第10章-1曲線積分與曲面

1、第第10章章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分積分學積分學 定積分二重積分三重積分定積分二重積分三重積分積分域積分域 區(qū)區(qū) 間間 平面域平面域 空間域空間域 曲線積分曲線積分曲線弧曲線弧曲面域曲面域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分第一類第一類(對弧長的對弧長的)曲線積分曲線積分第二類第二類(對坐標的對坐標的)曲線積分曲線積分第一類第一類(對面積的對面積的)曲面積分曲面積分第二類第二類(對坐標的對坐標的)曲面積分曲面積分曲面積分曲面積分10.1 第一類第一類 (對弧長的對弧長的) 曲線積分曲線積分10.1.1 第一類曲線積分的概念與性質第一類曲線積分的概念與性質10.1.2 第一類曲線積分的

2、計算第一類曲線積分的計算10.1.1 第一類曲線積分的概念第一類曲線積分的概念 1: 1:求以求以xy平面上的曲線平面上的曲線L為準為準線母線平行線母線平行z軸的柱面的面積軸的柱面的面積A分割分割,10nMMM.),(iiiishA 求和求和.),(1 niiiishA 取極限取極限.),(lim10 niiiishA nMiM1 iM0M),(ii Loxzy),(yxhz ,),(1iiiiMM 取取iA A高度高度h為常數(shù)時：為常數(shù)時：,hsA 近似近似1 nM2M1M2:2:非均非均勻平面勻平面曲線形構件的質量曲線形構件的質量oxy0MnM1 nMiM1 iM2M1M),(ii L.

3、sM 均勻的質量均勻的質量分割分割,10nMMM.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取極限取極限.),(lim10 niiiisM ,),(1iiiiMM 取取),(yx 近似近似 以以xy平面上的曲線平面上的曲線L為準線母線平行為準線母線平行z軸的柱面的面積軸的柱面的面積A.),(lim10 niiiishA 非非勻質平面勻質平面曲線形構件曲線形構件L的質量的質量.),(lim10 niiiisM 1.1.定義定義設設L為為xy面內一條光滑曲線弧面內一條光滑曲線弧, ,is 為為又又),(ii ,),(iiisf ,),(1 niiiisf 在在L上有界上有界. .),

4、(yxf函數(shù)函數(shù)作乘積作乘積并作和并作和如果當各小弧段的長度的最大值如果當各小弧段的長度的最大值,0時時 在在L上任意插入一點列上任意插入一點列把把L分成分成n個小段個小段. .設第設第i個小段的個小段的第第i個小段上任意取定的個小段上任意取定的長度為長度為一點一點, ,Oxy2M1 nMABLis 1 iM),(ii 1MiM1M,2M1 nM,d),( Lsyxf即即 Lsyxfd),(這和的極限存在這和的極限存在, ,則稱此極限為則稱此極限為),(yxf函數(shù)函數(shù)在曲線弧在曲線弧 L 第一類曲線積分第一類曲線積分或或對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分. . 積分和式積分和式被積函數(shù)被積函數(shù)

5、弧長微元弧長微元積分弧段積分弧段記作記作 niiiisf1),( niiiisf1),( 0lim 曲線曲線L的長度的長度.d1 Lss曲線曲線L的質量的質量 LsyxMd),( 第一類曲線積分的幾何意義第一類曲線積分的幾何意義第一類曲線積分的物理意義第一類曲線積分的物理意義柱面柱面的面積的面積.d)( Lsx,yhA Lsyxfd),( niiiisf1),( 0lim 2. 2. 存在條件存在條件上上在光滑曲線弧在光滑曲線弧當當Lyxf),(3.3.推廣推廣上上在在空空間間曲曲線線弧弧函函數(shù)數(shù) ),(zyxf szyxfd),(.d),(存在存在 Lsyxf第一類曲線積分第一類曲線積分連續(xù)

6、連續(xù), ,第一類曲線積分為第一類曲線積分為iniiiisf 10),(lim Lsyxgyxfd),(),( LLsyxfsyxkfd),(d),(1)(1) LLsyxgsyxfd),(d),(2)(2)( 為常數(shù)為常數(shù)kk(3)(3)與積分路徑的方向無關與積分路徑的方向無關, ,即即 Lsyxfd),( Lsyxfd),()(AB)(BA4.4.性質性質 ,)4(是是分分段段光光滑滑的的若若 L 21d),(LLsyxf在在函函數(shù)數(shù)),()5(yxf Lsyxfd),()(21LLL 1d),(Lsyxf 2d),(Lsyxf閉曲線閉曲線L上上第一類曲線積分第一類曲線積分記作記作( (對路

7、徑具有可加性對路徑具有可加性) ) 在一條光滑在一條光滑( (或分段光滑或分段光滑) )的的關于關于x 的奇函數(shù)的奇函數(shù) Lsyxfd),(關于關于x 的偶函數(shù)的偶函數(shù) ,d),(21 LsyxfL1是曲線是曲線L落在落在y 軸一側的部分軸一側的部分.L關于關于y軸軸 對稱對稱,補充補充奇偶對奇偶對稱性質稱性質平面曲線平面曲線L上連續(xù)上連續(xù), , ),(yxf設函數(shù)設函數(shù)則則, 0當當),(yxf(或或y)(或或y)當當),(yxf(或或x軸軸)(或或x) 在一條光滑在一條光滑( (或分段光滑或分段光滑) )的空間的空間是是x 的奇函數(shù)的奇函數(shù) szyxfd),(是是x 的偶函數(shù)的偶函數(shù) ,d

8、),(21 syxf1是曲線是曲線落在落在yz 平面一側的部分平面一側的部分.關于關于yz 平面平面 對稱對稱,曲線曲線上連續(xù)上連續(xù), , ),(zyxf設函數(shù)設函數(shù)則則, 0當當),(zyxf(或或y)(或或y)當當(或或xz) (或或x y)(或或z)(或或z),(zyxf(或或xz) (或或x y) 運用對稱性簡化第一類曲線積分計運用對稱性簡化第一類曲線積分計算時算時, 應同時考慮被積函數(shù)應同時考慮被積函數(shù) 與積分曲線與積分曲線的對稱性的對稱性.輪換性質輪換性質 xyLsyxfd),( yxLsxyfd),( xyzszyxfd),( yzxsxzyfd),(xyyxxzzyyx 可利用

9、積分弧段或被積函數(shù)的可利用積分弧段或被積函數(shù)的輪換對稱性簡化計算。輪換對稱性簡化計算。例例 Lsyx.d)(3其中其中L是圓周是圓周.222Ryx 解解 LLsysxdd3 Lsyxd)(3,d Lsx對對因因積分曲線積分曲線L關于關于被積函數(shù)被積函數(shù)x，是是x的奇函數(shù)的奇函數(shù)0d Lsx Lsy,d3對對被積函數(shù)被積函數(shù)0d3 Lsy因因積分曲線積分曲線L關于關于x軸軸對稱對稱, ,3y222Ryx 計算計算0 y軸軸對稱對稱, ,是是y的奇函數(shù)的奇函數(shù)xyO10.1.2 第一類曲線積分的計算第一類曲線積分的計算曲線的獨立變量為曲線的獨立變量為1 1個，個，曲線積分化為對參數(shù)的定積分計算曲線

10、積分化為對參數(shù)的定積分計算定理定理),()()( ttyytxxL的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為上上在在曲曲線線弧弧設設Lyxf),(上上在在,)(),( tytx其中其中則則 f),(tx)(ty)( 有定義且連續(xù)有定義且連續(xù), ,具有一階連續(xù)導數(shù)具有一階連續(xù)導數(shù), , Lsyxfd),( 解法解法 化為參變量的定積分計算化為參變量的定積分計算注意注意第一類曲線積分要求第一類曲線積分要求0d s定積分的下限定積分的下限一定要小于上限一定要小于上限 ttytxd)()(22 特殊情形特殊情形),(:xyyL Lsyxfd),( baxf,(1)xxyd)(12 )(xy),()()( ttyytxx

11、L的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為dycyxxL ),(:(2) dcyyxf),(yyxd)(12 ,f),(: rrL (3) d22rr cosr sinr Lsyxfd),( Lsyxfd),(bxa ),(,:xyyxxL f),(tx)(ty Lsyxfd),( ttytxd)()(22 )()(),(),(: ttzztyytxx推廣推廣 szyxfd),(ttztytxtztytxfd)()()()(),(),(222 ),()()( ttyytxxL的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 f),(tx)(ty Lsyxfd),( ttytxd)()(22 例例解解1.)2 , 2(2,d2的的一一

12、段段上上自自原原點點到到為為其其中中求求xyLsyIL )2 , 2( xy22 xyOxy22 xy2 )20( x 202xIxxd)21(12 xxd1220 )155(31 解解2 20yI)155(31 xy22 )20( y22yx yy d12 選選 為積分變量為積分變量x選選 為積分變量為積分變量y例例)20(.,sin,cos:,d 的一段的一段其中其中求求kzayaxsxyzI解解 kaaI 20sincos22221kaka d)cos()sin(222kaa 20222d2sin21kaka 202sincoska d22ka Axyzo選選 為積分變量為積分變量 ,d

13、22 Lyxse計算計算,:222ayxL 由圓周由圓周軸軸及及直線直線xxy 在第一象限中所圍圖形的邊界在第一象限中所圍圖形的邊界. .AB Lyxsed22 BOABOA解解:OA, 0 y OAyxsed22xsd01d2 :AB,sin,costaytax 40 t seAByxd22 ttataead)cos()sin(4022 xeaxd01 aeaae4 ,0ax xyO例例AB:BO,xy seBOyxd22xsd11d2 xeaxd222021 ae Lyxsed22故故aaaee4)1(2 .220ax xyO).0(222 xRyxABCL解解xyO即即是右半圓周是右半圓

14、周其中其中計算計算,d|LsyL 故故 Lsy d|2 sydAB,軸軸對對稱稱關關于于xL,|的偶函數(shù)的偶函數(shù)為為yytyxsdd22 dtR 22R 222Ryx 20sin2 tRtRdtRytRxsin,cos Lsy d| sydAB2)20( t選參數(shù)選參數(shù) 為積分變量為積分變量t計算計算,dsxIL 其中其中L為雙紐線為雙紐線)0()()(222222 ayxayx解解它在第一象限部分為它在第一象限部分為)40(2cos:1 arL利用對稱性利用對稱性, ,得得sxILd41 4022d)()(cos4 rrr,2cos:22 arL Oyx4 4 4022d)2cos222si

15、n(2coscos2cos4 aaa在極坐標系下在極坐標系下 402dcos4 a222a 4022d)2cos222sin(2coscos2cos4 aaa曲線積分的幾何應用曲線積分的幾何應用 DD的的面面積積平平面面區(qū)區(qū)域域 d1的體積的體積空間區(qū)域空間區(qū)域 vd1abxba d1的弧長的弧長平面曲線平面曲線LsL d1積分區(qū)域的大小積分區(qū)域的大小: :的弧長的弧長空間曲線空間曲線 sd1求求其周長為其周長為為橢圓為橢圓設設, 13422ayxL Lsyxxyd)432(22解解 Lsxyd20 Lsd12sLd112 a12 對稱性對稱性 Lsyxxyd)432(220例例 Lsyxd)

16、43(22O22yx32224:,d)432xyLsyxxyL （求求解解 Lsyxd)4322（ 1d)432122Lsyx（ 1d2432Lsx 1d)212722Lsyx（ 1d447Ls227 28 24xy xyOL原式原式)4:(221 yxL 11dd22LLsysx例例 . 0,d)(22222zyxazyxszxI為為圓圓周周其其中中求求解解 由由輪換對稱性輪換對稱性, , 知知,ddd222 szsysx szsxIdd2故故 sad32323a szsysxddd szyxszyxd)(31d)(31222 ssad031d312aa 232 xyzO解解由由對稱性對稱性

17、 求柱面求柱面yyx222 222zxy 所截下部分的面積所截下部分的面積. .被被錐面錐面例例14AA 第一卦限部分第一卦限部分 LszAd1 Lsyxd22LxyO2zxyOLoxzy22yxz yyx222 2選極角選極角 為積分變量為積分變量 sin2 r)20( dd22rrs yyx222 d2 d)cos2()sin2(22 LszAd1 Lsyxd22 d220 r dsin420 4 1641 AA選極角選極角 為積分變量為積分變量 sin2: rL)20( d2d s軸軸及及原原點點的的轉轉動動慣慣量量軸軸平平面面曲曲線線弧弧對對yx,)2( xI平平面面曲曲線線弧弧的的質

18、質心心坐坐標標)3( x的線密度時的線密度時表示表示當當Lyx),()1( LsyxMd),( 物理意義物理意義,d2 LysxI LLssyydd LsyxId)(220 ,ds 2y,dd LLssx Lo),(yxxy yx軸軸及及原原點點的的轉轉動動慣慣量量軸軸，軸軸，空空間間曲曲線線弧弧對對zyx)2( xI空空間間曲曲線線弧弧的的質質心心坐坐標標)3( x的線密度時的線密度時表示表示當當 ),()1(zyx szyxMd),( ,d)(22 szxIy ,dd ssyy szyxId)(2220 ,ds )(22zy ,dd ssx ,d)(22 syxIz sszzdd 例例解解

19、 20 zIsd )(22yx szyxyxd)(22222)(222tka 2atktatad)cos()sin(222 ,4362222kaak x ssxdd szyxszyxxd)(d)(222222 20222222022222d)(d)(costkatkatkatkata 2222436kaaky ； 22222243)2(3kakakz . . 同理可求得：同理可求得：小結小結1 1、第一類曲線積分的概念、第一類曲線積分的概念2 2、第一類曲線積分的計算、第一類曲線積分的計算3 3、第一類曲線積分的應用、第一類曲線積分的應用作業(yè)作業(yè) P417 2(1)(3)(5)(7)(12)(

20、15), 4 , 5syxIyxd)43(. 192222 求求 189 sxyxd)43(9222 syxyxd )(24392222 syxd9243922 329243 yxO3 92222d)43(. 2yxyxI 求求4567 9222d)43(yxx 92222)d(243yxyx 30220dd27rrr yxO3 .23,:,d)222(. 32222azyxazyxsxyzxyzI求求ra 2452 szyxzyxI)d()(2222 saa)d49(22xyzoadr22dar 22)323(aa 2a 453a 22452aa ),(000zyx0 DCzByAx2220

21、00CBADCzByAxd 5 5柱面柱面 122 yx, ,夾在夾在0,12432zzyx之間部分的面積。之間部分的面積。 6一、一、 填空題填空題: : 1 1、 已知曲線形構件已知曲線形構件 L的線密度為的線密度為),(yx , ,則則 L的質的質量量M= =_； 2 2、 Lds= =_； 3 3、 對對_的曲線積分與曲線的方向無關；的曲線積分與曲線的方向無關； 4 4、 Ldsyxf),(= = dtttttf)()()(),(22中要求中要求 _ . . 二、二、 計算下列求弧長的曲線積分計算下列求弧長的曲線積分: : 1 1、 Lyxdse22, ,其中其中L為圓周為圓周222a

22、yx , ,直線直線xy 及及x軸在第一象限內所圍成的扇形的整個邊界；軸在第一象限內所圍成的扇形的整個邊界；練習題練習題 2 2、 yzdsx2, ,其中其中L為折線為折線ABCD, ,這里這里DCBA, 依次為點依次為點(0,0,0)(0,0,0), ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3 3、 Ldsyx)(22, ,其中其中L為曲線為曲線 )cos(sin)sin(costttaytttax )20( t； 4 4、計算、計算 Ldsy, ,其中其中L為雙紐線為雙紐線 )0()()(222222 ayxayx . . 三、設螺

23、旋形彈簧一圈的方程為三、設螺旋形彈簧一圈的方程為taxcos , ,taysin , , ktz , ,其中其中 20t, ,它的線密度它的線密度 222),(zyxzyx , , 求求: :其質量。其質量。 練習題答案練習題答案一、一、1 1、 Ldsyx),( ； 2 2、的的弧弧長長L； 3 3、弧長；、弧長； 4 4、 . .二、二、1 1、2)42( aea； 2 2、9 9； 3 3、)21(2232 a； 4 4、)22(22 a. .三、三、)43(32222222kakaaIz ； 2222436kaakx ； 2222436kaaky ； 22222243)2(3kakak

24、z . .oxyxdydsdsd22d)(d)(ttyttx ttytxd)()(22 f),(tx)(ty Lsyxfd),( ttytxd)()(22 ),()()( ttytxL的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為)( 22)d()d(yx ).0(222 xRyxABCL解解xysd1d2 xxRxd1222 xxRRd22 22R xyO即即是右半圓周是右半圓周其中其中計算計算,d|LsyL ,222Ryx 故故 Lsy d|2 sydAB RxR0222,軸軸對對稱稱關關于于xL,|的偶函數(shù)的偶函數(shù)為為yyxxRRd22 2xRy Lsy d| sydAB2)0(Rx 選選 為積分變量為積分變

25、量x).0(222 xRyxABCL解解2tyxsdd22 dtR 22R xyO即即是右半圓周是右半圓周其中其中計算計算,d|LsyL 222Ryx 故故 Lsy d|2 sydAB 20sin2 tR,軸軸對對稱稱關關于于xL,|的偶函數(shù)的偶函數(shù)為為yytRdtRytRxsin,cos Lsy d| sydAB2)20( t選參數(shù)選參數(shù) 為積分變量為積分變量t).0(222 xRyxABCL解解3 dd22rrs dR 22R xyO即即是右半圓周是右半圓周其中其中計算計算,d|LsyL 222Ryx 故故 Lsy d|2 sydAB 20sin2 R,軸軸對對稱稱關關于于xL,|的偶函數(shù)

26、的偶函數(shù)為為yy dRRr Lsy d| sydAB2)20( 選參數(shù)選參數(shù) 為積分變量為積分變量 解解1 ,222:222yxzaxyyx ,243)2(222yxzayyx ,sin223,cos22yxztaytayx 20,sin6cos2,sin32,sin6cos2 ttataztaytatax例例 . 0,d)(22222zyxazyxszxI為為圓圓周周其其中中求求計算計算,d)(222szyxI 其中其中 為球面為球面解解 . 1的交線的交線與平面與平面 zx29222 zyxszyxId)(222 sd29 法法1 1 18 r 229 229dr 2)11100(292 xyzo2dr計算計算,d)(222szyxI 其中其中 為球面為球面 20 t. 1的交線的交線與平面與平面 zx29222 zyxszyxId)(222 sd29 , 1221)21(:22 zxyxtzcos221 法法2 2