數(shù)字信號處理6

1、第第4章章 離散時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)l離散時間系統(tǒng)舉例l離散時間系統(tǒng)的分類*l沖激和階躍響應(yīng)lLTI離散時間系統(tǒng)的時域特性*l簡單互聯(lián)方案l有限維LTI離散時間系統(tǒng)lLTI離散時間系統(tǒng)的分類*lLTI 離散時間系統(tǒng)的頻域表示*l相位延遲和群延遲*離散時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)l離散時間系統(tǒng)的功能是對給定的輸入序列 進行處理得到輸出序列 。輸出序列應(yīng)含有更多所需的特性，或可以從中提取關(guān)于輸入序列的某種信息。l在大多數(shù)應(yīng)用中，用到的離散時間系統(tǒng)是單輸入單輸出系統(tǒng)。 x n y n離散時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)l數(shù)學(xué)上，離散時間系統(tǒng)用運算子 表述，該運算將輸入序列變換成系統(tǒng)輸出的另外一個序列。l離散時間系統(tǒng)也可

2、有會有多個輸入或者多個輸出。() 4.1 離散時間系統(tǒng)舉例離散時間系統(tǒng)舉例雙輸入、單輸出離散時間系統(tǒng)：雙輸入、單輸出離散時間系統(tǒng)： 單輸入、單輸出離散時間系統(tǒng)：單輸入、單輸出離散時間系統(tǒng)： 調(diào)制器 加法器乘法器 單位延遲 單位超前4.1 離散時間系統(tǒng)舉例離散時間系統(tǒng)舉例一個更復(fù)雜的單輸入、單輸出離散時間系統(tǒng)：一個更復(fù)雜的單輸入、單輸出離散時間系統(tǒng)： 4.1 離散時間系統(tǒng)舉例離散時間系統(tǒng)舉例 累加器：累加器： 在時刻在時刻 的輸出的輸出 是在時刻是在時刻 輸入序列輸入序列 以及在時刻以及在時刻 的前一個的前一個 輸出樣本之和輸出樣本之和，后者是從，后者是從 到時刻到時刻 所有輸入樣本值的所有輸入

3、樣本值的和。和。 此系統(tǒng)累加了所有的輸入數(shù)據(jù)。此系統(tǒng)累加了所有的輸入數(shù)據(jù)。 n y nn x n1ny1n1n 1yy1nnnxxx nnx n4.1 離散時間系統(tǒng)舉例離散時間系統(tǒng)舉例 累加器的輸入累加器的輸入輸出關(guān)系的另一種變形是輸出關(guān)系的另一種變形是 上面形式的累加器用于因果輸入序列，此時被上面形式的累加器用于因果輸入序列，此時被稱為初始條件。稱為初始條件。 4.1 離散時間系統(tǒng)舉例離散時間系統(tǒng)舉例lM點滑動平均濾波器系統(tǒng)點滑動平均濾波器系統(tǒng)用于平滑隨機變化的數(shù)據(jù)。在絕大多數(shù)應(yīng)用中，數(shù)據(jù) 有界序列。因此M點均值 也是有界序列。 x n y n4.1 離散時間系統(tǒng)舉例離散時間系統(tǒng)舉例若觀測過

4、程沒有偏差，則可以簡單地通過增加M來提高對噪聲數(shù)據(jù)估計的準確性。M點滑動平均濾波器可以直接實現(xiàn)包括M-1次相加、以值1/M為因子的一次相乘和能存儲M-1個過去輸入數(shù)據(jù)樣本的存儲器。下面將推導(dǎo)滑動平均濾波器的一種更為有效的實現(xiàn)。 11011111y1MMMnx nx nx nMMx nx nx nMx nMM4.1 離散時間系統(tǒng)舉例離散時間系統(tǒng)舉例l使用上述遞歸方程計算序列第n時刻的M點滑動均值 ，現(xiàn)在只需要2次相加和1次與1/M相乘。 y n4.1 離散時間系統(tǒng)舉例離散時間系統(tǒng)舉例 其中其中 帶有噪聲帶有噪聲 的信號。的信號。 x ns nd n s n d n4.1 離散時間系統(tǒng)舉例離散時間

5、系統(tǒng)舉例l指數(shù)加權(quán)移動平均濾波器 用上式計算的移動平均需要包括1次相加和1次相乘。而且，只需存儲前一次移動平均的結(jié)果。 不需要存儲以前的輸入數(shù)據(jù)樣本。不需要存儲以前的輸入數(shù)據(jù)樣本。 4.1 離散時間系統(tǒng)舉例離散時間系統(tǒng)舉例 當當 時，指數(shù)加權(quán)平均濾波器通過對數(shù)據(jù)時，指數(shù)加權(quán)平均濾波器通過對數(shù)據(jù)樣本以指數(shù)形式加權(quán)，對當前數(shù)據(jù)樣本的權(quán)重樣本以指數(shù)形式加權(quán)，對當前數(shù)據(jù)樣本的權(quán)重較大，而以前數(shù)據(jù)樣本的權(quán)重較小。如下所示較大，而以前數(shù)據(jù)樣本的權(quán)重較小。如下所示： 014.1 離散時間系統(tǒng)舉例離散時間系統(tǒng)舉例l線性內(nèi)插器通常用于估計離散時間序列中相鄰的一對樣本值之間的樣本值的大小。 因子為4的內(nèi)插4.1

6、離散時間系統(tǒng)舉例離散時間系統(tǒng)舉例l因子為因子為2的內(nèi)插器的內(nèi)插器 (a)大小為512512的原始灰度圖像；(b)大小為256256的下抽樣后的圖像；(c)用雙線性內(nèi)插法得到的放大圖像4.1 離散時間系統(tǒng)舉例離散時間系統(tǒng)舉例l中值濾波器 一組（2K+1）個數(shù)的中值定義為這樣的一個數(shù)：若該組中的K個數(shù)值大于該數(shù)值，而剩下的K的數(shù)小于改數(shù)值，則該數(shù)據(jù)即為中值?？梢愿鶕?jù)數(shù)組中數(shù)值的大小對數(shù)排序，然后選取位于中間的那個數(shù)。 例子：考慮一組數(shù)字2，3，10，5，1 排序后為 3，1，2，5，10 因此，中值2，3，10，5，1=2 4.1 離散時間系統(tǒng)舉例離散時間系統(tǒng)舉例中值濾波器是通過在輸入序列 上滑動

7、一個長度為奇數(shù)的窗口來實現(xiàn)的，每次滑動一個樣本值。在任意時刻n，輸出 都為當前窗口中所有輸入樣本值的中值。中值濾波器常用于去除加性隨機沖激噪聲，這類噪聲將會導(dǎo)致受干擾信號中存在大量突發(fā)錯誤。中值濾波器也通常被用來平滑由沖激噪聲干擾的信號。 x n y n4.2 離散時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類 線性系統(tǒng)移不變系統(tǒng)因果系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)移不變系統(tǒng)無源無損系統(tǒng)4.2 離散時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類l線性離散時間系統(tǒng) 定義：若 和 分別是輸入序列為 和 的響應(yīng)，則當輸入為 時，其響應(yīng)為 疊加定理必須對任意常數(shù)疊加定理必須對任意常數(shù) 和和 以及所有可能以及所有可能輸入輸入 和和 成立。成立。 1y

8、n 2yn 1xn 2xn 12x nxnxn 12yyynnn 1xn 2xn4.2 離散時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類 累加器 如果輸入為 則輸出為 因此，此系統(tǒng)是線性的。 11-ynnx 22-ynnx 12x nxnxn 12-1212-yyynnnnxxxxnn4.2 離散時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類 當輸入為 和 時，得到的輸出 和 為 當輸入為 時，輸出為 1xn 2xn 1yn 2yn 1110yy1nnx 2220yy1nnx 12xnxn 120yy1nnxx4.2 離散時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類 另一方面，另一方面， 若 則 12112200121200yy=

9、y1+y1=y1 +y1 +nnnnnnxxxx12y -1y1y1 12yyynnn4.2 離散時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類對于有因果輸入的累加器，線性條件 只有當初始條件 、 和 以及所有常量 和 都滿足上面的初始條件。若給出的該系統(tǒng)不是處于零初始狀態(tài)，則這個條件不滿足。 12y -1y1y1y11y12y14.2 離散時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類l非線性離散時間系統(tǒng) 中值濾波器是一個非線性離散時間系統(tǒng)考慮窗長為3的中值濾波器若輸入為 ，則其輸出是長度為3的序列 。若輸入為 ，則其輸出是長度為3的序列 。 ，13,4,5 02xnn ，1y3,4,4 02nn ，22,-1,-1

10、02xnn ，2y2,-1,-1 02nn4.2 離散時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類然而，若輸入為 ，則其輸出為 。注意： 。因此，中值濾波器是非線性離散時間系統(tǒng)。非零初始狀態(tài)的累加器的第二種形式是另外一個例子。 12+x nxnxn y3,4,3n 12y+y3,3,3ynnn4.2 離散時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類l移不變系統(tǒng) 對于移不變離散時間系統(tǒng)，若 是對 的響應(yīng)，則對輸入 的響應(yīng)可以簡單地表示為 ，式中 是任意正或負整數(shù)。輸入和輸出間的這種關(guān)系必須對任意輸入序列及其輸出成立。 若序列或系統(tǒng)的序號n與離散時刻相關(guān)聯(lián)時，上面的限制通常被稱為時不變性質(zhì)。 1yn 1xn 10 x n

11、xnn 10yynnn0n4.2 離散時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類 時不變性質(zhì)保證對于一個給定的輸入信號，系統(tǒng)相應(yīng)的輸出與輸入信號所加入的時刻無關(guān)。 舉例：上抽樣器 輸入與輸出的關(guān)系： /0, 2 ,0ux nLnLLxn，其他4.2 離散時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類 當輸入為 時，輸出 為 由上抽樣器的定義得 因此，上抽樣器是一個時變系統(tǒng)。 10 xnx nn 1,uxn4.2 離散時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類l線性時不變系統(tǒng) 線性時不變系統(tǒng)（LTI）：既滿足線性又滿足時不變性的系統(tǒng)。線性時不變系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上容易分析和表示，易于設(shè)計。在過去幾十年來，用這類系統(tǒng)開發(fā)了很多有用的算法。

12、4.2 離散時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類在因果系統(tǒng)中，第 個輸出樣本 僅由對應(yīng)于 的輸入樣本決定，而不依賴于對應(yīng)于 的輸入樣本。在因果離散時間系統(tǒng)中，若輸入為 和 ，響應(yīng)分別為 和 。 則 也就是說 簡單地說，對于因果系統(tǒng)，輸出的變化并不先于輸入的變化。簡單地說，對于因果系統(tǒng)，輸出的變化并不先于輸入的變化。0n0y n0nn0nn 1xn 2xn 1yn 2yn 12=xnxnnN， 12y=ynnnN，4.2 離散時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類因果系統(tǒng)：因果系統(tǒng)：非因果系統(tǒng)：非因果系統(tǒng)： 123401212y=+-1 +-2 +-3y=+-1 +-2+y-1 +y-2y=y-1 +nx

13、 nx nx nx nnb x nb x nb x nanannnx n 1y=+-1121y=+-1232+-213uuuuuuuunxnxnxnnxnxnxnxnxn4.2 離散時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類穩(wěn)定性有不同的定義方式。當且僅當系統(tǒng)對于有界輸入產(chǎn)生有界輸出時，我們說該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若對于 的響應(yīng)是序列 ，且對于所有的n值，有 則對于所有的n值有 x n y n4.2 離散時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類舉例M點滑動平均濾波器是BIBO穩(wěn)定的：對于一個有界輸入我們有 101y=-Mknx n kM4.2 離散時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類l無源無損系統(tǒng) 無源離散時間系統(tǒng)是指，

14、對每個具有有限能量的輸入序列 ，輸出序列 的能量不超過輸入的能量，即 對于每一個輸入序列，上面的不等式中的等號成立，則該系統(tǒng)是無損系統(tǒng)。 x n y n4.2 離散時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類l舉例考慮由 定義的離散時間系統(tǒng)，其中N是正整數(shù)。其輸出能量為 因此，當 時，該系統(tǒng)是無源系統(tǒng)；而當 時，則是無損系統(tǒng)。 y-nx n N11=4.3 沖激和階躍響應(yīng)沖激和階躍響應(yīng)單位樣本響應(yīng)是指輸入單位樣本序列 時數(shù)字濾波器的輸出，或簡稱為沖激響應(yīng)，記為 。單位階躍響應(yīng)是指輸入單位階躍序列 時離散時間系統(tǒng)的輸出，或簡稱為階躍響應(yīng)，記為 。 n h n n s n4.3 沖激和階躍響應(yīng)沖激和階躍響應(yīng)一

15、個離散時間系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系為 若可得其沖激響應(yīng) 為可知其沖激響應(yīng)是長度為4的有限長序列 x nn h n4.3 沖激和階躍響應(yīng)沖激和階躍響應(yīng) 舉例累加器的沖激響應(yīng) 令 ，則其沖激響應(yīng)為 x nn4.3 沖激和階躍響應(yīng)沖激和階躍響應(yīng) 例因子為2的線性內(nèi)插器的沖激響應(yīng) 令 ，則其沖激響應(yīng)為 可以看出，該沖激響應(yīng)是長度為3的有限長序列，也可記為 x nn 1y=+-112uuunxnxnxn4.4 LTI離散時間系統(tǒng)的時域特性離散時間系統(tǒng)的時域特性 4.4.1 輸入輸出關(guān)系線性時不變性質(zhì)使得LTI離散時間系統(tǒng)可以由其沖激響應(yīng)完全描述。即若已知沖激響應(yīng)，就可以得到系統(tǒng)對任意輸入的輸出。設(shè) 表示LTI

16、離散時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 輸入為 h n4.4 LTI離散時間系統(tǒng)的時域特性離散時間系統(tǒng)的時域特性 我們計算其輸出： 由于該系統(tǒng)是時不變的，因此我們可以計算每一個輸入的輸出，然后再將其疊加得到 。 由于該系統(tǒng)是時不變的 y n22112255nh nnh nnh nnh n輸入輸出4.4 LTI離散時間系統(tǒng)的時域特性離散時間系統(tǒng)的時域特性 同樣的，由于該系統(tǒng)是線性的 因此，由于線性特性，我們得到 0.5221.511220.7555nh nnh nnh nnh n輸入輸出0.51.5-0.754.4 LTI離散時間系統(tǒng)的時域特性離散時間系統(tǒng)的時域特性 由上面可知，任意輸入序列可以表示為形如 的延

17、遲和超前單位樣本序列的線性加權(quán)和。 LTI離散時間系統(tǒng)對于序列 的響應(yīng)為 。 因此。離散時間系統(tǒng)對于 的響應(yīng) 為 x knk x k h nk x n y n4.4 LTI離散時間系統(tǒng)的時域特性離散時間系統(tǒng)的時域特性l卷積和 即 舉例沖激響應(yīng)為 的LTI離散時間系統(tǒng)，當輸入為 時，其輸出 為： 當沖激響應(yīng)為 時，對于輸入 ，可以確定其輸出 y=kknx k h nkx nk h n y=nx nh n h n x n y n y=knx k h nkx nh nh nm x n 1yn4.4 LTI離散時間系統(tǒng)的時域特性離散時間系統(tǒng)的時域特性 現(xiàn)在 因此， 性質(zhì)性質(zhì) 交換律 結(jié)合律 分配率 1

18、yynnm4.4 LTI離散時間系統(tǒng)的時域特性離散時間系統(tǒng)的時域特性l卷積和運算可以作如下解釋：卷積和運算可以作如下解釋： 先將序列 時間反轉(zhuǎn)得到接著，將 平移 （ 表示向右移 個抽樣周期； 表示向左移 個抽樣周期）形成序列形成乘積序列把 的全部樣本求和得到卷積和 的第 個樣本 h khkhknn0nn0nh nk v kx k h nk v k y nn4.4 LTI離散時間系統(tǒng)的時域特性離散時間系統(tǒng)的時域特性在實際中，只要沖激響應(yīng)序列或輸入序列是有限長度的，卷積和就可以用來計算任何時刻的輸出樣本。若輸入序列和沖激響應(yīng)序列都是有限長度的，則輸出序列也是有限長度的。若輸入序列和沖激響應(yīng)序列都是

19、無限長的，則不可以用卷積和的方法計算系統(tǒng)的輸出結(jié)果。對于此類系統(tǒng)，我們僅分析其另一種時域描述，此時，該系統(tǒng)僅涉及卷積的有限和。4.4 LTI離散時間系統(tǒng)的時域特性離散時間系統(tǒng)的時域特性4.4.2 計算卷積和的列表法 兩個有限長序列的卷積和計算可以通過列表法得到。 計算序列 與序列 的 卷積，得到序列 采用傳統(tǒng)的乘法，對兩個序列的樣本相乘，但在列之間沒有進位。 , 03g nn , 02h nn4.4 LTI離散時間系統(tǒng)的時域特性離散時間系統(tǒng)的時域特性把每個 樣本那一列上方對應(yīng)的三項相加，可得到由卷積和產(chǎn)生的序列 的樣本。 y n y n4.4 LTI離散時間系統(tǒng)的時域特性離散時間系統(tǒng)的時域特性

20、 樣本如下： MATLAB實現(xiàn)卷積 conv(a,b) y 0g 00y 1g 10g 01y 2g 20g 11g 02y 3g 30g 21g 12y 4g 31g 22y 5g 32hhhhhhhhhhhh4.4 LTI離散時間系統(tǒng)的時域特性離散時間系統(tǒng)的時域特性l4.4.3 用沖激響應(yīng)表示穩(wěn)定條件 界輸入有界輸出（BIBO）穩(wěn)定條件 對于所有輸入序列 ，系統(tǒng)的輸出序列 仍保持有界，則稱該離散時間系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當且僅當LTI數(shù)字濾波器的沖激響應(yīng)序列 絕對可和時，即 該系統(tǒng)是（BIBO）穩(wěn)定的。 x n y n h n4.4 LTI離散時間系統(tǒng)的時域特性離散時間系統(tǒng)的時域特性 證明：設(shè) 是

21、一個實序列 由于輸入序列 是有界的 因此， 意味著 ，即 是有界的。 h n x n xx nBS yyxnBB S= y n4.4 LTI離散時間系統(tǒng)的時域特性離散時間系統(tǒng)的時域特性 為證明逆命題也成立，假設(shè)序列 是有界的，即 。 考慮輸入為 其中 是符號函數(shù)，定義為 y n yy nB ,0,0sgn hnhnx nKhn sgn c 1,01,0csgn cc1K 4.4 LTI離散時間系統(tǒng)的時域特性離散時間系統(tǒng)的時域特性 注意：因為 ，顯然 是有界的。 對于該輸入，當 時， 為 因此，由 推出 。 1x n x n0n y n yy nBS4.4 LTI離散時間系統(tǒng)的時域特性離散時間系

22、統(tǒng)的時域特性 舉例假定一個因果LTI離散時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 對該系統(tǒng) 因此，當 時，有 ，此時上面的系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的。當 時，系統(tǒng)不是BIBO穩(wěn)定的。 1S1=4.4 LTI離散時間系統(tǒng)的時域特性離散時間系統(tǒng)的時域特性l4.4.4用沖激響應(yīng)表示因果性條件 設(shè)兩個輸入序列 和 在 時刻，該LTI離散時間系統(tǒng)的相應(yīng)輸出樣本為 1xn 2xn0nn4.4 LTI離散時間系統(tǒng)的時域特性離散時間系統(tǒng)的時域特性 若該LTI離散時間系統(tǒng)也是因果的，則 由于 則 所以這兩個和式相等的唯一條件就是 和 均等于零 1020yynn 120,x nxnnn 1xn 2xn4.4 LTI離散時間系統(tǒng)的時域特性離

23、散時間系統(tǒng)的時域特性 如果 也滿足上面的條件。 于是，當且僅當LTI離散時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)序列 是因果序列時，該系統(tǒng)才是因果的。 舉例離散時間系統(tǒng)為因果系統(tǒng) 則其沖激響應(yīng)為 h n 1234y=123nx nx nx nx n 1234h n 4.4 LTI離散時間系統(tǒng)的時域特性離散時間系統(tǒng)的時域特性 舉例離散時間累加器為因果系統(tǒng) 則其沖激響應(yīng)為 舉例因子為2的內(nèi)插器不是一個因果系統(tǒng) y=nlnln =nlh nln 1y112uuun = xnxnxn4.4 LTI離散時間系統(tǒng)的時域特性離散時間系統(tǒng)的時域特性 則其非因果沖激響應(yīng)為 注意：可以對具有有限長沖激響應(yīng)的非因果離散時間系統(tǒng)中插入適當

24、數(shù)量的延遲來實現(xiàn)因果系統(tǒng)。例如，對離散時間因為為2的線性內(nèi)插器的輸出延遲一個樣本周期，可以得到對應(yīng)的因果形式，新的輸入輸出關(guān)系為 = 0.5 1 0.5h n4.5 簡單互聯(lián)方案簡單互聯(lián)方案 l4.5.1級聯(lián) 若兩個系統(tǒng)的沖激響應(yīng)分別為 和 ，則級聯(lián)后的系統(tǒng)的沖激響應(yīng) 表示為兩者的線性卷積，即注意：一般來說，由于卷積滿足交換律，因而級聯(lián)中的濾波器的順序?qū)φ麄€沖激響應(yīng)沒有影響。兩個穩(wěn)定系統(tǒng)的級聯(lián)仍是穩(wěn)定系統(tǒng)。類似地，兩個無源（無損）系統(tǒng)的級聯(lián)仍是無源（無損）系統(tǒng)。 1h n 2hn h n4.5 簡單互聯(lián)方案簡單互聯(lián)方案 級聯(lián)方案可用于生成逆系統(tǒng)。 如果級聯(lián)系統(tǒng)滿足 則LTI系統(tǒng)成為LTI系統(tǒng)

25、的逆系統(tǒng)，反之亦然。 逆系統(tǒng)的一個應(yīng)用就是將從變形的結(jié)果中恢復(fù)出來。 1h n4.5 簡單互聯(lián)方案簡單互聯(lián)方案 舉例離散時間累加器的沖激響應(yīng)是單位階躍序列 。 因此，逆系統(tǒng)必須滿足條件 可以推出當 時， 且 因此，該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 n0n 20hn 4.5 簡單互聯(lián)方案簡單互聯(lián)方案l4.5.2 并聯(lián) 兩個并聯(lián)的LTI離散時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)分別為 和 ，則整個系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 1h n 2hn 12h nh nhn4.5 簡單互聯(lián)方案簡單互聯(lián)方案 下面的離散時間系統(tǒng)由四個簡單的離散時間系統(tǒng)互聯(lián)而成，他們對應(yīng)的沖激響應(yīng)分別為 4.5 簡單互聯(lián)方案簡單互聯(lián)方案 總沖激響應(yīng)為 其中4.6 LTI離散

26、時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類 l4.6.1基于沖激響應(yīng)長度的分類基于沖激響應(yīng)長度的分類 若 具有有限長度，即 則它是一個有限沖激響應(yīng)（FIR）離散時間系統(tǒng)，此時，卷積和簡化為 上面的卷積和是有限的，可以直接用于計算 h n y n4.6 LTI離散時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類滑動平均系統(tǒng)以及線性內(nèi)插器都是FIR離散時間系統(tǒng)。若 無限長，則稱其為無限沖激響應(yīng)（FIR）離散時間系統(tǒng)。本書討論的一類FIR濾波器是可以由線性常系數(shù)差分方程描述的因果系統(tǒng)。舉例離散時間累加器 就是一個IIR系統(tǒng)。 h n yy1nnx n4.6 LTI離散時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類4.6.2 基于輸出計算過

27、程的分類非遞歸離散時間系統(tǒng)：若僅僅知道當前和過去時刻的輸入樣本就可以順序計算出輸出樣本，則該系統(tǒng)為非遞歸離散時間系統(tǒng)。遞歸離散時間系統(tǒng)：若計算輸出時除了需要知道當前和過去時刻的輸入樣本外，還需要知道過去時刻的輸出樣本，則該系統(tǒng)為遞歸離散時間系統(tǒng)。 4.6 LTI離散時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類l4.6.3 基于沖激響應(yīng)系數(shù)的分類實離散時間系統(tǒng)：沖激響應(yīng)是實值序列的離散時間系統(tǒng)。復(fù)離散時間系統(tǒng)：沖激響應(yīng)是復(fù)值序列的離散時間系統(tǒng)。4.7 LTI離散時間系統(tǒng)的頻域表示離散時間系統(tǒng)的頻域表示 在實際中遇到的多數(shù)離散時間信號，都可以表示為很多個甚至無限多個具有不同角頻率的正弦離散時間信號的線性組合。

28、若已知LTI系統(tǒng)對單個正弦信號的響應(yīng)，就可以利用系統(tǒng)的疊加性，求出對更復(fù)雜信號的響應(yīng)。 4.7 LTI離散時間系統(tǒng)的頻域表示離散時間系統(tǒng)的頻域表示l4.7.1 頻率響應(yīng) 特征函數(shù)（Eigen Function）對于某些特定的輸入信號，輸出信號是輸入信號乘以一個復(fù)常量。LTI系統(tǒng)的重要性質(zhì) 沖激響應(yīng)為 的LTI離散時間系統(tǒng)如圖所示 h n4.6 LTI離散時間系統(tǒng)的分類離散時間系統(tǒng)的分類 輸入輸出關(guān)系由卷積和給出 若輸入為復(fù)指數(shù)序列 則輸出信號表示為 4.7 LTI離散時間系統(tǒng)的頻域表示離散時間系統(tǒng)的頻域表示 還可表示為 其中 對于復(fù)指數(shù)輸出信號 ，LTI離散時間系統(tǒng)的輸出是具有相同頻率的復(fù)指數(shù)

29、信號乘以復(fù)常量 。 就是該系統(tǒng)的特征函數(shù)。 j ne()jH ej ne4.7 LTI離散時間系統(tǒng)的頻域表示離散時間系統(tǒng)的頻域表示l 是LTI離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)l 提供了系統(tǒng)的頻域描述。l 是系統(tǒng)沖激響應(yīng) 的傅里葉變換 是變量 的周期 的復(fù)函數(shù)，可用如下形式表示其中 稱為LTI離散時間系統(tǒng)的幅度（幅頻）響應(yīng) ()jH e()jH e()jH e h n()jH e2()jH e4.7 LTI離散時間系統(tǒng)的頻域表示離散時間系統(tǒng)的頻域表示 稱為LTI離散時間系統(tǒng)的相位（相頻）響應(yīng)在很多實際應(yīng)用中，離散時間系統(tǒng)的設(shè)計指標以幅度響應(yīng)或相位響應(yīng)或兩者同時給出。在某些情況下，幅度函數(shù)會以分貝形式給出

30、其中 稱為增益函數(shù)，稱為 衰減函數(shù)或損失函數(shù)。 ( ) ( )g( )( )g 4.7 LTI離散時間系統(tǒng)的頻域表示離散時間系統(tǒng)的頻域表示l例4.31 滑動平均濾波器的頻率響應(yīng)考慮M點的滑動平均濾波器，其沖激響應(yīng)表示為 頻率響應(yīng)表示為4.7 LTI離散時間系統(tǒng)的頻域表示離散時間系統(tǒng)的頻域表示 相應(yīng)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)為 其中 是 的階躍函數(shù)，定義為 ( ) 4.7 LTI離散時間系統(tǒng)的頻域表示離散時間系統(tǒng)的頻域表示 Matlab中freqz(h,w)可用來求指定沖激響應(yīng)量h在一組給定頻率點w上的頻率響應(yīng)值。由這些頻率響應(yīng)值，還可以用函數(shù)real和imag計算實部和虛部，或用函數(shù)abs和angl

31、e計算幅度和相位。 4.7 LTI離散時間系統(tǒng)的頻域表示離散時間系統(tǒng)的頻域表示幅度響應(yīng)在 處具有最大值1，而在 處為0；相位響應(yīng)在 的每個零點表現(xiàn)處相差 的不連續(xù)，而在其他地方呈線性且斜率為 ；由于計算了正反切函數(shù)，當計算相位響應(yīng)時可能出現(xiàn)多個 的跳變，可通過在跳變點增加的 倍數(shù)來展開相位從而將相位函數(shù)寫為 的連續(xù)函數(shù)。Matlab中unwrap函數(shù)可用于上述目的。02/,1,2,/ 2k M kM()jH e(1)/ 2M224.7 LTI離散時間系統(tǒng)的頻域表示離散時間系統(tǒng)的頻域表示l4.7.5 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng) 一個因果穩(wěn)定LTI系統(tǒng)，當以振幅為常量的正弦序列作為輸入時產(chǎn)生的輸出，將在某

32、一個時刻之后具有穩(wěn)態(tài)輸出，它也是振幅為常量并與輸入具有相同角頻率的正弦序列。 具有實沖激響應(yīng) 的LTI離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 ，LTI系統(tǒng)的輸入為 h n()jH e4.7 LTI離散時間系統(tǒng)的頻域表示離散時間系統(tǒng)的頻域表示 將 表示為兩個復(fù)指數(shù)序列之和的形式，即 其中 輸入 的響應(yīng) 為 輸入 的輸出是 的復(fù)共軛，即 x n01 2jnjg nAe e g n v n g n v n4.7 LTI離散時間系統(tǒng)的頻域表示離散時間系統(tǒng)的頻域表示 輸出 的表示為 由于 是實的，則有 也可表示為 y n h n()()jjH eH e( )() y n4.7 LTI離散時間系統(tǒng)的頻域表示離散時間系統(tǒng)的頻域表示l4.7.7 濾波的概念數(shù)字濾波器：讓輸入序列中的某些頻率分類沒有任何失真的通過，同時阻止其他頻率分類通過的LTI離散時間系統(tǒng)濾波的關(guān)鍵將任意一個輸入序列表示為無窮多個指數(shù)序列的線性加權(quán)和，通過適當選擇LTI數(shù)字濾波器在對應(yīng)于輸入信號正弦分量的頻率上的幅度函數(shù)值，相對于其它頻譜分量，某些頻譜就會被選擇性地嚴重削弱或濾除。 4.7 LTI離