【新青島版】八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題講練：巧用三角形中位線試題(含答案)

1、巧用三角形中位線【重點(diǎn)難宜易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)宜清通】1. 三角形中位線定義連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫中位線。注意：（1）要把三角形的中位線與三角形的中線區(qū)分開(kāi)。2. 定理2注意：位置關(guān)系一一平行數(shù)量關(guān)系一一等于第三邊的一半3. 三角形中位線定理的應(yīng)用：（1）證明角相等關(guān)系；（2）證明線段的倍分以及相等關(guān)系；（3）證明線段平行關(guān)系?！咀痤}靈爵校鬆題鬆經(jīng)典】例題 1 如圖，自ABC勺頂點(diǎn)A,向/B和/C的平分線作垂線，垂足分別為D E。求證：DE/ BG三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。解析：欲證ED/BC我們可想到有關(guān)平行的判定，但要找到有關(guān)角的關(guān)系很難，這時(shí)只 要通過(guò)延長(zhǎng)AD AE,交B

2、C與CB的延長(zhǎng)線于G與H,通過(guò)證明三線合一易證D是AG的中點(diǎn), 同理E為AH的中點(diǎn)，故，。是厶AHG勺中位線，當(dāng)然有DE BC答案：證明：延長(zhǎng)AD AE交BC CB的延長(zhǎng)線于G H,A/ BD平分/ABC：/ 仁/ 2,又BD AD/ ADB/ BDG90ABG為等腰三角形AD=DG同理可證，AE=GED, E分別為AG AH的中點(diǎn)，ED/ BC點(diǎn)撥：本題巧妙地應(yīng)用了等腰三角形的三線合一，但最終還是利用中位線的性質(zhì)得出 結(jié)論。例題 2 如圖，已知平行四邊形ABCDh,BD為對(duì)角線，點(diǎn)E、F分別是AB BC的中點(diǎn), 連結(jié)EF,交BD于M點(diǎn)。1求證：(1)BM=丄BD； (2)ME=MF4解析：(

3、1)由E、F分別為AB BC的中點(diǎn)想到連結(jié)AC由平行線等分線段定理可證得1BMIMQ又因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，可得BOOD即Bh=- BD(2)由問(wèn)題(1)中411的輔助線，即連結(jié)AC,由三角形中位線定理可得EM =AQ,MF =QC,又由平行四邊22形對(duì)角線互相平分即可得到問(wèn)題(2)的結(jié)論。答案：證明：(1)連結(jié)AC交BD于Q點(diǎn)，22 E、F分別為AB BC中點(diǎn)， EF/ AC1BM=M（=- BO2又四邊形ABCD是平行四邊形11 BOODt丄BD, AGOG丄AC221 1BMtBO=BD24（2）vM是BO的中點(diǎn)，E、F分別是AB BC的中點(diǎn)。11ME：丄AQ MF：丄OC又T

4、AO= OC - ME= MF22點(diǎn)撥：?jiǎn)栴}（1）運(yùn)用了三角形中位線的位置關(guān)系，即三角形的中位線平行于底邊，而 問(wèn)題（2）直接運(yùn)用了三角形中 位線的數(shù)量關(guān)系。三角形中位線定理及其應(yīng)用，在初中數(shù)學(xué)中占有很重要的地位，如何正確添加輔助線構(gòu)造三角形中位線是一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)。要善于覺(jué)察圖形中的有關(guān)定理的基本圖形，涉及到中點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要及時(shí)聯(lián)想到有關(guān)定理。例題 如圖，在四邊形ABCDK AD=BC E、F分別是CD AB的中點(diǎn)，直線EF分別交BC AD的延長(zhǎng)線于S T兩點(diǎn)，求證：/ATF=ZBSF解析：連結(jié)AC取AC的中點(diǎn)H連結(jié)EH FH根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且知【拓展總結(jié)暑提升茹分蠱讀】22

5、等于第三邊的一半可得EH/ AD EH=-AD FH/ BC, FH=BC然后求出EH=FH,根據(jù)等邊對(duì)等角可得/EFH=ZFEH再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得/AT匡/FEH兩直線平行,B E、F分別是CD AB的中點(diǎn)， EH FH分別是ACDFHAABC的中位線，11 EH/ AD EHzdAD FH/ BC FH=1BC22 AD=BCEH=FH,/EFhtZFEH又EH/ AD FH/ BC/ATF=ZFEH/BSF=ZEFH/ATF=ZBSF點(diǎn)撥：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，平行線的性質(zhì),等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟記各性 質(zhì)并作輔助線，考慮利用三角形的中位線

6、定理是解題的關(guān)鍵。（答題時(shí)間：30 分鐘）、選擇題1.（宜昌）如圖，A, B兩地被池塘隔開(kāi)，小明通過(guò)下列方法測(cè)出了A、B間的距離：先在AB外選一點(diǎn)C,然后測(cè)出AC BC的中點(diǎn)M N,并測(cè)量出MN的長(zhǎng)為 12m,由此他就知道了A、B間的距離。有關(guān)他這次探究活動(dòng)的描述錯(cuò)誤的是（）A2. （瀘州）如圖，等邊ABC中，點(diǎn)DE分別為邊ABAC的中點(diǎn)，則/DEC的度數(shù)為（A. AB=24mB. MN ABC.CMX CABD. CM MA=1: 2二、填空題6.（懷化）如圖，D E分別是ABC勺邊AB AC上的中點(diǎn)，則SAADE：SAAB（=A. 30B. 60C. 120D. 1503.（泰安）如圖，/

7、ACB90,D為AB的中點(diǎn)，連結(jié)DC并延長(zhǎng)到E,1使CE=CD過(guò)點(diǎn)B3作BF/ DE與AE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A. 64.（福州模擬）如圖，的中點(diǎn)，BG4,AO=3,則四邊形DEFG勺周長(zhǎng)為（A. 6B. 75.（邢臺(tái)二模）如圖，四邊形ABCD勺兩條對(duì)角線AC BD互相垂直, 的中點(diǎn)四邊形，如果AC=8,BD=10，那么四邊形ABCD的面積為（D. 12ABGD是四邊形ABCD)A. 20B. 40D. 10D. 10F。若AB=6,則BF的長(zhǎng)為（）7.（邵陽(yáng)）如圖，在RtABC中，/C=90,D為AB的中點(diǎn)，DEL AC于點(diǎn)E。/A=30,AB=8，貝U DE的長(zhǎng)度是B8.（沈陽(yáng)）如圖，ABC三邊

8、的中點(diǎn)D, E, F組成DEFDEF三邊的中點(diǎn)M N P組成 MNP將厶FPMWECD涂成陰影。假設(shè)可以 隨意在ABC中取點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)取在陰影部 分的概率為三、解答題11.（南京）如圖，在ABC中,D E分別是AB AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF/ AB,交BC于 點(diǎn)F。（1）求證：四邊形DBFE1平行四邊形；（2） 當(dāng)厶ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形DBFE1菱形？為什么？CABCDh，E, F分別是AB AC的中點(diǎn)，如果EF=2,那么BAC的中點(diǎn)。若9. （天橋區(qū)一模） 如圖， 在菱形 菱形的周長(zhǎng)為B12.（鞍山一模）（1）如圖 1 所示，在四邊形ABCD,E F分別是BC AD的中點(diǎn)，連接FE

9、并延長(zhǎng)，分別與BA CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M N則/BMEZCNE求證：AB=CD（提示取BD的中點(diǎn)H,連結(jié)FH HE作輔助線）（2）如圖 2 所示，在ABC中，且0是BC邊的中點(diǎn)，D是AC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)，直線0E交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G若AB=DC=5,/OEC60。，求0E的長(zhǎng)度。E是AD的中m21. D 解析：TM N分別是AC BC的中點(diǎn), MN/ AB, MN：1AB,2AB=2MN2X12=24mCMNNCAB/ M是AC的中點(diǎn)， CMMACM MAf1: 1,故描述錯(cuò)誤的是D選項(xiàng)。2. C 解析：由等邊ABC得/C=60,由三角形中位線的性質(zhì)得DE/ BC/DEC180。/0=180- 6

10、0 =120,3. C 解析：如圖，/ACB90。，D為AB的中點(diǎn),1 CD= AB=3。21又CE= CD3CE=1, -EE=CEnC=4。又BF/ DE點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，EDAFB的中位線，BF=2ED=8o4. B 解析：TBD。已是厶ABC的中線，1ED/ BCMED=BC2TF是BO的中點(diǎn)，G是CO的中點(diǎn)，1FG/ BCMF(=-BC21ED=FG= BC=2 ,21同理GD=EF=AO=1.5 ,2四邊形DEFG勺周長(zhǎng)為 1.5+1.5+2+2=7o5. A 解：TA1B1C1D是四邊形ABCD勺中點(diǎn)四邊形，11AD=BC=BD=5,A1B=CD= AC=4 ,A1D1 /BD/

11、22T四邊形ABCD勺兩條對(duì)角線AC BD互相垂直，AB=6,A(=8,BD=10,B C,A1B1/AC/ C D,四邊形ABCD是矩形，SA1B1C1D1=5X4=20。二、填空題6. 1 : 4 解析：TD E是邊AB AC上的中點(diǎn)，-DEABC的中位線，1DE/ BC且DE=BC2 ADE ABC-ADE：SAB(= ( 1 : 2) =1 : 4。7. 2 解析：TD為AB的中點(diǎn)，AB=8,AD=4,TDEI AC于點(diǎn)E,ZA=30,1-DE- AD=2o258.一 解析：TD、E分別是BC AC的中點(diǎn)，16DEABC的中位線，1ED/ AB且DE= AB2 CDE CBA.SCDE

12、= =(|D)2= =丄丄, ,SCBAAB41 CDE CBAo411同理，SFPI= SFDE= SCBA4165 FPM+SCDE= SCBA,16則引影則引影= =oS. CBA169. 16 解析：T菱形ABCDK E, F分別是AB AC的中點(diǎn)，EF=2,BC=2EF=2X2=4o即AB=BC=CDAD=4。故菱形的周長(zhǎng)為 4BC=4X4=16。10. 64 解析：TD,E分別是AB AC的中點(diǎn)，DE是三角形ABC的中位線，DE/ BC/AED=ZACBTZAF(=90 ,E為AC的中點(diǎn)，1EF=AC AE=CE2EF=CEZEF(=ZECF1ECI=ZEF(= =/ACB26。，。，2FAE的度數(shù)為 90- 26 =64,三、解答題11.解：(1)證明：TD E分別是AB AC的中點(diǎn)， 。丘是厶ABC的中位線， DE/ BC又EF/ AB四邊形DBFE是平行四邊形；(2)解：當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形DBFE是菱形。 理由如下：D是AB的中點(diǎn)，1 BD= AB2/ DEABC勺中位線，1DE=BC2/ AB=BC,BD=DE又四邊形DBFE1平行四邊形，四邊形DBFE是菱形。12.(1)證明：連結(jié)BD取DB的中點(diǎn)H,連結(jié)EH FHoTE、F分別是BC