2020年高考文數(shù)二輪專題復(fù)習(xí)：題型2第6講第2課時圓錐曲線綜合問題含解析

1、第 2 課時圓錐曲線綜合問題考情分析圓錐曲線綜合問題包括：探索性問題、定點與定值問題、范圍與 最值問題等這類問題一般以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，參數(shù)處理為核 心，需要運(yùn)用函數(shù)與方程、不等式、平面向量等諸多知識求解，試題難度較大.熱點題型分析熱點 1 定點、定值問題方法結(jié)論V1直線恒過定點是指無論直線如何變動，必有一個定點的坐標(biāo)適合這條直線 的方程問題就歸結(jié)為用參數(shù)把直線方程表示出來，無論參數(shù)如何變化，這個方 程必有一組常數(shù)解.2定值的證明和探索一般是先利用特殊情形確定定值，再給出一般化的證明 或直接證得與參數(shù)無關(guān)的數(shù)值，在這類問題中，選擇消元的方法是非常關(guān)鍵的.【題型分析】(2019 全

2、國卷I)已知點 A，B 關(guān)于坐標(biāo)原點 O 對稱，|AB|= 4，OM 過點 A，B 且與直線 x+ 2 = 0 相切.(1) 若 A 在直線 x+ y= 0 上，求OM 的半徑.(2) 是否存在定點 P，使得當(dāng) A 運(yùn)動時，|MA|MP|為定值？并說明理由.解(1)因為。M 過點 A，B,所以圓心 M 在線段 AB 的垂直平分線上.由已知 A 在直線x+ y= 0 上，且 A，B 關(guān)于坐標(biāo)原點 O 對稱，所以 M 在直線 y=x 上，故 可設(shè) M(a, a).因為。M 與直線 x+ 2 = 0 相切，所以。M 的半徑為 r = |a + 2|.由已知得|AO|= 2.又 MO 丄 AO,故可得

3、 2a2+ 4= (a+ 2)2，解得 a = 0 或 a=4.故OM 的半徑 r = 2 或 r = 6.(2)存在定點 P(1,0)，使得|MA|MP|為定值.理由如下：設(shè) M(x，y)，由已知，得OM 的半徑為 r = |x+ 2|，|AO|= 2.由于 MO 丄 AO，故可得 x2+ y2+ 4= (x+ 2)2，化簡，得 M 的軌跡方程為 y2= 4x.因為曲線 C: y2= 4x 是以點 P(1,0)為焦點，以直線 x= 1 為準(zhǔn)線的拋物線，所以 |MP|= x+ 1.因為 |MA| |MP|= r- |MP| = x+ 2-(x+ 1)= 1,所以存在滿足條件的定點 P.【通法指

4、導(dǎo)】1. 動直線過定點問題的解法：設(shè)動直線方程(斜率存在)為 y= kx+ m,由題設(shè) 條件將 m 用 k 表示為 m= f(k)，借助于點斜式方程思想確定定點坐標(biāo).2. 定值問題的解法(1) 首先由特例得出一個值(此值一般就是定值).(2) 將問題轉(zhuǎn)化為證明待定式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)；或先將式子用動點坐標(biāo)或 動直線中的參數(shù)表示；再利用其滿足的約束條件消參得定值.【針對訓(xùn)練】(2018 北京高考)已知拋物線 C: y2= 2px 經(jīng)過點 P(1,2).過點 Q(0,1)的直線 I 與拋物線 C 有兩個不同的交點 A, B,且直線 PA 交 y 軸于 M，直線 PB 交 y 軸于 N.(1)

5、求直線 I 的斜率的取值范圍；1 1設(shè) o 為原點，QM= Q),QN=qO,解 因為拋物線 y2= 2px 經(jīng)過點 P(1,2),所以 4= 2p,解得 p = 2,所以拋物 線的方程為 y2= 4x.由題意可知直線 I 的斜率存在且不為 0,設(shè)直線 I 的方程為 y=c 2/y=4x,2 22kx+ 1(kM0).由得 k x + (2k- 4)x+ 1 = 0.依題意有 = (2 k - 4)-y=kx+1,4Xk2X10,解得k0或0k1.又PA, PB與y軸相交， 故直線I不過點(1, -2)從 而3.所以直線 I 的斜率的取值范圍是(, 3)U(-3, 0)U(0,1).2k-41

6、(2) 證明：設(shè) A(X1, y1), B(X2, y2).由(1)知 X1+ X2二一齊 L, X1X2= k2.直線 PAy1 2的方程為 y- 2=x-1).令 x= 0,得點 M 的縱坐標(biāo)為kx1+ 1厲+ 2.同理可得點X1 1N 的縱坐標(biāo)為 yN=彳+ 2.由 QM =XQO, QN=QO,X2 1得 入=1yM, q=1-1111X1 1X2 1-yN.所以)+=+ .=+=入Q1 yM1 yN(k 11(k 1 )X2yM=y1+ 2X1- 122k 42+212x1x2 X1+ X2k1 1k2 3熱點 2 范圍、最值問題方法結(jié)論V解決有關(guān)范圍、最值問題時，先要恰當(dāng)?shù)匾胱兞?/p>

7、(如點的坐標(biāo)、角或斜率等), 建立目標(biāo)函數(shù)，然后利用函數(shù)的有關(guān)知識和方法求解.具體可采用如下方法：(1)利用判別式構(gòu)造不等式，從而確定參數(shù)的取值范圍；利用已知參數(shù)的取值范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個 參數(shù)之間建立相等關(guān)系；(3) 利用已知或隱含的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4) 利用函數(shù)值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍.【題型分析】2, 4，B 2, 4，拋物線上21x ._41k=1=x2,x+ 2因為一4x0).所以 PQ 丄卩 6,即厶 PQG 是直角三角形.22uk k + 1由得 |PQ|= 2u .1 + k5, |PG|=2+k2，所以 PQG 的

8、面積218k 1 + kS二 1PQ| |PG= 1 + 2/ 2+了1+21+k設(shè) t=k+則由 k0,得 t2,當(dāng)且僅當(dāng) k= 1 時取等號.尸 kx, 由右號得 x= 1 +2k1 2設(shè) u=22，則 P(u, uk), Q( u, uk), E(u,0).1+ 2kkk于是直線 QG 的斜率為 2，方程為 y=k(x u).ky= 2xu， 由22冷+y2= 14 十 2，得(2 + k2)x2 2uk2x+ k2u2 8= 0.(*)設(shè)G(XG, yG)，則u 和XG是方程(*)的解, 故XG=U二于，由此得 yG=2+R.從而直線 PG 的斜率為鼎 uk IF1k.因為 S= 1+

9、2t在2，+x)上單調(diào)遞減,16所以當(dāng) t= 2,即 k= 1 時，S 取得最大值，最大值為 g16因此， PQG 面積的最大值為熱點 3 探索性問題方法結(jié)論V圓錐曲線中的探索性問題常考查結(jié)論存在和條件探究兩種題型，一般的解題 思路如下：(1) 結(jié)論存在型：即證明在給定的條件下，一些給定的結(jié)論是否存在.解題時 一般先對結(jié)論作肯定假設(shè)，然后結(jié)合已知條件進(jìn)行推證，若推證無矛盾，則正確；若推出矛盾，則否定此結(jié)論.過程可歸納為：假設(shè) 一推證一定論；(2) 條件探究型：即給出結(jié)論，需要分析出具備的條件，并加以證明.解題時 一般從結(jié)論出發(fā)，依據(jù)其他已知條件，通過必要的邏輯推理，逐步找到結(jié)論成立 的等價條件

10、，即“執(zhí)果索因”.【題型分析】2 2(2019 全國卷U)已知 F1, F2是橢圓 C：拿+b= 1(ab0)的兩個焦點，P 為 C上的點，0 為坐標(biāo)原點.(1)若厶 P0F2為等邊三角形，求 C 的離心率；如果存在點 P,使得 PF1丄卩卩2， 且厶 F1PF2的面積等于 16,求 b 的值和 a 的取值范圍.解 連接 PF1.由厶 P0F2為等邊三角形可知在 F1PF2中，/ F1PF2= 90 |PF2|=C, |PF1|=J3C,于是 2a= |PF1|+ |PF2|= (Q3+ 1)c，故 C 的離心率為 e=字血a-1.由題意可知，滿足條件的點 P(x, y)存在當(dāng)且僅當(dāng)彳2 21

11、y yx y2|y|= 16,= 1, a2+1,2x+CxCa b即 c|y| = 16,2 | 2 2x + y =C，2 2拿+1a bb4由及 a2= b2+ c2,得 y2=y.又由，知 y2=啰，故 b=4.由及 a2= b2+C得 x2= |2(c2- b2),所以 c2b2,從而 a2= b2+ c22b2= 32,故 a4 2.當(dāng) b = 4, a4 2 時，存在滿足條件的點 P.所以 b = 4, a 的取值范圍為4 2 , + )【通法指導(dǎo)】解決探索性問題時要注意： 先假設(shè)存在， 推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確 則存在，若結(jié)論不正確則不存在.1當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時，要分類

12、討論.2當(dāng)給出結(jié)論，推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件.3當(dāng)條件和結(jié)論都未知時，按常規(guī)方法解題較難，因此要開放思維，采取其 他途徑.【針對訓(xùn)練】2 2設(shè)橢圓 M: |2+治=1(ab0)的左、右焦點分別為 A(- 1,0), B(1,0), C 為橢圓M 上的點，且/ ACB=n，SABC3.(1)求橢圓 M 的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)過橢圓 M 右焦點且斜率為 k 的動直線與橢圓 M 相交于 E, F 兩點，探究在 x 軸上是否存在定點 D，使得 DE DF 為定值？若存在，試求出定值和點 D 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.解 在厶 ABC 中， 由余弦定理得 AB2= CA2+ CB2-2CA

13、 CBcosZACB= (CA + CB)2-3CA CB= 4.13f3又 SMBC= qCA CBsin/ ACBCA CB = 3, CA CB= 4,代入上式得 CA+ CB= 2 2.橢圓長軸 2a= 2 2，焦距 2c= AB= 2.2所以橢圓 M 的標(biāo)準(zhǔn)方程為號+ y2= 1.設(shè)直線方程為 y= k(x-1), E(x1, y1), F(x2,舶,c 2X 2.I+汁6,6 + 2k2聯(lián)立y= kx-1 .消去 y,得(1+ 2k7 i 8)x9 10-4k2x+ 2k2 2 = 0, 二 8k2+ 80,4k22k2 2-X1+x2= 1+k2，X1X2= 1+k2.假設(shè)在 x

14、 軸上存在定點 D(Xo,O),使得 DE DF 為定值，二 DE DF = (xi xo, yi) (x2 xo, y2)2=xix2 xo(xi+ X2)+ xo+ yiy222=XiX2 Xo(xi+ X2)+ xo+ k (xi i)(X2 i)2 2 2 2=(i + k )xiX2 (xo+ k )(xi+ X2) + xo+ k2xo 4xo+ i k2+ Xo 21由得直線 AB 的方程為尸 tx+倉y=tx+2，2由2可得 x 2tx 1 = 0.要使DEDF為定值，則DEDF的值與 k 無關(guān)，=28252xo 4xo+ i = 2(xo 2),解得 xo= 4,此時 DED

15、F= 為定值，定點為 4, o .專題作業(yè) x2ii.(2oi9 全國卷川)已知曲線 C: y=2, D 為直線 y=上的動點，過 D 作 C 的兩條切線，切點分別為 A, B.(1)證明：直線 AB 過定點；(2) 若以 E o,5為圓心的圓與直線 AB 相切，且切點為線段 AB 的中點，求四 邊形ADBE 的面積.解(i)證明：設(shè) D t, 2 , A(xi, yi),則 x2= 2yi.iyi+2X尸 2于是 xi+ x2= 2t, X1X2= 1 ,2y1+ y2= t(X1+ X2)+ 1= 2t + 1,|AB|=1+t2X1X2|=1+t2XX1+X22-4X1X2=2(t2+1

16、).設(shè) d1, d2分別為點 D, E 到直線 AB 的距離，貝Ud1= #t2+ 1，d2=;.7Vt2+ 1因此，四邊形 ADBE 的面積S= 2|AB|(d1+ d2)= (t2+ 3) t2+ 1.設(shè)M為線段 AB 的中點，貝UM(t，t2+2j因為 EM 丄 AB,而 EM = (t，t2 2)，AB 與向量(1, t)平行，所以 t + (t2 2)t= 0，解得 t = 0 或 t=.當(dāng) t= 0 時，S= 3;當(dāng) t= 1 時，S= 4 邁.因此，四邊形 ADBE 的面積為 3 或 4,2.2 22. (2017 全國卷I)已知橢圓 C: az+ 活=1(ab0)，四點 P1(

17、1,1), P2(0,1)， P3 1，扌3，卩)，號3中恰有三點在橢圓 C 上.(1)求 C 的方程；設(shè)直線 I 不經(jīng)過 P2點且與 C 相交于 A，B 兩點.若直線 P2A 與直線 P2B 的 斜率的和為一 1，證明：l 過定點.解(1)由于 P3，P4兩點關(guān)于 y 軸對稱，故由題設(shè)知橢圓 C 經(jīng)過 P3，P4兩點.1113又由 a2+b2二+荷，知橢圓C不經(jīng)過點 P1，a b a 4b所以點 P2在橢圓 C 上.2故橢圓 C 的方程為才+ y2= 1.(2)證明：設(shè)直線 P2A 與直線 P2B 的斜率分別為 ki, k2.如果 I 與 x 軸垂直，設(shè) I: x=t,由題設(shè)知 tM0,且|

18、t| 0.設(shè) A(X1, y1), B(x?, y2),ntt8km4m2 4則x1+ X2= 4+1,x1x2=4k2+ 1.當(dāng)且僅當(dāng) m 1 時，0,于是 I: y=號 x+ m,即 y+ 1 =號(x-2),所以 I 過定點(2， 1).3.(2019 北京高考)已知拋物線 C: x2= 2py 經(jīng)過點(2, 1).a2=解得2=4,1.y1 1 y2 1 kx1+ m 1 kx2+ m 1+x2而 k1+ k2=+=X1X22kx1X2+ m 1 X1+ X2X1X2.由題設(shè) k1+ k2= 1,故(2k+ 1)X1X2+ (m 1)(x1+ X2) = 0.陽4m 48kmX10,解

19、得 k=m+ 12(1) 求拋物線 C 的方程及其準(zhǔn)線方程；(2) 設(shè) 0 為原點，過拋物線 C 的焦點作斜率不為 0 的直線 I 交拋物線 C 于兩點M，N,直線 y= 1 分別交直線 0M , ON 于點 A 和點 B.求證：以 AB 為直徑的圓 經(jīng)過 y軸上的兩個定點.解 由拋物線 C: x2二一 2py 經(jīng)過點(2, 1),得 p = 2.所以拋物線 C 的方程為 x2二4y,其準(zhǔn)線方程為 y= 1.證明：拋物線 C 的焦點為 F(0, 1).設(shè)直線 I 的方程為 y= kx 1(kM0).設(shè) M(x1, y1),N(X2,y2)，貝 U x1x2= 4. 直線0M的方程為 y=齊.令

20、 y= 1,得點A的橫坐標(biāo)XA=翌.y1x2同理得點 B 的橫坐標(biāo)XB= y.y2設(shè)點 D(0, n),則 DA =打，一 1 n ,DB = 一 yj,1n,f f X1x2 ,八2X1Q,八2DA DB=+ (n+ 1)2=2龍+ (n+ 1)2yy )iMf x2 !10令 DA DB = 0,即一 4+ (n+ 1)2= 0,得 n = 1 或 n= 3.綜上，以 AB 為直徑的圓經(jīng)過 y 軸上的定點(0,1)和(0, 3).2 214已知橢圓 C:拿+ *= 1(ab0)的左、右焦點分別為 F1, F2，離心率為 3, 點 P 在橢圓 C 上，且 PF1F2的面積的最大值為 2 2.(1)求橢圓 C 的方程；已知直線 I: y= kx+ 2(kM0)與橢圓 C 交于不同的兩點 M , N,若在 x 軸上 存在點10 4 丿 I 4 丿y= k