因式分解定理

1、5.3 5.3 因式分解定理因式分解定理因式分解與多項式系數(shù)所在數(shù)域有關(guān)因式分解與多項式系數(shù)所在數(shù)域有關(guān)如：如： 422422xxx 2222xxx（在有理數(shù)域上）（在有理數(shù)域上） 2222xxxixi問題的引入問題的引入（在實數(shù)域上）（在實數(shù)域上）（在復(fù)數(shù)域上）（在復(fù)數(shù)域上）設(shè)設(shè) ，且，且 ，若，若( ) p xP x 1p x( )p x不能表示成數(shù)域不能表示成數(shù)域 P上兩個次數(shù)比上兩個次數(shù)比 低的多項式的低的多項式的 ( )p x 定義定義5.6乘積，則稱乘積，則稱 為數(shù)域為數(shù)域P上的上的不可約多項式不可約多項式.( )p x注注 一個多項式是否不可約依賴于系數(shù)域一個多項式是否不可約依賴

2、于系數(shù)域. 一次多項式總是不可約多項式一次多項式總是不可約多項式. 1、不可約多項式、不可約多項式 多項式多項式 不可約不可約. ( )( ( )1p xp x( )p x的因式只有非零常數(shù)及其自身的非零常數(shù)倍的因式只有非零常數(shù)及其自身的非零常數(shù)倍. ( )( )( ),( )1.p xf xp xf x 或或 引理引理 多項式多項式 不可約，對有不可約，對有( ) f xP x( )p x證證：設(shè)：設(shè) 則則 ( ( ),( )( ),p xf xd x ( )( )d x p x或或( )( ),0d xcp xc( )( )d xcp x ( ( ),( )1p xf x ( )( )p

3、xf x( )0d xa即即 或或axd )(不可約不可約. ，若，若 ( )p x( ), ( ) f xg xP x( )( ) ( ),p xf x g x則則 或或 ( )( )p xf x( )( ).p x g x證證：若：若 結(jié)論成立結(jié)論成立 .( )( ),p xf x若若 不整除不整除 ，則，則 ( ( ),( )1p xf x ( )( )p xf x定理定理5.7 設(shè)設(shè)( )( ).p xg x不可約，不可約， ( )p x12( )( )( )( ),sp xfx fxfx則必有某個使得則必有某個使得 ( ),if x( )( ).ip xf x推廣：推廣：設(shè)設(shè)65.定

4、理定理若若 ，則，則 可可( ( )1f x( )f x唯一地分解成數(shù)域唯一地分解成數(shù)域 P上的一些不可約多項式的乘積上的一些不可約多項式的乘積. 所謂唯一性是說，若有兩個分解式所謂唯一性是說，若有兩個分解式 1212( )( )( )( )( )( )( )stf xp x pxp xq x qxq x定理定理5.8則則 ，且適當排列因式的次序后，有，且適當排列因式的次序后，有 st ( )( )iiip xc q x 其中其中 是一些非零常數(shù)是一些非零常數(shù) (1,2, )ic is 2、因式分解及唯一性定理、因式分解及唯一性定理,)(xPxf( )f x總可表成總可表成 1212( )(

5、)( )( )srrrsf xcpx pxpx ( ) ,( )1,f xP xf x對對其中為其中為 的首項系數(shù)，的首項系數(shù)， 為互不相同的，為互不相同的，c( )f x( )ip x 首項系數(shù)為首項系數(shù)為1的不可約多項式，的不可約多項式，.irZ 的的標準分解式標準分解式.稱之為稱之為( )f x 標準因式分解式：標準因式分解式：注：注： 若已知兩個多項式若已知兩個多項式 的標準分解式的標準分解式, ,( ),( )f xg x ( ),( ) .f xg x則可直接寫出則可直接寫出就是那些同時在就是那些同時在 的標準的標準( ),( )f xg x ( ),( )f xg x分解式中出現(xiàn)

6、的不可約多項式方冪的乘積，所帶分解式中出現(xiàn)的不可約多項式方冪的乘積，所帶方冪指數(shù)等于它在中所帶的方冪指數(shù)方冪指數(shù)等于它在中所帶的方冪指數(shù)( ),( )f xg x中較小的一個中較小的一個( )( ),1,2,iif x g xrlis例例 若的標準分解式分別為若的標準分解式分別為( ),( )f xg x1212( )( )( )( ),0srrrsif xapx pxpxr1212( )( )( )( ),0slllsig xbpx pxpxl則有則有 1212( ), ( )( )( )( ),ssf xg xpx pxpx min,1,2,iiir lis 雖然因式分解定理在理論有其基本

7、重要性，雖然因式分解定理在理論有其基本重要性，但并未給出一個具體的分解多項式的方法但并未給出一個具體的分解多項式的方法實際上，對于一般的情形，普通可行的分解多實際上，對于一般的情形，普通可行的分解多項項式式的方法是不存在的而且在有理數(shù)域上，多的方法是不存在的而且在有理數(shù)域上，多項式的可約性的判定都是非常復(fù)雜的項式的可約性的判定都是非常復(fù)雜的在在分分別別求求設(shè)設(shè)多多項項式式)( ,)( xfxxf1234 數(shù)數(shù)域域上上的的標標準準有有理理數(shù)數(shù)域域、實實數(shù)數(shù)域域、復(fù)復(fù)解：解：55.例例.因因式式分分解解式式)()( 22322 xxxf:有理數(shù)域有理數(shù)域)()()( 22232 xxxxf:實數(shù)域

8、實數(shù)域)()()()( 22223 xxixixxf:復(fù)數(shù)域復(fù)數(shù)域二、重因式二、重因式設(shè)設(shè) 為數(shù)域為數(shù)域P的不可約多項式，的不可約多項式， ( )P ,f xx ( )p x則稱則稱 為為 的的 重因式重因式，其中，其中k是非負整數(shù)是非負整數(shù).( )f xk( )p x若若 1, 則稱則稱 為為 的的重因式重因式.k( )f x( )p x（若（若 =0=0， 不是不是 的因式的因式) ) k( )f x( )p x若若 ，但但 ( )|( )kpxf x1( ) |( ),kpxf x 定義定義5.7若若 1, 則稱則稱 為為 的的單因式單因式.k( )f x( )p x1 1、定義、定義

9、若若 的標準分解式為：的標準分解式為： ( )f x1211( )( )( )( )srrrsf xcpx pxpx則則 為為 的的 重因式重因式 . . ir1,2,is( )ip x( )f x時，時， 為單因式為單因式 ;1ir ( )ip x時時, 為重因式為重因式 .1ir ( )ip x2、重因式的判別和求法、重因式的判別和求法方法一：方法一：方法二：方法二： （定理定理5.9）若不可約多項式若不可約多項式 是是 的的 重因式重因式( )f xk( )p x(1),k 則它是則它是 的微商的微商 的的 重因式重因式.1k ( )fx ( )f x為為 的的 重因式，但未必是重因式，

10、但未必是( )p x( )fx 1k ( )p x( )f x的的 重因式重因式. . k注：注： 定理定理5.95.9的逆命題不成立的逆命題不成立，即即例舉例說明下面命題是不對的例舉例說明下面命題是不對的 ( )( )1fxnf xn是是的的 重重根根是是的的重重根根解：令解：令 則則321( )5,3f xxxx22( )21(1) ,fxxxx但但 1( 1)1150,3f 是是 的的2重根，重根， ( )fx1x 1不是不是 的根，從而不是的根，從而不是 的的3重根重根 ( )f x( )f x推論推論1若不可約多項式若不可約多項式 是是 的的 重因式重因式則則 是是 的因式的因式，但

11、不是但不是 的因式的因式.( )p x( )( )kfx( )f x(1),k ( )p x(1)( ),( ),( )kf xfxfx k推論推論2不可約多項式不可約多項式 是是 的重因式的重因式 ( )p x( )f x是是 與與 的公因式的公因式. ( )f x( )p x( )fx 推論推論3注注: :不可約多項式不可約多項式 為為 的的 重因式重因式 為為 的的 重因式重因式. . ( )f x( )p x( )p xk( ( ),( )f xfx 1k 與與 有完全相同的不可約因式，有完全相同的不可約因式， ( )f x( )( ( ),( )f xf xfx ( )( ( ),(

12、 )f xf xfx 且且 的因式皆為單因式的因式皆為單因式. ，若若 其中其中 為不可約多項式，為不可約多項式， 則則 為為 的的 重因式重因式. . ( )f x( )P f xx 11( ( ),( )( )( ),srrsf xfxpxpx ( )ip x( )ip x1 ir推論推論4推論推論5多項式多項式 沒有重因式?jīng)]有重因式 ( )f x( ( ),( )1.f xfx 根據(jù)推論根據(jù)推論3、4可用輾轉(zhuǎn)相除法可用輾轉(zhuǎn)相除法，求出求出( ( ),( )f xfx 注：注：來判別來判別 是否有重因式若有重因式是否有重因式若有重因式 ，還可由還可由( )f x的結(jié)果寫出來的結(jié)果寫出來.

13、( ( ),( )f xfx 例例5.6 判別多項式判別多項式 有無重因式有無重因式.若有求出重因若有求出重因式，及其重數(shù)式，及其重數(shù).( )f x123 xxxxf)( 解解：,)( 1232 xxxf利用輾轉(zhuǎn)相除法，利用輾轉(zhuǎn)相除法，1( )q x 1( )r x 2( )qx 123 xxx)( xf 1232 xx)( xfx310313223 xxx132312 xxx827 0332 xx1 x91 9192312 xx9898 x1 x89 0,)(),(1 xxfxf.)(重因式重因式的的是是21xfx 三、多項式函數(shù)與余數(shù)定理三、多項式函數(shù)與余數(shù)定理 1.1. 多項式函數(shù)多項式

14、函數(shù)將的表示式里的用代替，得到將的表示式里的用代替，得到P中的數(shù)中的數(shù)( )f xx 稱為當時稱為當時 的的值值，記作，記作( )f x( ).f x 這樣，對這樣，對P中的每一個數(shù)，由多項式中的每一個數(shù)，由多項式 確定確定P中唯一的一個數(shù)中唯一的一個數(shù) 與之對應(yīng)，于是稱與之對應(yīng)，于是稱 為為P上上的一個的一個多項式函數(shù)多項式函數(shù) ( )f x( )f ( )f x設(shè)設(shè),)(011axaxaxfnnnn ,011aaannnn 數(shù)數(shù) ,P 若多項式函數(shù)若多項式函數(shù) 在在 處的值為處的值為0，即，即 ( )f xx ( )0,f 則稱則稱 為為 的一個的一個根根或或零點零點 ( )f x2. 2

15、. 多項式函數(shù)的根多項式函數(shù)的根( (或零點或零點) ) 易知，若易知，若12( )( )( ),( )( ) ( ),h xf xg xh xf x g x12( )( )( ),( )( ) ( ).hfghfg則，則，（余數(shù)定理）（余數(shù)定理）：若用一次多項式：若用一次多項式 去除多項式去除多項式 x 則所得余式是一個常數(shù)，該常數(shù)等于函數(shù)則所得余式是一個常數(shù)，該常數(shù)等于函數(shù)( ),f x值值 ( ).f 二、多項式函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)二、多項式函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)1. 1. 余數(shù)定理（余數(shù)定理（定理定理5.105.10） 是是 的根的根 ( )f x()|( ).xf x 推論推論: : 例例1 求求

16、 在在 處的函數(shù)值處的函數(shù)值. 42( )49f xxxx3x 法一：法一：把把 代入代入 求求 3x ( ),f x( 3).f 用用 去除去除 所得余數(shù)就是所得余數(shù)就是 3x ( ),f x( 3).f 法二：法二：( 3)69 .f 答案：答案：若若 是是 的的 重因式，重因式， 則稱則稱 為為x ( )f xk 的的重根重根.( )f xk當當 時，稱時，稱 為為 的單根的單根 1k ( )f x當當 時，稱時，稱 為為 的重根的重根 1k ( )f x2. 2. 多項式函數(shù)的多項式函數(shù)的k k重根重根定義定義注：注： 是是 的重根的重根 是是 的重因式的重因式 ( )f xx ( )

17、f x 有重根有重根 必有重因式必有重因式( )f x( )f x反之不然，即反之不然，即有重因式未必有重因式未必 有重根有重根( )f x( )f x22( )(1) ,f xxR x例如，例如，為為 的重因式，但在的重因式，但在R上上 沒有根沒有根 ( )f x( )f x21x 3. 3. 根的個數(shù)定理根的個數(shù)定理 ( (定理定理5.115.11 ) )任一任一 中的中的 次多項式次多項式 在在 中的根中的根 P xn(0),n P不可能多于不可能多于 個，重根按重數(shù)計算個，重根按重數(shù)計算 n4. 定理定理5.12且且 ( ), ( ) ,f xg xP x ( ) ,( ),f xg

18、xn若有若有 使使 121,nP ()(),1,2,1iifgin則則 ( )( ).f xg x 證：令證：令 則有則有 ( )( )( ),h xf xg x()0,1,2,1,ihin 由由Th5.11，若，若 的話，則的話，則 ( )0h x ( ).h xn矛盾矛盾所以，所以，( )0,h x 即即 有有 ( )h x121,1nn 個根，個根，( )( ).f xg x 即即解：解：例例2求求 t 值，使值，使32( )31f xxxtx有重根有重根3231xxtx236xxt( )f x( )fx 13x32132xxtx2231xtx13 2132xxt21133(2)(1)( )txtr x3133,( )21ttr xx 32x154 2323xx 152xt151524x154t 法一：輾轉(zhuǎn)相除法法一：輾轉(zhuǎn)相除法1i)( )0,r x 若若即即3,t 則則 213( ),( )( )(1) ,f xfxfxx此時，有重根，此時，有重根，( )f x為為 的三重根的三重根( )f x1x 1514ii)( )0,0,r xt若若即即154,t 則則 12( ),( )f xfxx 此時，有重根，此時，有重根，( )f x為為 的二重根的二重根( )f x12x 法二：利用重根的