[課件]概率與統(tǒng)計7.2估計量的優(yōu)良性準則(精)

1、7.2估計量的優(yōu)良性準則對于總體的參數，可用各種不同的方法去 估計它，因此一個參數的估計量不唯一.如X7/(O,0),0的矩法估計量為2片，極大似然估計量為niaxfXJlGQi在眾多的估計量中選哪一個更好？選取的標準是什么？三個常用準則：無偏性、有效性.相合性.工 二估計量的優(yōu)良性準則May 13L無僞牲定義7.2.1若參數的估計量d = T(XvX2Xn)對一切及OWQ ,有E( (a) )= ET(X“X2，.,X”) = 0稱玄為的無僞估計童.若lim仇=limE( (a) )-0 = O則稱玄為的漸進無僞傳計童.估計量的優(yōu)良性準則May-13估計量的優(yōu)良性準則May-13若的實函數g

2、(“) )的無偏估計量存在，稱g(“)是可估計函數.注當&是砒無偏估計量，g(3)不一定趕趕的無偏估計量樣本均值是總體均值3)的無偏估計量.S2是戶的無偏估計估計量的優(yōu)良性準則阿-門注意：1n_= Rd-龍尸不是/的無偏估計 M2 =丄土土(X：-X)2=S2nn=E(A/2) = Q2/已知疋(/)= “時，刀(匕-“)2是/的無偏估討反例估計量的優(yōu)良性準則May-132.有敗牲思考：已知總體X的樣本下列估 計量是否為總體均值“的無偏:估計量？哪個更好？1 F; 2 & 3 X】+X2；4 0 1 X|+0 2X2+0.7X3.參數的無偏估計量不惟一.無偏估計只能保證估計無系

3、統(tǒng)誤差：加一&） =0v J修于科技:希望Q的取值在及其附近越密集越好,= 其方差應盡量小.都是未知參數e的無偏估計量，若估計童的優(yōu)良性準則May-13定義7.2.2設0l(Xl,X2,.9Xll用玄（稱玄比玄有玄有效（優(yōu)效）_估計量的優(yōu)良性準則May-13設玄是&的無偏估計，如果對。的任何一個 無偏估計量$都有稱&為&的最小方差無偏估計量.ex|證明無偏性判斷有效性證明無偏性判斷有效性(2)片和V分別是和 H 的最小方差無偏估計V科技大呀估計量的優(yōu)良性準則May-I33相合牲無偏性：反映估計量相對待估參數有無系 統(tǒng)偏差.有效性：在無偏類中反映估計量相對待估 參

4、數的偏離程度.例725問題：在“偏差性力和“離散性”兩者 兼顧的原則下建立估計量為“最優(yōu)為準則.估計量的優(yōu)良性準則May-137.2.3定義設玄=g(X|,X2，,X“)是未知參 數的估計量，若對任意的00,有則稱g為e的的和合估計量.相合估計量的證明v u 電子科技lim 一P0H一&|V相合估計量的證明估計童的優(yōu)良性準則Wy 13= D(X) + E(X)2-卅D(牙)+E(牙)2= /t(a2+/2)-n(+ /2) =(n-l)a2nE(S2) =CT2.#H U M電子科技大拳估計量的優(yōu)良性準則May-13例7 2 3設總體* 0,川0未知，（X】 ，XvX3）是取自X的一個

5、樣本1）試證0 j = maxX/, 02 =4minX/31GS31VW3都是的無偏估計；2）上述兩個估計量中哪個的方差最??？ 分析：要判斷面量是撫蕪偏囲量 需要計算統(tǒng)計量的數學期望.估計童的優(yōu)良性準則Wy 13me itAM估計量的優(yōu)良性準則May-13令Y= maxXz, Z = minXz匕注31GM3證1）先求x與丫的概率密度函數，已知分布函數0,x0;心（兀）=,0 x0 U 電子科技Fy(j) = Py j = PmaxX/My= PX1J,X2J3JPXxy-PX1yYPX3y=Fx(j)ffY(y) = F；(j) =2F(y)ffY(j)、R G) )2，o“e；/y( (

6、J) )= 0 0估計量的優(yōu)良性準則May-130else.砂）=話【匕婦泊E(Z)諄“(&一訛 片從而， E(-niax Xf) = E(4min XJ = &3 2M31 彳門估計量的優(yōu)良性準則May-13同理可得Jz（Z）=3a0,有VU A估計量的優(yōu)良性準則May-13例7 2 8設總體X的數學期望存在,估計量是/二E(X)的無偏.相合估計量.證 樣本構成的隨機變量序列X,XvX,相互獨立同分布，服從切比雪關大數定 理，對任給的0,有l(wèi)imP|X-E(X)|I 呵n= lim P-y-(X)s = 0TOOn告即二片為E(X)的相合估計量.P maxXi和4minX都是粥J無偏估計3匕活31GM32) )vD( (r) )=E( (y* 2 3 4) )