數(shù)列題型及解題方法歸納總結(jié)90474

1、文德教育i知識(shí)框架數(shù)列的概念數(shù)列的分類數(shù)列的通項(xiàng)公式一函數(shù)角度理解 數(shù)列的遞推關(guān)系”等差數(shù)列的定義an等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 等差數(shù)列2等差數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的性質(zhì)an-an j= d(n丄2)an= ai(n - 1)dn ,、n(n -1),Sn(aia.)二naid2 2am二apaq(m n二p q)數(shù)列兩個(gè)基本數(shù)列等比數(shù)列廣等比數(shù)列的定義an亍q( n 2)an A等比數(shù)列的通項(xiàng)公式ann A.yq. .anq等比數(shù)列的求和公式等比數(shù)列的性質(zhì) i - qn ai(q =1)anam=apaq(m n = p q)古(q=1)求和公式及性質(zhì)，掌握了典型題型的解法和數(shù)學(xué)思想法的應(yīng)用，就

2、有可 能在高考中順利地解決數(shù)列問題。一、典型題的技巧解法i、求通項(xiàng)公式（i）觀察法。（2）由遞推公式求通項(xiàng)。對(duì)于由遞推公式所確定的數(shù)列的求解，通?？赏ㄟ^對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等 差數(shù)列或等比數(shù)列問題。（i） 遞推式為 an+i=a+d 及 an+i=qan（d，q 為常數(shù)）例 i、已知 an 滿足 an+i=an+2，而且 ai=i。求 an。例 i、解/an+i-an=2 為常數(shù) an是首項(xiàng)為 i，公差為 2 的等差數(shù)列-an=i+2 （n-i ）即 an=2n-ii例 2、已知an滿足anian，而a - 2，求q=?之12解V是常數(shù)% 2二佃是以2為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列公式法分組求和

3、錯(cuò)位相減求和裂項(xiàng)求和倒序相加求和累加累積_ 歸納猜想證明分期付款數(shù)列的應(yīng)用 廿兒I其他數(shù)列求和(2)遞推式為 an+i=an+f (n)1例 3、已知an中a-2an ian解：由已知可知an d- an掌握了數(shù)列的基本知識(shí)，特別是等差、等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、(2n+i)(2ni)=i(k-k令 n=i，2，,(n-i )，代入得(n-i )個(gè)等式累加，即(a2-ai) + (a3-a2) + +(an-an-i)=-(1-) +2L KX 5,1_ 1_2u-32-文德教育1、4n-3ai一(1)=2 2n -1 4n2只要和 f (1) +f (2) +f ( n-1 )是可求的，就可

4、以由a”1=an+f (n)以 n=1, 2，(n-1)代入，可得 n-1 個(gè)等式累加而求 an。遞推式為 an+1=p+q (p, q 為常數(shù))例 4、an中，a1，對(duì)于 n 1 (n N)有a3anj2，求a.解法一：由已知遞推式得 an+1=3an+2, an=3an-1+2。兩式相減：an+1-an=3 (an-an-1)因此數(shù)列an+1-an是公比為 3 的等比數(shù)列，其首項(xiàng)為 a2-a1= (3X1+2) -1=4n-1n-1廠“n-1an+1-an=4 3- an+1=3an+23an+2-an=4 3 即 an=2 3 -1解法二：上法得an+1-an是公比為 3 的等比數(shù)列，于

5、是有：a2-a1=4, a3-a2=4 -3,2n-2a4-a3=4 3，, an-an-1=4 3 ,把n-1個(gè).一.-等 . 式累一力得： an=2 3n-1-1-說明對(duì)于遞推式張廣P兀+qS可兩邊除以廣得聽二q-*鼻+丄引棘助數(shù)列,(bn=),得也二Eg+丄后用q q qqaq q(5)遞推式為 an .2二 pan 1qan思路：設(shè)an .2二pan 1qan,可以變形為：an .2-an .1二：.1-an),f CL + P p就是 3= 3 + 3) S-ctB 看則可從匚:卩解得 J 4 I * P = -q想于是an+1-aan是公比為3的等比數(shù)列，就轉(zhuǎn)化為前面的類型。bna

6、n說明遞推式為 an+1=p an+q n (p, q 為常數(shù))【例5】己知aj中，=-, aA+l= -an+(-)叫求智 略解在砧=掃+4)的兩邊乘以丹】得2n+L- an+1= -+1,令b廠2壯丄屯-七22bn 1二一(6斗) 由上題的解法，得：g = 3 - 2(廣332 1【例6】已知數(shù)列J中，日二1, a2=2,=-an+1+-an,a +分析解在仏2Cl + p =3= 1、a B =-2叮塲=an+l+-an邊減去 j得扌a廿1-耳)p-pP = -q-an+l文德教育33，十扌I，（冷）遞推式為 S 與 an 的關(guān)系式(n = l)(n2):/關(guān)系;(2)試用 n 表示 a

7、n。 J數(shù)列求和的常用方法：1、拆項(xiàng)分組法：即把每一項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，重新組合分成幾組，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù) 列求和。2、錯(cuò)項(xiàng)相減法：適用于差比數(shù)列（如果 祐等差，g 等比，那么:anbn/叫做差比數(shù)列）即把每一項(xiàng)都乘以的公比q，向后錯(cuò)一項(xiàng)，再對(duì)應(yīng)同次 項(xiàng)相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和。3、裂項(xiàng)相消法：即把每一項(xiàng)都拆成正負(fù)兩項(xiàng)，使其正負(fù)抵消，只余有限幾 項(xiàng)，可求和。解(1)由s嚴(yán)4*得S+i 二 4an+1-TJTT,、丄，1 1乙(an-an 1)(2 -尹)(an+lJ是公比為百項(xiàng)為衍二啲等比數(shù)列克n-l此類型可利用養(yǎng)可裂項(xiàng)為Sn 1-Sn（其中訂等差）1anan 11an 1文德教育41an 1an2上式兩

8、邊同乘以丄2n = (7071_廟).an Ian 1d2n+1得 2n+1an+i=2nan+2 則2 5是公差為 2 的等差數(shù)列。 2nan= 2+ (n-1 ) 2=2n-.=-等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和的最值問題：1、若等差數(shù)列a,的首項(xiàng)a 0,公差d0，則前n項(xiàng)和&有最大值。文德教育5(i)若已知通項(xiàng)an,則Sn最大二an陽蘭0(ii)若已知Sn二pn2qn，則當(dāng)n取最靠近-丄 的非零自然數(shù)時(shí)Sn最2p大；2、若等差數(shù)列:a/f的首項(xiàng)ai：0,公差d 0，則前n項(xiàng)和Sn有最小值(i)若已知通項(xiàng)為，則Sn最小二an、lA 八0(ii)若已知Sn= pn2qn，則當(dāng)n取最靠近-的非零自

9、然數(shù)時(shí)Sn最2p小;數(shù)列通項(xiàng)的求法：公式法：等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。已知Sn(即a1a2an= f (n)求an,用作差法：a=0(n=)、。3nSn-Sn4,( n一2)口 -|f(1),(n=1)已知aLa-_a f (n)求a.,用作商法：a f (n)(2)。f (n-1),(2)已知條件中既有Sn還有an，有時(shí)先求Sn，再求a；有時(shí)也可直接求an。 若ani-an=f( n)求a.用 累力口法 ：an=(an-an4) (an4-anJ HI 2-冃)ai(n -2)。已知也=f(n)求an，用累乘法：an色1雖川更 (n一2)。anan Jan_2ai已知遞推關(guān)系求an

10、,用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)。特別地，(1)形如a*= kanb、aka* bn(k,b為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列 后，再求an；形如a.= kankn的遞推數(shù)列都可以除以kn得到一個(gè)等差數(shù)列后，再求an。a(2)形如an匸的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。kan_i+b(3) 形如and= ank的遞推數(shù)列都可以用對(duì)數(shù)法求通項(xiàng)。(7) (理科)數(shù)學(xué)歸納法。(8)當(dāng)遇到an彳- an_二d或旦口二q時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果可anJ能是分段形式。數(shù)列求和的常用方法：(1) 公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式。(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有

11、困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和。3)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與 組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是 等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法)(4)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的文德教育6通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法(這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方文德教育7求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法:1、 公式法2、由 Sn求 an(n =1 時(shí)，a1=S1，n 一 2 時(shí)，a.=Sn-SnJ3、求差(商)法如: :an滿足知 土 a2*an= 2n 5：11解：n =1 時(shí)，

12、a2 1 5, a1=141 1 1n-2 時(shí)，2a122a2 尹an4=2n-1 5- (2n - 1)已1-x1-x_ 1 + X - (2n + px11+ (2n -=Frf -(5)裂項(xiàng)法：把通項(xiàng)公式整理成兩項(xiàng)(式多項(xiàng))差的形式，然后前后相消。 常見裂項(xiàng)方法：n(n+k)1 1n n + kn(n + l)(n + 2)n + 21 11111 1 1 1 1二s =n +- + + +- +-1A4L53 75 92n-3 2n +1 2n -1 2n + 3J_ lri111 .4L3 2n + l 2n + 3Jn(4n+5) 3(2n + l)(2n + 3)注：在消項(xiàng)時(shí)一定

13、注意消去了哪些項(xiàng)，還剩下哪些項(xiàng)，一般地剩下的正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)一樣多。在掌握常見題型的解法的同時(shí)，也要注重?cái)?shù)學(xué)思想在解決數(shù)列問題 時(shí)的應(yīng)用。二、常用數(shù)學(xué)思想方法1 函數(shù)思想運(yùn)用數(shù)列中的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)把數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決?！纠?13】等差數(shù)列an的首項(xiàng) ai0，前 n 項(xiàng)的和為 S,若 S=S0 Si=Sk(I豐k),. dv0 故此二 次函數(shù)的圖像開口向下 當(dāng)掘二二布(最大，f (n)中，圧N。 f(1) =f (k).二當(dāng)1+k為偶數(shù)時(shí)，n =-時(shí)最大。當(dāng)1+k為奇數(shù)班n二蘭三時(shí)S聯(lián)最大。文德教育11 x=1ogak, y=logbk, z=logck b2=ac a, b, c 成等比數(shù)列(a, b, c 均不為 0)/ qz1坷K) |坷( (l q) _ 2at(1-q)363整理得 q ( 2q -q -1 ) =0/qz0 2q6-q3-l = 0 q；= l 舍，Qa此題還可以作如下思考：33336S6=S3+q S3= (1+q ) S。S9=S+q S6=Ss(1+q +q ),由 S3+S=2S 可得 2+q3=2 (1+q3+q6), 2q6+q3=0m 1 V43換元思想【例 15】 已知 a, b, c 是不為 1 的正數(shù)，x, y, z R+,且1 1 2有|/二和 + - = x z y求證：a, b, c 順次成等比數(shù)列。2.