相關(guān)分析與回歸

1、 v相關(guān)關(guān)系是指現(xiàn)象之間客觀存在的，在數(shù)量變化上受隨機(jī)因素影響的，非確定性的相互依存關(guān)系。相關(guān)分析的主要任務(wù)就是測(cè)定現(xiàn)象間是否存在相關(guān)關(guān)系，若存在，其相關(guān)程度如何。我們主要研究線(xiàn)性相關(guān)問(wèn)題，測(cè)定線(xiàn)性相關(guān)程度的主要指標(biāo)是相關(guān)系數(shù)，計(jì)算相關(guān)系數(shù)的基本方法是積差法及其簡(jiǎn)捷法。v回歸分析就是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的變量之間的數(shù)量變化關(guān)系進(jìn)行測(cè)定，確定一個(gè)與之相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，以便進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)的一種統(tǒng)計(jì)方法?；貧w分析的內(nèi)容：（1）建立回歸方程；（2）進(jìn)行相關(guān)關(guān)系檢驗(yàn)；（3）利用回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)?；貧w分析根據(jù)自變量多少，可分為一元回歸和多元回歸；根據(jù)現(xiàn)象間依存關(guān)系的形式，可分為線(xiàn)性回歸和非線(xiàn)性回歸。這里要求重點(diǎn)

2、掌握一元線(xiàn)性回歸分析。 v相關(guān)關(guān)系是指現(xiàn)象之間客觀存在的，在數(shù)量變化上受隨機(jī)因素的影響，非確定性的相互依存關(guān)系。v相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系 1)相關(guān)關(guān)系的范圍比函數(shù)關(guān)系的范圍更廣，函數(shù)關(guān)系可以說(shuō)是相關(guān)關(guān)系的一個(gè)特例。 2)二者之間也有聯(lián)系，并沒(méi)有嚴(yán)格的界限。一方面，有些現(xiàn)象從理論上說(shuō)存在著函數(shù)關(guān)系，可是在進(jìn)行多次觀察和測(cè)量時(shí)，由于存在測(cè)量誤差等原因，實(shí)際得到的數(shù)據(jù)往往也是非確定性的，這時(shí)就表現(xiàn)為相關(guān)關(guān)系。另一方面，有些變量之間盡管沒(méi)有確定性的函數(shù)關(guān)系，但為了找到相關(guān)關(guān)系的一般數(shù)量表現(xiàn)形式，又往往需要使用函數(shù)關(guān)系的近似表達(dá)式。而且當(dāng)我們對(duì)現(xiàn)象之間的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律性了解得比較清楚時(shí)，相關(guān)關(guān)系又可能轉(zhuǎn)化為

3、函數(shù)關(guān)系。 相關(guān)關(guān)系的概念 v相關(guān)關(guān)系依據(jù)不同的劃分方式可以分成不同的類(lèi)型: 1)按相關(guān)的因素多少分為單相關(guān)和復(fù)相關(guān) 2)按相關(guān)的形式不同分為直線(xiàn)相關(guān)和曲線(xiàn)相關(guān) 3)按相關(guān)變量變化的方向不同分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān) 4)按相關(guān)的程度分為完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān)2)按相關(guān)的形式不同分為直線(xiàn)相關(guān)和曲線(xiàn)相關(guān) v相關(guān)分析的具體內(nèi)容主要有四個(gè)方面 : 1)揭示現(xiàn)象之間是否具有相關(guān)關(guān)系。 2)測(cè)定現(xiàn)象相關(guān)關(guān)系的密切程度。 3)構(gòu)建現(xiàn)象相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。 4)測(cè)定因變量估計(jì)值的誤差程度。相關(guān)分析的類(lèi)型與內(nèi)容 1.1.3相關(guān)分析的內(nèi)容 v相關(guān)分析的具體內(nèi)容主要有四個(gè)方面 : 1)揭示現(xiàn)象之間是否具有相關(guān)關(guān)系。

4、 2)測(cè)定現(xiàn)象相關(guān)關(guān)系的密切程度。 3)構(gòu)建現(xiàn)象相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。 4)測(cè)定因變量估計(jì)值的誤差程度。 第二節(jié) 相關(guān)關(guān)系的判斷與測(cè)定v2.1相關(guān)關(guān)系的判斷v2.2相關(guān)關(guān)系的測(cè)定 v定性分析:對(duì)現(xiàn)象進(jìn)行定性分析，就是根據(jù)現(xiàn)象質(zhì)的規(guī)定性，運(yùn)用理論知識(shí)、專(zhuān)業(yè)知識(shí)、實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來(lái)進(jìn)行判斷和分析。定性分析是進(jìn)行相關(guān)分析的基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)需要通過(guò)編制相關(guān)表和繪制相關(guān)圖來(lái)進(jìn)行分析。 v定量分析 :利用相關(guān)圖和相關(guān)表進(jìn)行相關(guān)關(guān)系的判斷 1)相關(guān)表.相關(guān)表是一種反映變量之間相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)表。 例1:某公司A產(chǎn)品廣告費(fèi)與銷(xiāo)售收入相關(guān)表 年 份 12345678910年廣告費(fèi)（萬(wàn)元） 2234566677年銷(xiāo)售收

5、入（萬(wàn)元） 50515253535455565657相關(guān)關(guān)系的判斷 根據(jù)對(duì)自變量是否分組，相關(guān)表分為簡(jiǎn)單相關(guān)表和分組相關(guān)表。上例中即為簡(jiǎn)單相關(guān)表.分組相關(guān)表是將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分組編制而成的相關(guān)表。分組相關(guān)表又分為單變量分組相關(guān)表和雙變量分組相關(guān)表。 例2:某公司A產(chǎn)品廣告費(fèi)與銷(xiāo)售收入單變量分組相關(guān)表 年廣告費(fèi)（萬(wàn)元） 年數(shù)累計(jì) 年銷(xiāo)售收入（萬(wàn)元） 234567 211132 505253535556 例3:某公司A產(chǎn)品廣告費(fèi)與銷(xiāo)售收入雙變量分組相關(guān)表 年廣告費(fèi)（萬(wàn)元） 年銷(xiāo)售收入（萬(wàn)元） 合計(jì) 5051515252535354545555565657765432 2111122231112合計(jì)

6、211112210 2)相關(guān)圖.相關(guān)圖也稱(chēng)相關(guān)散點(diǎn)圖或散點(diǎn)圖，是將具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量值描繪在坐標(biāo)圖上，以橫軸表示自變量，縱軸表示因變量，按兩變量的對(duì)應(yīng)值標(biāo)出坐標(biāo)點(diǎn)的分布狀況的統(tǒng)計(jì)圖。 例4:某公司A產(chǎn)品廣告費(fèi)與銷(xiāo)售收入相關(guān)圖 廣告費(fèi)用與銷(xiāo)售收入依存關(guān)系散點(diǎn)圖4950515253545556575802468系列1 v相關(guān)系數(shù) 1)概念:相關(guān)系數(shù)是指在直線(xiàn)相關(guān)的條件下，說(shuō)明兩個(gè)現(xiàn)象之間相關(guān)關(guān)系緊密程度的統(tǒng)計(jì)分析指標(biāo)，常用表示。 2)相關(guān)系數(shù)的取值范圍及其表達(dá)的相關(guān)程度： （1） 的取值范圍為：1 1。的絕對(duì)值越接近于1，表明相關(guān)程度越高；越接近于0，表明相關(guān)程度越低。 （2） =1或 =1，

7、表明兩現(xiàn)象完全相關(guān)。 （3） = 0，表明兩變量之間無(wú)直線(xiàn)相關(guān)關(guān)系。 （4）0，現(xiàn)象呈正相關(guān)；0，現(xiàn)象呈負(fù)相關(guān)。 實(shí)踐中，一般將現(xiàn)象的相關(guān)關(guān)系分為四個(gè)等級(jí)： 0.3表示微弱相關(guān)，0.3 0.5表示低度相關(guān)；0.5 0.8表示顯著相關(guān)； 0.8表示高度相關(guān)。 rrrrrrrrrrrr相關(guān)關(guān)系的測(cè)定 3)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算 相關(guān)系數(shù)通常采用積差法計(jì)算，其計(jì)算公式為：式中 表示相關(guān)系數(shù)； 表示自變量； 表示因變量。該公式也可寫(xiě)成： 式中 為自變量的標(biāo)準(zhǔn)差； 為因變量的標(biāo)準(zhǔn)差； 為自變量與因變量的協(xié)方差。由此可知，相關(guān)系數(shù)是兩個(gè)變量協(xié)方差與兩個(gè)變量標(biāo)準(zhǔn)差乘積 的比。 22)()()(yyxxyyxxrii

8、iirxyyxxyr22)(1xxnx2)(1yyny)(12yyxxnxy 例5 利用下表中的資料計(jì)算相關(guān)系數(shù)。 積差法相關(guān)系數(shù)計(jì)算表 年份廣告費(fèi)(萬(wàn)元）銷(xiāo)售收入(萬(wàn)元）123456789102234566677 505152535354555656572.82.81.80.80.21.21.21.22.22.2 3.72.61.70.70.70.30.30.32.33.3 7.847.842.240.640.041.441.441.444.844.84 13.696.760.890.490.490.090.091.695.2910.89 10.367.283.060.560.140.360

9、.361.565.067.26 合計(jì) 4853732.642.3736xx yy7 .53y8 . 4x2)(xx 2)(yy )(yyxx 解：數(shù)據(jù)計(jì)算過(guò)程如上表所示，將其中數(shù)據(jù)代入積差法公式得 相關(guān)系數(shù) = 0.9687 ，說(shuō)明A產(chǎn)品年廣告費(fèi)用與年銷(xiāo)售收入之間存在高度相關(guān)關(guān)系。 為減輕計(jì)算工作量，可將上述相關(guān)系數(shù)公式整理成如下簡(jiǎn)捷計(jì)算公式： 例6 利用下表中的資料用簡(jiǎn)捷法計(jì)算相關(guān)系數(shù) 9687. 01649.37365092. 67096. 53637.426 .3236rr 2222)()(yynxxnyxxynr 相關(guān)系數(shù)簡(jiǎn)捷計(jì)算表 年份 年廣告費(fèi)（萬(wàn)元） 年銷(xiāo)售收入（萬(wàn)元） 1234

10、5678910 2234566677 50515253535455565657 44916253636364949 2500260127042809280929163025313631363249 100102156212265324330336392399 合計(jì) 48 537 264 28885 2616 xy2x2yxy 解：依據(jù)上表中的資料利用簡(jiǎn)捷公式計(jì)算得： =0.9552288369288850230426402577626160537288851048264105374826161022r 回歸分析變變量量間間的的關(guān)關(guān)系系確定性關(guān)系或函數(shù)關(guān)系y=f(x)人的身高和體重人的身高和體重

11、家庭的收入和消費(fèi)家庭的收入和消費(fèi)商品的廣告費(fèi)和銷(xiāo)售額商品的廣告費(fèi)和銷(xiāo)售額糧食的產(chǎn)量和施肥量糧食的產(chǎn)量和施肥量股票的價(jià)格和時(shí)間股票的價(jià)格和時(shí)間學(xué)生的期中和期末考試成績(jī)學(xué)生的期中和期末考試成績(jī), ,非確定性關(guān)系xY實(shí)變量實(shí)變量隨機(jī)變量隨機(jī)變量非確定性關(guān)系非確定性關(guān)系回歸分析模型回歸分析模型(x,y)采集樣本信息(xi,yi)回歸分析散點(diǎn)圖回歸方程回歸方程的顯著性檢驗(yàn)對(duì)現(xiàn)實(shí)進(jìn)行預(yù)測(cè)與控制基本思想基本思想如果數(shù)學(xué)關(guān)系式描寫(xiě)了一個(gè)變量與另一個(gè)變量之間的關(guān)系，則稱(chēng)其為一元回歸分析一元回歸分析；如果數(shù)學(xué)關(guān)系式描寫(xiě)了一個(gè)變量與另多個(gè)變量之間的關(guān)系，則稱(chēng)其為多元回歸分析多元回歸分析，并且稱(chēng)這一個(gè)變量是被影響變量

12、被影響變量（因變量：因變量：Dependent Variable）;稱(chēng)這多個(gè)變量是影響變量影響變量(自變量自變量:Independent Variable）.回歸分析回歸分析是根據(jù)變量觀測(cè)數(shù)據(jù)分析變量間關(guān)系的常用統(tǒng)計(jì)分析方法.通常把變量觀測(cè)數(shù)據(jù)稱(chēng)為樣本樣本. v一元線(xiàn)性回歸模型 一元線(xiàn)性回歸模型也稱(chēng)簡(jiǎn)單線(xiàn)性回歸模型，是分析兩個(gè)變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)方程式，其一般表達(dá)式為： 式中， 代表因變量的估計(jì)值， 代表自變量， 稱(chēng)為回歸模型的待定參數(shù), 其中 又稱(chēng)為回歸系數(shù) v一元回歸模型的建立 用 表示自變量 的實(shí)際值,用 表示因變量 的實(shí)際值（ ，因變量的實(shí)際值與估計(jì)值之差用 表示，稱(chēng)為估計(jì)誤差或殘差

13、。即： 。 依據(jù)最小平方法理論可得： bxayy xba,bixiyxy),3 , 2 , 1niieiiiyye一元線(xiàn)性回歸分析 21212112111)(11,xnxxynyxxnxyxnyxbbaniiniiiniiniiniiniiniii的估計(jì)：xbynxbyaniinii11 1)相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗(yàn) 為保證回歸方程具有最低的線(xiàn)性關(guān)系，可以將相關(guān)系數(shù) 的臨界值列成相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表。在給定顯著性水平 值和自由度 的值以后，查相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表，即可找到 對(duì)應(yīng)的最低臨界值 ，據(jù)此就可以判斷線(xiàn)性關(guān)系是否成立。 若 ，表明在顯著性水平 條件下，變量間的線(xiàn)性關(guān)系是顯著的，建立的回歸方程是有意義的；若

14、 ，表明在顯著性水平 條件下變量間的線(xiàn)性關(guān)系不顯著，建立的回歸模型實(shí)際意義待定。 rnrr)(mnrr)(mnrr一元回歸模型的檢驗(yàn) 2)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差檢驗(yàn) 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差也稱(chēng)為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差或估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤，是殘差平方和的算術(shù)平均數(shù)的平方根,用 表示。其計(jì)算公式為： 式中 代表估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差， 代表估計(jì)殘差（實(shí)際值與估計(jì)值之差）， 代表樣本容量， 代表回歸模型中待定參數(shù)的個(gè)數(shù)。 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差是一項(xiàng)誤差分析指標(biāo)，用于判斷回歸模型擬合的優(yōu)劣程度。 ySmneSniiy12ySiemnnininiiiiibxayyye111222)() ( 上述公式計(jì)算估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差較繁瑣，可以將其化簡(jiǎn)整理成如下的簡(jiǎn)捷計(jì)算法： 越大

15、，實(shí)際值與回歸直線(xiàn)的離散程度越大；反之， 越小，實(shí)際值與回歸直線(xiàn)的離散程度越小。一般要求 mnyxbyaySnininiiiiiy1112ySyS%15ySy 一元線(xiàn)性回歸模型通過(guò)檢驗(yàn)，若其精度較好，擬合度優(yōu)，即可用其進(jìn)行預(yù)測(cè)。 例 若對(duì)回歸模型 進(jìn)行預(yù)測(cè).若2005年A產(chǎn)品廣告費(fèi)為8萬(wàn)元，則年銷(xiāo)售收入預(yù)測(cè)值為： 將 （萬(wàn)元）代入回歸方程 中得: （萬(wàn)元） 上述預(yù)測(cè)只測(cè)算了一個(gè)數(shù)值點(diǎn)，假定其他因素不變， ,置信度為95%（ ），查正態(tài)分布概率表，F(xiàn)（t）=95%, t=1.96，則A產(chǎn)品2005年估計(jì)銷(xiāo)售收入為： 即A產(chǎn)品年廣告費(fèi)為8萬(wàn)元時(shí)，其年銷(xiāo)售收入在（55.984，58.7918 ）之間

16、。 xy1429. 12143.488xxy1429. 12143.483862.5781429. 12143.48y7154. 0yS%95)(tF7154. 096. 13862.57y預(yù)測(cè) 多元線(xiàn)性回歸分析 v二元線(xiàn)性回歸模型 一個(gè)因變量 與兩個(gè)自變量 , 呈線(xiàn)性相關(guān)，則可建立二元線(xiàn)性回歸模型： 式中， 代表因變量的估計(jì)值，a為回歸常數(shù)，b1,b2為回歸系數(shù)， , 代表自變量 利用最小二乘法，可推導(dǎo)出計(jì)算求解二元線(xiàn)性回歸方程參數(shù) 的方程組： y1x2x2211xbxbayy 1x2x21,bbaniiniiiniiniiiniiiniiniiniiiniiniiniixbxxbxayxx

17、xbxbxayxxbxbnay1222121112121212121121111221111二元線(xiàn)性回歸模型 v二元線(xiàn)性回歸模型 例1 某商品的需求量主要受商品價(jià)格及居民收入水平的影響，近十年該商品有關(guān)資料如下表二、三、四列所示，試建立二元線(xiàn)性回歸方程。 年份 需求量（ ） 價(jià)格（ ） 居民收入（ ） 12345678910566.577.589101011 8976765453 3030405060120130110100130 405445.54252.54845405033 1501802603504509601170110010001430 2402702803004207206504

18、40500390 6481493649362516259 9009001600250036001440016900121001000016900 合計(jì)80608004507050421039079800iyix1ix2iiyx1iiyx2iixx2121ix22ix 解： 根據(jù)計(jì)算回歸方程參數(shù)的要求，計(jì)算相關(guān)資料如上表五、六、七、八、九列所示。 由表中資料計(jì)算可得： , , 把表中相關(guān)資料代入求參數(shù)a,b1,b2的線(xiàn)性方程組： 解此方程組，得： a=11.228 b1=0.725 b2=0.014 故二元線(xiàn)性回歸方程為： 這一模型表明，當(dāng)居民收入不變時(shí)，價(jià)格每上漲一元，該商品的需求量將平均減少

19、0.724千克；當(dāng)商品價(jià)格不變時(shí)，居民收入每增加一萬(wàn)元，該商品的需求量將平均增加0.014千克。 81080y610601ix80108002ix2121217980042108007050421039060450800601080bbabbabba21014. 0725. 0228.11xxy v二元回歸模型的檢驗(yàn) 1)相關(guān)系數(shù)及顯著性檢驗(yàn) 復(fù)相關(guān)系數(shù)是反映一個(gè)因變量與多個(gè)自變量之間的線(xiàn)性相關(guān)程度的指標(biāo)，用R表示。其計(jì)算公式為： 此公式只能在因變量的估計(jì)值求得以后才能運(yùn)用。其簡(jiǎn)捷計(jì)算公式為： niiiniiiniiniiyyyyyyyyR12121212)()(1)()(2121221111

20、12)(1iniiniiiniiiniiniiynyyxbyxbyayR二元線(xiàn)性回歸模型的檢驗(yàn) 例2 依據(jù)例1的資料計(jì)算復(fù)相關(guān)系數(shù)。解：根據(jù)例1的資料作復(fù)相關(guān)系數(shù)計(jì)算表 年份 需求量（ ） 12345678910566.577.5891010115.95.16.77.67.08.69.49.99.01.90.810.810.040.360.250.360.160.011.00.01942.2510.2501449253642.254956.256481100100121合計(jì) 8080.13.8134.5674.5iyiy 2)(iiyy 2)(iiyy 2iy 將上表數(shù)據(jù)代入復(fù)相關(guān)系數(shù)公式得：

21、 若顯著性水平 時(shí)，自由度=103=7,查“相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表”得 由相關(guān)系數(shù)及其顯著性水平檢驗(yàn)數(shù)值可知，上述二元線(xiàn)性方程具有高度相關(guān)關(guān)系。 復(fù)相關(guān)系數(shù)的取值范圍為0R1。復(fù)相關(guān)系數(shù)為1，表明因變量與自變量之間存在嚴(yán)密的線(xiàn)性關(guān)系，復(fù)相關(guān)系數(shù)為0則表明因變量與自變量之間不存在任何線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系。一般情況下，復(fù)相關(guān)系數(shù)的取值在0和1之間，表明變量之間存在一定程度的線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系。 943. 05 .3481. 31R05. 0758. 0)310(05. 0R 2)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤檢驗(yàn) 二元線(xiàn)性回歸分析中，估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤也是殘差平方和的算術(shù)平均數(shù)的平方根。其一般計(jì)算公式為： 其簡(jiǎn)捷計(jì)算公式為： mnyySniiiy

22、12)(mnyxbyxbyaySniiiniiniiniiy1221111112mnyxbyxbyaySniiiniiniiniiy1221111112 例3 根據(jù)例1所建立的二元線(xiàn)性模型 ,依據(jù)例1表中的資料計(jì)算估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤,檢驗(yàn)所建模型的擬合程度 解: 0.738 估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤為0.738，說(shuō)明建立的二元線(xiàn)性回歸方程擬合度較好。 21014. 0725. 0228.11xxy3107050014. 0450)725. 0(80228.115 .674yS 案例一案例一 軟件開(kāi)發(fā)人員的薪金軟件開(kāi)發(fā)人員的薪金一家高技術(shù)公司人事部門(mén)為研究軟件開(kāi)發(fā)人員的薪金與他們的資歷、管理責(zé)任、教育程度等因素之間的

23、關(guān)系，要建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，以便分析公司人士策略的合理性軟件開(kāi)發(fā)軟件開(kāi)發(fā)人員的薪金人員的薪金，并作為新聘用人員工資的參考。他們認(rèn)為目前公司人員的薪金總體上是合理的，可以作為建模的依據(jù)，于是調(diào)查了46名開(kāi)發(fā)人員的檔案資料，如表。 其中:資歷一列指從事專(zhuān)業(yè)工作的年數(shù)， 管理一列中1表示管理人員， 0表示非管理人員， 教育一列中1表示中學(xué)程度，2表示大學(xué)程度， 3表示更高程度（研究生）編號(hào)薪金資歷管理教育編號(hào)薪金資歷管理教育011387611113198003130211608103141141740103187011131520263413041128310216132314030511767103

24、171284440206208722121813245502071177220219136775030810535201201596551109121952032112366601101231330222213526131114975311231383960212213713122422884612編號(hào)薪金資歷管理教育編號(hào)薪金資歷管理教育2516978711361688212022614803802372417012132717404811381599013012822184813392633013122913548801401794914023014467100141256851513311

25、59421002422783716123223174101343188381602332378010124417483160134254101112451920717023514861110146193462001開(kāi)發(fā)人員的薪金與他們的資歷、管理責(zé)任、教育程度分析與假設(shè)：分析與假設(shè)：按照常識(shí)，薪金自然按照資歷（年）的增長(zhǎng)而增加，管理人員的薪金高于非管理人員，教育程度越高薪金越高。薪金記作y，資歷（年）記作1x，為了表示是否為管理人員定義2x1，管理人員0，非管理人員為了表示三種教育程度，定義3x1，中學(xué)0，其它4x1，大學(xué)0，其它這樣，中學(xué)用0, 143xx表示，大學(xué)用1, 043xx表示，研

26、究生則用0, 043xx表示。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們假定資歷（年）對(duì)薪金的作用是線(xiàn)性的，即資歷每加一年，薪金的增長(zhǎng)是常數(shù)；管理責(zé)任、教育程度、資歷諸因素之間沒(méi)有交互作用，建立線(xiàn)性回歸模型?；灸Ｐ停夯灸Ｐ停盒浇饄與資歷1x，管理責(zé)任2x，教育程度43,xx之間的多元線(xiàn)性回歸模型為443322110 xaxaxaxaay其中，410,aaa是待估計(jì)的回歸系數(shù)，是隨機(jī)誤差。利用MATLAB的系統(tǒng)工具箱可以得到回歸系數(shù)及其置信區(qū)間（置信水平 ）05. 0、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量pFR,2的結(jié)果，見(jiàn)表。參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間1103210258 11807546484 60868836248 7517-2994-3

27、826 -2162148-636 9310a1a2a3a4a0,226,957. 02pFR結(jié)果分析：結(jié)果分析：從表中，957. 02R，即因變量（薪金）的95.7%可由模型確定，F(xiàn)值超過(guò)F檢驗(yàn)的臨界值，p遠(yuǎn)小于，因而模型從整體來(lái)看是可用的。比如，利用模型可以估計(jì)（或估計(jì)）一個(gè)大學(xué)畢業(yè)、有2年資歷、管理人員的薪金為12273100243210aaaaay模型中各個(gè)回歸系數(shù)的含義可初步解釋如下：1x的系數(shù)為546，說(shuō)明資歷每增加一年，薪金增長(zhǎng)546；2x的系數(shù)為6883，說(shuō)明管理人員的薪金比非管理人員多6883；3x的系數(shù)為-2994，說(shuō)明中學(xué)程度的薪金比研究生少2994；4x的系數(shù)為148，說(shuō)

28、明大學(xué)程度的薪金比研究生多148，但是應(yīng)該注意到4a的置信區(qū)間包含零點(diǎn)，所以這個(gè)系數(shù)的解釋是不可靠的。注意：上述解釋是就平均值來(lái)說(shuō)的，并且，一個(gè)因素改變引起的因變量的變化量，都是在其它因素不變的條件下才成立的。進(jìn)一步討論：進(jìn)一步討論：的置信區(qū)間包含零點(diǎn)，說(shuō)明上述基本模型存在缺點(diǎn)。為了4a尋找改進(jìn)的方向，常用殘差分析法（殘差指薪金的實(shí)際值y與模型估計(jì)的薪金y 之差，是基本模型中隨機(jī)誤差的估計(jì)值，這里用同一個(gè)符號(hào)）。我們將影響因素分成資歷與管理教育組合兩類(lèi)，管理-教育組合定義如表。組合1 23456管理010101教育112233管理管理教育組合教育組合為了對(duì)殘差進(jìn)行分析，下圖給出與資歷1x的關(guān)系

29、，及與管理2x-教育43, xx組合間的關(guān)系。與資歷1x的關(guān)系與432,xxx 組合的關(guān)系從左圖看，殘差大概分成3個(gè)水平，這是由于6種管理教育組合混在一起，在模型中未被正確反映的結(jié)果；從右圖看，對(duì)于前4個(gè)管理教育組合，殘差或者全為正，或者全為負(fù)，也表明管理-教育組合在模型中處理不當(dāng)。在模型中，管理責(zé)任和教育程度是分別起作用的，事實(shí)上，二者可能起著交互作用，如大學(xué)程度的管理人員的薪金會(huì)比二者分別的薪金之和高一點(diǎn)。以上分析提示我們，應(yīng)在基本模型中增加管理更好的模型：更好的模型：2x與教育43, xx的交互項(xiàng)，建立新的回歸模型。增加2x與43, xx的交互項(xiàng)后，模型記作426325443322110

30、 xxaxxaxaxaxaxaay利用MATLAB的統(tǒng)計(jì)工具箱得到的結(jié)果如表：參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間1120411044 11363497486 50870486841 7255-1727-1939 -1514-348-545 -152-3071-3372 -276918361571 21010a1a2a3a4a5a6a0,554,999. 02pFR由上表可知，這個(gè)模型的 做該模型的兩個(gè)殘差分析圖，可以看出，已經(jīng)消除了不正?，F(xiàn)象，這也說(shuō)明了模型的適用性。2R和F值都比上一個(gè)模型有所改進(jìn)，并且所有回歸系數(shù)的置信區(qū)間都不含零點(diǎn)，表明這個(gè)模型完全可用。與1x的關(guān)系與432,xxx 組合的關(guān)系 從上

31、圖，還可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)異常點(diǎn)：具有10年資歷、大學(xué)程度的管理人員（編號(hào)33）的實(shí)際薪金明顯低于模型的估計(jì)值，也明顯低于與他有類(lèi)似經(jīng)歷的其他人的薪金。這可能是由我們未知的原因造成的。為了使個(gè)別數(shù)據(jù)不致影響整個(gè)模型，應(yīng)該將這個(gè)異常數(shù)據(jù)去掉，對(duì)模型重新估計(jì)回歸系數(shù)，得到的結(jié)果如表。殘差分析見(jiàn)圖?？梢钥吹?，去掉異常數(shù)后結(jié)果又有改善。參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間1120011139 11261498494 50370416962 7120-1737-1818 -1656-356-431 -281-3056-3171 -294219971894 21000a1a2a3a4a5a6a0,36701,9998. 02p

32、FR與1x的關(guān)系與432,xxx 組合的關(guān)系模型的應(yīng)用：模型的應(yīng)用：對(duì)于第二個(gè)模型，用去掉異常數(shù)據(jù)（33號(hào)）后估計(jì)出的系數(shù)得到的結(jié)果是滿(mǎn)意的。模型的應(yīng)用之一，可以用來(lái)“制訂”6種管理教育組合人員的“基礎(chǔ)”薪金（即資歷為零的薪金），這是平均意義上的。利用第二個(gè)模型和去掉異常數(shù)據(jù)后得到的回歸系數(shù)，可以得到如下結(jié)果：組合管理教育系數(shù)“基礎(chǔ)”薪金1019463211134483021084441219882503112006131824130aa 5320aaaa40aa 6420aaaa0a20aa 可以看出，大學(xué)程度的管理人員薪金比研究生程度管理人員薪金高，而大學(xué)程度的非管理人員薪金比研究生程度非

33、管理人員薪金略低。當(dāng)然，這是根據(jù)這家公司實(shí)際數(shù)據(jù)建立的模型得到的結(jié)果，并不具普遍性。評(píng)注：評(píng)注：從建立回歸模型的角度，通過(guò)這個(gè)問(wèn)題的求解我們學(xué)習(xí)了：1） 對(duì)于影響因變量的定性因素（管理、教育），可以引入 01變量來(lái)處理，01變量的個(gè)數(shù)比定性因素的水平少 1（如教育程度有3個(gè)水平，引入2個(gè)01變量）。2） 用殘差分析法可以發(fā)現(xiàn)模型的缺陷，引入交互作用項(xiàng)常 ?？梢缘玫礁纳?。3） 若發(fā)現(xiàn)異常值應(yīng)剔除，有助于結(jié)果的合理性。思考：思考：在這里我們由簡(jiǎn)到繁，先分別引進(jìn)管理和教育因素，再引入交互項(xiàng)。試直接對(duì)6種管理-教育組合引入5個(gè)01變量，建立模型，看結(jié)果如何。案例二案例二 教學(xué)評(píng)估教學(xué)評(píng)估為了考評(píng)教師的

34、教學(xué)質(zhì)量，教學(xué)研究部門(mén)設(shè)計(jì)了一個(gè)教學(xué)評(píng)估表，對(duì)學(xué)生進(jìn)行一次問(wèn)卷調(diào)查，要求學(xué)生對(duì)12位教師的15門(mén)課程（其中3為教師有兩門(mén)課程）按以下7項(xiàng)內(nèi)容打分，分值為15分（5分最好，1分最差）：?jiǎn)栴}：?jiǎn)栴}：1X課程內(nèi)容組織的合理性；2X主要問(wèn)題展開(kāi)的邏輯性；3X回答學(xué)生問(wèn)題的有效性；4X課下交流的有助性；5X教科書(shū)的幫助性；6X考試評(píng)分的公正性；Y對(duì)教師的總體評(píng)價(jià)。收回問(wèn)卷調(diào)查表后，得到了學(xué)生對(duì)12為教師、15門(mén)課程各項(xiàng)評(píng)分的平均值，見(jiàn)表。 教師編號(hào)課程編號(hào)12014.464.424.234.104.564.374.1122244.113.823.293.603.993.823.3833013.583.3

35、13.243.764.393.753.1743014.424.374.344.403.634.274.3953014.624.474.534.674.634.574.691X2X3X4X5X6XY教師編號(hào)課程編號(hào)63093.183.823.923.623.504.143.2573112.472.793.583.502.843.842.8483114.293.924.053.762.764.113.9593124.414.364.274.754.594.114.18103124.594.344.244.392.644.384.44113334.554.454.434.574.454.404.47

36、124244.674.644.524.393.484.214.6133513.713.413.394.184.064.063.1744114.284.454.104.073.764.434.1594244.244.384.354.484.154.504.331X2X3X4X5X6XY61 XX不一定每項(xiàng)都對(duì)教師總體評(píng)價(jià)Y有顯著影響，并且各項(xiàng)內(nèi)容之間也可能存在很強(qiáng)的相關(guān)性，他們希望得到一個(gè)總體評(píng)價(jià)與各項(xiàng)具體內(nèi)容之間的模型，模型應(yīng)盡量簡(jiǎn)單和有效，并且由此能給教師一些合理的建議，以提高總體評(píng)價(jià)。準(zhǔn)備知識(shí)：準(zhǔn)備知識(shí)：逐步回歸這個(gè)問(wèn)題給出了6個(gè)自變量，但我們希望從中選出對(duì)因變量Y影響顯著的那些來(lái)建立回歸

37、模型。變量選擇的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該是將所有對(duì)因變量影響顯著的自變量都選入模型，而影響不顯著的自變量都不選入模型，從便于應(yīng)用的角度，應(yīng)使模型中的自變量個(gè)數(shù)盡量少。逐步回歸就是一種從眾多自變量中有效的選擇重要變量的方法。教學(xué)研究部門(mén)認(rèn)為，所列各項(xiàng)具體內(nèi)容逐步回歸逐步回歸的基本思路是，先確定一個(gè)包含若干自變量的初始集合，然后每次從集合外的變量中引入一個(gè)對(duì)因變量影響最大的，再對(duì)集合中的變量進(jìn)行檢驗(yàn)，從變得不顯著的變量中移出一個(gè)影響最小的，依次進(jìn)行，直到不能引入和移出為止。引入和移出都以給定的顯著性水平為標(biāo)準(zhǔn)。利用MATLAB系統(tǒng)工具箱中的逐步回歸命令stepwise可以實(shí)現(xiàn)逐步回歸。Stepwise提供人機(jī)交互

38、式畫(huà)面，可以在畫(huà)面上自由引入和移出變量，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。具體用法參見(jiàn)MATLAB叢書(shū)回歸模型的建立與求解：回歸模型的建立與求解：我們利用MATLAB命令得到各個(gè)變量的回歸系數(shù)，置信區(qū)間，及剩余標(biāo)準(zhǔn)差（RMSE），決定系數(shù)（R-square），F(xiàn)值，p值。見(jiàn)表。參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間10.51620.01546 0.0192-0.05469-0.853 0.7436 30.6706-0.03795 1.37940.1245-0.462 0.67515-0.04335-0.2514 0.164760.1363-0.6958 0.9684RMSER-squareFp0.11250.980667.292.071e-006可以看到，除1X外其他