七升八級暑期數(shù)學輔導

1、目錄八年級數(shù)學上冊課時分布第一講與三角形有關的線段第二講與三角形有關的角第三講多邊形及其內(nèi)角和第四講 全等三角形 第五講 全等三角形的判定（一）第六講全等三角形的判定（二）第七講全等三角形的判定（三） 第八講全等三角形的判定（四）第九講全等三角形的判定綜合 第十講角的平分線的性質(zhì)第十一講 全等三角形復習測試卷 第十二講軸對稱 第十三講等腰三角形 第十四講等邊三角形 第十五講如何做幾何證明題（1）- 2 - / 53第十六講如何做幾何證明題（2）第十七講如何做幾何證明題 (3)第十八講如何做幾何證明題 (4)第十九講測試第二十講試卷評講及復習八年級（上）（ 62）第 11 章 三角形（ 8）11

2、.1 與三角形有關的線段（ 2）11.1.1三角形的邊 11.1.2 三角形的高、中線與角平分線11.1.3 三角形的穩(wěn)定性 信息技術應用 畫圖找規(guī)律11.2 與三角形有關的角（ 3）11.2.1 三角形的內(nèi)角 7.2.2 三角形的外角 閱讀與思考 為什么要證明11.3 多邊形及其內(nèi)角和（ 2）11.3.1 多邊形 11.3.2 多邊形的內(nèi)角和 數(shù)學活動 小結(jié)（ 1）第 12 章 全等三角形（ 11 ）12.1 全等三角形（ 1）12.2 三角形全等的判定（ 6） 信息技術應用 探究三角形全等的條件12.3 角的平分線的性質(zhì)（ 2）數(shù)學活動小結(jié)（ 2）第 13 章 軸對稱（ 14 ）13.1

3、軸對稱（ 3）13.1.1 軸對稱 13.1.2 線段的垂直平分線的性質(zhì)13.2 畫軸對稱圖形（2）信息技術應用用軸對稱進行圖案設計13.3 等腰三角形（5）13.3.1 等腰三角形13.3.2 等邊三角形-3 - / 53實驗與探究三角形中邊與角之間的不等關系13.4 課題學習最短路徑問題（2）數(shù)學活動小結(jié)（2）第 14 章整式的乘法與因式分解（14）14.1 整式的乘法（6）14.1.1 同底數(shù)幕的乘法 14.1.2 幕的乘方14.1.3 積的乘方14.1.4 整式的乘法14.2 乘法公式（3）14.2.1 平方差公式14.2.2 完全平方公式閱讀與思考楊輝三角14.3 因式分解（3）14

4、.3.1 提公因式法14.3.2 公式法閱讀與思考型式子的分解數(shù)學活動小結(jié)（2）第 15 章分式（15）15.1 分式（4）15.1.1從分數(shù)到分式15.1.2分式的基本性質(zhì)15.2 分式的運算（6）15.2.1 分式的乘除15.2.2 分式的加減15.2.3 整數(shù)指數(shù)幕閱讀與思考容器中的水能倒完嗎？15.3 分式方程（3）數(shù)學活動小結(jié)（2）-4 - / 53第一講全等三角形(一)知識要點1、全等三角形的有關概念能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。把兩個全等的三角形重合在一起，重 合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合的角叫做對應角?！叭取庇谩耙?/p>

5、”表示，讀作“全等 于”，如 ABCDEF。當兩個三角形全 等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應 的位置上，如右圖所示， ABC 和厶 DEF 全 等，點 A 與點 D，點 B 與點E,點 C 與點 F 是對應頂點，記作 ABC DEF。其中 AB與 DE , AC 與 DF, BC 與 EF 是對應邊，/ A 角。規(guī)律方法小結(jié)： 在全等三角形中找出對應角和對應邊，關鍵是先找出對應頂點，然 后按對應頂點的字母順序記兩個三角形全等，再按順序?qū)懗鰧吅蛯?。全等三?形的面積一定相等，但是面積相等的三角形不一定是全等三角形。常見的全等三角形的基本圖形有平移型、旋轉(zhuǎn)型和翻折型。(1) 平移型：

6、如下左圖，若 ABCDEF，貝 U BC=EF。將 DEF 向左平移得到 F右圖，則仍有 BC=EF，在右圖中，若知 BC=EF，則可推出 BE=CF。與/ D，/ B 與/ E,ZC 與/ F 是對應BC EF-5 - / 53A2、全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等。知識延伸：(1)全等三角形的性質(zhì)是以后我們證明線段相等或角相等的常用依 據(jù)；(2) 全等三角形的對應邊上的中線、高線及對應角的角平分線也相等。規(guī)律方法小結(jié)：在尋找全等三角形的對應邊和對應角時，常用的方法有：(1 )全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；(2 )全等三角形對應邊

7、所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角；(3) 公共邊一定是對應邊，公共角一定是對應角，對頂角一定是對應角；(4) 全等三角形中一對最短的邊(或最小的角)是對應邊(或?qū)?。(二)典型例題例 1 :若把 ABC 繞 A 點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，就得到厶 應邊和對應角。規(guī)律方法： 全等三角形的書寫要注意對應頂點寫在對應的位置上，同時，在書寫對應 邊時，直接(2)旋轉(zhuǎn)型：如下左圖，兩對三角形的全等屬于旋轉(zhuǎn)型，圖形的特點是：圖1;圖 2 的旋轉(zhuǎn)中心為點 0,有一對對頂角/旋轉(zhuǎn)中心為點 A，有公共部分/(3)翻折型：如上右圖， AB，圖 2 中有公共角/ A。知識延伸： 熟悉這些基本圖形， 有

8、利于我們尋找三角形全等的隱含條件, 的證明思路。兩對三角形的全等屬于翻折型，其中圖啟發(fā)我們ADE，請寫出圖中所有的對(1(2)-6 - / 53按照對應邊來寫，但書寫對應角時，就必須特別注意結(jié)合圖形，尤其是角的 表示。例 2 :如圖，已知 ABDACE。試說明 BE=CD，/ DC0= / EB0。0C-7 - / 53A規(guī)律方法：全等三角形的性質(zhì)不僅有：（1）全等三角形的對應邊相等；（ 2）全等三 角形的對應角相等。同時，我們還發(fā)現(xiàn)：（3）全等三角形的周長相等；（4 ）全等三角形的面積相等；（5）全等三角形中，對應邊上的高，對應邊上的中線，對應角的平分 線也分別相等。例 3 :如圖， ADF

9、 CBE，且點 E, B , D , F 在一條直線上，判斷 AD 和 BC 的位置關系，并加以說明。例 4 :如圖，在 ABC 中，D , E 分別是邊 AC , BC 上的 點，若1525A、C、ADBEDBEDC，則/ C 的度數(shù)為（）2030例 5 :如圖， ABE 和厶 ADC 是厶 ABC 分別沿 AB , AC 邊翻折180形成的，若/ 1:72:73=28: 5: 3,則求/a的度數(shù)。例 6:如圖，已知 ABE ACD,71 =72,7B=7C,指出其他的對應邊和對應角。AEC-8 - / 53例 7:如圖，已知 AB3ADBE AB 丄 CD DE 的延長線交 AC 于點 F

10、,那么 DF 丄 AC 嗎? 說明理由.例 8:如圖，已知 ABEAACD 且 AB =AC,求證:(1)/ BAD= / CAE (2)BD= CE.（三）反饋練習1.如圖， ABCADCB 若/ I 與/ 2 是一組對 應角，則其他的對應角有，對應邊 有，。2._ 如圖， ABCAAB C,且點 B, B, C, C在同一直線上，則 BB =_若/ A=80o 則/ A = o，/ B DC=o3.如圖，把 ABC 沿直線 BC 翻折 180o,得到 DBC 則厶 AB C 與厶 DBC 的關系是4.如圖，把 ABC 繞點 A 旋轉(zhuǎn)一定的角度得到 AED 那么 ABCXAED 其中對應邊

11、有， ，對應角有 ，。5.(南通)已知：如圖，OADAOBC 且/ O=70o / C =25o,則/ AEB=。BC C-9 - / 53DC6.如圖， ABDAACD AB=AC 貝 BAD 玄,BD=，/ ADB=gB D C7.如圖，若 ABCAEDC 且/ B=58o CD=2cm 點 B, C, E 在同一直線上，則/ E=,BC=cm.B C E&若 ABCADEF DEF 的周長為 32cm, DE= 9cm,EF= 12cm，貝 U AB=cm,BC=_cm , AC=cm.9.如圖，直角 ABC 沿直角邊 BC 所在的直線向右平移得到 DEF 則下列結(jié)論中錯誤的 是

12、（）A.ABCADEF B./DEF= 90oC. AC =DF D. EC= CFE C10.下列說法，（1）形狀相同的兩個三角形是全等三角形；（2）面積相等的兩個三角形是全等三角形；（3）全等三角形的周長相等，面積相等；（4）若厶 ABCADEF 則/ A=/D, AB =EF.其中正確的個數(shù)有（）A.l 個 B.2 個 C. 3 個 D . 4 個11 .如圖所示， ABCAAEF,AB=AE / B=/ E,則下列結(jié)論： AC=AF / FAB=/EABEF =BG / EAB=/ FAC.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A.l 個 B.2 個 C.3 個 D.4 個RFC12.如圖，在 AB

13、C 中，D E 分別是邊 AC BC 上的 點，若 ADBAEDBAEDC 貝卩 /C 的度數(shù)為（）A . 15o B . 20oC . 25o D . 30o-10 - / 5313.如圖， ABCACDA 下列各組邊中，不是對應邊的是（）A . AB 與 DC B.AC 與 CAC.AD 與 CB D.AD 與 DCA&14.如圖，AABCAADE 點 B 的對應點是點 D.若/ BAD= 100o / CAE= 40c,求/ 的度數(shù).BAERECA-11 - / 53（一） 知識要點第二講 全等三角形的判定（一）1、三角形全等的判定方法一：SSS三邊對應相等的兩個三角形全等（可以

14、簡寫成“邊邊邊”或SSS”）。書寫格式：在厶 ABC 和厶 AB C 沖，AB =ABAC = ACBC =BC-ABCA ( SSS)規(guī)律方法小結(jié)：（1）有的題目可以直接從圖中找到全等的條件，而有的題目的條件則隱含在題設 或圖形之中，我們一定要認真讀圖，準確地把握題意，找準所需條件。（2）數(shù)形結(jié)合思想：將“數(shù)”與“形”結(jié)合起來進行分析、研究，這是解決問題 的一種思想方法。（二） 典型例題例 1在 ABC 中，AB=AC , AD 是三角形的中線求證： ABD ACDBC-12 - / 53例 2 .已知：如圖， A、C、F、D 在同一直線上， AF = DC, AB= DE , BC= EF

15、 ,例 3.如圖，點 A, B, C, D 在同一直線上，且 AD =BC AE =BF , CE= DF.求證:DF/CE.例 4.如圖，已知 ABEAACD 求證：/ l= / 2.例 5.如圖，點 A, C, B, D 在同一條直線上，且AC=BD AM= CN BM= DN.求證:AIM/ CN BM/ DN求證： ABCDEF .E-13 - / 53-14 - / 53例 6.已知：如圖，四邊形 ABCD 中, AB= CB, AD= CD,求證：/ A=ZC.（三）練習：1如圖，若 AB =AC, BD= CD / B =62o，則/ BAC=度.2.如圖，已知 AB= CD,

16、AD= CE,還有條件，可判定厶 ABCACDA 其依據(jù)是.3.如圖，在 ABD 和厶 ACE 中，已知 AB =AC, BD = CE, AD =AE,若/ l= 20o，則/ 2=.4.如圖，在四邊形 ABCD 中, AC 與 BD 交于點 0,且 AO= BQ CO =DQ AD= BC,則圖中 全等三角形有對.5.如圖，已知 AB=BC AD=CDZABC=8Oo / ADC= 50q 則/ A=o,ZC=o.BC= ED CF=FD AC=AD 求證：/ BAF= / EAF.D-15-/53Co (3)AD平分/ BAC (4) AD 丄 BC.其中正確的個數(shù)是()A . 1 個

17、B . 2 個 C.3 個 D.4 個形全等.其中正確說法的個數(shù)是()A.4 個 B . 3 個 C . 2 個 D . 1 個&下列命題中正確的是()A 有兩條邊對應相等的兩個三角形全等B 兩個等邊三角形全等C 兩個等腰直角三角形全等D 三邊對應相等的兩個三角形的對應角也相等,10.如圖，在 ABC 中，AB =AC,點 D E 分別是 BC 的三等分點，且 AD=AE 求證： ABD ACE.AB =AC,點 D 為 BC 的中點，下列結(jié)論:(2)/B=Z(1)周長相等的兩個等邊三角形全等;形全等；(3)有三邊對應相等的兩個三角形全等;(2)有三個角對應相等的兩個三角(4)有底和腰

18、對應相等的兩個等腰三角AB=AC,ABDEC-16 - / 53E11.如圖 16,在厶 ABCn DCB 中, AB=DC AC=DB AC 與 DB 交于點 M.（1） 求證： ABCADCB（2） 過點 C 作 CN/ BD 過點 B 作 BN /AC , CN 與 BN 交于點 N,試判斷線段/ NBC 和 / NCB數(shù)量關系并證明你的結(jié)論.第三講 全等三角形的判定（二）（一）知識要點1、三角形全等的判定方法二：SAS兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或 “SAS”）。書寫格式：在厶 ABC 和厶 AB C 沖，AB二AB NA =AAC = AC ABC

19、也厶 A ( SAS)知識延伸：“SAS”中的“ A”必須是兩個“ S”所夾的角。/V圖 16-17 - / 53E例 1如圖所示，直線求證：AB=DEAD、BE 相交于點 C, AC=DC , BC=EC.-18 - / 53般需要三個條件，如果已知兩對邊，就試著去找第SSS或“ SAS來證明兩個三角形全等；例 3 :如圖，C 為 BE 上一點，點BC=ED。求證：AC=CD例 4 .如圖，已知 AB =AC, AD =AE,Z仁/ 2.求證：CE =BD例 2 :如圖,AD 丄 AE , AB 丄 AC , AD=AE , AB=ACB規(guī)律方法：證明三角形全等時, 三對邊或這兩對邊的夾角，

20、利用“A , D 分別在 BE 的兩側(cè)， AB / ED , AB=CE ,-19 - / 53例 5:如圖，點 E, F 在 BC 上，BE=CF, AB=DC, / B= / C. 求證：/ A= / D點，且 CQ=AB 求證：APIAQ.（三）練習1 如圖，已知/ 1= / 2, AD =AC,則厶_也，其依據(jù)是2.如圖，/ 1= / 2, AB =AC, AE=AD 則厶 AB 醫(yī)，依據(jù)是，由此還可得BD=。3._ 如圖，AC=AB AD 平分/ CAB 點 E 在 AD 上，則圖中全等的三角形有 _ 對，它們是例 6.如圖,BE CF 分別是 ABC 的高.P 是 BE 上一點。且

21、BP =AC, Q 是 CF 延長線上一-20 - / 53。-21 - / 534（天門）如圖，已知 AE=CF / A=ZC,要使 ADFACBE 還需添加一個條件:5小明為了測量池塘對岸 A，B 兩點間的距離，作了如下的操作（如圖）：取一能夠 到達 A, B兩點的點 D。連接 AD 并延長 AD 于點 E,使 AD= ED.連接 BD 并延長 BD 至 C,使 BD= CD連接CE.那么要知道 AB 的長度，應測量線段的長度.6.如圖，已知 AD 丄 BC 于點 D, BD=CD 點 E 在 AD 上;則圖中全等三角形共有（）A.l 對 B.2 對 C.3 對 D.4 對7.如圖有下列四

22、個條件： BC =BC;AC=A C;/ A CA=ZB CB;AB =AB其中任取三個為題設，余下的一個為結(jié)論，則最多可以構(gòu)成正確的命題的個數(shù)是A個 B。2 個 C.3 個 D.4 個&下列命題中錯誤的是（）A .有兩邊對應相等的兩個等腰三角形全等B .有兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等C .有兩邊和其中一邊上的中線對應相等的兩個三角形全等（只需寫一-22 - / 53D .有一邊對應相等的兩個等邊三角形全等9.下列條件中，可以判定 ABC 和厶 A B C全等的是（）A.BC= BA,BC=B A，/B=ZBB . / A=/ B，AC =A B，AB =B CC. / A=/

23、A ,AB= B C ,AC=A C-23-/53D.BC=BC ,AC =AB ,/B=ZC10.如圖，已知 AB/ CDAB= CD BE =DF,則圖中全等三角形的對數(shù)有（）A . 3 對 B . 4 對 C . 5 對 D.6 對11.如圖，點 A, E, B, D 在同一直線上，在 ABC 與厶 DEF 中，AB= DE,AC =DF,A/ DF.求證： ABCADEF（2）你還可以得到的結(jié)論是（寫出一個即可，不再添加其他線段，不再標注或使用其 他字母）.CD/ BE,且 CD=BE 求證：/ D=ZE.第四講全等三角形的判定（三）（一）知識要點1 三角形全等的判定三、四：ASA 及

24、 AAS兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）。書寫格式：在厶 ABC 和厶 AB C 中,12.如圖 13,點 C 是 AB 的中點,-24-/53A A/ AB = ABB = B-25-/53ABCA C （ASA ）知識延伸：“ASA ”中的“ S”必須是兩個“ A”所夾的邊。兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS ”）。書寫格式：在厶 ABC 和厶 A C中，.A = . A %B ZBAC二AC ABC 也厶 A C (AAS )知識延伸：“ AAS ”可以看成是“ ASA ”的推論。規(guī)律方法小結(jié)：由“

25、角邊角”及“角角邊”可知兩角及一邊對應相等的兩個三角形全等。無論這個一邊是“對邊”還是“夾邊”，只要對應相等即可。（二）例題講解：例 1如圖所示，D 在 AB 上，E 在 AC 上，AB=AC, / B= / C. 求證：AD=AE例 2如圖，AB 丄 BC, AD 丄 DC, / 1= / 2.求證：AB=AD練習：如圖所示，點 B F、C、E 在同一條直線上,相等嗎？請說明理由AB/ DF, AC/ DE AC=DE FC 與 BE-26 - / 53ABCAB C AD , AD 分別是厶 ABC 和厶 A C的邊 BC 和BC上的高。求證：AD=A D（三）練習1.如圖，已知 AB=

26、DC, AD =BC, E, F 是 DB 上的兩點，且 BE=DF 若/AEB=100o /ADB=30o.則/ BCF=。例 3已知：如圖,AB=AC, BD_AC, CE_AB，垂足分另 U 為D、E, BD、CE 相交于點F，求證：BE=CDE 在 AC 上，/仁/2,/ 3=Z4.試證明 BE= DE.例 4:如圖，已知-27 - / 532.如圖，已知CDL ABBE AC 垂足分別為點 D,E,BE,CD 相交于點O,/仁/2,則圖中的全等三角形共有對.3.如圖，AC 與 BD 相交于點 O,/仁/ 4,/ 2= / 3.AABC 的周長為 25cm,AAOD 的周 長為17cm

27、,則 AB=.4.（海南）在厶 ABC 和厶A.B.G 中，AB =A,B,，/ A= / A1，要使 ABCA1B1C1, 還需添加一個條件，這個條件可以是.5 .如圖，/ E =F= / 90o./ B= / C, AE= AF.給出下列結(jié)論：/1= / 2 :BE= CF。3厶 ACN6 .下列結(jié)論：（1） 一個銳角與斜邊對應相等的兩個直角三角形全等；（2）-腰對應相等的兩個等腰直角三角形全等；（3）三個角對應相等的兩個三角形全等；（4）頂角與一腰對應相等的兩個等腰三角形全等，其中正確的個數(shù)有（）A . 1 個 B . 2 個 C.3 個 D.4 個7.（成都）如圖，在 ABC 與厶 D

28、EF 中，已知 AB=DE 要使 ABCADEF 不能添加的 一組條件是（）A.B= EtBC = EFB.BC = EF,AC = DFC. rA 或乙0、AB =乙 ED. 三=&下列條件中，能判定兩個三角形全等的是（）A .有兩邊及一角對應相等ABMCD= DN 其中正確的結(jié)論是（注： 將你認為正確的結(jié)論都填上）-28 - / 53B 有三個角對應相等C .有兩角及一邊對應相等D .有兩條邊對應相等9.如圖，已知 ABC 的面積為 36，將 ABC 沿 BC 平移可得到AB C,點 B和 C 重合，連接AC交A C于。，則厶CCDC 的面積為()AO= BQ CO =DO 連接

29、AD, BC 交于點 P.有下列結(jié)論 AQDABQC厶 APCABPD點 P 在/ AQB 的平分線上.其中正確的是 ()A .只有 B .只有C . D .11.如圖，已知點 E、C 在線段 BF 上, BE= CF,AB/ DE,/ ACB=Z F .求證： ABCADEF.12 D . 1810.如圖所示，在 LAOB 的兩邊上截取12.如圖所示，/ l= / 2,/ D=/ C,求證;AC=BD.-29 - / 53第五講 全等三角形的判定（四）（一）知識要點1 直角三角形全等的判定方法：HL斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊” 或“HL”）AB =

30、ABBC =BC Rt ABC 也 Rt A ( HL )規(guī)律方法小結(jié)：證明兩個直角三角形全等的方法：除了證明一般三角形全等的方法SSS, SAS, ASA , AAS 以外，還有一個特殊的證明方法： HL （斜邊、直角邊），從表 面上看，SSS, SAS , ASA , AAS 都是三個條件，其實， HL 也是三個條件，除了直角 邊、斜邊對應相等這兩個條件以外，還有“必須在Rt ”中才能用這種方法。（二）經(jīng)典例題例 1:如圖，在 Rt ABC 中，/ A=90,點 D 為斜邊作 BC 的垂線，交 AC 于點 E。求證：AE=ED例 2 :已知：BE 丄 CD, BE= DE , BC= DA

31、 , 求證：厶BECDAE ;2DF 丄 BC.書寫格式:在 Rt ABC 和 Rt A 中,D-30 - / 53例 3 .如圖，CD AB 于點 D,BE AC 于點 E,BECD 交于點 0,且 A0 平分/ BAC 求證:0B= 0C.例 5.如圖，AD ABC 的高，E 為 AC 上的一點， BE 交 AD 于 F,且有 BF =AC, FD= CD求證：BEXAC（2）若把條件 BF =AC 和結(jié)論 BE!AC 互換，那么這個命題成立嗎？證明你的論斷.（三）練習1.如圖，在 ABC 中，AD 丄 BC 于 D,再添加一個條件（只需填一個），就可以判定ABDAACD.AC=AD 點

32、E 是 AB 上任意一點.求證:CE= DE.AB-31 - / 533 .已知- - (: -V( AB =5,BC =4,AC =3,是，面積是，斜邊上的高為_.4.如圖，在 WUw 八忍燈分別過 B, C 作經(jīng)過BD, CE.若 BD =3cm. CE =4cm,則 DE=。&下列命題中，正確的有()1兩直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；2兩銳角對應相等的兩個直角三角形全等；3斜邊和一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；4一銳角和一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；AE BC 于 E , DF 丄 BC 于 F.若 BE= CF,則厶 ABE，其依據(jù)是A 點的直線的垂線有兩個

33、長度相等的滑梯(即 BC=EF,左邊滑梯的高度 DF 相等，則/ ABC+ZDFE=。6.兩個直角三角形全等的條件是A .一銳角對應相等C .兩銳角對應相等AC 與右邊滑梯的水7 .如圖,()已知 AB= CD AE 丄 BD 于 E,()B .一條邊對應相等D .兩條邊對應相等CF 丄 BD 于 F, AE= CF,則圖中全等的三角形有5.如圖所示,平方向的長度C . 3 對 D . 4 對-32 - / 535一銳角和斜邊對應相等的兩個直角三角形全等.A. 5 個 B . 4 個 C . 3 個 D . 2 個9 .如圖所示，/ C= 90o, DEL AB 于點 D, BD=BC 如果

34、AC =6cm,則 AE +DE=()A . 4cm B . 5cm C . 6cm D . 7cm810.如圖所示，已知 AC 丄 BC, BD 丄 AD, AC BD 相交于 0,如果 AC= BD,那么下列結(jié)論:AD=BC/ ABC=/ BAD/ DAQ =CBD0C= 0D 其中正確的是（）.A .B .C .D .11.如圖，AB: CDDELAC, BF 丄 AC, E, F 分別是垂足， DE BF.求證：(1)AF=CE; (2)AB/CD .12.如圖 15 所示，ACLCF 于點 C, DFLCF 于點 F, AB 與 DE 交于點 D,且 EC=BFAB=DE 求證：AE

35、=BD.第六講 全等三角形的判定綜合一、經(jīng)典例題例 1:如圖，已知 AB / CD , OA=OD , AE=DF。 求證：EB / CF-25 - / 53ABAn圖 150-34 - / 53例 2.如圖,已知。CD AB,于 D,BE 丄 AC 于 E,BE、CD 交于點 0,且 AO 平分/ BAC求 證:0B=0C.求證：(1) AB3 DEF;(2)ZCBF 玄 FEC.例 4:在直角三角形 ABC 中,AC=BC, / C=90 ,D 是 AB 邊上任一點,AE 丄 CD 于 E,BF 丄 CD 交 CD的延長線于 F,CH 丄 AB 于 H,交 AE 于 G,求證:BD=CG.

36、例 3 .如圖,A、F、C、D 四點在同一直線上,AF=CD , AB/ DE，且 AB=DE.D-35 - / 53例 5.如圖.已知 AB=DC, / A=ZD,求證：/ ABC2DCB.課后練習:1 如圖，在 ABC 中，AD 是它的角平分線，且 BD=CD , DE 丄 AB、DF 丄2、已知：如圖 12，AB = CD，DE 丄 AC，BF 丄 AC，E，F(xiàn) 是垂足，DE=BF。 求證：（1） AB/ CD （ 2） AE=CF。（7 分）AC，垂足為 E、F,求證：EB=FCCC-36 - / 53第七講角的平分線的性質(zhì)3、如圖，已知： ABC 中，AB=AC，/ BAC=90 ，

37、分別過 B, C 向經(jīng)過點 A的直線 EF 作垂線，垂足為 E, F。（1） 證明：EF 與斜邊 BC 不相交時，則有 EF=BE+CF （如圖 1）。（2） 如圖 2，EF 與斜邊 BC 相交時，其他條件不變，你能得到什么結(jié)論？請 給出證明。（8 分）AOB（一）知識要點1 角的平分線的性質(zhì)及其推導 角的平分線上的點到角的兩邊距離相等。已知 0C 是/ AOB 的角平分線，點 P 是 0C 上一點，PD 丄 OA 于點 D, PE 丄 OB 于E,如右圖所示， 貝 U PD=PE。角的平分線的性質(zhì)的推導：已知，如上右圖， 0C 是/ AOB 的角平分線，點 P 是 0C 上一點，PD 丄 0

38、A 于點D, PE 丄 0B 于 E,求證：PD=PE。證明： PD 丄 0A , PE 丄 0B （已知） / 0DP= / 0EP=9O（垂直的定義） 又 0C平分/ A0B （已知） / A0C= / B0C （角的平分線定義） 在 Rt D0P 和 Rt E0P 中A0C二B0C奩0DP =N0EP0P =0P Rt D0P 也 Rt E0P (AAS ) PD=PE （全等三角形的對應邊相等）知識延伸：角平分線的性質(zhì)可直接推導與角的平分線有關的兩條線段相等，但在推 導過程中不要漏掉垂直關系的書寫，同時涉及角平分線上的點與角的兩邊的垂直關系 時，可直接得到垂線段相等，不必再證兩個三角形

39、全等而走彎路。2、角的平分線的逆應用（角平分線的判定）角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。如右圖，點 P 在/ A0B 內(nèi)部的一條射線 0C 上，并且 PD 丄 0A 于點 D , PE 丄 0B 于 E, PD=PE，則射線 0C 是/ A0B 的平分線。規(guī)律方法小結(jié)：（1 ）角平分線的性質(zhì)及其逆用的關性質(zhì)-性質(zhì)的逆用點到角的兩邊距離相等（2）對于角的平分線的性質(zhì)及其逆用，一方面要正確理解和明確其條件和結(jié)論，“性質(zhì)”和“性質(zhì)的逆用”恰好是條件和結(jié)論的交換，在應用時不要混淆，性質(zhì)是證兩 條線段相等的依據(jù)，性質(zhì)的逆用是證兩角相等的依據(jù)。角的平分線的判定的推導：已知：如右上圖，點 P

40、在/ A0B 內(nèi)部的一條射線 0C 上，并且 PD 丄 0A 于點 D,-29 - / 53系：點在角的平分線上-38 - / 53PE 丄 OB 于 E, PD=PE。求證：射線 OC 是/ AOB 的平分線。證明： PD 丄 OA , PE 丄 OB （已知）/ ODP= / OEP=900（垂直的定義）在 Rt DOP 和 Rt EOP 中,OP=OPPD =PE Rt DOP 也 Rt EOP ( HL )/ DOP= / EOP (全等三角形的對應角相等) 即射線 OC 平分/ AOB知識延伸： 逆用角平分線的性質(zhì)可幫助我們證明角相等，使證明過程簡化，需要注到角相等，而不必再去證明三

41、角形全等了。（二）典型例題例 1 :在厶 ABC 中，/ C=90, AD 是/ BAC 的平分線，若DC=6，貝 U D 點到 AB 的距離是_。例 2 :如圖，已知OE 平分/ AOB ,BC 丄 OA , AD 丄 OB。求證：EA=EB例 3.如圖，在 ABC 中，/ A=90oBC=10cm 求厶 EDC 的周長.AC=AB BD 是/ ABC 的平分線，DEI BC 于點 E,已知意的是：在推導過程中應注意垂直關系的書寫，指明垂直線段，并由垂線段相等直接得-39 - / 53例 4 :如圖，已知 CD 丄 AB 于 D, BE 丄 AC 于 E, CD , BE 相交于點 O, 0

42、B=0C。規(guī)律方法：數(shù)形結(jié)合思想，是將“數(shù)”與“形”結(jié)合在一起探索研究，進一步解決冋題的一種思想方法。例 5:如圖所示，已知 0D平分/A0B，在0A,且 PM丄BD ,PN 丄AD。求證：PM=PN規(guī)律方法： 運用腳平分線的性質(zhì)解題時，應注意兩點:1 ）應注意交代清楚角平分線及角平分線上的點到角兩邊的距離這兩個方面，既不允許心里想到而不書寫其過程,更不允許在條件不具備時而得到線段相等的結(jié)論；（2）運用角平分線時，可以省去證明三角形全等的過程，可以直接得到線段相等，以免走回頭路。例 6 :如圖，AD 是厶 ABC 中/ BAC 的平分線， DE , DF 分別是 ABD 和厶 ACD 的 高，

43、那么EF 與 AD 有何特殊的位置關系？試證明你的結(jié)論。-40 - / 53例 7:如圖， 在四邊形 ABCD 中, 求證：/ A+ / C=180。解題策略：解與角平分線的性質(zhì)和識別方法的綜合題時，應注意分析題目特點，通過適 當添加輔助線，挖掘其中隱含的條件，獲得問題的答案。解題方法及技巧小結(jié)：在運用角平分線的性質(zhì)時若缺少垂直條件可適當作出垂線段。(三)練習1.如圖，在 ABC 中，已知/ C=90o AD 平分/ CAB BC= 8cm, BD= 5cm,那么點 D 到 直線 AB的距離是 cm2._ 如圖， 已知/ BAC 與/ ACD 的平分線交于點 D.OELAC 于點 E,且 OE

44、=2cm,則點 D 到 AB, CD 的距離之和是.3.如圖，已知點 C 是/ AOB 平分線上的一點，點P, P分別在 OA OB 上，若要得到OP= OP，需要添加以下條件 (1) / OCP=/ OCP ; (2) / OPC2OP Co(3)PC=P G (4)PP 丄 OC中的某一個即可，請你寫出所有可能的結(jié)果序號：.4.如圖，已知點 P 到 BE, BD. AC 的距離都相等，則點P 的位置：(1)在/ B 的平分線上；(2)在/ DAC 的平分線上；(3)在/ ECA 的平分線上；(4)恰是/ B,ZDAC / ECA 三BCBA , AD=DC , BD 平分/ ABC。-41

45、 - / 53條角平分線的交點，則上述結(jié)論中，正確的有 _ 個.-42 - / 535.如圖，點 P 是/ BAC 的平分線 AD 上的一點，PELAC于點 E,已知 PE =3，則點 P 到AB 的距離是()A . 3 B . 4 C . 5 D . 66 .如圖所示，點 P 是/ BAC 的平分線上一點.PMLAB 于 M PNLAC 于 N,則下列結(jié)論(1)PM=PN。(2)AM -AN =0 . (3) APM 和厶 APN 的面積相等；確的個數(shù)有()C.3 個 D . 4 個7如圖所示， ABC 中，AB =AC, AD 平分/ BAC DE 四個結(jié)論(1)BD= CD 且 AD =

46、BG (2)/ BDEW CDF。(3) AD 上任意一點到線段 BC 兩端點距離相等；(4)AD 上任意一點到 AB, AC 的距離相等.其中正確的有A . 0 個 B . 1 個 C . 2 個 D . 3 個& 如圖，AB= AD, / ABC= ADC= 90o 則AC 平分/ BADCA 平分/ BCDAC 平分BD,BD 平分/ ADC 中，正確的結(jié)論有()A . B .C . D .只有9.如圖， ABC 中，AB =AC, M 為 BC 的中點，MDL AB 于 D, MEL AC 于 E 求證：MD= ME./ PAN+ / APM =90o 中，正丄 AB 于 E，

47、DF 丄 AC 于 F,則下列-43 - / 53BM-44 - / 53第八講全等三角形復習測試卷一、填空題.(30 分)1 下列條件能確定 ABC 的形狀和大小的是()A.AB =4,BC =5,/ C= 60o B.AB =6,/ C= 60o, / B =70o。C. / C =60o, / B =70o, / A =50o D.AB =4,BC =5,AC =102 .(無錫)如圖， OAB 繞點 O 逆時針旋轉(zhuǎn) 80o 得到AOCD 已知/ AOB =45q 則/ AOD=()A . 55o B . 45o C . 40o D . 35oD3.如圖，AD 是厶 ABC 的中線，E,

48、 F 分別是 AD 和 AD 延長線上的點，且 DE= DF.連接BF, CE 下列說法 CE=BF; (2) ABD 和厶 ACD 的面積相等；(3)BF / CE(4) BD 磴 CDE 中正確的有()A.l 個 B.2 個 C.3 個 D . 4 個4.現(xiàn)有長為 3cm,4cm, 6cm, 8cm 的木條各兩根，小明與小剛分別取了3cm 和 4cm 的木條各一根，要使兩人所取的三根木條能組成三角形且組成的兩個三角形全等，則他倆取 的第三根木條應為()A .一個人取 6cm 的木條，一個人取 8cm 的木條 B .兩人都取 6cm 的木條C .兩人都取 8cm 的木條 D.B 、C 兩種取

49、法都可以5 .如圖，已知/ 1= / 2, AC =AD,有下列條件：AB =AEBC= ED/C=ZD :/ B=ZE，添加其中一個能使 ARC2AAED 的條件有()A.4 個 B . 3 個 C . 2 個 D . 1 個-45 - / 536.如圖，AB =AC, BE丄 AC于點 E, CF丄 AB于點 F, BE, CF交于點 D,則(1) AB參 ACF (2) BDFACDE (3)點 D 在/ BAC 的角平分線上.其中正確的結(jié)論有()7下列條件不一定能使兩個三角形全等的是（）A .兩邊一角對應相等B .兩角及其中一角的對邊對應相等C .三邊對應相等 D .兩邊及其夾角對應相

50、等&如圖， ABC 中 BC 邊上的高為 h1, DEF 中 DE 邊上的高為 h2，下列結(jié)論正確的是（）A.h2B. /tj h2C = /tjD無法確定9.如圖，正方形 ABCD 中，點 E、F 分別在 CD BC 邊上，且 BF= CE,連接 BE AF 相交 于 G,則下列結(jié)論錯誤的是（）A.BE =AF B. ZDAF=/BEC C./AFB+ZBEC =90o D.AG 丄 BE10.如圖，D 為 BC 的中點，DEIDF, E, F 分別在 AB AC 邊上，貝 U BE+ CF（）A.大于 EF B .小于 EF C .等于 EF D .與 EF 的大小無法比較二、填空

51、題.（每小題 3 分，共 24 分）11.如圖，已知點 D 為線段 AC BD, EF 的中點，圖中有對全等三角形.A.(1)B.(2)C.(1)與D.(1) (2)(3)-46 - / 5312.已知在 ABC 和厶AB C中，AB =A B,ZA=ZA,要使 ABCAABC,還需添加一個條件，這個條件可以是 _。-47 - / 5313.如圖，BD 是/ ABC 的平分線，DELAB于點 E, SBC=36cm2, AB=18cm BC=12cm,14.如圖所示，在三角形紙片ABC 中，AB= 10cm, BC =7cm, AC=6cm,若沿過點 B 的直線折疊這個三角形紙片，使頂點C 落

52、在 AB 邊上的點 E 處，折痕為 BD,則 AED 的周長為_ cm.15.如圖，AD A D分別是銳角 ABC 和厶 A B C中的邊 BC, B C上的高，且 AB =A B, AD=A D，若要使厶 ABC 姿厶AB C,還需添加條件16.如圖所示，BF, CF 是厶 ABC的兩個外角的平分線，交點為F,若/ A =50o，則/ BFC的度數(shù)是17 .如圖所示是一個平分角的儀器，其中AB= AD, BC= CD 將點 A 放在/ MPN 的頂點 P處，調(diào)整儀器，使 AB, AD 分別與 PM PN 重合，這時，沿 AC 作射線 PE 貝 U PE 即為/ MPN 勺角平分線，其依據(jù)是.

53、18.如圖， ABC 的兩邊 AB =5. AC =3,則第三邊 BC 上的中線 m 的取值范圍是則 DE=E1-48 - / 53A-49 - / 53三、解答題（共66 分）19.如圖，點 D, E 分別在 OC OB 上，BD, CE 交于點 A,/ B= / C, AB =AC.求證: BOD COE20. 如圖，AC 交 BD 于點 D,請你從（1）0A =0C。（2）OB=ODb （3）AB / CD 中選出兩個作為條 件，另一個作為結(jié)論，組成一個真命題，并加以證明.21.如圖，點 B,E,C,F 在同一直線上，AB/DE且 AB=DE,/ A=/D,BF =10cm.BE=2cm

54、,求 EC 的長.B E C F22.請先閱讀下面的題目與證明，然后回答問題，如圖，在 ABC 中，/ ABC= / ACB D, E 分別是 AB AC 上兩點，且 BD= CE, BE, CD 相交于點 D.求證 BOD2 COE.證明：在厶 DBCD ECB 中BD= CE,/ ABC= / ACB,BC= CBDBCA ECB ( SAS)-50 - / 53DBC-A BOC= ECB - BOC.即厶 BODA COE.-51 - / 53上述證明是否有錯誤，若沒有錯誤，請在右邊空白處寫上“正確”二字；若有錯誤，請 指出從哪一步開始出現(xiàn)錯誤，并從這步開始，在下邊空白處寫上正確的證明

55、.23.如圖， 在四邊形 ABCD 中， AD/ BQ EA 丄 AD, M 是 AE 上的一點， / BAE= / MCE / MBE=45o.24.如圖，點 B ,F,C,E 在同一直線上， AC,DF相交于點 GAB 丄 BE,垂足為B,DE丄 BE,垂足為 E,且 AB= DE. BF= CE.求證： ABCADEFGF= GC.25.個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖所示放置，圖是由它抽象出的幾何 圖形，母)(2)求證：BE= ME.求 MC 的長.B , C, E 在同一條直線上，連結(jié) DC CE.請找出圖中的全等三角形，并給予證明(說明：結(jié)論中不得含有未標識的字證明：DC! B

56、E-52 - / 5326.復習“全等三角形”的知識時，老師布置了一道作業(yè)題：“如圖，已知在厶 ABC中，AB =AC, P 是 AABC 內(nèi)任意一點，將 AP 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn)至 AQ 使/ QAP/ =BAC連結(jié) BQ CP 求證 BQ=CP小亮是個愛動腦筋的同學，他通過對圖 得BQ= CP 之后，他將點 P 移到等腰三角形 CP依然成立，請你就圖（2）給出證明.的分析，證明了厶 ABQ2AACP 從而證ABC 之外，原題中其他條件不變，發(fā)現(xiàn)“ BQ=-53 - / 53第九講軸對稱（一） 知識要點1、軸對稱及軸對稱圖形軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合

57、，這個 圖形就叫做軸對稱圖形。這條直線就是它的對稱軸。這時我們就說這個圖形關于這條直 線（或軸）對稱。如下左圖， ABC 是軸對稱圖形。軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就 說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫 做對稱點。如上右圖， ABC 與厶 ABC關于直線 I 對稱，I 叫做對稱軸，A 和 A, B 和 B C 和 C是對稱點。規(guī)律方法小結(jié)：軸對稱圖形是指“一個圖形”；軸對稱是指“兩個圖形”的位置關 系，在某種情況下，二者可以互相轉(zhuǎn)換，如果把軸對稱的兩個圖形看成一個整體，那么 它就是一個軸對稱圖形。2、線段的垂直

58、平分線線段垂直平分線的定義：經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線 段的垂直平分線（也稱為線段的中垂線）。如下左圖，直線 I 經(jīng)過線段 AB 的中點 0,并且垂直于線段 AB，則直線 I 就是線段 AB 的垂直平分線。IPA0BA1線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。 如上右圖，點 P 是線段 AB 垂直平分線上的點，貝 U PA=PB。線段垂直平分線的判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平 分線上。-54 - / 533、 軸對稱和軸對稱圖形的性質(zhì)兩個圖形成軸對稱（或軸對稱圖形），則對應線段（對折后重合的線段）相等，對 應角（

59、對折后重合的角）相等。如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平 分線。軸對稱圖形的對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。判斷：成軸對稱的兩個圖形全等嗎？如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖 形，那么這兩個圖形全等嗎？這兩個圖形對稱嗎？4、 成軸對稱的兩個圖形的對稱軸的畫法如果兩個圖形成軸對稱，其對稱軸就是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。因 此，我們只要找到一對對應點，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個 圖形的對稱軸。（二） 典型例題例 1:如圖，已知 ABC 和直線 MN，求作 ABC使厶 ACHAABC 關于直線 MN 對稱。例 2

60、:如圖，有一塊三角形的土地，AB=AC=10m，作 AB 的垂直平分線 ED 交 AC 于D，交 AB 于 E,量得 BDC 的周長為 17,請你替測量人員計算 BC 的長。MCN-55 - / 53例 3:數(shù)的運算中會有一些有趣的對稱形式，按照等式（否成立。(1)12 231 =132 21;(2)12漢462 =X(3)18漢891 =X;(4)24x231 =X。例 4:畫出右圖正方形 ABCD 的對稱軸。（三）中考鏈接例 5:（ 08 武漢）如圖，六邊形 ABCDEF 是軸 對稱圖形，CF 所在的直線是它的對稱軸，若/AFC+ / BCF=150，則/ AFE+ / BCD 的大小是（）0 0 0 0A、150B、300 C、210 D、330解題方