第三章第5講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1、第 5 講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)ysin xycos xytan x圖象定義域RRx|xR 且 xk2，kZ值域1，11，1R周期性22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性2k2，2k2(kZ)為增；2k2，2k32(kZ)為減2k，2k(kZ)為減；2k，2k(kZ)為增k2，k2 (kZ)為增對稱中心(k，0)(kZ)(k2，0) (kZ)(k2，0)(kZ)對稱軸xk2(kZ)xk(kZ)無做一做1設(shè)函數(shù) f(x)sin2x2 ，xR，則 f(x)是()A最小正周期為的奇函數(shù)B最小正周期為的偶函數(shù)C最小正周期為2的奇函數(shù)D最小正周期為2的偶函數(shù)答案：B2函數(shù)

2、ytan 3x 的定義域為_答案： x|x6k3，kZ1辨明三個易誤點(1)ytan x 不能認為其在定義域上為增函數(shù)，應(yīng)在每個區(qū)間k2，k2 (kZ)內(nèi)為增函數(shù)(2)三角函數(shù)存在多個單調(diào)區(qū)間時易錯用“”聯(lián)結(jié)(3)求函數(shù) yAsin(x)的單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)注意的符號，只有當0 時，才能把x看作一個整體，代入 ysin t 的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解2求三角函數(shù)值域(最值)的兩種方法(1)將所給函數(shù)化為 yAsin(x)的形式，通過分析x的范圍，結(jié)合圖象寫出函數(shù)的值域；(2)換元法：把 sin x(cos x)看作一個整體，化為二次函數(shù)來解決做一做3若函數(shù) f(x)cos 2x，則 f(x)的一個遞增區(qū)間

3、為()A.4，0B.0，2C.2，34D.34，解析：選 B.由 f(x)cos 2x 知遞增區(qū)間為k，k2 ，kZ，故只有 B 項滿足4函數(shù) f(x)sin2x4 在區(qū)間0，2 上的最小值為()A1B22C.22D0解析： 選 B.由已知 x0，2 ， 得 2x44，34， 所以 sin2x4 22，1，故函數(shù) f(x)sin2x4 在區(qū)間0，2 上的最小值為22.,學(xué)生用書 P64P66)考點一_三角函數(shù)的定義域和值域_(1)函數(shù) y sin xcos x的定義域為_；(2)(2014高考大綱全國卷)函數(shù) ycos 2x2sin x 的最大值為_解析(1)要使函數(shù)有意義，必須有 sin x

4、cos x0，即 sin xcos x，同一坐標系中作出 ysin x，ycos x，x0，2的圖象如圖所示結(jié) 合 圖 象 及 正 、 余 弦 函 數(shù) 的 周 期 是 2 知 ， 函 數(shù) 的 定 義 域 為x|2k4x2k54，kZ.(2)ycos 2x2sin x2sin2x2sin x1，設(shè) tsin x(1t1)，則原函數(shù)可以化為 y2t22t12t12232，當 t12時，函數(shù)取得最大值32.答案(1)x|2k4x2k54，kZ(2)32本例(2)變?yōu)楹瘮?shù) ycos 2x4sin x(|x|6)的最大值為_解析：ycos 2x4sin x2sin2x4sin x1，設(shè) tsin x(1

5、2t12)，則原函數(shù)可以化為 y2t24t12(t1)23，當 t12時，函數(shù)取得最大值52.答案：52規(guī)律方法(1)三角函數(shù)定義域的求法：求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)， 常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解(2)三角函數(shù)值域的不同求法：利用 sin x 和 cos x 的值域直接求把所給的三角函數(shù)式變換成 yAsin(x)的形式求值域(本講典例 2(3)把 sin x 或 cos x 看作一個整體，轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域利用 sin xcos x 和 sin xcos x 的關(guān)系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求值域1.(1)函數(shù) y2log12x tan x的定義域為_；(2)函數(shù) ys

6、in xcos xsin xcos x 的值域為_解析：(1)要使函數(shù)有意義，則2log12x0 x0tan x0 xk2，kZ0 x4，kxk2（kZ）.利用數(shù)軸可得函數(shù)的定義域是x|0 x2或x4.(2)設(shè) tsin xcos x，則 sin xcos xt212( 2t 2)yt12t21212(t1)21，當 t 2時，y 取最大值為 212，當 t1 時，y 取最小值為1.函數(shù)值域為1，12 2答案：(1)x|0 x2或x4(2)1，12 2考點二_三角函數(shù)的單調(diào)性(高頻考點)_三角函數(shù)的單調(diào)性是每年高考命題的熱點， 題型既有選擇題也有填空題， 或解答題某一問出現(xiàn)，難度適中，多為中檔

7、題高考對三角函數(shù)單調(diào)性的考查有以下四個命題角度：(1)求已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)；(3)利用三角函數(shù)的單調(diào)性求值域(或最值)；(4)利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小(1)函數(shù) f(x)tan2x3 的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.k212，k2512 (kZ)B.k212，k2512 (kZ)C.k6，k23(kZ)D.k12，k512 (kZ)(2)已知0，函數(shù) f(x)sinx4 在2，上單調(diào)遞減，則的取值范圍是()A.12，54B.12，34C.0，12D(0，2)(3)(2015江西南昌模擬)已知函數(shù) f(x)(sin xcos x)22cos2x2.求 f(x)

8、的單調(diào)增區(qū)間；當 x4，34時，求函數(shù) f(x)的最大值，最小值解析(1)由 k22x3k2(kZ)，得k212xk2512(kZ)，所以函數(shù) f(x)tan2x3 的單調(diào)遞增區(qū)間為k212，k2512 (kZ)，故選 B.(2)由2x0，得24x40)的單調(diào)區(qū)間時，要視“x”為一個整體，通過解不等式求解但如果0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后利用集合間的關(guān)系求解(3)利用三角函數(shù)的單調(diào)性求值域(或最值) 形如yAsin(x)b或可化為yAsin(x)b 的三角函數(shù)的值域(或最值)問題常利用三角函數(shù)的單調(diào)性解決2.

9、(1)已知函數(shù) f(x)2sinx3 ，設(shè) af7 ，bf6 ，cf3 ，則 a，b，c 的大小關(guān)系是()AacbBcabCbacDbca(2)(2015山東聊城期末測試)已知函數(shù) f(x)2sinx(0)在區(qū)間3，4 上的最小值是2，則的最小值等于()A.23B.32C2D3(3)函數(shù) ycos42x的單調(diào)減區(qū)間為_(4)函數(shù) y|tan x|的單調(diào)增區(qū)間為_解析：(1)af7 2sin1021，bf6 2sin22，cf3 2sin232sin3，因 ysin x 在0，2 上遞增，則 ca0，0)若 f(x)在區(qū)間6，2 上具有單調(diào)性， 且 f2 f23f6 ，則 f(x)的最小正周期為

10、_解析：(1)f(x)sin2x32cos 2x，故其最小正周期為，故 A 正確；易知函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，B 正確；由函數(shù) f(x)cos 2x 的圖象可知，函數(shù) f(x)的圖象不關(guān)于直線 x4對稱，C 錯誤；由函數(shù) f(x)的圖象易知，函數(shù) f(x)在0，2 上是增函數(shù)，D 正確，故選 C.(2)f(x)在6，2 上具有單調(diào)性，T226，T23.f2 f23，f(x)的一條對稱軸為 x2232712.又f2 f6 ，f(x)的一個對稱中心的橫坐標為2623.14T71234，T.答案：(1)C(2)考題溯源函數(shù) yAsin(x)的性質(zhì)(2014高考福建卷)已知函數(shù) f(x)2cos x(

11、sin xcos x)(1)求 f54的值；(2)求函數(shù) f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間解法一：(1)f542cos54sin54cos542cos4sin4cos4 2.(2)因為 f(x)2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x1 2sin2x4 1，所以 T22.由 2k22x42k2，kZ，得 k38xk8，kZ，所以 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k38，k8 ，kZ.法二：f(x)2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x1 2sin2x4 1.(1)f54 2sin1141 2sin412.(2)T22.由 2k22x42k2，kZ，得 k38xk

12、8，kZ.所以 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k38，k8 ，kZ.考題溯源本考題源于教材人教 A 版必修 4 P147復(fù)習(xí)參考題 A 組 11 題“已知函數(shù) f(x)2sin x(sin xcos x)(1)求 f(x)的最小正周期和最大值；(2)畫出函數(shù) yf(x)在區(qū)間2，2 上的圖象”(2015 河 北 高 陽 中 學(xué) 第 一 次 月 考 ) 已 知 函 數(shù) f(x) cos2x32sinx4 sinx4 .(1)求函數(shù) f(x)的最小正周期和圖象的對稱軸方程；(2)求函數(shù) f(x)在區(qū)間12，2 上的值域解：(1)f(x)cos2x3 2sinx4 sinx412cos 2x32sin 2

13、x(sin xcos x)(sin xcos x)12cos 2x32sin 2xsin2xcos2x12cos 2x32sin 2xcos 2xsin2x6 .函數(shù) f(x)的最小正周期為 T22，對稱軸方程為 x3k2，kZ.(2)x12，2 ，2x63，56.f(x)sin2x6 在區(qū)間12，3 上單調(diào)遞增，在區(qū)間3，2 上單調(diào)遞減，當 x3時，f(x)取最大值 1.又f12 32f2 12，當 x12時，f(x)取最小值32.所以函數(shù) f(x)在區(qū)間12，2 上的值域為32，1.1函數(shù) ycos x32的定義域為()A.6，6B.k6，k6 ，kZC.2k6，2k6 ，kZDR解析：選

14、 C.cos x320，得 cos x32，2k6x2k6，kZ.2函數(shù) f(x)(1sin x)(sin2xcos2xsin x)是()A最小正周期為的奇函數(shù)B最小正周期為的偶函數(shù)C最小正周期為 2的奇函數(shù)D最小正周期為 2的偶函數(shù)解析：選 B.f(x)(1sin x)(1sin x)1sin2xcos2x12cos 2x12，所以 f(x)是最小正周期為的偶函數(shù)3函數(shù) y2sinx63 (0 x9)的最大值與最小值之和為()A1 3B1C0D2 3解析：選 D.0 x9，3x6376，sinx63 32，1.y 3，2，ymaxymin2 3.4如果函數(shù) y3sin(2x)的圖象關(guān)于直線

15、x6對稱，則|的最小值為()A.6B.4C.3D.2解析： 選 A.依題意得， sin31， 則3k2(kZ)， 即k6(kZ)，因此|的最小值是6.5(2014高考安徽卷)設(shè)函數(shù) f(x)(xR)滿足 f(x)f(x)sin x當 0 x時，f(x)0，則 f236()A.12B.32C0D12解析：選 A.f(x)f(x)sin x，f(x2)f(x)sin x.f(x2)f(x)sin xsin xf(x)f(x)是以 2為周期的周期函數(shù)又 f236f46 f6 ，f6f6 sin6 ，f56f6 12.當 0 x0，且|2 在區(qū)間6，23上是單調(diào)減函數(shù)，且函數(shù)值從 1 減少到1，則 f

16、4 ()A.12B.22C.32D1解析：選 C.由題意得函數(shù) f(x)的周期 T2236 ，所以2，此時 f(x)sin(2x)，將點6，1代入上式得 sin31|2 ，所以6，所以 f(x)sin2x6 ，于是 f4 sin26 cos632.2(2015開封市第一次摸底)已知函數(shù) f(x)sin 2xcoscos 2xsin(xR)，其中為實數(shù)，且 f(x)f29對任意實數(shù) R 恒成立，記 pf23，qf56，rf76，則 p、q、r 的大小關(guān)系是()ArpqBqrpCpqrDqpr解析：選 C.f(x)sin 2xcoscos 2xsinsin(2x)，f(x)的最小正周期 T.f(x

17、)f29，f29是最大值f(x)sin2x18 ，psin2518，qsin3118，rsin718，pqr.3當 x6，76時，函數(shù) y3sin x2cos2x 的最小值是_，最大值是_解析：x6，76，sin x12，1.又 y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)2sin x14278.當 sin x14時，ymin78，當 sin x12或 sin x1 時，ymax2.答案：7824(2015內(nèi)蒙古包頭一模)給出下列命題：函數(shù) f(x)4cos2x3 的一個對稱中心為512，0；已知函數(shù) f(x)minsin x，cos x，則 f(x)的值域為1，22 ；若、均為第

18、一象限角，且，則 sinsin.其中所有真命題的序號是_解析：對于，令 x512，則 2x35632，有 f5120，因此512，0為 f(x)的一個對稱中心，為真命題；對于，結(jié)合圖象知 f(x)的值域為1，22 ，為真命題；對于，令390，60，有 39060，但 sin 39012sin 6032，故為假命題，所以真命題為.答案：5(2015遼寧省五校聯(lián)考)設(shè)函數(shù) f(x)sinxsinx2 ，xR.(1)若12，求 f(x)的最大值及相應(yīng) x 的集合；(2)若 x8是 f(x)的一個零點，且 010，求的值和 f(x)的最小正周期解：由已知：f(x)sinxcosx 2sinx4 .(1)若12，則 f(x) 2sin12x4 ，又 xR，則2sin12x4 2，f(x)max 2，此時12x42k2，kZ.即 x x|x4k32，kZ.(2)x8是函數(shù) f(x)的一個零點， 2sin84 0，84k，kZ，又 00， 函數(shù) f(x)2asin2x6 2ab， 當 x0，2 時， 5f(x)1.(1)求常數(shù) a，b 的值；(2)設(shè) g(x)fx2 且 lg g(x)0，求 g(x)的單調(diào)區(qū)間解：(1)x