一個(gè)新的基于憶阻器的超混沌系統(tǒng)及其電路實(shí)現(xiàn)

1、一個(gè)新的基于憶阻器的超混沌系統(tǒng)及其電路實(shí)現(xiàn)一個(gè)新的基于憶阻器的超混沌系統(tǒng)及其電路實(shí)現(xiàn)尹 瑋 宏1,王 麗 丹1, 段 書 凱11西南大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 電子信息工程學(xué)院 重慶 中國(guó) 400715摘摘 要要 憶阻器被認(rèn)為是第四個(gè)基本電路元件， 它除了是下一代非易失性存儲(chǔ)中有競(jìng)爭(zhēng)力的候選器件外，由于擁有超越其它元件的超級(jí)性能，還能構(gòu)建具有復(fù)雜動(dòng)力學(xué)的非線性電路。特別地， 新的基于憶阻器的混沌振蕩器的實(shí)現(xiàn)已成為非線性電路設(shè)計(jì)的范例。 本文首先推導(dǎo)兩個(gè)基于磁控憶阻器模型的串聯(lián)憶阻器的特性及磁通電荷關(guān)系。 然后通過使用這個(gè)憶阻系統(tǒng)獲得一個(gè)新穎的四維超混沌系統(tǒng)，它有兩個(gè)正的李雅普諾夫指數(shù)。通過觀察各

2、種混沌吸引子、功率譜和分岔圖可看到豐富的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。最后，建立了模擬該系統(tǒng)的 SPICE 電路。SPICE仿真結(jié)果與數(shù)值分析一致，這進(jìn)一步顯示了該超混沌系統(tǒng)的混沌產(chǎn)生能力。關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞:憶阻器,超混沌系統(tǒng),混沌吸引子,電路實(shí)現(xiàn)1 1 引引言言憶阻器（Memristor）是一種非線性無源元件，具有非線性和非易失性。幾年來的研究工作取得了可喜的進(jìn)展，各種基于憶阻器的應(yīng)用成為了研究的熱點(diǎn)。 2008 年，惠普實(shí)驗(yàn)室的科學(xué)家在Nature上發(fā)表論文宣稱，成功制成了第一個(gè)物理實(shí)現(xiàn)的憶阻器1，證實(shí)了 37年前加州大學(xué)蔡少棠（Leon O. Chua）教授的推測(cè)2。此后，憶阻器受到了廣泛的關(guān)注和研究。憶阻器

3、的體積小，功耗低，因此憶阻器是混沌中非線性電路部分的理想選擇3， 各種基于憶阻器的混沌系統(tǒng)得到了研究人員的密切關(guān)注4-7?；趹涀杵鞯幕煦缦到y(tǒng)應(yīng)當(dāng)具有以下四個(gè)方面的優(yōu)勢(shì):（1）憶阻器有著納米級(jí)的尺寸,其作為混沌系統(tǒng)的非線性部分，系統(tǒng)的物本項(xiàng)目受到新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃 （教技函 2013 47 號(hào)） , 國(guó)家自然科學(xué)基金(61372139, 61101233,60972155)，教育部“春暉計(jì)劃”科研項(xiàng)目（z2011148）,留學(xué)人員科技活動(dòng)項(xiàng)目擇優(yōu)資助經(jīng)費(fèi)（國(guó)家級(jí), 優(yōu)秀類, 渝人社辦2012186 號(hào)）, 重慶市高等學(xué)校優(yōu)秀人才支持計(jì)劃（渝教人201165 號(hào)）,重慶市高等學(xué)校青年骨干教師

4、資助計(jì)劃（渝教人201165 號(hào)）,中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(XDJK2014A009,XDJK2013B011）的資助。作者簡(jiǎn)介：尹瑋宏（1987-） ，男，湖南邵陽人，研究生，主要從事非線性電路與系統(tǒng)的研究。通信作者: 王麗丹，教授，碩士生導(dǎo)師，現(xiàn)任電子信息工程學(xué)院副院長(zhǎng)，重慶市高等學(xué)校青年骨干教師資助計(jì)劃獲得者。主要從事智能信息處理、智能控制器、非線性電路與系統(tǒng)、憶阻器件及憶阻系統(tǒng)等領(lǐng)域研究，先后主持主研國(guó)家自然科學(xué)基金、中國(guó)博士后基金特別資助項(xiàng)目等項(xiàng)目 20 余項(xiàng)，發(fā)表SCI/EI 檢索論文 40 余篇，聯(lián)系郵箱：。理尺寸可以大大減?。?（2）憶阻器的阻值能隨著磁通或電荷的變化而

5、變化，其伏安特性曲線能夠通過零點(diǎn)，可以得到各種豐富的非線性曲線,提高混沌系統(tǒng)的復(fù)雜度和信號(hào)的隨機(jī)性；（3）大多憶阻材料與 CMOS 工藝兼容，可以將憶阻器和傳統(tǒng)電路緊密結(jié)合，通過簡(jiǎn)單封裝就可提供豐富的隨機(jī)信號(hào)，能量的消耗必然會(huì)減?。?（4）憶阻器是模擬電路元器件，其混沌系統(tǒng)可以產(chǎn)生真正的混沌模擬信號(hào)，從而用于混沌保密系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和應(yīng)用中。混沌系統(tǒng)被普遍認(rèn)為在信息加密領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。 在軍事科技領(lǐng)域， 混沌不僅可以用于保密通信還可以用于雷達(dá)波型的設(shè)計(jì)等8。近些年，研究人員對(duì)各種混沌做出了研究9-14。超混沌概念由 Rossler 提出，并給出了超混沌 Rossler 系統(tǒng)15。超混沌系統(tǒng)有

6、兩個(gè)或兩個(gè)以上正的 Lyapunov 指數(shù)，其吸引子具有難以識(shí)別的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，動(dòng)力學(xué)行為要比一般的混沌系統(tǒng)更加復(fù)雜難以預(yù)測(cè)，其在通信加密及信息安全領(lǐng)域具有更高的實(shí)用價(jià)值。 高維混沌系統(tǒng)具有更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為以及更好的隨機(jī)性，一般低維的破譯方法，如相空間重構(gòu)、回歸映像和非線性預(yù)測(cè)等很難破譯超混沌加密的信息。不同于有源磁控憶阻混沌電路16，本文基于有著真實(shí)的物理模型的 HP 憶阻器17，在L系統(tǒng)基礎(chǔ)上，構(gòu)建了一個(gè)全新的超混沌系統(tǒng)。此混沌系統(tǒng)依賴于憶阻器的初始狀態(tài)，有著復(fù)雜的特殊的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象， 如狀態(tài)轉(zhuǎn)移等非線性物理現(xiàn)象。 本文先分析了憶阻器的基本模型，然后構(gòu)建新的混沌系統(tǒng)，對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值分析。建

7、立了磁控憶阻器的 SPICE 模型，通過 SPICE 軟件設(shè)計(jì)混沌電路，對(duì)前面數(shù)值進(jìn)行分析驗(yàn)證。2 2HPHP 憶阻器基本模型憶阻器基本模型HP 憶阻器是由兩層二氧化鈦薄膜夾在兩個(gè)鉑片（Pt）電極之間構(gòu)成的：一層是絕緣的二氧化鈦層（TiO2） ，鈦氧元素比是 1:2。另一層是有導(dǎo)電能力的缺失了部分氧原子的二氧化鈦層（TiO2-X） 。當(dāng)有外加偏壓時(shí),缺氧原子的那層會(huì)在電場(chǎng)的作用下發(fā)生離子漂移，從而引起絕緣層和導(dǎo)電層中厚度的變換，也從而改變了憶阻器的有效阻值。圖圖 1 1 HP 實(shí)驗(yàn)室的憶阻器物理模型實(shí)驗(yàn)室的憶阻器物理模型HP 憶阻器的數(shù)學(xué)模型有電荷控制模型和磁通控制模型14，其中電荷控制模型可

8、表示為2211)(,)(),()0()(,)(atqRatqatkqMatqRtMONOFF(1)其中,q (t)表示的是電荷的值，a1,a2,a3,a4和 K 的表達(dá)式如下：22222314221222256(0)(0),22C(0),C(0),22(0)(0),)22.OFFONOFFONOFFOONOFFVONNRMRMakkkkaMRaMRRaRMRMaaRu RkDkk (2)此外，磁通控制的憶阻器模型可以表示為66525)(,)(, )0()(2)(,)(atRataMtkatRtMONOFF(3)其中，(t)表示磁通的值，電荷和磁通的關(guān)系如下：6465253)(,)()(,)0(

9、)0()(2)(,)()(atRatatakMMtkatRattqONOFF(4)從（1）到（4） ，其中 M (t)表示憶阻器的值，RON和 ROFF分別表示憶阻器的極限值，M(0)表示初始值，W(t)是依時(shí)間而變化的 TiO2-X厚度，而 D 是薄膜的厚度。RON是當(dāng) W (t)等于 0 時(shí)候的值，ROFF是當(dāng) W(t)等于 D 時(shí)候的值，Uv表示氧空缺的平均移動(dòng)量。(a)(b)圖圖 2 2 兩個(gè)串聯(lián)憶阻器電路模型兩個(gè)串聯(lián)憶阻器電路模型-1-0.500.51x 10-400.511.52x 104q,CM1, Ohm-1-0.500.51x 10-400.511.52x 104q,CM2,

10、 Ohm(a)(b)-1-0.500.51x 10-401234x 104q,CM1+M2, Ohm-1-0.500.51x 10-411.522.53x 104q,CM1-M2, Ohm(c)(d)圖圖 3 3 憶阻器阻值隨電荷變化的關(guān)系曲線憶阻器阻值隨電荷變化的關(guān)系曲線3 3 基于憶阻器的超混沌系統(tǒng)基于憶阻器的超混沌系統(tǒng)L系統(tǒng)18的狀態(tài)方程為x(),a yxybyxzzxycz(5)式中a=36, b=20, c=3,系統(tǒng)有一個(gè)正的Lyapunov指數(shù)。 在L系統(tǒng)的狀態(tài)方程上做些變換，并加入憶阻器的磁通變量， 得到一個(gè)新的四維超混沌系統(tǒng)。 基于憶阻器的超混沌系統(tǒng)的狀態(tài)方程為(0.5 ),(

11、 |),xa yxwybxxzyzxyczwyqx(6)該系統(tǒng)由于憶阻器的加入， 加劇了各個(gè)變量間的相互影響， 平衡點(diǎn)要受到初始條件的影響，而且有著較大的混沌范圍，動(dòng)力學(xué)特性變得更復(fù)雜。其中，x， y， z 和 w 是系統(tǒng)的狀態(tài)變量， a，b, c 是參數(shù)。表示的是輸入憶阻器的磁通， 從文獻(xiàn)14可知憶阻器的電荷和磁通有（7）式所示關(guān)系。35256462(0)(0)( )OFFONxaxaRkxMMq xaakxaaRxx(7)其中,222256(0)(0)22OFFONRMRMaakk，。當(dāng) a=15, b=5,c=0.9，憶阻器的初始狀態(tài)為 ROFF=20K， RON=100，M = 16K

12、，D =10nm，uv=10-14m2s-1v-1，并選擇初始狀態(tài)（x,y, z, w）=(0,1,0,0)，得到的混沌吸引子如圖 4 所示，圖中表示各狀態(tài)變量之間在平面上的投影，呈現(xiàn)出兩個(gè)渦卷混沌吸引子。-20-1001020-15-10-5051015xy-20-1001020-10-505101520 xz(a) x-y(b) x-z-20-1001020-30-20-100102030 xw-20020-20020-50050 xyw(c) x-w(d) x-y-w圖圖 4 4 圖圖(a)(a)、(b)(b)、(c)(c)分別表示分別表示 x-yx-y，x-zx-z 和和 x-wx-w

13、 在相平面上的投影，在相平面上的投影，圖圖(d)(d)表示狀態(tài)變量表示狀態(tài)變量 x-y-wx-y-w 在相空間的投影。在相空間的投影。對(duì)混沌系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析是研究混沌的重要方法，該部分分析了系統(tǒng)的 Lyapunov 指數(shù)，功率譜和分岔圖。ALyapunov 指數(shù)及時(shí)域波形Lyapunov 指數(shù)是衡量系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的一個(gè)重要定量指標(biāo)，它表征了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率。 對(duì)于系統(tǒng)是否存在動(dòng)力學(xué)行為， 可以從最大 Lyapunov指數(shù)是否大于零，非常直觀的判斷出來，指數(shù)越大，混沌特性越明顯，混沌程度越高。該系統(tǒng)的 Lyapunov 指數(shù)譜如圖 5 所示。05001000150

14、02000-16-14-12-10-8-6-4-2024Lyapunov exponentst L1 = 2.0223 L2 = 0.4404 L3 = -2.6747 L4 = -14.6848圖圖 5 5 混沌系統(tǒng)混沌系統(tǒng) LyapunovLyapunov 指數(shù)指數(shù)在（6）式的混沌系統(tǒng)中,利用 Jacobi 方法計(jì)算出 Lyapunov 指數(shù)。這種方法的基本原理就是首先求解出連續(xù)系統(tǒng)微分方程的近似解， 然后對(duì)系統(tǒng)的 Jacobi 矩陣進(jìn)行 QR 分解，計(jì)算 Jacobi 矩陣特征值的乘積，最后計(jì)算出 Lyapunov 指數(shù)和分?jǐn)?shù)維。取 t=2000，得 L1= 2.0223，L2= 0.4

15、404，L3= -2.6747， L4= -14.6848，Lyapunov 維數(shù) DL=2.9856。其中有兩個(gè)正的 Lyapunov 指數(shù)，從相軌跡圖、實(shí)域波形、以及 Lyapunov 指數(shù)和維數(shù)可以看出該系統(tǒng)是超混沌系統(tǒng)。0100200300400500-20020 x0100200300400500-20020y0100200300400500-20020z0100200300400500-50050wt/s圖圖 6 6 各狀態(tài)變量在時(shí)域的波形各狀態(tài)變量在時(shí)域的波形得四個(gè)狀態(tài)變量的時(shí)域波形如圖 6 所示，它們都是非周期性的，而且有狀態(tài)轉(zhuǎn)移行為。這種跳變行為增加了混沌的復(fù)雜度，狀態(tài)轉(zhuǎn)移行

16、為也是超混沌系統(tǒng)一種特有的現(xiàn)象。B功率譜功率譜分析也是一個(gè)重要的觀察分叉和混沌的方法。一個(gè)混沌系統(tǒng)是非周期的，它的功率譜是連續(xù)的，還帶有一系列的峰值。圖 7 顯示了該憶阻混沌系統(tǒng)的功率譜。010002000300040005000-4-2024Power Spectrum dBFrequency Hz圖圖 7 7 混沌系統(tǒng)（混沌系統(tǒng)（6 6）的功率譜）的功率譜C分岔圖分岔圖表示非線性系統(tǒng)一個(gè)差數(shù)變化時(shí)的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性， 系統(tǒng)的狀態(tài)隨著參數(shù)狀態(tài)的變化而變化，例如雙周期混沌變化。讓參數(shù) b= 0.5， c = 5 and d= 1 不變，改變參數(shù) a。對(duì)應(yīng)參數(shù) a 變化的狀態(tài)變量 x 如圖 8 所

17、示。 圖中可以看出系統(tǒng)的混沌行為隨著參數(shù) a 的變化而變化。24681012141618-15-10-505101520ax圖圖 8 8 混沌系統(tǒng)（混沌系統(tǒng)（6 6）的分岔圖）的分岔圖4 4 混沌系統(tǒng)的電路設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)的電路設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)為了驗(yàn)證系統(tǒng)（6）的混沌行為，本部分設(shè)計(jì)了各狀態(tài)變量的混沌電路。該電路由四路模擬運(yùn)算電路所組成，分別實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)（6）中的狀態(tài) x，y，z，w 的運(yùn)算。用到的元器件有LM348 運(yùn)放、憶阻器、二極管、乘法器、電容、電阻等。加入電路中的電源 VCC=+30V，VEE= - 30V。圖圖 9 9 實(shí)現(xiàn)狀態(tài)變量實(shí)現(xiàn)狀態(tài)變量 x x 的第一通道電路的第一通道電路由電路中

18、 U1和 U2可以得到47445136211xxywR RRRVVVVdtR CR RRR （8）從而得到47443561251151xxywR RRRVVVVR R R CR R CR R C (9)比較系統(tǒng)（6） ，取 R1= 20k， R4=15k， R2= R3= R5= R6= R7= 10K 和 C1=10uF，可以滿足15(0.5)xyxwVVVV(10)圖圖 1010 實(shí)現(xiàn)狀態(tài)變量實(shí)現(xiàn)狀態(tài)變量 y y 的第二通道電路的第二通道電路通過 U4和 U5列電路方程可以得到1071010112869102111221yxxzyRR RRVVV VV dtR CRR R R CR R C

19、 (11)求導(dǎo)變換得1071010y81126911211122RR RRVxxzyR R CR R R CR R C(12)在（12）式中，R8= R10= R11= 20K， R9= R12= 100 k and C2= 10uF 可以得到5yxxzyVVV VV(13)圖圖 1111 實(shí)現(xiàn)狀態(tài)變量實(shí)現(xiàn)狀態(tài)變量 z z 的第三通道電路的第三通道電路由 U6和 U7得1417141531315161831zxyzR RRVV VV dtR CRR R R C (14)所以141417131531516183zxyzRR RVV VVR R CR R R C(15)圖圖 1212 實(shí)現(xiàn)絕對(duì)值的

20、電路實(shí)現(xiàn)絕對(duì)值的電路為了得到y(tǒng)xyzVV VV，可以取 R14= R15= R16= 20K，R13=R18=100 K和 C3=10uF。運(yùn)放 U9和 U10可以實(shí)現(xiàn)絕對(duì)值電路，二極管使用的是 D10D2，電路可以得到 U10的輸出為192121242620102120()00 xxUxxR RRVVR RRVRVVR當(dāng) R19= R20= R21= R24= 20K，R26= 10K時(shí)，可得10UxVV。另外 R25= R19/R24=10K，R27= R20/R21/R26= 5K。 運(yùn)放 U11的電壓輸出231122UxRVVR ， 取 R22= R23=1 K，得11UxVV 。圖圖

21、 1313 實(shí)現(xiàn)狀態(tài)變量實(shí)現(xiàn)狀態(tài)變量 w w 的第四通道電路的第四通道電路運(yùn)放 U11的輸出作為磁控憶阻器 FLUX 端的輸入，憶阻器 CHARGE 端作為運(yùn)放 U12的輸入。憶阻器滿足（7）式電荷磁通光系，還有著斜“8”字形的伏安特性曲線，比一般非線性電路更易產(chǎn)生混沌信號(hào)。 這樣省去了構(gòu)建非線性電路的麻煩， 混沌系統(tǒng)電路結(jié)構(gòu)更加簡(jiǎn)單。設(shè)憶阻器初始值 ROFF= 20K， RON=100，M =16K，D = 10nm 和 uv = 10-14m2s-1v-1。由運(yùn)放 U12和 U13得292930431281( )wyRRVVq xdtR CRR (16)從而29293031428304(|

22、)wyRRVVqxR R CR R C(17)比較系統(tǒng)（6）最后我們?nèi)?R29= R30= 20K， R28= R31= 100K和 C4= 10uF，可以得到( |)wyVVqx(18)在 SPICE 仿真中,設(shè)置仿真的時(shí)間從 0 到 2000 seconds 和仿真的最大步長(zhǎng) 0.001seconds。得到的四階混沌系統(tǒng)的部分變量的相圖如圖 15 所示，圖中橫縱坐標(biāo)表示的是運(yùn)放 U3、U5和 U8的輸出電壓 Vx、 Vy 和 Vz，該仿真和數(shù)值仿真的結(jié)果相似，表明基于憶阻器的混沌系統(tǒng)可以在模擬電路中實(shí)現(xiàn)，再次說明了該系統(tǒng)的正確性。圖 14 為狀態(tài)變量 y 在時(shí)域中的波形，縱坐標(biāo) V（Vy:

23、OUT）表示的是運(yùn)放 U5輸出的電壓，橫坐標(biāo)表示的是時(shí)間 Time。由于憶阻器的加入， 該系統(tǒng)時(shí)域信號(hào)出現(xiàn)了狀態(tài)轉(zhuǎn)移行為。 產(chǎn)生的這些時(shí)域混沌信號(hào)可以作為保密通信的混沌信號(hào)源，也可以運(yùn)用在圖像加密或者隨機(jī)比特發(fā)生器。圖圖 1414 狀態(tài)變量狀態(tài)變量 Vy 在時(shí)域中的波形在時(shí)域中的波形(a)(b)圖圖 1515 SPICESPICE 仿真中部分狀態(tài)變量在平面的相圖仿真中部分狀態(tài)變量在平面的相圖5 5 結(jié)論結(jié)論本文先對(duì)憶阻器的基本模型進(jìn)行了分析，然后在 L系統(tǒng)的基礎(chǔ)上加入憶阻器，構(gòu)建一個(gè)新的四維超混沌系統(tǒng)，該混沌系統(tǒng)呈現(xiàn)著復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。此外，通過 SPICE 電路實(shí)現(xiàn)了該混沌系統(tǒng)。論文前面對(duì)該

24、系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值分析，后面用 SPICE 設(shè)計(jì)電路進(jìn)行了驗(yàn)證，前后的結(jié)果一致,實(shí)驗(yàn)表明該系統(tǒng)是超混沌的。憶阻器是個(gè)最新的元器件，體積小，功耗低，更有著一般元件沒有的特性，在混沌電路中有著很高的應(yīng)用價(jià)值。參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)1D. B. Strukov, G. S. Snider, D. R. Stewart, R. S. Williams. The missing memristor found.Nature,2008, 453(7191):8083.2L. O. Chua. Memristor - the missing circuit element. IEEE Trans. Circuit T

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