)性質(zhì)，然后例舉實例加以驗證。第六章，分析對稱性在解決積分計算問題上的優(yōu)勢，同時總結(jié)應(yīng)用對稱性解題時要注意哪些方面。2、對稱性在定積分計算中的應(yīng)用性質(zhì)2.1 =3、對稱性在重積分計算中的應(yīng)用3.1 二重積分計算類似性質(zhì)的有：.3.2 三重積分計算4、對稱性在

12、曲線積分計算中的應(yīng)用4.1 第一型曲線積分計算4.2 第二型曲線積分計算.5、對稱性在曲面積分計算中的應(yīng)用5.1 第一型曲面積分計算5.2 第二型曲面積分計算6、對稱性解題方法總結(jié)常見的積分計算方法有換元法和分部積分法，這些方法比較根底同時也是必要的，對于解決一些簡單的積分計算問題有效。但是當遇到復(fù)雜的微積分計算和證明問題，特別是涉及到三元或三元以上的多元微積分問題，用常規(guī)的方法解決十分困難。針對這種情況，本文提出了利用對稱性解題的方法，分別從定積分、重積分、曲線積分和曲面積分四大方面來討論了對稱性，并對同一類型的性質(zhì)給出了證明，同時也列舉了相應(yīng)的實例，確實通過本文我們可以清楚地看到利用對稱性

13、解題，非常奏效，極簡化了積分計算。不管是在二重積分、三重積分、兩類曲線積分和兩類曲面積分中，它的這種簡化作用都十清楚顯。用對稱性解題的同時我們要注意另一個問題，防止濫用對稱性。應(yīng)用對稱性計算積分時應(yīng)注意以下兩方面：1、 必須兼顧被積函數(shù)和積分區(qū)域兩個方面，只有當兩個方面都具有*種對稱性時才能利用。如果只有積分區(qū)域具有*種對稱性，這時需根據(jù)具體情況，我們可以把被積函數(shù)經(jīng)過恒等變形使之具有*種對稱性，再考慮利用相關(guān)性質(zhì)。2、 對于第二類曲線積分和第二類曲面積分，在利用對稱性時，需要考慮積分路線的方向和曲面的側(cè)，確定投影元素的符號，這些地方容易出錯，需慎重。7、致通過這段時間的忙碌，畢業(yè)論文總算是完

14、成了。從不會到會，一路走來，我學會了許多。首先我了解了寫一篇論文的大致流程，學會了如何去寫一篇論文，假設(shè)哪天我真的有時機需要寫論文，就不會再去查詢寫論文的格式規(guī)；然后就是對積分的認識更深刻了，特別是積分計算上是獲益匪淺；最后，我學會了在壓力下成長，怎樣去緩解和釋放壓力，是我們每個人都要去面對的，讓我們在壓力面前顯得不再則脆弱與無奈。沒有這次的論文，也就沒有這些收獲。所以要感曉燕教師的催促指導，同時也要感數(shù)理學院能給我這次論文辯論的時機，好讓我早點順利畢業(yè)，最后要感所有曾經(jīng)幫助過，關(guān)心過我的教師和同學！8、參考文獻1欽福. 二重積分的對稱性定理及其應(yīng)用J. 曲阜師大學學報,2021, 29: 9

15、102仁華. 二重積分計算中的假設(shè)干技巧J. 冶金職業(yè)技術(shù)學院學報, 2021, 8(2) : 1021043同濟大學應(yīng)用數(shù)學系. 數(shù)學分析同步輔導(上冊)M. :航空工業(yè), 2005: 2162324兆順. 談二重積分的計算J. 教育學院學報, 2007, 16(2):69705云艷輪換對稱性在積分計算中的應(yīng)用J師高等?？茖W校學報(綜合版)，2002，20(3)：90926 凌明偉對稱法求積分高等數(shù)學研究J. 2003，6(1)：35387 義萍. 淺談定積分的計算技巧對稱性的應(yīng)用J.渝州大學學報.2001, 18(3):82848 樊啟斌. 數(shù)學綜合復(fù)習解題指南(理工類)M. :大學, 2002.9 Bican L, Bashier E. Enochs E E1All modules have flat covers1BullJ.LondonMath, 2001, 33: 385390.10 慶娥，郝新生.二元奇偶函數(shù)在對稱區(qū)域上的積分公式及其證明J.數(shù)學的實踐與認識， 2005, (5)：24