概率論與數(shù)理統(tǒng)計第七章改

1、廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)7.1 點估計點估計7.2 區(qū)間估計區(qū)間估計 7.3 假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)7.1.1 點估計概念點估計概念7.1.2 點估計法點估計法 7.1.2.1 矩估計法矩估計法 7.1.2.2 最大似然估計法最大似然估計法7.1.3 點估計的優(yōu)良性質(zhì)點估計的優(yōu)良性質(zhì)廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)在許多實際問題中遇到的總體往往是分布類型在許多實際問題中遇到的總體往往是分布類型大體知道，但確切形式并不知道大體知道，但確切形式并不知道,即總體分布已即總體分布已知，其中含有一個或多個未知參數(shù)。如能確定知，其中含有一個或多個未知參數(shù)。如能確定這些參數(shù)值，則總體分布完全確定

2、。我們根據(jù)這些參數(shù)值，則總體分布完全確定。我們根據(jù)樣本來估計這些參數(shù)，也就是從總體中取出一樣本來估計這些參數(shù)，也就是從總體中取出一個樣本來，構(gòu)造適當(dāng)?shù)臉颖竞瘮?shù)，即統(tǒng)計量，個樣本來，構(gòu)造適當(dāng)?shù)臉颖竞瘮?shù)，即統(tǒng)計量，來對未知參數(shù)做出估計來對未知參數(shù)做出估計廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)進進行行評評選選。就就要要對對估估計計量量哪哪個個好好，哪哪個個不不好好，則則。這這些些估估計計量量統(tǒng)統(tǒng)計計量量作作為為它它的的統(tǒng)統(tǒng)計計量量構(gòu)構(gòu)造造不不同同的的對對一一個個被被估估參參數(shù)數(shù)，可可以以值值。來來作作為為總總體體均均值值的的估估計計的的值值計計量量的的估估計計量量，自自然然的的用用統(tǒng)統(tǒng)作作為為總總體體均均值值例例

3、如如：統(tǒng)統(tǒng)計計量量 niiniixnXXEXnX111)(,1 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)1、點估計、點估計2、估計值、估計值7.1.1 點估計概念點估計概念 用樣本的一組觀察值用樣本的一組觀察值 得到估計量得到估計量 的值的值nxxx,21),(21nxxx 則稱為則稱為 的的估計值估計值. 為方便起見，估計量與估計值不加區(qū)別，統(tǒng)稱為估計。為方便起見，估計量與估計值不加區(qū)別，統(tǒng)稱為估計。3、兩種常用的點估計法、兩種常用的點估計法矩估計和極大似然估計矩估計和極大似然估計計計。的的點點估估計計量量，簡簡稱稱點點估估為為的的估估計計，則則稱稱作作為為參參數(shù)數(shù)若若由由樣樣本本構(gòu)構(gòu)造造統(tǒng)統(tǒng)量量中中隨隨機

4、機抽抽取取的的一一個個樣樣是是從從總總體體為為總總體體的的待待估估參參數(shù)數(shù)，其其中中的的分分布布函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)總總體體 ),(),(,),(),(212121nnnXXXXXXXXXXxFX 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)7.1.2.1 矩估計法矩估計法 1、原理、原理 設(shè)設(shè)X為總體，為總體， 為樣本，為樣本， 為樣本均值，則有為樣本均值，則有nXXX,21X1|lim EXXPn大數(shù)定律大數(shù)定律即當(dāng)即當(dāng)n 很大時，樣本均值很大時，樣本均值 就很接近于總體均值就很接近于總體均值 。XEX因此，當(dāng)因此，當(dāng)n 很大時，用樣本均值很大時，用樣本均值 來估計總體均值來估計總體均值 是是XEX比較合理的。比較合

5、理的。此依據(jù)推而廣之：此依據(jù)推而廣之： 用樣本的用樣本的k 階中心矩來估計總體階中心矩來估計總體k 階中心矩。階中心矩。 即用即用 來估計來估計 。 nikikXnM11)(kXE矩估計法矩估計法7.1.2 點估計方法點估計方法 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)2、矩法估計的步驟、矩法估計的步驟: (1) 列出矩估計式列出矩估計式.求總體求總體 的前的前k階矩階矩 ),;(21kxF dxxfxEXaiii)(ki, 2 , 1 (2) 解上述方程組解上述方程組.將未知參數(shù)將未知參數(shù) 表示為表示為 k ,21kaaa,21的函數(shù)的函數(shù) ),(21kiiaaag ki, 2 , 1 (3) 求出矩估計求

6、出矩估計.即用樣本矩即用樣本矩 代替總體相應(yīng)的矩代替總體相應(yīng)的矩 得到得到 nititXnM11ttEXa 未知參數(shù)的矩估計為未知參數(shù)的矩估計為 ),(21kiiaaag ki, 2 , 1 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)解解 （1）列出矩估計式）列出矩估計式 EXa 1)(22XEa 2)(EXDX （2）求解方程組得）求解方程組得 1aEX 212aaDX （3）求出矩估計）求出矩估計 niiniiXnMXnM122111,1用用 分別代替分別代替 即得矩估計：即得矩估計： 21,aaXMEX 1212MMDX 2121XXnnii 21)(1XXnnii 2S 例例1 求總體求總體X的均值的均

7、值EX與方差與方差DX的矩估計的矩估計. 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)無論總體無論總體X服從什么分布，其數(shù)學(xué)期望和方差服從什么分布，其數(shù)學(xué)期望和方差的矩估計量分別為樣本均值和二階樣本矩。課的矩估計量分別為樣本均值和二階樣本矩。課本例本例2可以據(jù)此結(jié)論求解?？梢該?jù)此結(jié)論求解。廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例2 求總體求總體X的服從參數(shù)為的服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，求未知參數(shù)的指數(shù)分布，求未知參數(shù) 矩估計矩估計. （書例（書例3） 0, 00,)(xxexfx 指數(shù)分布的概率密度：指數(shù)分布的概率密度：（1）列出矩估計式）列出矩估計式 （2）求解方程組得）求解方程組得 （3）求出矩估計）求出矩估計 /11 E

8、Xa1/1 a niiXnM1111/1 同樣的方法可以求得均勻分布的同樣的方法可以求得均勻分布的兩個參數(shù)兩個參數(shù)a和和b。見課本例。見課本例4。解：解：廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué) 其它其它00)(2),(2 xxxf例例3 3（6-26-2） 設(shè)總體設(shè)總體 有分布密度函數(shù)有分布密度函數(shù) 的矩估計。的矩估計。為待估參數(shù)，求為待估參數(shù)，求其中其中 0 （1）列出矩估計式）列出矩估計式 （2）求解方程組得）求解方程組得 （3）求出矩估計（用樣本矩代替總體矩）求出矩估計（用樣本矩代替總體矩） 31)(2)(021 dxxxdxxxfEa13a 3 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)7.1.2.2 最大似然估計法

9、最大似然估計法設(shè)設(shè) 是取自總體是取自總體X的一個樣本觀察值的一個樣本觀察值,分布函數(shù)為分布函數(shù)為 nxxx,21),;,(21 nxxxFnxxx,21如果當(dāng)未知參數(shù)如果當(dāng)未知參數(shù) 取取 時時, 被取到的概率最大被取到的概率最大,則稱則稱 為為 的最大似然估計的最大似然估計. 1、 最大似然估計的原理最大似然估計的原理廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)).,;(21kiixpxXP ),;(),;,(211212211kniikkkxpxXxXxXP 設(shè)總體設(shè)總體X的概率分布為的概率分布為).( L 稱為稱為似然函數(shù)似然函數(shù)),;()(211kniixpL 則樣本則樣本 的聯(lián)合概率分布為的聯(lián)合概率分布為

10、),(21nXXX即即 使使 達到最大的達到最大的 即為即為 的最大似然估計的最大似然估計. )( L2、離散型、離散型:廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)3 3、連續(xù)型：、連續(xù)型：),;(21kxf k ,21nXXX,21),(21nXXX設(shè)總體設(shè)總體X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為是待估計參數(shù)。是待估計參數(shù)。是取自是取自X的一個樣本。則的一個樣本。則的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為),;,(2121knxxxf ),;(211kniixf 稱為稱為似然函數(shù)似然函數(shù))( L ),;()(211kniixfL 即即 使使 達到最大的達到最大的 即為即為 的最大似然估計的最大似然估計. )( L廣東工業(yè)大學(xué)廣

11、東工業(yè)大學(xué)3 3、連續(xù)型：、連續(xù)型：),;()(211kniixfL 使使 達到最大的達到最大的 即為即為 的最大似然估計的最大似然估計. )( L),;()(211kniixpL 2、離散型、離散型:4、估計步驟：、估計步驟：a.a.寫出似然函數(shù)寫出似然函數(shù)),;()(211kniixfL .,21k b.求出使求出使 達到最大的達到最大的 )( Lc.用用 作為作為 的估計量，的估計量，k ,21k ,21的函數(shù)作為的函數(shù)作為 的同一函數(shù)的估計量。的同一函數(shù)的估計量。k ,21k ,21用用廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)5 5、解題具體步驟：、解題具體步驟： a.a.寫出似然函數(shù)寫出似然函數(shù)),

12、;()(211kniixfL b.求對數(shù)似然函數(shù)求對數(shù)似然函數(shù) ).(ln Lc.求導(dǎo)并令其導(dǎo)數(shù)等于求導(dǎo)并令其導(dǎo)數(shù)等于00)(ln1 L0)(ln2 L0)(ln kL d.解上述方程組。解上述方程組。即為即為 的最大似然估計。的最大似然估計。k ,21k ,21其唯一解其唯一解然然函函數(shù)數(shù)取取對對數(shù)數(shù)。得得極極大大值值，所所以以先先對對似似值值處處取取，在在同同一一和和由由于于 )(ln)(LL廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例1 離散型隨機變量離散型隨機變量X 服從服從 分布，從分布，從X中抽得容量為中抽得容量為n的樣本的樣本10 nXXX,21的一組觀察值的一組觀察值 ，或或), 2 , 1;

13、 10(,21nixxxxin 求參數(shù)求參數(shù) p 的最大似然估計，其中的最大似然估計，其中 .01,1 XPpXPp,1,2 , 1,)1()(1 ,0,)1()(111 niixxixxxnxnippxXPxppxXPii設(shè)設(shè)則則隨隨機機變變量量的的分分布布律律（課本例7）xnnxnxxxxninpppppppxxxLniiniiii )1()1()1();,(11)1(1121似然函數(shù)為似然函數(shù)為廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)xpppxnpxnppxnnpxnpLpppppppxxxLxnnxnxxxxninniiniiii 01)1()1ln()(ln)(ln)1()1()1();,(11)1

14、(1121的的極極大大似似然然估估計計值值為為解解得得求求導(dǎo)導(dǎo)得得似似然然方方程程：對對似似然然函函數(shù)數(shù)為為廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例2 求總體求總體X的服從參數(shù)為的服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，求的指數(shù)分布，求 的最大似然估計的最大似然估計.（課本例（課本例8） niiixnxninneexxL111);,( 的的似似然然函函數(shù)數(shù)可可以以寫寫為為： niinxnxxL11ln);,(ln 取取對對數(shù)數(shù)得得：01 niixn 求求導(dǎo)導(dǎo)得得：對對xxnnii11 解之得：解之得：解：解：廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例3 求總體求總體 ，求，求 與與 的最大似然估計的最大似然估計. (課本例課本例9：正

15、態(tài)分布：正態(tài)分布),(2 NX 2 例例4 設(shè)總體設(shè)總體 為取自總體的一個樣本觀察值，為取自總體的一個樣本觀察值， nxxxbaUX,21求未知參數(shù)求未知參數(shù) 的最大似然估計。（例的最大似然估計。（例10：均勻分布）：均勻分布）ba,廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)7.1.3.1 無偏性無偏性7.1.3.2 有效性有效性7.1.3.3 一致性一致性返回返回廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)7.1.3.1 無偏性無偏性 設(shè)設(shè) 是參數(shù)是參數(shù) 的估計量的估計量,若若 E則稱則稱 是是 的的無偏估計無偏估計. 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例1 證明樣本均值證明樣本均值 與樣本方差與樣本方差 niiXnX11212)(1X

16、XnSnii 分別是否是總體均值分別是否是總體均值 與總體方差與總體方差 的無偏估計的無偏估計. 2 ,1)(1)1()(11 nnEXnXnEXEniinii估估計計量量是是總總體體數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望的的無無偏偏從從而而 X計計。不不是是總總體體方方差差的的無無偏偏估估從從而而樣樣本本的的二二階階中中心心距距,1)(22 nnSE 差差的的無無偏偏估估計計。因因此此樣樣本本方方差差是是總總體體的的由由于于222211)(1)1()( nnnnSEnnSnnESE 解：廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)7.1.3.2 有效性有效性 21 DD 設(shè)設(shè) 與與 都是都是 的無偏估計的無偏估計,若對任意樣本容量若

17、對任意樣本容量n,都有都有1 2 則稱則稱 較較 有效有效. 1 2 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)7.1.3.3 一致性一致性 1|lim nnP設(shè)設(shè) 是參數(shù)是參數(shù) 的估計量的估計量, n當(dāng)當(dāng) 時時, 依概率收斂于依概率收斂于 , 即對任意即對任意 ,有有 0 則稱則稱 是是 的的相合估計量相合估計量或或一致估計量一致估計量. 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)1 1、樣本均值和樣本方差分別是是總體期望和方差的無偏估計、樣本均值和樣本方差分別是是總體期望和方差的無偏估計. .一些重要結(jié)論一些重要結(jié)論2 2、樣本的任意、樣本的任意k階原點矩均是對應(yīng)的總體階原點矩均是對應(yīng)的總體k階原點矩的一致估計階原點矩的一致

18、估計. 3 3、若、若 為為 的無偏估計的無偏估計, ,且且 , ,則則 為為 的一致估計。的一致估計。 )(0)( nD 4 4、若、若 為為 的矩估計的矩估計, , 為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù), ,則則 為為 的矩估計的矩估計. . )(xg)( g)( g5 5、若、若 為為 的最大似然估計的最大似然估計, , 為單調(diào)增函數(shù)為單調(diào)增函數(shù), ,則則 為為 的最大似然估計的最大似然估計. . )(xg)( g)( g廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)7.2 7.2 參數(shù)的區(qū)間估計參數(shù)的區(qū)間估計返回返回7.2.1 基本概念基本概念7.2.2 單個正態(tài)總體的區(qū)間估計單個正態(tài)總體的區(qū)間估計7.2.3 兩個正態(tài)總體

19、的區(qū)間估計兩個正態(tài)總體的區(qū)間估計廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)7.2.1 基本概念基本概念 1、 置信區(qū)間與置信度置信區(qū)間與置信度 設(shè)總體設(shè)總體X的分布中含有未知參數(shù)的分布中含有未知參數(shù) ， 為從總體為從總體X中抽取的容量為中抽取的容量為 的樣本，由樣本構(gòu)造兩個統(tǒng)計量：的樣本，由樣本構(gòu)造兩個統(tǒng)計量： ),(211nXXX ),(212nXXX 若對給定的常數(shù)若對給定的常數(shù) 有有 )10( 121P則稱隨機區(qū)間則稱隨機區(qū)間 為參數(shù)為參數(shù) 的的置信度置信度(置信水平置信水平)為為的的置信區(qū)間或區(qū)間估計置信區(qū)間或區(qū)間估計。 1),(21 :1 :2 置信下限置信下限 置信上限置信上限 nXXX,21n及及

20、,21 且且廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)個個。真真值值的的僅僅有有其其中中不不含含各各相相應(yīng)應(yīng)區(qū)區(qū)間間，次次，得得到到反反復(fù)復(fù)抽抽樣樣若若：由由定定義義表表達達的的實實際際意意義義11001001.00 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)假設(shè)總體假設(shè)總體X服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 7.2.2 單個正態(tài)總體的區(qū)間估計單個正態(tài)總體的區(qū)間估計 nXXXN,),(212 是樣本是樣本.求求 的的 的下面幾種區(qū)間估計的下面幾種區(qū)間估計:（1） 已知，求已知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2 （2） 未知，求未知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2 （3） 已知，求已知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2 （4） 未知，求未知，求 的

21、置信區(qū)間的置信區(qū)間 2 1廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)易知易知 ),(2nNX 取統(tǒng)計量取統(tǒng)計量 nXu/ 則有則有 )1 , 0(/NnXu 對給定的置信度對給定的置信度 ,使使 1 1|2uuP即即 122uuuP從而有從而有 122nuXnuXP即即 的置信度為的置信度為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 1),(22nuXnuX 7.2.2.1 已知，求已知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2 x)(xfO2 u2/ 12 u 2/ (由正態(tài)分布的由正態(tài)分布的對稱性及分位對稱性及分位數(shù)定義數(shù)定義)廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例1 已知某廠生產(chǎn)的滾珠直徑已知某廠生產(chǎn)的滾珠直徑 ，從某天生產(chǎn)的滾，從某天生產(chǎn)的

22、滾珠中隨機抽取珠中隨機抽取6個，測得直徑為（單位：個，測得直徑為（單位：mm)06. 0 ,( NX1 .152 .158 .149 .141 .156 .14求平均直徑求平均直徑 的置信概率為的置信概率為0.95的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。 ),(22nuXnuX 由由樣樣本本觀觀察察值值得得：，使使得得由由正正態(tài)態(tài)分分布布表表查查得得：，已已知知論論可可求求出出置置信信區(qū)區(qū)間間已已知知方方差差，由由前前面面的的結(jié)結(jié)解解：這這是是一一個個正正態(tài)態(tài)體體，95. 0)(6.9175.902-1 ,25.0025.005.90-1.0250.02502 uUPuu 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)95.14)

23、1 .151 .156 .14(616161 iixx5.11596. 1606. 095.1475.1496. 1606. 095.1422 unxunx置信上限：置信上限：置信下限：置信下限：）（的的置置信信區(qū)區(qū)間間是是的的置置信信度度為為因因此此，5.115, 5.7145.90 ),(22nuXnuX 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)7.3.2.2 未知，求未知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2 取統(tǒng)計量取統(tǒng)計量 對給定的置信度對給定的置信度 ,使使 1 1|2tTP即即 122tTtP從而有從而有 122nStXnStXP即即 的置信度為的置信度為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 1),(22nStX

24、nStX )1(/ ntnSXT x)(xfO2 t2/ 12 t 2/ 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)平平均均體體重重的的區(qū)區(qū)間間估估計計的的置置信信讀讀求求初初生生男男嬰嬰的的試試以以），重重為為（單單位位：名名初初生生男男嬰嬰，測測得得其其體體從從正正態(tài)態(tài)分分布布，隨隨機機抽抽取取假假設(shè)設(shè)初初生生嬰嬰兒兒的的體體重重服服%95254034002600288033203560316030003000300025203100g12值值的的區(qū)區(qū)間間估估計計問問題題，方方差差未未知知，求求總總體體均均解解：這這是是一一個個正正態(tài)態(tài)總總體體201. 2)11()1(,1225.002 ,5.90-197

25、5. 021 tntn 查分布表得：查分布表得：，因為因為由上面結(jié)論可以求出由上面結(jié)論可以求出3 .375)3057(111,30571212 iixsx廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)）（置信區(qū)間為置信區(qū)間為體重的體重的因而得到初生男嬰平均因而得到初生男嬰平均3300,2820%953300201. 2123 .3753057)11(2820201. 2123 .3753057)11(975. 0975. 0 tnsxtnsx廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)。為為單單側(cè)側(cè)置置信信限限的的估估計計法法限限。這這兩兩種種估估計計方方法法稱稱慮慮上上在在相相反反的的情情況況下下，只只考考，而而只只考考慮慮置置信信

26、下下限限，取取為為將將置置信信上上限限，在在這這種種情情況況下下，可可以以沒沒有有問問題題，太太短短就就不不行行均均壽壽命命長長如如元元件件的的使使用用壽壽命命，平平在在有有些些實實際際問問題題中中，例例都都是是雙雙側(cè)側(cè)的的，置置信信區(qū)區(qū)間間，其其置置信信區(qū)區(qū)間間前前面面討討論論的的總總體體均均值值的的 說明：說明：廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)),(22nStXnStX ),(22nuXnuX 7.3.2.2 未知，求未知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2 7.3.2.1 已知，求已知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué) 取統(tǒng)計量取統(tǒng)計量 對給定的置信度對給定的置信度 ,使使 1

27、1)()(22221nWnP從而得到從而得到 的置信度的置信度2 )()(12122nXWnii )(22nWP 2)(221 nWP其中其中 )()(2212nXnii )()(221122nXnii 7.3.2.3 已知，求已知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2 x)(xfO)(22n 2/ 2/ )(221n 1為為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例1 已知某廠生產(chǎn)的零件已知某廠生產(chǎn)的零件 ，從某天生產(chǎn)的零件，從某天生產(chǎn)的零件中隨機抽取中隨機抽取4個，得樣本觀察值個，得樣本觀察值（例（例16）), 5 .12(2 NX求求 的置信概率為的置信概率為0.95的置信區(qū)間。的置

28、信區(qū)間。2 2 .138 .124 .136 .12,)()(2212nXnii )()(22112nXnii 484. 0)4()(,11)4()(5.0095. 0-14 . 1)5 .122 .13()5 .126 .12()(2975. 02212025. 022222412 nnxii分分布布得得，查查，又又據(jù)據(jù)樣樣本本值值有有：解：解：）（的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為：帶帶入入公公式式得得9.82 , 3.102 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)取統(tǒng)計量取統(tǒng)計量 對給定的置信度對給定的置信度 ,使使 1 1)1()1(22221nWnP )1(22nWP 2)1(221 nWP其中其中 ,)1

29、()(2212 nXXnii )1()(22112 nXXnii ) 1() 1()(1222122 nSnXXWnii 7.3.2.4 未知，求未知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2 從而得到從而得到 的置信度的置信度2 1為為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為x)(xfO)1(22 n 2/ 2/ ) 1(221 n 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)7.3.2.3 已知，求已知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2 ,)()(2212nXnii )()(22112nXnii 7.3.2.4 未知，求未知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2 ,)1()(2212 nXXnii )1()(22112 nXXnii 廣東工業(yè)大學(xué)

30、廣東工業(yè)大學(xué)例例 已知某廠生產(chǎn)的零件已知某廠生產(chǎn)的零件 ，從某天生產(chǎn)的零件中，從某天生產(chǎn)的零件中隨機抽取隨機抽取4個，得樣本觀察值個，得樣本觀察值（例（例17）),(2 NX求求 的置信概率為的置信概率為0.95的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。2 2 .138 .124 .136 .12,)1()(2212 nXXnii )1()(22112 nXXnii 52.8143.00,216. 031,35. 9315.005.90-14 . 0)(1322975. 02212025. 0222412，的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為帶帶入入公公式式后后得得分分布布表表得得，查查，已已知知，從從而而利利用用數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)

31、計計算算出出是是未未知知的的。解解：與與上上例例比比較較， nnXXXii廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)7.3.3 兩個正態(tài)總體的區(qū)間估計兩個正態(tài)總體的區(qū)間估計 已知兩個相互獨立正態(tài)總體已知兩個相互獨立正態(tài)總體),(),(222211 NYNX考慮下面幾種區(qū)間估計考慮下面幾種區(qū)間估計:分別為其樣本。分別為其樣本。1,21nXXX2,21nYYY與與 （1 1） 已知，求已知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2221, 21 （2 2） 未知，求未知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 22221 21 （3 3） 已知，求已知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2221/ 21, （4 4） 未知，求未知，求 的置信區(qū)間的

32、置信區(qū)間 2221/ 21, 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)，使使得得查查得得由由正正態(tài)態(tài)分分布布表表對對于于給給定定的的從從而而，有有兩兩個個樣樣本本相相互互獨獨立立，故故，及及，因因為為的的區(qū)區(qū)間間估估計計已已知知時時，求求，方方差差2-1222121212221212122221211212221),10()1 , 0()(-)()()(-)1( uNnnYXnnNYXnNYnNX 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)222121212122212121212221212121222121212122212121-11)(nnuYXnnuYXnnuYXnnuYXPunnYXP 置置信信區(qū)區(qū)間間的的從從而而

33、得得到到即即廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)7.3.3.1 7.3.3.1 已知，求已知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2221, 21 取統(tǒng)計量取統(tǒng)計量 對給定的置信度對給定的置信度 ,使使 1從而得到從而得到 的置信度為的置信度為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 21 1)1 , 0(/)()(2221212121NnnXXU 1|2uUP 222121221222121221)( ,)(nnuXXnnuXX x)(xfO2 u2/ 12 u 2/ P185定理定理8（1）廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)),60,(1 NX)36,(2 NY50,7521 nn,76,82 YX例例1 1 設(shè)兩總體設(shè)兩總體X, ,

34、Y相互獨立相互獨立, ,且且從從X,Y中分別抽取容量為中分別抽取容量為的樣本，且算得的樣本，且算得求求 的的95%95%的置信區(qū)間的置信區(qū)間. . 21 222121221222121221)( ,)(nnuXXnnuXX 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué) 2)1()1(11,111,1-)2(2122221121212222122112111212222212111 nnSnSnSYYnSYnYXXnSXnXnjjnjjniinii設(shè)設(shè)的區(qū)間估計的區(qū)間估計未知時，求未知時，求，若方差若方差 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué) 111)2(11)2(1)2(),2(,10)2(11)(2112212121211

35、221212121212121211221nnSnntYXnnSnntYXPTnntTPnnttnntnnSYXT式得：式得：統(tǒng)計量帶入，并解不等統(tǒng)計量帶入，并解不等把把使得使得分布表查得分布表查得由由）（對于給定的對于給定的由抽樣分布知：由抽樣分布知：廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)2112212121211221212111)2(11)2(-1nnSnntYXnnSnntYX 的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為：的的從從而而得得廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)7.3.3.2 7.3.3.2 未知，求未知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 22221 21 取統(tǒng)計量取統(tǒng)計量 對給定的置信度對給定的置信度 ,使使 1從而得到從

36、而得到 的置信度為的置信度為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 21 1 1)2(|212nntTP)2(/1/1)()(21212121 nntnnSXXTw 212212122111)( ,11)(nnStXXnnStXXww x)(xfO2 t2/ 12 t 2/ 121122212)()(21niniiiwYYXXnnS2)1()1(21322211 nnSnSnP186定理定理9（1）廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)7.3.3.1 7.3.3.1 已知，求已知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2221, 21 222121221222121221)( ,)(nnuXXnnuXX 7.3.3.2 7.3.3

37、.2 未知，求未知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 22221 21 212212122111)( ,11)(nnStXXnnStXXww 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)取統(tǒng)計量取統(tǒng)計量 對給定的置信度對給定的置信度 ,使使 1從而得到從而得到 的置信度為的置信度為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 2221/ 1),()(1)(12112222212121121nnFYnXnFniinii 1),(),(2122121nnFFnnFP),(212nnFFP 2),(2112 nnFFP，其中其中 )()(),(1,)()(),(1(212112211212212112211212212 niiniiniinii

38、YnXnnnFYnXnnnF 7.3.3.3 7.3.3.3 已知，求已知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2221/ 21, x)(xfO2 F2/ 2/ 21 F廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)取統(tǒng)計量取統(tǒng)計量 對給定的置信度對給定的置信度 ,使使 1從而得到從而得到 的置信度為的置信度為 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 2221/ 1)1, 1(/2122222121 nnFSSF 1)1, 1()1, 1(2122121nnFFnnFP)1, 1(212 nnFFP 2)1, 1(2112 nnFFP，其中其中 )1, 1(1,)1, 1(1(222121212221212SSnnFSSnnF 7.3.3

39、.4 7.3.3.4 未知，求未知，求 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 2221/ 21, x)(xfO2 F2/ 2/ 21 FP177定理定理9廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)什么是假設(shè)檢驗？什么是假設(shè)檢驗？ 所謂假設(shè)檢驗就是先成立一個關(guān)于總體情況的假設(shè)，然后抽取一個隨機樣本，以樣本的統(tǒng)計值來驗證對總體的假設(shè)。 假設(shè)檢驗的意義：由于我們難以完全知道所關(guān)心的總體的數(shù)量特征與變化的情況，因此需要對其進行假設(shè)，而假設(shè)是否成立，需要對其進行檢驗。假設(shè)檢驗與參數(shù)估計：假設(shè)檢驗與參數(shù)估計：假設(shè)檢驗與參數(shù)估計是不同的假設(shè)檢驗與參數(shù)估計有著不可分割的聯(lián)系。參數(shù)區(qū)間估計可以轉(zhuǎn)換為假設(shè)檢驗，假設(shè)檢驗也可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)區(qū)間估計。假

40、設(shè)檢驗可以看作區(qū)間估計中置信區(qū)間的另一種表達方式，即可以用區(qū)間估計的技術(shù)來處理假設(shè)檢驗問題。廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)8.1.1 假設(shè)檢驗的思想方法假設(shè)檢驗的思想方法 （1）提出假設(shè)）提出假設(shè) 0H（2）在假設(shè)）在假設(shè) 成立的條件下，構(gòu)造一個小概率事件成立的條件下，構(gòu)造一個小概率事件A，0H小概率原理：小概率事件在一次試驗中是不太會發(fā)生的。小概率原理：小概率事件在一次試驗中是不太會發(fā)生的。 （3）根據(jù)樣本值判斷：）根據(jù)樣本值判斷：,0H若在這一次試驗中小概率事件若在這一次試驗中小概率事件A發(fā)生了，則拒絕假設(shè)發(fā)生了，則拒絕假設(shè).0H若在這一次試驗中小概率事件若在這一次試驗中小概率事件A未發(fā)生，則接

41、受假設(shè)未發(fā)生，則接受假設(shè)1H0H廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué) RPAP樣樣本本落落入入?yún)^(qū)區(qū)域域小概率小概率 拒絕域：拒絕域： R樣本點落入樣本點落入R： 拒絕拒絕 0H接受域：接受域：R樣本點落入樣本點落入 ： 接受接受 0HR第一類錯誤：第一類錯誤： 棄真棄真0H正確，但拒絕了它。正確，但拒絕了它。0H不正確，但接受了它。不正確，但接受了它。第二類錯誤：第二類錯誤： 采偽采偽 犯第一類錯誤的概率：犯第一類錯誤的概率： 顯著性水平顯著性水平8.1.2 兩類錯誤兩類錯誤 廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)假設(shè)總體假設(shè)總體X服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 nXXXN,),(212 是樣本是樣本.考慮下面四種情況考慮下

42、面四種情況:8.2.1 已知方差，檢驗已知方差，檢驗2 00: H8.2.2 未知方差，檢驗未知方差，檢驗2 00: H8.2.3 已知期望，檢驗已知期望，檢驗 2020: H8.2.4 未知期望，檢驗未知期望，檢驗 2020: H廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué) 提出假設(shè)：提出假設(shè)： 找統(tǒng)計量：找統(tǒng)計量：求臨界值：求臨界值：求觀察值：求觀察值： 作出判斷：作出判斷： 00: H)1 , 0(/0NnXu 查表得查表得 2 u |2uuPnxu/01 若若 ,|21 uu 則拒絕則拒絕 ;0H若若 ,|21 uu 則接受則接受 .0Hx)(xfO2 u2/ 接接受受域域2 u 2/ 8.2.1 已知方

43、差，檢驗已知方差，檢驗2 00: H廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)例例1 某磚廠生產(chǎn)的磚其抗拉強度某磚廠生產(chǎn)的磚其抗拉強度X服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 ,今從今從)21. 1 ,( N該廠產(chǎn)品中隨機抽取該廠產(chǎn)品中隨機抽取6塊，測得其平均抗拉強度為塊，測得其平均抗拉強度為31.13.試檢驗試檢驗 這批磚的平均抗拉強度為這批磚的平均抗拉強度為32.5是否成立是否成立,取顯著性水平取顯著性水平.05. 0 解解: 提出原假設(shè)提出原假設(shè) 5 .32:00 H01: H找統(tǒng)計量找統(tǒng)計量 nXu/0 在在 成立的條件下成立的條件下 0H)1 , 0(/0NnXu 構(gòu)造拒絕域構(gòu)造拒絕域 05. 0|2 uuP查表得

44、查表得 96. 12 u備擇假設(shè)：備擇假設(shè)： |2 uuR 使得使得 由樣本值算得由樣本值算得 05. 3|6/1 . 15 .3213.31|/|01 nxu 96. 1 拒絕拒絕 .0H臨界值臨界值廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué) 提出假設(shè)：提出假設(shè)： 找統(tǒng)計量：找統(tǒng)計量：求臨界值：求臨界值：求觀察值：求觀察值： 作出判斷：作出判斷： 00: H)1(/0 ntnSXt 查表得查表得 2 t |2ttPnSxt/01 若若 ,|21 tt 則拒絕則拒絕 ;0H若若 ,|21 tt 則接受則接受 .0Hx)(xfO2 t2/ 接接受受域域2 t 2/ 8.2.2 未知方差，檢驗未知方差，檢驗2 00

45、: H廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)P214 書例書例3廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué) 提出假設(shè)：提出假設(shè)： 找統(tǒng)計量：找統(tǒng)計量：求臨界值：求臨界值：求觀察值：求觀察值： 作出判斷：作出判斷： 2020: H若若 ,221212221 或或則拒絕則拒絕 ;0H若若 ,2221221 則接受則接受 .0H)()(1212202nXnii 2)(222 nP2)(2212 nPx)(xfO)(22n 2/ 2/ )(221n niix122021)(1 8.2.3 已知期望，檢驗已知期望，檢驗 2020: H廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)P216 書例書例4廣東工業(yè)大學(xué)廣東工業(yè)大學(xué)x)(xfO)1(22 n 2/ 2/ ) 1(221 n 提出假設(shè)：提出假設(shè)： 找統(tǒng)計量：找統(tǒng)計量：求臨界值：求臨界值：求觀察值：求觀察值： 作出判斷：作出判斷： 2020: H若若 ,221212221 或或則拒絕則拒絕 ;0H若若 ,2221221 則接受則接受 .0H)1()(1212202 nXXnii 2)1