(最新)模糊數(shù)學(xué)方法

1、模糊數(shù)學(xué)方法模糊數(shù)學(xué)方法一模糊數(shù)學(xué)的基本概念一模糊數(shù)學(xué)的基本概念二模糊關(guān)系與模糊矩陣二模糊關(guān)系與模糊矩陣三模糊聚類分析方法三模糊聚類分析方法四模糊模式識(shí)別方法四模糊模式識(shí)別方法五五模糊綜合評(píng)判模糊綜合評(píng)判方法方法一一. 模糊數(shù)學(xué)的基本概念模糊數(shù)學(xué)的基本概念（1）模糊集與隸屬函數(shù)的概念）模糊集與隸屬函數(shù)的概念論域論域：論及到的對(duì)象全體構(gòu)成的集合，記為U。Def. 設(shè)U為一論域，如果給定了一個(gè)映射: 則該映射確定了一個(gè)模糊集合模糊集合A，其映射 稱為模糊集A 的隸屬函數(shù)隸屬函數(shù)， 稱為 對(duì)模糊集A 的隸屬度，使 的點(diǎn) 稱為模糊集A 的過(guò)渡點(diǎn)，即是模糊性最大的點(diǎn)。:0,1,( )0,1AAUxxA(

2、 )0.5Ax( )Axxx 對(duì)一個(gè)確定的論域U 可以有多個(gè)不同的模糊集合。 模糊冪集：論域U上的模糊集合的全體 注： 是一個(gè)普通集合.( )|:0,1AF UAU)(UF（2） 模糊模糊集的集的表示方法表示方法：12 ,nUx xx()AF U 對(duì)于有限論域，設(shè)（1）Zadeh表示法：12112( )()( )()nAiAnAAinxxxxAxxxx( )Aiixx( )Aix 這里“”不是分?jǐn)?shù)，“”也不表示求和，只是符號(hào)，它表示點(diǎn) 對(duì)模糊集A的隸屬度是（3）向量表示法： （2）序偶表示法：1122( ,( ),(),() AAnAnAxxxxxx，(， ，(）12()()()AAAnAxx

3、x， ，ix如果U為無(wú)限論域，設(shè)()AF U( )AUxAx( )Axx這里“”不是積分號(hào)，“”也不是分?jǐn)?shù)。,則（3）模糊）模糊集的運(yùn)算集的運(yùn)算 模糊集與普通集有相同的運(yùn)算和相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)律。 設(shè)模糊集 ，其隸屬函數(shù)為 .（1）若對(duì)任意 ，有 ，則稱A包含 B，記（2）若 且 ，則稱A與B相等，記為B A。 設(shè)模糊集 ，其隸屬函數(shù)為 則其相應(yīng)的并、交、補(bǔ)及隸屬函數(shù)為 ,()A BF U( ),( )ABxxxU( )( )BAxxABBA,()A BF U( ),( )ABxxBA并并：交交：補(bǔ)補(bǔ)：其中“ ”和“ ”分別表示取大算子和取小算子，并且并和交運(yùn)算可以直接推廣到任意有限及無(wú)限的情況，同

4、時(shí)也滿足普通集的交換律、結(jié)合律、分配律等運(yùn)算規(guī)律。( )( )( )max( ),( )A BABABxxxxx( )( )( )min( ),( )A BABABxxxxx( )1( )cAAxx 隸屬隸屬函數(shù)的確定方法函數(shù)的確定方法 模糊數(shù)學(xué)的基本思想是隸屬程度的思想。應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵是建立符合實(shí)際的隸屬函數(shù)。1. 模糊模糊統(tǒng)計(jì)方法統(tǒng)計(jì)方法 模糊統(tǒng)計(jì)方法是一種客觀方法，主要是基于模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的基礎(chǔ)上根據(jù)隸屬度的客觀存在性來(lái)確定的.模糊統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)包含下面四個(gè)基本要素（1）論域U；（2）U中的一個(gè)固定元素 ；（3）U中的一個(gè)隨機(jī)變動(dòng)的集合 （普通集） ；（4）U中的一個(gè)以 作為

5、彈性邊界的模糊集A ，對(duì) 的變動(dòng)起著制約作用，其中 ，或 ， 致使 對(duì)A 的隸屬關(guān)系是不確定的。0 x*A*A*0 xA*0 xA0 x*A 假設(shè)作n次模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，可以算出 對(duì)A的隸屬頻率 事實(shí)上，當(dāng)n不斷增大時(shí)，隸屬頻率趨于穩(wěn)定，其穩(wěn)定值稱為 對(duì)A的隸屬度，即2. 指派方法指派方法 指派方法是一種主觀的方法，它主要是依據(jù)人們*0 xAn的次數(shù)0 x0 x*00()limAnxAxn 的次數(shù)的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定某些模糊集隸屬函數(shù)的方法。如果模糊集定義在實(shí)數(shù)集R上，則稱模糊集的隸屬函數(shù)為模糊分布。所謂的指派方法就是根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)和經(jīng)驗(yàn)主觀的選用某些形式的模糊分布，再依據(jù)實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)確定其中所包含的

6、參數(shù)。3. 其它方法其它方法 實(shí)際中，用來(lái)確定模糊集的隸屬函數(shù)的方法是很多的，主要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義,具體問(wèn)題具體分析.二二. 模糊關(guān)系與模糊矩陣模糊關(guān)系與模糊矩陣模糊關(guān)系模糊關(guān)系：設(shè)U，V為論域，則稱乘積空間 上 的一個(gè)模糊子集 為從U到V的模糊關(guān)系模糊關(guān)系。 如果 的隸屬函數(shù)為 ，則稱隸屬度 為 關(guān)于模糊關(guān)系 的相關(guān)程相關(guān)程度度。注注：由于模糊關(guān)系就是乘積空間 上的一個(gè)模糊子集，因此，模糊關(guān)系同樣具有模糊集的運(yùn)算及性質(zhì)。U VRF UV（）R0,1 ,( , )( , )RRUVx yx y：( , )Rx y( , )x yUVR模糊模糊矩陣矩陣：設(shè)矩陣 ，且 則稱R為模糊矩陣模糊矩陣。

7、比較特殊的情況有下邊兩種：(1) 如果 ，則稱R為布 爾（Bool）矩陣。(2) 當(dāng)m=1,或n=1時(shí)，則相應(yīng)的模糊矩陣為 或 ，分別稱為模糊行向量和模糊列向量。 ( )ijm nRr0,1(1,2;1,2)ijrim jn0,1(1,2;1,2)ijrim jn12( ,)nRr rr12( ,)TmRr rrDef. 若模糊關(guān)系 ,且滿足（1）自反性：（2）對(duì)稱性：（3）傳遞性： （或 ） 則稱 是U上的一個(gè)模糊等價(jià)關(guān)系模糊等價(jià)關(guān)系，其隸屬度 表示 的相關(guān)程度。注注：當(dāng) 為有限論域時(shí)，U上的模糊等價(jià)關(guān)系可表示為 階的模糊等價(jià)矩陣 。( , )( , )RRx yy xRRR。R(,)Rxy

8、( , )x y12 ,nUx xx( )ijn nRr)(UUFR1),(xxR),(),(),(),(yxyzzxyxRRRUzRRnn模糊等價(jià)矩陣模糊等價(jià)矩陣：設(shè)論域?yàn)?， 為單位矩陣，如果模糊矩陣 滿足：（1）自反性： ；（2）對(duì)稱性： ；（3）傳遞性： （或 ） 則稱R為模糊等價(jià)矩陣模糊等價(jià)矩陣。注注：對(duì)于滿足自反性和對(duì)稱性的模糊關(guān)系 與模糊矩陣R，則分別稱為模糊相似關(guān)系模糊相似關(guān)系與模糊相似矩陣模糊相似矩陣。12 ,nUx xx( )ijn nRr(1,1,2, )iiIRin或r1(); ,1, 2 ,nikk jijkrrrijnR), 2 , 1,;(njirrRRjiijT

9、或RRRI 截矩陣截矩陣：設(shè) 為模糊矩陣，對(duì)任意的（1）如果令 則稱 為R的 截截矩陣矩陣.（2）如果令 則稱 為R的 強(qiáng)截矩陣強(qiáng)截矩陣.注注：對(duì)任意的 ， 截矩陣都是布爾矩陣.( )ijm nRr0 ,1( ( )ijm nRr( ( )ijm nRr0,11,1,2,;( ),0,1,2,ijijijrimrrjn1,1,2,;( ),0,1,2,ijijijrimrrjn模糊傳遞矩陣模糊傳遞矩陣：設(shè)R是 階的模糊矩陣，如果滿足:則稱R為模糊傳遞矩陣模糊傳遞矩陣。稱包含R的最小的模糊傳遞矩陣為傳傳遞閉包遞閉包，記為T(mén)h. 對(duì)于任意的模糊矩陣 ，則 特別地，當(dāng)R為模糊相似矩陣時(shí)，必存在一個(gè)最

10、小的自然數(shù) ，使得 ，對(duì)任意自然數(shù) 都有 此時(shí) 一定為模糊等價(jià)矩陣。n n( )t R( )ij n nRr()k kn( )kt RRlkRR( )t R), 2 , 1,;)(12njirrrRRRRijkjiknk或kl nknnkijnkkrRRt1)(1)()(三三. 模糊模糊聚類分析方法聚類分析方法 對(duì)所研究的事物按一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類的數(shù)學(xué)方法稱為聚類分析聚類分析，它是多元統(tǒng)計(jì)“物以類聚”的一種分類方法 。然而，在科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理中有很多事物的類與類之間并無(wú)清晰的劃分，邊界具有模糊性，它們之間的關(guān)系更多的是模糊關(guān)系，比如植物、微生物、動(dòng)物之間，溫飽型家庭與小康型家庭之間等。對(duì)上述事

11、物的分類就應(yīng)該用模糊數(shù)學(xué)方法。根據(jù)事物的某些模糊性質(zhì)進(jìn)行分類的數(shù)學(xué)方法稱為模糊模糊聚類分析聚類分析 。 第一步. 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化（1）獲取數(shù)據(jù): 設(shè)論域U 為所需分類研究的對(duì)象，每個(gè)對(duì)象又由m個(gè)指標(biāo)表示其性態(tài)，即于是得到問(wèn)題的原始數(shù)據(jù)矩陣為 （2）數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理：實(shí)際中的數(shù)據(jù)通常具有不同的性質(zhì)和量綱，為了使原始數(shù)據(jù)能夠適合模糊聚類的要求，需要將原始數(shù)據(jù)矩陣做標(biāo)準(zhǔn)化處理，即通過(guò)適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)變換和壓縮，將其轉(zhuǎn)化為模糊矩陣。現(xiàn)介紹以下兩種常用方法：12 ,nx xx()ijn mAx), 2 , 1(,21nixxxximiii(i) 平移標(biāo)準(zhǔn)差變換. 當(dāng)原始數(shù)據(jù)之間具有不同量綱時(shí)，應(yīng)用該方法可以使每個(gè)

12、變量的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差化為1，從而消除了量綱的差異影響，即令 其中(ii) 平移極差變換. 如果經(jīng)過(guò)平移標(biāo)準(zhǔn)差變換后還有某些 ，則還需對(duì)其進(jìn)行平移極差變換，即令(1,2;1,2)jijijjxxxin jms1221111,() (1,2,)nnjjijjijiixxsxxjmnn0,1ijx )., 2 , 1(minmaxmin111mjxxxxxijniijniijniijij 第二步. 建立模糊相似矩陣 設(shè)論域U= 即數(shù)據(jù)矩陣為 .如果 與 的相似程度為 ，則稱之為相似系數(shù)相似系數(shù)。 下邊為確定相似系數(shù) 的多種方法：（1）數(shù)量積法. 對(duì)于 ,令 ，則取 ，顯然 . 注注：若出現(xiàn)某些 ，

13、可令 ，則有 。也可以用平移極差變換將其壓縮到0,1上，從而得到模糊相似矩陣 ()ijn mAxixjxijr12 ,iiiimxx xxU1max()mikjkijkMxx0,1ijr 12ijijrr0,1ijr ( )ijn mRr,21nxxx), 2 , 1(,21nixxxximiii), 2 , 1,)(,(njixxRrjiijjixxMjirmkjkikij1,1, 10ijr（2）絕對(duì)值指數(shù)法. 令 則（3）海明距離法. 令 其中H為使所有 的確定常數(shù).則 （4）歐氏距離法. 令 其中E為使得所有 的確定常數(shù).則1exp( ,1,2, )mijikjkkrxxi jn0,1

14、( ,1,2, )ijri jn0,1( ,1,2, )ijri jn( )ijn mRr( )ijn mRr( )ijn mRrmkjkikjijiijxxxxdxxdHr1),(),(1), 2 , 1,(njimkjkikjijiijxxxxdxxdEr12)(),(),(1), 2 , 1,(nji（5）切比雪夫距離法. 令 其中Q為使所有 的確定常數(shù).則 （6）主觀評(píng)分法：設(shè)有N個(gè)專家組成專家組,讓每一位專家對(duì)所研究的對(duì)象 與 相似程度給出評(píng)價(jià)，并對(duì)自己的自信度作出評(píng)估。如果第k位專家 關(guān)于對(duì)象 與 的相似度評(píng)價(jià)為 ，對(duì)自己的自信度評(píng)估為 ，則相關(guān)系數(shù)定義為 ，則0,1( ,1,2,

15、 )ijri jn( )ijn mRr( )ijn mRrjkikmkjijiijxxxxdxxdQr1),(),(1), 2 , 1,(njiixjxkP)(krij)(kaijixjx), 2 , 1,(nji)., 2 , 1,()()()(11njikakrkarNkijNkijijij （7） 夾角余弦法. （8） 相關(guān)系數(shù)法. （9） 指數(shù)相似系數(shù)法.（10）最大最小值法.（11）算術(shù)平均值法.（12）幾何平均值法.（13）絕對(duì)值倒數(shù)法. 第三步. 聚類 所謂模糊聚類方法是根據(jù)模糊等價(jià)矩陣將所研究的對(duì)象進(jìn)行分類的方法。對(duì)于不同的置信水平 ，可以得到不同的分類結(jié)果，從而形成動(dòng)態(tài)聚類圖

16、。（一）傳遞閉包法 通常所建立的模糊矩陣R 只是一個(gè)模糊相似矩陣，即R 不一定是模糊等價(jià)矩陣。為此，首先需要由R 來(lái)構(gòu)造一個(gè)模糊等價(jià)矩陣 。根據(jù)傳遞閉包的性質(zhì)，可以用平方法求出R 的傳遞閉包 ，即為一模糊等價(jià)矩陣。然后，由大到小取一組 值 ，確定相應(yīng)的 截矩陣 ，從而可以將其分類，同時(shí)形成動(dòng)態(tài)聚類圖。 1 , 0*R*)(RRt 1 , 0（二）布爾矩陣法（三）直接聚類法四四. 模糊模式識(shí)別方法模糊模式識(shí)別方法 將事物的整體劃分為若干類型而得到一組標(biāo)準(zhǔn)模式，對(duì)于一個(gè)確定的對(duì)象識(shí)別它屬于哪一類的問(wèn)題稱為模式識(shí)別模式識(shí)別。如果整體被劃分的類型與被識(shí)別的對(duì)象之中至少有一個(gè)是用模糊集表示的模式識(shí)別問(wèn)題

17、，則稱為模糊模式識(shí)別模糊模式識(shí)別。 下面介紹兩種最基本的模糊模式識(shí)別方法最大隸屬原則和擇近原則。（）最大隸屬原則最大隸屬原則 設(shè)在論域 中有m個(gè)模糊子集 （即m個(gè)模式）構(gòu)成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模式庫(kù)，若對(duì)任意一個(gè) ，存在 使得 ，則可視 相對(duì)隸屬于 。 （）最大隸屬原則）最大隸屬原則 設(shè)在論域 上確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模式 ， 對(duì)于n個(gè)待識(shí)別的對(duì)象 ，如果有某個(gè) 滿足 ，則 優(yōu)先隸屬于 .12 , , , nUx xx12,mA AA(0)xU00(1)kkm(0)x12 , , , nUx xx0A12,nx xxUkx0A0(0)(0)1()()kkmAAkxx 0kA)1)()(001nkxxiAmikAkx

18、模式識(shí)別中的擇近原則模式識(shí)別中的擇近原則 設(shè)論域 上有m個(gè)模糊子集 （即m個(gè)模式）構(gòu)成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模式庫(kù)，對(duì)U上的另一個(gè)模糊子集 ，試問(wèn) 與 中的哪一個(gè)最貼近？Def. 設(shè)論域U上的模糊子集 ，則稱為 的內(nèi)積內(nèi)積；稱為 與 的外積外積。12 ,nUx xx12,mA AA12,( )A AF U12AA與0A0A), 2 , 1(miAi)()(2121xxAAAAUx)()(2121xxAAAAUx1A2ADef. 設(shè)論域U 上的模糊子集 ，則稱為 與 的貼近度貼近度。說(shuō)明說(shuō)明：如果兩個(gè)模糊子集的貼近度越大，則說(shuō)明其越貼近。 貼近度的有關(guān)性質(zhì)：（1）（2） ，其中 分別為 的高和底 ；12121

19、21(,)(1)2N A AAAAA)(,21UFAA1A2A120(,)1N A A)1 (21),(AAAANAA,A0),(UN單個(gè)特性的擇近原則單個(gè)特性的擇近原則 設(shè)論域U上的m個(gè)模糊子集 （m個(gè)模式）構(gòu)成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模式庫(kù) ，模糊子集 為待識(shí)別的模式，若存在 使得，則 與 最貼近，或者說(shuō)把 可歸并到 類。12,mA AA12,mA AA0A00(1)kkm0kA0A0A0kA),(),(0100AANAANkmkk 根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要，依據(jù)對(duì)象的多個(gè)特性的模式識(shí)別問(wèn)題，即要研究?jī)蓚€(gè)模糊向量集合族的貼近度問(wèn)題。 對(duì)于論域U上的兩個(gè)模糊向量集合族 則A與B的貼近度可定義為 （1）（2）（3）

20、（4）（5）);,(),(1kkmkBANBAN);,(),(1kkmkBANBANmkkkmkkkkaaBANaBAN11; 1,1 , 0),(),(且其中; 1 1 , 0),(),(11mkkkkkkmkaaBANaBAN，且其中; 1 1 , 0),(),(11mkkkkkkmkaaBANaBAN，且其中),(21mAAAA),(21mBBBB多個(gè)特性的擇近原則多個(gè)特性的擇近原則 設(shè)論域U上有n個(gè)模糊子集 構(gòu)成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)模式庫(kù) ，每個(gè)模式 都可用m個(gè)特性描述，即 待識(shí)別的模式為 ，如果兩個(gè)模糊向量集合族的貼近度為 ，并有自然數(shù) 使得 則模式 隸屬于 。12,nA AA12,nA AAk

21、A001020(,)mAAAA00(1)kkn0A12(,)(1,2, )kkkkmAAAAknkA), 2 , 1)(,(01nkAANnikimik,10knkknn五五. 模糊綜合評(píng)判方法模糊綜合評(píng)判方法綜合評(píng)判綜合評(píng)判：對(duì)受多個(gè)因素影響的事物（或?qū)ο螅┳龀鋈娴脑u(píng)價(jià)。 模糊綜合評(píng)判模糊綜合評(píng)判又稱為模糊綜合決策模糊綜合決策或模糊多元模糊多元決策決策。傳統(tǒng)的評(píng)判方法有總評(píng)分法和加權(quán)平分法。1. 總評(píng)分法總評(píng)分法 根據(jù)評(píng)判對(duì)象的評(píng)價(jià)項(xiàng)目 ，首先對(duì)每個(gè)項(xiàng)目確定出評(píng)價(jià)的等級(jí)和相應(yīng)的評(píng)分?jǐn)?shù) ，并將所有項(xiàng)目的分?jǐn)?shù)求和 ；然后按總分大小排序，從而確定出方案的優(yōu)劣。(1,2, )iin(1,2, )i

22、s in1niiSs 2. 加權(quán)平分法加權(quán)平分法 根據(jù)評(píng)判對(duì)象的諸多因素（指標(biāo)） 所處的地位或所起的作用不同，引入權(quán)重的概念，求其諸多因素（指標(biāo)）評(píng)分 的加權(quán)和 ，其中 為第 個(gè)因素（指標(biāo)）的權(quán)值。(1,2, )iin(1,2, )is in1niiiSsi(1,2, )i in 模糊綜合評(píng)判的一般步驟模糊綜合評(píng)判的一般步驟：（1）確定因素集 . 因素集為研究對(duì)象的所有因素的集合。（2）確定評(píng)判集 . 評(píng)判集為所有因素的諸多評(píng)判等級(jí)構(gòu)成的集合。12,nU 12 ,mVv vvij n mR （r）iu), 2 , 1)(niufif12:( ),()( ,)( )iiiiimf UF Ufr rrF Vf()fRF UV即從而可以確定出模糊評(píng)判矩陣 ，而且稱（U，V，R）為模糊綜合評(píng)判模型，U，V，R 稱為該模型的三要素。（）綜合評(píng)判. 對(duì)于權(quán)重 ，用模型 取最大最小合成運(yùn)算，可以得到綜合評(píng)判( ,)( )( )(1,2, ;1,2,